Pitagorine trojke. Moderne visoke tehnologije. Pogledajte šta su "Pitagorine trojke" u drugim rječnicima
Važan primjer Diofantove jednačine daje Pitagorina teorema, koja povezuje dužine x i y kateta pravokutnog trokuta s dužinom z njegove hipotenuze:
Vi ste, naravno, naišli na jedno od divnih rješenja ove jednadžbe u prirodnim brojevima, naime na pitagorinu trojku brojeva x = 3, y = 4, z = 5. Ima li još takvih trojki?
Ispostavilo se da postoji beskonačno mnogo pitagorinih trojki, a sve su davno pronađene. Mogu se dobiti pomoću dobro poznatih formula, o kojima ćete naučiti iz ovog paragrafa.
Ako su Diofantove jednadžbe prvog i drugog stepena već riješene, onda je pitanje rješavanja jednačina više visoki stepeni i dalje ostaje otvoren, uprkos naporima najvećih matematičara. Trenutno, na primjer, poznata Fermatova hipoteza da za bilo koju cjelobrojnu vrijednost n2 jednačina
u cijelim brojevima nema rješenja.
Za rješavanje nekih tipova Diofantovih jednadžbi korisna uloga može svirati tzv kompleksni brojevi.Šta je to? Neka slovo i označava objekat koji zadovoljava uslov i 2 = -1(jasno je da nijedan realan broj ne zadovoljava ovaj uslov). Razmotrite izraze forme α + iβ, gdje su α i β realni brojevi. Takvi izrazi će se zvati kompleksni brojevi, s definiranim operacijama sabiranja i množenja nad njima, kao i nad binomima, ali s jedinom razlikom što izraz i 2 svuda ćemo zamijeniti brojem -1:
7.1. Ima mnogo od tri
Dokaži da ako x 0, y 0, z 0- Pitagorina trojka, pa trojke y 0, x 0, z 0 i x 0 k, y 0 k, z 0 k za bilo koju vrijednost prirodnog parametra k su također pitagorejski.
7.2. Privatne formule
Provjerite to na svim prirodnim vrijednostima m> n tip trostruki
je pitagorejski. Je li svaka Pitagorina trojka x, y, z može se predstaviti u ovom obliku, ako dozvolimo zamjenu brojeva x i y u trojci?
7.3. Nesvodljive trojke
Pitagorina trojka brojeva koji nemaju zajednički djelitelj veći od 1 nazivat će se nesvodljivim. Dokažite da je Pitagorina trojka nesvodljiva samo ako su bilo koja dva broja u trojci koprosta.
7.4. Svojstvo nesvodljivih trojki
Dokažite da su u bilo kojoj nesvodljivoj Pitagorinoj trojci x, y, z broj z i tačno jedan od brojeva x ili y neparni.
7.5. Sve nesvodljive trojke
Dokažite da je trojka brojeva x, y, z nesvodiva Pitagorina trojka ako i samo ako se poklapa sa trojkom do reda prva dva broja 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, gdje m> n- koprosti prirodni brojevi različite parnosti.
7.6. Opšte formule
Dokažite da su sva rješenja jednadžbe
u prirodnim brojevima su specificirani do reda nepoznatih x i y formulama
gdje su m> n i k prirodni parametri (da bi se isključilo dupliranje bilo koje trojke, dovoljno je odabrati brojeve tipa koprimenih i, štaviše, različitog pariteta).
7.7. Prvih 10 trojki
Pronađite sve Pitagorine trojke x, y, z, zadovoljavanje uslova x
7.8. Svojstva pitagorinih trojki
Dokažite to za bilo koju Pitagorinu trojku x, y, z sljedeće izjave su tačne:
a) barem jedan od brojeva x ili y je višekratnik broja 3;
b) barem jedan od brojeva x ili y je višekratnik broja 4;
c) barem jedan od brojeva x, y ili z je višekratnik broja 5.
7.9. Korištenje kompleksnih brojeva
Po modulu kompleksnog broja α + iβ je nenegativan broj
Provjerite to za sve kompleksne brojeve α + iβ i γ + iδ imovina je izvršena
Koristeći svojstva kompleksnih brojeva i njihovih modula, dokazati da bilo koja dva cijela broja m i n zadovoljavaju jednakost
tj. daju rješenje jednačine
cijeli brojevi (uporedi sa zadatkom 7.5).
7.10. Nepitagorine trojke
Koristeći svojstva kompleksnih brojeva i njihovih modula (vidi problem 7.9), pronađite formule za bilo koja cjelobrojna rješenja jednadžbe:
a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.
Rješenja
7.1. Ako x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, onda y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, i za bilo koju prirodnu vrijednost k imamo
Q.E.D.
7.2. Od jednakosti
zaključujemo da trojka navedena u zadatku zadovoljava jednačinu x 2 + y 2 = z 2 u prirodnim brojevima. Međutim, nije svaka pitagorejska trojka x, y, z može se predstaviti u ovom obliku; na primjer, trojka 9, 12, 15 je pitagorejska, ali broj 15 se ne može predstaviti kao zbir kvadrata bilo koja dva prirodna broja m i n.
7.3. Ako bilo koja dva broja iz Pitagorine tri x, y, z imaju zajednički djelitelj d, tada će to biti i djelitelj trećeg broja (na primjer, u slučaju x = x 1 d, y = y 1 d imamo z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2, odakle je z 2 deljivo sa d 2, a z je deljivo sa d). Stoga, za nesvodljivost Pitagorine trojke, potrebno je da bilo koja dva broja u tripletu budu koprosta,
7.4. Imajte na umu da jedan od brojeva x ili y, recimo x, nesvodivog Pitagorinog trojca x, y, z je neparan, jer inače brojevi x i y ne bi bili međusobno prosti (vidi problem 7.3). Ako je u ovom slučaju još jedan broj y također neparan, onda su oba broja
dati ostatak od 1 kada se podijeli sa 4, i broj z 2 = x 2 + y 2 daje ostatak od 2 kada se podijeli sa 4, to jest, djeljiv je sa 2, ali nije djeljiv sa 4, što ne može biti. Dakle, broj y mora biti paran, a broj z mora biti neparan.
7.5. Neka Pitagorina utrostruči x, y, z je nesvodljiv i, radi određenosti, broj x je paran, a brojevi y i z su neparni (vidi problem 7.4). Onda
gdje su brojevi 
su cijeli. Dokažimo da su brojevi a i b međusobno prosti. Zaista, ako bi imali zajednički djelitelj veći od 1, tada bi brojevi imali isti djelitelj z = a + b, y = a - b, to jest, triplet ne bi bio nesvodljiv (vidi problem 7.3). Sada, proširujući brojeve a i b u proizvode prostih faktora, primjećujemo da svaki prosti faktor mora biti uključen u proizvod 4ab = x 2 samo u parnom stepenu, a ako je uključen u dekompoziciju broja a, onda nije uključen u dekompoziciju broja b i obrnuto. Dakle, svaki prosti faktor je uključen u dekompoziciju broja a ili b pojedinačno samo na paran stepen, što znači da su ti brojevi kvadrati cijelih brojeva. Mi smo stavili 
onda dobijamo jednakosti
štaviše, prirodni parametri m> n su međusobno prosti (zbog međusobne jednostavnosti brojeva a i b) i imaju različit paritet (zbog neparnog broja z = m 2 + n 2).
Neka su sada prirodni brojevi m> n različitog pariteta međusobno prosti. Zatim trostruko x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, prema iskazu problema 7.2, je pitagorejski. Dokažimo da je nesvodiva. Da biste to učinili, dovoljno je provjeriti da brojevi y i z nemaju zajedničkih djelitelja (vidjeti zadatak 7.3). Zaista, oba ova broja su neparna, jer brojevi tipa imaju različit paritet. Ako brojevi y i z imaju neki prosti zajednički djelitelj (onda je to svakako neparno), onda svaki od brojeva ima isti djelitelj, a sa njima i svaki od brojeva m i n, što je u suprotnosti s njihovom međusobnom jednostavnošću.
7.6. Na osnovu iskaza formulisanih u zadacima 7.1, 7.2, ove formule definišu samo Pitagorine trojke. S druge strane, bilo koja Pitagorina trojka x, y, z nakon što se može poništiti najvećim zajedničkim djeliteljem k, par brojeva x i y postaje nesvodljiv (vidi zadatak 7.3) i stoga se može predstaviti do reda brojeva x i y u obliku opisanom u zadatku 7.5 . Stoga je bilo koja Pitagorina trojka data naznačenim formulama za neke vrijednosti parametara.
7.7. Iz nejednakosti z i formulama zadatka 7.6, dobijamo procenu m 2 tj. m≤5... Pretpostavljam m = 2, n = 1 i k = 1, 2, 3, 4, 5, dobijamo trojke 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Pretpostavljam m = 3, n = 2 i k = 1, 2, dobijamo trojke 5, 12, 13; 10, 24, 26. Pretpostavljam m = 4, n = 1, 3 i k = 1, dobijamo trojke 8, 15, 17; 7, 24, 25. Konačno, pod pretpostavkom m = 5, n = 2 i k = 1, dobijamo trojku 20, 21, 29.
Zatim ćemo razmotriti poznate metode za generiranje efektivnih Pitagorinih trojki. Pitagorini učenici bili su prvi koji su izmislili jednostavan način za generiranje Pitagorinih trojki koristeći formulu čiji dijelovi predstavljaju Pitagorinu trojku:
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,
Gdje m- neuparen, m> 2. stvarno,
4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4
Sličnu formulu je predložio starogrčki filozof Platon:
(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,
Gdje m- bilo koji broj. Za m= 2,3,4,5 generišu se sledeće trojke:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Kao što vidite, ove formule ne mogu dati sve moguće primitivne trojke.
Razmotrimo sljedeći polinom, koji se razlaže u zbir polinoma:
(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .
Otuda slijede sljedeće formule za dobivanje primitivnih trojki:
a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.
Ove formule generiraju trojke u kojima se prosjek razlikuje od najvećeg za tačno jedan, odnosno nisu također generirane sve moguće trojke. Ovdje su prva tri jednaka: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Da biste utvrdili kako generirati sve primitivne trojke, trebali biste istražiti njihova svojstva. Prvo, ako ( a, b, c) Onda je primitivna trojka a i b, b i c, a i c- moraju biti međusobno jednostavni. Neka a i b se dijele na d... Onda a 2 + b 2 - također djeljiv sa d... odnosno c 2 i c treba podijeliti na d... Odnosno, to nije primitivna trojka.
Drugo, među brojevima a, b jedan mora biti uparen, a drugi neuparen. Zaista, ako a i b- onda upareno Withće biti upareni, a brojevi se mogu podijeliti sa najmanje 2. Ako su oba neuparena, onda se mogu predstaviti kao 2 k+1 i 2 l+1, gde k,l- neki brojevi. Onda a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tj. With 2 kao i a 2 + b 2, kada se podijeli sa 4, ima ostatak od 2.
Neka With- bilo koji broj, tj With = 4k+i (i= 0, ..., 3). Onda With 2 = (4k+i) 2 ima ostatak od 0 ili 1 i ne može imati ostatak od 2. Dakle, a i b ne može biti uparen, tj a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 i ostatak With 2 sa 4 mora biti 1, što znači da With mora biti neuparen.
Sljedeći brojevi zadovoljavaju takve zahtjeve za elemente Pitagorine trojke:
a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)
Gdje m i n- međusobno jednostavno sa različitim uparivanje. Po prvi put su ove zavisnosti postale poznate iz Euklidovih djela, koji je živio 2300 r. nazad.
Dokažimo valjanost zavisnosti (2). Neka a- onda upareno b i c- neuparen. Onda c + b i c − b- upareno. Mogu se predstaviti kao c + b = 2u i c − b = 2v, gdje u,v- neki cijeli brojevi. Dakle
a 2 = With 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv
I zbog toga ( a/2) 2 = uv.
Može se dokazati kontradikcijom da u i v- obostrano jednostavno. Neka u i v- dijele se na d... Zatim ( c + b) i ( c − b) dijele se na d... I zbog toga c i b treba podijeliti na d, a to je u suprotnosti sa uslovom za Pitagorinu trojku.
Jer uv = (a/ 2) 2 i u i v Ako su međusobno prosti, onda je to lako dokazati u i v moraju biti kvadrati nekih brojeva.
Dakle, postoje pozitivni cijeli brojevi m i n takav da u = m 2 i v = n 2. Onda
a 2 = 4uv = 4m 2 n 2 tako da
a = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .
Jer b> 0, onda m > n.
Ostaje da se to pokaže m i n imaju drugačije uparivanje. Ako m i n- onda upareno u i v moraju biti upareni, ali to je nemoguće, jer su međusobno jednostavni. Ako m i n- neuparen, onda b = m 2 − n 2 i c = m 2 + n 2 bi bilo upareno, što je nemoguće, pošto c i b- obostrano jednostavno.
Dakle, svaka primitivna Pitagorina trojka mora zadovoljiti uslove (2). Štaviše, brojevi m i n su pozvani generisanje brojeva primitivne trojke. Na primjer, recimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku (120,119,169). U ovom slučaju
a= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 - 25, i c = 144+25=169,
Gdje m = 12, n= 5 - generisanje brojeva, 12> 5; 12 i 5 su međusobno jednostavni i različiti parovi.
Može se dokazati suprotno, da su brojevi m, n po formulama (2) daju primitivnu Pitagorinu trojku (a, b, c). stvarno,
a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,
To je ( a,b,c) Pitagorina je trojka. Dokažimo to u ovom slučaju a,b,c- međusobno prosti brojevi kontradiktorno. Neka su ovi brojevi djeljivi sa str> 1. Od m i n onda imate drugačije uparivanje b i c- neuparen, tj str≠ 2. Pošto R deli b i c, onda R treba podijeliti 2 m 2 i 2 n 2, ali to je nemoguće, pošto str≠ 2. Stoga m, n- međusobno jednostavni i a,b,c- takođe su međusobno jednostavni.
Tabela 1 prikazuje sve primitivne Pitagorine trojke generirane formulama (2) za m≤10.
Tabela 1. Primitivne pitagorejske trojke za m≤10
| m | n | a | b | c | m | n | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Analiza ove tabele pokazuje prisustvo sledeće serije obrazaca:
- ili a, ili b djeljivo sa 3;
- jedan od brojeva a,b,c je djeljiv sa 5;
- broj a je djeljiv sa 4;
- rad a· b je višekratnik od 12.
Godine 1971., američki matematičari Teigan i Hedwin predložili su tako malo poznate parametre pravokutnog trokuta za generiranje trojki kao što je njegova visina h = c- b i višak (uspjeh) e = a + b − c... Slika 1. ove vrijednosti su prikazane na određenom pravokutnom trokutu.
Slika 1. Pravougli trokut i njegov rast i višak
Naziv "višak" je izveden iz činjenice da je to dodatna udaljenost koja se mora prijeći duž krakova trokuta od jednog vrha do suprotnog, ako ne ide duž njegove dijagonale.
Preko viška i rasta stranica Pitagorinog trougla, može se izraziti kao:
e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h
Nisu sve kombinacije h i e može odgovarati Pitagorinim trouglovima. Za dato h moguće vrijednosti e Da li su proizvodi određenog broja d... Ovaj broj d ima naziv prirasta i odnosi se na h na sljedeći način: d To je najmanji pozitivan cijeli broj čiji je kvadrat djeljiv sa 2 h... Jer e višestruko d, tada se piše kao e = kd, gdje k Je pozitivna celina.
Koristeći parove ( k,h) možete generirati sve Pitagorine trouglove, uključujući one neprimitivne i generalizirane, na sljedeći način:
(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h
Štaviše, trojka je primitivna ako k i h Jesu li međusobno jednostavni i ako h =± q 2 at q- neuparen.
Osim toga, to će biti upravo pitagorina trojka ako k> √2 h/d i h > 0.
Naći k i h od ( a,b,c), izvršite sljedeće radnje:
- h = c − b;
- zapiši h kako h = pq 2, gdje str> 0 i takav da nije kvadrat;
- d = 2pq ako str- neupareni i d = pq ako je p uparen;
- k = (a − h)/d.
Na primjer, za trojku (8,15,17) imamo h= 17−15 = 2 1, dakle str= 2 i q = 1, d= 2, i k= (8 - 2) / 2 = 3. Dakle, ova trojka je data kao ( k,h) = (3,2).
Za trojku (459,1260,1341) imamo h= 1341 - 1260 = 81, dakle str = 1, q= 9 i d= 18, dakle k= (459 - 81) / 18 = 21, pa je kod ove trojke jednak ( k,h) = (21, 81).
Postavljanje trojki koristeći h i k ima niz zanimljivih svojstava. Parametar k jednaki
k = 4S/(dP), (5)
Gdje S = ab/ 2 je površina trokuta, i P = a + b + c- njegov perimetar. Ovo proizilazi iz jednakosti eP = 4S, koji dolazi iz Pitagorine teoreme.
Za pravougli trougao e jednak je prečniku kružnice upisane u trokut. Ovo proizlazi iz činjenice da je hipotenuza With = (a − r)+(b − r) = a + b − 2r, gdje r Je polumjer kružnice. Odavde h = c − b = a − 2r i e = a − h = 2r.
Za h> 0 i k > 0, k je redni broj trojki a-b-c u nizu Pitagorinih trouglova sa povećanjem h... Iz tabele 2, gde je prikazano nekoliko varijanti trojki generisanih parovima h, k, vidi se da sa povećanjem k povećavaju se veličine stranica trokuta. Dakle, za razliku od klasične numeracije, numeracija u paru h, k ima viši red u nizovima trojki.
Tabela 2. Pitagorine trojke generisani parovima h, k.
| h | k | a | b | c | h | k | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
Za h > 0, d zadovoljava nejednakost 2√ h ≤ d ≤ 2h, u kojem se donja granica postiže na str= 1, a gornji - za q= 1. Dakle, vrijednost d u odnosu na 2√ h Je mjera koliko je broj h udaljen od kvadrata nekog broja.
Vitalij crv
Skinuti:
Pregled:
Konkurs naučnih projekata za školarce
U okviru regionalne naučno-praktične konferencije "Eureka"
Mala akademija nauka za studente Kubana
Proučavanje pitagorinih brojeva
Sekcija matematika.
Crv Vitalij Genadijevič, 9. razred
MOBU SOSH №14
Korenovsky okrug
Art. Zhuravskaya
naučni savjetnik:
Manko Galina Vasiljevna
Nastavnik matematike
MOBU SOSH №14
Korenovsk 2011
Wormyak Vitalij Gennadievich
Pitagorini brojevi
Anotacija.
Tema istraživanja:Pitagorini brojevi
Ciljevi istraživanja:
Ciljevi istraživanja:
- Identifikacija i razvoj matematičkih sposobnosti;
- Produžetak matematičko predstavljanje na ovu temu;
- Formiranje održivog interesovanja za predmet;
- Razvoj komunikacijskih i općih obrazovnih vještina samostalan rad, sposobnost vođenja diskusije, rasprave itd.;
- Formiranje i razvoj analitičkog i logičkog mišljenja;
Metode istraživanja:
- Korištenje internetskih resursa;
- Pozivanje na referentnu literaturu;
- Izvođenje eksperimenta;
zaključak:
- Ovaj rad se može koristiti u lekciji geometrije kao dodatni materijal, za izborni predmeti ili izborni predmeti iz matematike, kao i u vannastavne aktivnosti matematika;
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
- Uvod ……………………………………………………………………………… 3
- Glavni dio
2.1 Istorijska stranica …………………………………………………………… 4
2.2 Dokaz parnih i neparnih krakova ... ... ... ................................... 5-6
2.3 Izvođenje obrazaca za pronalaženje
Pitagorini brojevi ……………………………………………………………………… 7
2.4 Svojstva pitagorinih brojeva ……………………………………………… 8
3. Zaključak ………………………………………………………………………………… 9
4.Popis korištenih izvora i literature …………………… 10
Prijave ................................................ ................................................... ......jedanaest
Dodatak I ………………………………………………………………………………… 11
Dodatak II ………………………………………………………………………… ..13
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Uvod
O Pitagori i njegovom životu čuo sam u petom razredu na času matematike, a zanimala me je izjava „Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima“. Dok sam proučavao Pitagorinu teoremu, zanimali su me Pitagorini brojevi.svrha studije: Saznajte više o Pitagorinoj teoremi i "Pitagorinim brojevima".
Relevantnost teme... Vrijednost Pitagorine teoreme i Pitagorine trojke su vekovima dokazali mnogi naučnici sveta. Problem o kojem ću raspravljati u mom radu izgleda prilično jednostavno jer se temelji na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbroju izgrađenih kvadrata na nogama. Sada trojke prirodnih brojeva x, y, z, za koje x 2 + y 2 = z 2 , uobičajeno je da se zovePitagorine trojke... Ispostavilo se da su pitagorejske trojke već bile poznate u Babilonu. Postepeno su ih pronašli i grčki matematičari.
Svrha ovog rada
- Istražite Pitagorine brojeve;
- Razumjeti kako se dobijaju Pitagorini brojevi;
- Saznajte koja svojstva imaju Pitagorini brojevi;
- Eksperimentalno, konstruirajte okomite prave linije na tlu koristeći Pitagorine brojeve;
U skladu sa svrhom rada, niz od sljedećeg zadaci:
1. Dublje proučavati istoriju Pitagorine teoreme;
2. Analiza univerzalnih svojstava Pitagorinih trojki.
3. Analiza praktične primjene Pitagorinih trojki.
Predmet proučavanja: Pitagorine trojke.
Predmet studija: matematika.
Metode istraživanja: - Korištenje internetskih resursa; -Referenca na referentnu literaturu; -Provođenje eksperimenta;
Teorijski značaj:uloga koju je odigralo otkriće pitagorinih trojki u nauci; praktična primjena Pitagorinog otkrića u ljudskom životu.
Primijenjena vrijednostistraživanje se sastoji u analizi književnih izvora i sistematizaciji činjenica.
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Iz istorije pitagorejskih brojeva.
- Drevna Kina:
Chu-peijeva knjiga matematike:[ 2]
"Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja spaja krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4".
- Stari Egipat: [2]
Cantor (najveći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² je već bio poznat Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. e., u vrijeme kralja Amenemkhet (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Kantoru harpedonapti, ili "zatezači užeta", izgrađeni pravim uglovima koristeći pravougaone trouglove sa stranicama 3; 4 i 5.
- Babilonija: [3]
„Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije otkriće matematike, već njena sistematizacija i potkrepljenje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim pojmovima postali su egzaktna nauka."
- Istorija Pitagorine teoreme:,
Iako je ova teorema povezana s Pitagorinim imenom, bila je poznata mnogo prije njega.
U babilonskim tekstovima nalazi se 1200 godina prije Pitagore.
Očigledno, on je bio prvi koji je pronašao dokaz za to. S tim u vezi, napravljen je sljedeći zapis: "... kada je otkrio da u pravokutnom trouglu hipotenuza ima korespondenciju sa nogama, žrtvovao je bika napravljenog od pšeničnog tijesta."
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Proučavanje pitagorinih brojeva.
- Svaki trokut, stranice su povezane kao 3: 4: 5, prema poznatoj Pitagorinoj teoremi, - pravougaone, jer
3 2 + 4 2 = 5 2.
- Pored brojeva 3,4 i 5, postoji, kao što je poznato, beskonačan skup pozitivnih cijelih brojeva a, b i c koji zadovoljava relaciju
- A 2 + b 2 = c 2.
- Ovi brojevi se zovuPitagorini brojevi
Pitagorine trojke su poznate od davnina. U arhitekturi drevnih sopotamskih nadgrobnih spomenika nalazi se jednakokraki trougao sastavljen od dva pravougaona sa stranicama od 9, 12 i 15 lakata. Piramide faraona Sneferua (XXVII vek pre nove ere) izgrađene su od trouglova sa stranicama 20, 21 i 29, kao i od 18, 24 i 30 desetina egipatskih lakata.[ 1 ]
Pravougli trokut sa katetama 3, 4 i hipotenuzom 5 naziva se egipatski trokut. Površina ovog trokuta jednaka je savršenom broju 6. Opseg je jednak 12 - broju koji se smatrao simbolom sreće i prosperiteta.
Koristeći uže podijeljeno čvorovima na 12 jednakih dijelova, stari Egipćani su izgradili pravokutni trokut i pravi ugao. Zgodna i vrlo precizna metoda koju koriste geodeti za crtanje okomitih linija na tlu. Potrebno je uzeti gajtan i tri klina, konopac je postavljen u trougao tako da se jedna strana sastoji od 3 dijela, druga od 4 dijela i zadnja od pet takvih dionica. Kabel će se nalaziti u trouglu sa pravim uglom.
Ovo drevni način, koji su očito prije više hiljada godina koristili graditelji egipatskih piramida, zasniva se na činjenici da je svaki trougao, čije su stranice povezane kao 3:4:5, prema Pitagorinoj teoremi, pravougaonog oblika.
Euklid, Pitagora, Diofant i mnogi drugi su se bavili pronalaženjem pitagorinih trojki.[ 1]
Jasno je da ako (x, y, z ) Je pitagorina trojka, onda za bilo koju prirodnu k trostruko (kx, ky, kz) takođe će biti Pitagorina trojka. Konkretno, (6, 8, 10), (9, 12, 15) itd. su pitagorine trojke.
Kako se broj povećava, pitagorine trojke su sve rjeđe i sve ih je teže pronaći. Pitagorejci su izmislili metodu pronalaženja
takvih trojki i koristeći ih dokazao da postoji beskonačno mnogo pitagorinih trojki.
Trojke koje nemaju zajednički djelitelj veći od 1 nazivaju se najjednostavnijim.
Razmotrimo neka svojstva Pitagorinih trojki.[ 1]
Prema Pitagorinoj teoremi, ovi brojevi mogu poslužiti kao dužine nekog pravouglog trougla; stoga se a i b nazivaju "noge", a c - "hipotenuza".
Jasno je da ako su a, b, c trojka Pitagorinih brojeva, onda su pa, pb, pc, gdje je p cjelobrojni faktor, pitagorini brojevi.
I obrnuto je tačno!
Stoga ćemo prvo istražiti samo trojke koprostih Pitagorinih brojeva (ostale se dobijaju iz njih množenjem cijelim faktorom p).
Pokažimo da u svakoj od ovih trojki a, b, c, jedan od "kaseta" mora biti paran, a drugi neparan. Mi ćemo se raspravljati "kontradikcijom". Ako su obje "krake" a i b parne, onda će broj a biti paran 2 + u 2 , a otuda i "hipotenuza". Ali to je u suprotnosti sa činjenicom da brojevi a, b i c nemaju zajedničke faktore, budući da tri parna broja imaju zajednički faktor 2. Dakle, barem jedan od "kaseta" a i b je neparan.
Ostaje još jedna mogućnost: obje "noge" su neparne, a "hipotenuza" je parna. Lako je dokazati da to ne može biti, jer ako su "noge" oblika 2 x + 1 i 2y + 1, onda je zbir njihovih kvadrata
4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, tj. je broj koji, kada se podijeli sa 4, daje ostatak od 2. U međuvremenu, kvadrat bilo kojeg parnog broja mora biti djeljiv sa 4 bez ostatka.
To znači da zbir kvadrata dva neparna broja ne može biti kvadrat parnog broja; drugim riječima, naša tri broja nisu pitagorina.
ZAKLJUČAK:
Dakle, iz "noga" a, u jednu parnu, a drugu neparnu. Dakle, broj a 2 + u 2 je neparan, što znači da je "hipotenuza" s također neparna.
Pitagora je pronašao formule koje se u modernoj simbolici mogu napisati na sljedeći način: a = 2n + 1, b = 2n (n + 1), c = 2 n 2 + 2n + 1, gdje je n cijeli broj.
Ovi brojevi su pitagorine trojke.
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Izvođenje obrazaca za pronalaženje Pitagorinih brojeva.
Evo sljedećih pitagorinih trojki:
- 3, 4, 5; 9+16=25.
- 5, 12, 13; 25+144=225.
- 7, 24, 25; 49+576=625.
- 8, 15, 17; 64+225=289.
- 9, 40, 41; 81+1600=1681.
- 12, 35, 37; 144+1225=1369.
- 20, 21, 29; 400+441=881
Lako je vidjeti da množenjem svakog broja Pitagorine trojke sa 2, 3, 4, 5, itd., dobijamo sljedeće trojke.
- 6, 8, 10;
- 9,12,15.
- 12, 16, 20;
- 15, 20, 25;
- 10, 24, 26;
- 18, 24, 30;
- 16, 30, 34;
- 21, 28, 35;
- 15, 36, 39;
- 24, 32, 40;
- 14, 48, 50;
- 30, 40, 50 itd.
Oni su takođe pitagorini brojevi /
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Svojstva pitagorinih brojeva.
- Gledajući Pitagorine brojeve, video sam nekoliko svojstava:
- 1) Jedan od Pitagorinih brojeva mora biti višekratnik tri;
- 2) drugi od njih mora biti višestruki od četiri;
- 3) I treći od Pitagorinih brojeva mora biti višekratnik pet;
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Zaključak.
Geometrija je, kao i druge nauke, nastala iz potreba prakse. Sama riječ "geometrija" je grčka, a u prijevodu znači "premjeravanje".
Ljudi su se vrlo rano suočili sa potrebom mjerenja zemljišta. Već 3-4 hiljade godina pne. svaki komad plodne zemlje u dolinama Nila, Eufrata i Tigra, reka Kine bio je važan za živote ljudi. Za to je bila potrebna određena količina geometrijskog i aritmetičkog znanja.
Postepeno su ljudi počeli mjeriti i proučavati svojstva složenijih geometrijskih oblika.
I u Egiptu i u Babilonu izgrađeni su kolosalni hramovi, čija je izgradnja mogla biti izvedena samo na osnovu preliminarnih proračuna. Izgrađeni su i vodovodi. Sve je to zahtijevalo crteže i proračune. Do tada su bili dobro poznati posebni slučajevi Pitagorine teoreme, već su znali da ako uzmemo trouglove sa stranicama x, y, z, gdje su x, y, z cijeli brojevi takvi da x 2 + y 2 = z 2 , tada će ovi trokuti biti pravokutni.
Sva ova znanja su direktno primenjena u mnogim sferama ljudskog života.
Tako do sada veliko otkriće naučnika i filozofa antike Pitagore nalazi direktnu primenu u našem životu.
Izgradnja kuća, puteva, svemirski brodovi, automobili, alatne mašine, naftovodi, avioni, tuneli, podzemne željeznice i još mnogo, mnogo više. Pitagorine trojke nalaze direktnu primjenu u dizajnu mnogih stvari koje nas okružuju u svakodnevnom životu.
I umovi naučnika nastavljaju da traže nove verzije dokaza Pitagorine teoreme.
- V Kao rezultat svog rada, uspio sam:
- 1. Saznajte više o Pitagori, njegovom životu, bratstvu Pitagorejaca.
- 2. Upoznajte se sa istorijom Pitagorine teoreme.
- 3. Naučite o Pitagorinim brojevima, njihovim svojstvima, naučite ih pronaći i primijeniti u praksi.
Wormyak Vitalij Gennadievich
Krasnodarska teritorija, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred
Pitagorini brojevi
Naučni savetnik: Manko Galina Vasiljevna, profesor matematike MOBU srednja škola №14
Književnost.
- Zanimljiva algebra. JA I. Perelman (str. 117-120)
- www.garshin.ru
- image.yandex.ru
4. Anosov D.V. Pogled na matematiku i nešto iz nje. - M.: MTsNMO, 2003.
5. Dječija enciklopedija. - M .: Izdavačka kuća Akademije pedagoških nauka RSFSR, 1959.
6. Stepanova L.L. Odabrana poglavlja osnovne teorije brojeva. - M.: Prometej, 2001.
7. V. Serpinsky Pitagorini trouglovi. - M.: Učpedgiz, 1959. S. 111
Napredak istraživanja Historijska stranica; Pitagorina teorema; Dokažite da jedna od "noga" mora biti parna, a druga neparna; Izvođenje obrazaca za pronalaženje Pitagorinih brojeva; Otkriti svojstva Pitagorinih brojeva;
Uvod O Pitagori i njegovom životu čuo sam u petom razredu na času matematike, a zanimala me je izjava „Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima“. Dok sam proučavao Pitagorinu teoremu, zanimali su me Pitagorini brojevi. Postavio sam cilj istraživanja: saznati više o Pitagorinoj teoremi i "Pitagorinim brojevima".
Istina je vječna, kako će je slab čovjek spoznati! A sada teorema Pitagore Verna, kao u njegovom dalekom veku
Iz istorije pitagorejskih brojeva. Matematička knjiga drevne Kine Chu-pei: "Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4".
Pitagorejski brojevi među starim Egipćanima Kantor (najveći njemački istoričar matematike) vjeruje da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. pne, za vrijeme kralja Amenemhata (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapts, ili "zatezači užeta", gradili su prave uglove koristeći pravougaone trouglove sa stranicama 3; 4 i 5.
Pitagorina teorema u Babiloniji „Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije bila otkriće matematike, već njena sistematizacija i potkrepljenje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim pojmovima postali su egzaktna nauka."
Svaki trokut, stranice su povezane kao 3: 4: 5, prema poznatoj Pitagorinoj teoremi, - pravougaoni, jer je 3 2 + 4 2 = 5 2. Pored brojeva 3,4 i 5, postoji , kao što znate, beskonačan skup pozitivnih cijelih brojeva a , v i s, koji zadovoljavaju odnos A 2 + v 2 = s 2. Ovi brojevi se nazivaju Pitagorini brojevi
Prema Pitagorinoj teoremi, ovi brojevi mogu poslužiti kao dužine nekog pravouglog trougla; stoga se a i b nazivaju "noge", a c - "hipotenuza". Jasno je da ako su a, b, c trojka Pitagorinih brojeva, onda su pa, pb, pc, gdje je p cjelobrojni faktor, pitagorini brojevi. I obrnuto je tačno! Stoga ćemo prvo istražiti samo trojke koprimenih Pitagorinih brojeva (ostale se iz njih dobivaju množenjem cijelim faktorom p)
Zaključak! Dakle, od brojeva a i do jedan je paran, a drugi je neparan, što znači da je i treći broj neparan.
Evo sledećih pitagorinih trojki: 3, 4, 5; 9 + 16 = 25. 5, 12, 13; 25 + 144 = 169. 7, 24, 25; 49 + 576 = 625. 8, 15, 17; 64 + 225 = 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 = 841
Lako je vidjeti da množenjem svakog broja Pitagorine trojke sa 2, 3, 4, 5, itd., dobijamo sljedeće trojke. 6, 8, 10; 9.12.15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 itd. Oni su takođe pitagorini brojevi.
Osobine Pitagorinih brojeva Razmatrajući Pitagorine brojeve, video sam nekoliko svojstava: 1) Jedan od Pitagorinih brojeva mora biti višekratnik tri; 2) jedno od njih mora biti višestruko od četiri; 3) I drugi od Pitagorinih brojeva mora biti višekratnik pet;
Praktična primjena Pitagorinih brojeva
Zaključak: Kao rezultat svog rada, uspio sam 1. Saznajte više o Pitagori, njegovom životu, bratstvu Pitagorejaca. 2. Upoznajte se sa istorijom Pitagorine teoreme. 3. Naučite o Pitagorinim brojevima, njihovim svojstvima, naučite ih pronaći. Empirijski - eksperimentalno odgoditi pravi ugao koristeći Pitagorine brojeve.
Svojstva
Pošto jednačina x 2 + y 2 = z 2 homogena, pri množenju x , y i z za isti broj dobijate još jednu Pitagorinu trojku. Pitagorina trojka se zove primitivno, ako se ne može dobiti na ovaj način, odnosno - koprosti brojevi.
Primjeri
Neke Pitagorine trojke (poređane uzlaznim redoslijedom od maksimalnog broja, primitivno istaknuto):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Na osnovu svojstava Fibonačijevih brojeva, od njih možete sastaviti, na primjer, sljedeće Pitagorine trojke:
.Priča
Pitagorine trojke su poznate od davnina. U arhitekturi drevnih mezopotamskih nadgrobnih spomenika nalazi se jednakokraki trougao sastavljen od dva pravougaona sa stranicama od 9, 12 i 15 lakata. Piramide faraona Snefrua (XXVII vek pne) izgrađene su od trouglova sa stranicama 20, 21 i 29, kao i od 18, 24 i 30 tuceta egipatskih lakata.
vidi takođe
Linkovi
- E. A. Gorin Potencije prostih brojeva u pitagorinim trojkama // Matematičko obrazovanje... - 2008. - V. 12. - S. 105-125.
Wikimedia fondacija. 2010.
Pogledajte šta su "pitagorini brojevi" u drugim rječnicima:
Trougao prirodnih brojeva tako da je trokut, čije su stranice proporcionalne (ili jednake) ovim brojevima, pravougaonik, na primjer. tri broja: 3, 4, 5... Veliki enciklopedijski rječnik
Trokuta takvih prirodnih brojeva da je trokut, čije su stranice proporcionalne (ili jednake) ovim brojevima, pravougaonik, na primjer, trokuta brojeva: 3, 4, 5. * * * PITAGORSKI BROJEVI PITAGORSKI BROJEVI , trostruki takvih prirodnih brojeva da ... ... enciklopedijski rječnik
Trojke prirodnih brojeva tako da je trougao čije su stranice proporcionalne (ili jednake) ovim brojevima pravougaonog oblika. Prema teoremi suprotstavljenoj Pitagorinoj teoremi (vidi Pitagorinu teoremu), za ovo je dovoljno da oni ... ...
Trojke pozitivnih cijelih brojeva x, y, z, koje zadovoljavaju jednačinu x2 + y 2 = z2. Sva rješenja ove jednadžbe, a time i svi P. brojevi, izraženi su formulama x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, gdje su a, b proizvoljni pozitivni cijeli brojevi (a> b). p. h ... Enciklopedija matematike
Trougao prirodnih brojeva tako da je trougao, dužine stranica kojima su proporcionalne (ili jednake) ovim brojevima, pravougaonik, na primer. tri broja: 3, 4, 5... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik
U matematici, Pitagorini brojevi (Pitagorine trojke) su skup od tri cijela broja koji zadovoljavaju Pitagorinu relaciju: x2 + y2 = z2. Sadržaj 1 Svojstva 2 Primjeri ... Wikipedia
Brojevi sa figurama su opšti naziv za brojeve povezane sa određenom geometrijskom figurom. Ovaj istorijski koncept datira još od Pitagorejaca. Vjerovatno je iz kovrčavih brojeva nastao izraz: "Da se broj na kvadrat ili na kocku." Sadržaj ... ... Wikipedia
Brojevi sa figurama su opšti naziv za brojeve povezane sa određenom geometrijskom figurom. Ovaj istorijski koncept datira još od Pitagorejaca. Postoje sljedeće vrste kovrčavih brojeva: Linearni brojevi brojevi koji se ne razlažu na faktore, odnosno njihove ... ... Wikipedia
- "Pi paradoks" je šala na temu matematike koja je bila u opticaju među studentima do 80-ih godina (zapravo, prije masovne distribucije mikrokalkulatora) i povezivala se sa ograničenom preciznošću proračuna trigonometrijskih funkcija i... . .. Wikipedia
- (grč. arithmetika, od arithmys broj) nauka o brojevima, prvenstveno o prirodnim (pozitivnim celim) brojevima i (racionalnim) razlomcima, i akcijama na njih. Posjedovanje dovoljno razvijenog koncepta prirodnog broja i sposobnosti ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Knjige
- Arhimedovo ljeto, ili Istorija Komonvelta mladih matematičara. Binarni sistem brojeva, Bobrov Sergej Pavlovič. Binarni sistem obračun, "Hanojska kula", potez viteza, magični kvadrati, aritmetički trougao, kovrčavi brojevi, kombinacije, koncept verovatnoća, Mobijusova traka i Klajnova boca...
Beskrovny I.M. jedan
1 OAO "Angstrem-M"
Cilj rada je razvoj metoda i algoritama za izračunavanje Pitagorinih trojki oblika a2 + b2 = c2. Proces analize je sproveden u skladu sa principima sistemskog pristupa. Uz matematičke modele koriste se grafički modeli koji prikazuju svaki član Pitagorine trojke u obliku složenih kvadrata, od kojih se svaki sastoji od skupa jediničnih kvadrata. Utvrđeno je da beskonačan skup Pitagorinih trojki sadrži beskonačan broj podskupova, koji se razlikuju prema razlici između vrijednosti b – c. Predlaže se algoritam za formiranje Pitagorinih trojki sa bilo kojom unaprijed određenom vrijednošću ove razlike. Pokazano je da Pitagorine trojke postoje za bilo koju vrijednost 3≤a
Pitagorine trojke
analiza sistema
matematički model
grafički model
1. Anosov D.N. Pogled na matematiku i nešto iz nje. - M.: MTsNMO, 2003.-- 24 str.: ilustr.
2. Ayerland K., Rosen M. Klasični uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
3. Beskrovny I.M. Analiza sistema i informacione tehnologije u organizacijama: Tutorial... - M.: RUDN, 2012.-- 392 str.
4. Simon Singh. Fermatova posljednja teorema.
5. Fermat P. Studije teorije brojeva i Diofantove analize. - M.: Nauka, 1992.
6. Yaptro. Ucoz, Dostupno na: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
Pitagorine trojke su kohorta od tri cijela broja koji zadovoljavaju Pitagorinu relaciju x2 + y2 = z2. Uopšteno govoreći, ovo je poseban slučaj Diofantovih jednačina, odnosno sistema jednačina u kojima je broj nepoznanica veći od broja jednačina. Poznati su odavno, još od vremena Babilona, odnosno mnogo prije Pitagore. A ime su dobili nakon što je Pitagora na njihovoj osnovi dokazao svoju čuvenu teoremu. Međutim, kako slijedi iz analize brojnih izvora u kojima se pitanje pitagorinih trojki dotiče u ovoj ili drugoj mjeri, pitanje postojećih klasa ovih trojki i o mogući načini njihovo formiranje.
Tako se u knjizi Simona Singha kaže: - "Pitagorini učenici i sljedbenici... ispričali su svijetu tajnu pronalaženja takozvanog Pitagorinog tri k." Međutim, nakon ovoga čitamo: - „Pitagorejci su sanjali da pronađu druge pitagorejske trojke, druge kvadrate, od kojih bi se mogao presavijati treći veliki kvadrat. ... Kako se broj povećava, pitagorine trojke su sve rjeđe i sve je teže pronaći ih. Pitagorejci su izmislili metodu za pronalaženje takvih trojki i koristeći je dokazali da postoji beskonačno mnogo pitagorejskih trojki."
U gornjem citatu istaknute su riječi koje izazivaju zabunu. Zašto su "pitagorejci sanjali da pronađu..." ako su "izmislili metodu pronalaženja takvih trojki..." i zašto za velike brojeve "sve teže ih je pronaći...".
U radu poznatog matematičara D.V. Anosov, izgleda da je željeni odgovor dat. - „Postoje trojke prirodnih (tj. pozitivnih cijelih brojeva) brojeva x, y, z tako da
x2 + y2 = z2. (jedan)
… Da li je moguće pronaći sva rješenja jednačine x2 + y2 = z2 u prirodnim brojevima? …Da. Odgovor je sljedeći: svako takvo rješenje može se predstaviti u obliku
x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),
gdje su l, m, n prirodni brojevi, sa m > n, ili u sličnom obliku, u kojem su x i y zamijenjeni. Može se reći malo kraće da su x, y, z iz (2) sa svim mogućim prirodnim brojevima l i m> n sva moguća rješenja za (1) do permutacije x i y. Na primjer, trojka (3, 4, 5) se dobija kada je l = 1, m = 2, n = 1. ... Očigledno su Vavilonci znali ovaj odgovor, ali kako su došli do njega nije poznato."
Matematičari su obično poznati po svojoj zahtjevnosti u svojim formulacijama. Ali, u ovom citatu, takva strogost nije uočena. Dakle, šta tačno: pronaći ili zamisliti? Očigledno, to su potpuno različite stvari. Ispod je red "svježe pečenih" trojki (dobijenih metodom opisanom u nastavku):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Nema sumnje da se svaki od ovih trojki može predstaviti u obliku relacije (2) i nakon toga se mogu izračunati vrijednosti l, m, n. Ali, ovo je nakon što su pronađene sve vrijednosti trojki. Ali šta je bilo prije toga?
Ne može se isključiti da su odgovori na ova pitanja odavno poznati. Ali iz nekog razloga još nisu pronađeni. Dakle, svrha ovog rada je sistematska analiza skupa poznatih primjera Pitagorinih trojki, traženje sistemotvornih odnosa u različitim grupama trojki i identifikacija sistemskih karakteristika karakterističnih za ove grupe, a zatim - razvoj jednostavni efikasni algoritmi za izračunavanje trojki sa unapred određenom konfiguracijom. Pod konfiguracijom podrazumijevamo odnos između količina koje čine triplet.
Kao alat, matematički aparat će se koristiti na nivou koji ne prelazi okvire matematike koja se predaje u srednja škola i analizu sistema zasnovanu na metodama navedenim u.
Izgradnja modela
Sa stanovišta sistemske analize, svaka Pitagorina trojka je sistem formiran od objekata, a to su tri broja i njihova svojstva. Njihov agregat, u kojem se objekti postavljaju u određene relacije i formiraju sistem sa novim svojstvima koja nisu inherentna ni pojedinačnim objektima ni bilo kom drugom skupu njih, gdje se objekti postavljaju u druge relacije.
U jednačini (1) objekti sistema su prirodni brojevi povezani jednostavnim algebarskim odnosima: lijevo od znaka jednakosti je zbir dva broja podignuta na stepen 2, desno je treći broj, također podignut na stepen 2. Odvojeni brojevi, lijevo od jednakosti, podignuti na stepen 2, ne nameću nikakva ograničenja na operaciju njihovog zbrajanja - rezultirajući zbir može biti bilo što. Ali, znak jednakosti, postavljen nakon operacije sabiranja, nameće sistemsko ograničenje na vrijednost ove sume: zbir mora biti takav broj da rezultat operacije vađenja kvadratnog korijena bude prirodan broj. I ovaj uslov nije ispunjen ni za jedan broj koji je zamijenjen u lijevoj strani jednakosti. Dakle, znak jednakosti, stavljen između dva člana jednačine i trećeg, pretvara tri člana u sistem. Nova karakteristika ovog sistema je uvođenje ograničenja na vrijednosti početnih brojeva.
Na osnovu oblika zapisa, Pitagorina trojka se može smatrati matematičkim modelom geometrijskog sistema koji se sastoji od tri kvadrata povezana relacijama sabiranja i jednakosti, kao što je prikazano na Sl. 1. Fig. 1 je grafički model sistema koji se razmatra, a njegov verbalni model je izjava:
Površina kvadrata sa dužinom stranice c može se bez ostatka podijeliti na dva kvadrata sa stranicama a i b, tako da je zbir njihovih površina jednak površini prvobitnog kvadrata, tj. tri veličine a, b i c su povezane odnosom
Grafički model dekompozicije kvadrata
U okviru kanona analize sistema, poznato je da ako matematički model adekvatno odražava svojstva određenog geometrijskog sistema, onda analiza svojstava samog ovog sistema omogućava da se razjasne svojstva njegovog matematičkog modela, da ih dublje razumiju, razjasne i, ako je potrebno, poboljšaju. Mi ćemo se pridržavati ovog puta.
Pojasnimo da se, prema principima sistemske analize, operacije sabiranja i oduzimanja mogu izvoditi samo na složenim objektima, odnosno objektima sačinjenim od skupa elementarnih objekata. Stoga ćemo svaki kvadrat percipirati kao figuru koja se sastoji od skupa elementarnih ili jediničnih kvadrata. Tada je uslov za dobijanje rešenja u prirodnim brojevima ekvivalentan prihvatanju uslova da je jedinični kvadrat nedeljiv.
Jedinični kvadrat je kvadrat u kojem je dužina svake strane jednaka jedan. To jest, kada je površina jediničnog kvadrata određena sljedećim izrazom.
Kvantitativni parametar kvadrata je njegova površina, određena brojem jediničnih kvadrata koji se mogu postaviti na datu površinu. Za kvadrat sa proizvoljnom x vrijednošću, izraz x2 definira površinu kvadrata formiranog od jediničnih segmenata x dužine. X2 jedinični kvadrati mogu se postaviti na površinu ovog kvadrata.
Gore navedene definicije mogu se uzeti kao trivijalne i očigledne, ali nisu. D.N. Anosov definiše pojam površine na drugačiji način: - „... površina figure jednaka je zbiru površina njenih dijelova. Zašto smo sigurni da je to tako? ... Zamišljamo figuru napravljenu od neke vrste homogenog materijala, tada je njena površina proporcionalna količini supstance koja se u njoj nalazi - njenoj masi. Nadalje se podrazumijeva da kada tijelo podijelimo na nekoliko dijelova, zbir njihovih masa jednak je masi prvobitnog tijela. To je razumljivo, jer se sve sastoji od atoma i molekula, a kako se njihov broj nije promijenio, nije se promijenila ni njihova ukupna masa... Zaista, zapravo, masa komada homogenog materijala proporcionalna je njegovoj zapremini; stoga, morate znati da je volumen "lista" koji ima oblik date figure proporcionalan njegovoj površini. Jednom riječju, ... da je površina figure jednaka zbroju površina njenih dijelova, u geometriji je to potrebno dokazati. ... U udžbeniku Kiseleva postojanje područja koje ima upravo ono svojstvo o kojem sada govorimo iskreno je postulirano kao neka vrsta pretpostavke, i rečeno je da je to zapravo tačno, ali mi to nećemo dokazivati. Dakle, Pitagorina teorema, ako se dokaže s područjima, u čisto logičkom smislu neće ostati potpuno dokazana."
Čini nam se da gore uvedene definicije jediničnog kvadrata uklanjaju ono što je naveo D.N. Anosovska nesigurnost. Doista, ako je veličina površine kvadrata i pravokutnika određena zbrojem jediničnih kvadrata koji ih ispunjavaju, onda kada se pravokutnik podijeli na proizvoljne dijelove koji su susjedni jedan drugom, površina pravokutnika je prirodno jednak zbiru svih njegovih dijelova.
Štaviše, uvedene definicije otklanjaju dvosmislenost upotrebe pojmova “podijeli” i “dodaj” u odnosu na apstraktne geometrijske figure. Zaista, šta znači podijeliti pravougaonik ili bilo koji drugi ravni oblik na dijelove? Ako je to komad papira, možete ga izrezati makazama. Ako zemljište- postaviti ogradu. Soba - stavite pregradu. Šta ako je to nacrtani kvadrat? Nacrtati liniju razdvajanja i izjaviti da je kvadrat podijeljen? Ali, nakon svega, D.I. Mendeljejev: "... Možete sve da izjavite, ali vi - idite i demonstrirajte!"
A kada koristite predložene definicije, "Podijelite figuru" znači podijeliti broj jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ovu figuru na dva (ili više) dijelova. Broj jediničnih kvadrata u svakom od ovih dijelova određuje njegovu površinu. Ovim dijelovima možete dati bilo koju konfiguraciju, ali zbroj njihovih površina uvijek će biti jednak površini originalne figure. Možda će matematičari ove argumente smatrati netačnim, onda ćemo ih prihvatiti kao pretpostavku. Ako su takve pretpostavke prihvatljive u Kiselevljevom udžbeniku, onda bi bio grijeh da ne koristimo takvu tehniku.
Prva faza analize sistema je identifikacija problemska situacija... Na početku ove faze ispitano je nekoliko stotina Pitagorinih trojki pronađenih u različitim izvorima. Istovremeno je skrenuta pažnja na činjenicu da se cijeli skup pitagorinih trojki koji se spominju u publikacijama može podijeliti u nekoliko grupa koje se razlikuju po konfiguraciji. Razlika u dužinama stranica originalnog i oduzetog kvadrata, odnosno vrijednost c-b, smatrat će se znakom specifične konfiguracije. Na primjer, publikacije često pokazuju trojke koje zadovoljavaju uvjet c-b = 1 kao primjer. Pretpostavimo da čitav skup takvih Pitagorinih trojki čini skup, koji ćemo nazvati "Klasa c-1", i analiziramo svojstva ove klase.
Razmotrimo tri kvadrata prikazana na slici, gdje je c dužina stranice redukovanog kvadrata, b je dužina stranice kvadrata koji treba oduzeti, a a je dužina stranice kvadrata formiranog iz njihove razlike. Na sl. 1 da kada se od površine redukovanog kvadrata oduzme površina kvadrata koja se oduzima, u ostatku ostaju dvije trake jediničnih kvadrata:
Da bi ovaj ostatak mogao formirati kvadrat, uslov
Ovi omjeri omogućavaju određivanje vrijednosti svih članova trojke za jedan dati broj c. Najmanji broj c koji zadovoljava relaciju (6) je broj c = 5. Dakle, određene su dužine sve tri strane kvadrata koji zadovoljavaju relaciju (1). Podsjetimo da je b vrijednost stranice srednjeg kvadrata
je izabran kada smo odlučili da formiramo srednji kvadrat smanjenjem stranice originalnog kvadrata za jedan. Zatim iz relacija (5), (6). (7) dobijamo sljedeću relaciju:
iz čega slijedi da odabrana vrijednost c = 5 jedinstveno postavlja vrijednosti b = 4, a = 3.
Kao rezultat toga, dobijeni su odnosi koji omogućavaju predstavljanje bilo koje Pitagorine trojke klase "c - 1" u takvom obliku, gdje su vrijednosti sva tri člana određene jednim specificiranim parametrom - vrijednošću c:
Dodajmo da se broj 5 u gornjem primjeru pojavio kao minimum od svih mogućih vrijednosti c za koje jednačina (6) ima rješenje u prirodnim brojevima. Sljedeći broj koji ima isto svojstvo je 13, zatim 25, zatim 41, 61, 85, itd. Kao što vidite, u ovom nizu brojeva, intervali između susjednih brojeva se intenzivno povećavaju. Tako, na primer, posle dozvoljene vrednosti sledeća dozvoljena vrednost, a posle sledeća dozvoljena vrednost, odnosno dozvoljena vrednost je udaljena više od pedeset miliona od prethodne!
Sada je jasno otkud ova fraza u knjizi: - "Kako se brojevi povećavaju, pitagorine trojke su sve manje uobičajene i postaje ih sve teže pronaći...". Međutim, ova izjava nije tačna. Treba samo pogledati Pitagorine trojke koje odgovaraju gornjim parovima susjednih vrijednosti c, jer jedna karakteristika odmah upada u oči - u oba para, u kojima su vrijednosti c razmaknute tako velikim razmacima, vrijednosti a ispadaju susjedni neparni brojevi. Zaista, za prvi par koji imamo
i za drugi par
Dakle, nisu same trojke one koje su "sve rjeđe", već se intervali između susjednih vrijednosti c povećavaju. Same pitagorejske trojke, kao što će biti pokazano u nastavku, postoje za bilo koji prirodan broj.
Sada razmotrimo trojke sljedeće klase - "Klasa c-2". Kao što se vidi sa sl. 1, kada se od kvadrata sa stranicom c oduzme kvadrat sa stranicom (c - 2), formira se ostatak u obliku zbira dvije jedinične trake. Vrijednost ove sume određena je jednadžbom:
Iz jednačine (10) dobijamo relacije koje definiraju bilo koji od beskonačnog skupa trojki klase "c-2":
Uslov za postojanje rješenja jednačine (11) u prirodnim brojevima je svaka takva vrijednost c za koju je a prirodan broj. Minimalna vrijednost c za koju postoji rješenje je c = 5. Tada je "početni" triplet za ovu klasu trojki određen skupom a = 4, b = 3, c = 5. To je, opet, klasični triplet Formira se 3, 4, 5, samo što je sada površina kvadrata koji treba oduzeti manja od površine ostatka.
I na kraju, hajde da analiziramo trojke klase C-8. Za ovu klasu trojki, oduzimanjem površine kvadrata od površine c2 originalnog kvadrata, dobijamo:
Zatim, iz jednačine (12) slijedi:
Minimalna vrijednost c pri kojoj rješenje postoji je c = 13. Pitagorina trojka sa ovom vrijednošću će poprimiti oblik 12, 5, 13. U ovom slučaju, opet, površina kvadrata koju treba oduzeti je manja od površina ostatka. A preuređivanjem oznaka na mjestima, dobijamo trojku 5, 12, 13, koja po svojoj konfiguraciji pripada klasi "c - 1". Čini se da dalja analiza drugih mogućih konfiguracija neće otkriti ništa suštinski novo.
Izvođenje projektnih omjera
U prethodnom dijelu, logika analize je razvijena u skladu sa zahtjevima sistemske analize u četiri od njenih pet glavnih faza: analiza problemske situacije, formiranje ciljeva, formiranje funkcija i formiranje strukture. Sada je vrijeme da se pređe na završnu, petu fazu – provjeru izvodljivosti, odnosno provjeru u kojoj mjeri su zacrtani ciljevi ostvareni. ...
Tabela 1 je prikazana ispod. 1, koji prikazuje vrijednosti pitagorinih trojki koje pripadaju klasi "c - 1". Većina trojki se nalazi u raznim publikacijama, ali trojke za vrijednosti jednake 999, 1001 nisu pronađene u poznatim publikacijama.
Tabela 1
Pitagorine trojke klase "s-1"
Može se provjeriti da sve trojke zadovoljavaju relaciju (3). Time je jedan od postavljenih ciljeva ostvaren. Relacije (9), (11), (13) dobijene u prethodnom odeljku omogućavaju formiranje beskonačnog skupa trojki, specificirajući jedini parametar c - stranu redukovanog kvadrata. Ovo je, naravno, konstruktivnija opcija od relacije (2), za čiju upotrebu treba proizvoljno postaviti tri broja l, m, n, koji imaju bilo koju vrijednost, pa tražiti rješenje, znajući samo da je na kraju, Pitagorina trojka će se sigurno dobiti, a koja je unapred nepoznata. U našem slučaju, konfiguracija formirane trojke je unaprijed poznata i potrebno je podesiti samo jedan parametar. Ali, nažalost, nema rješenja za svaku vrijednost ovog parametra. I morate unaprijed znati njegove dozvoljene vrijednosti. Dakle, rezultat je dobar, ali daleko od idealnog. Poželjno je dobiti takvo rješenje kako bi se pitagorine trojke mogle izračunati za bilo koji proizvoljno dat prirodan broj. U tu svrhu, vratimo se na četvrtu fazu – formiranje strukture dobijenih matematičkih relacija.
Budući da se izbor c kao osnovnog parametra za određivanje preostalih članova trojke pokazao nezgodnim, trebalo bi isprobati drugu opciju. Kao što možete vidjeti iz tabele. 1, izbor parametra a kao osnovnog čini se poželjnijim, jer su vrijednosti ovog parametra u nizu u nizu neparnih prirodnih brojeva. Nakon jednostavnih transformacija, odnose (9) dovodimo u konstruktivniji oblik:
Relacije (14) nam omogućavaju da pronađemo Pitagorinu trojku za bilo koju unaprijed određenu neparnu vrijednost a. Međutim, jednostavnost izraza za b omogućava izvođenje proračuna čak i bez kalkulatora. Zaista, odabirom, na primjer, broja 13, dobijamo:
A za broj 99, redom, dobijamo:
Relacije (15) omogućavaju da se dobiju vrijednosti sva tri člana Pitagorinog niza za bilo koje dato n, počevši od n = 1.
Sada razmotrimo pitagorejske trojke klase "c - 2". Table Slika 2 prikazuje deset takvih trojki kao primjer. Štaviše, u poznatim publikacijama pronađena su samo tri para trojki - 8, 15, 23; 12, 35, 36; i 16, 63, 65. Ispostavilo se da je to bilo dovoljno da se odrede obrasci po kojima se oni formiraju. Preostalih sedam pronađeno je iz prethodno izvedenih relacija (11). Radi lakšeg izračunavanja, ovi omjeri su transformirani tako da su svi parametri izraženi u terminima a. Iz (11) jasno proizilazi da sve trojke za klasu "c - 2" zadovoljavaju sljedeće relacije:
tabela 2
Pitagorine trojke klase "c-2"
Kao što možete vidjeti iz tabele. 2, cijeli beskonačan skup trojki klase "c - 2" može se podijeliti u dvije podklase. Za trojke u kojima je vrijednost a djeljiva sa 4 bez ostatka, vrijednosti b i c su neparne. Takve trojke sa GCD = 1 nazivaju se primitivnim. Za trojke za koje a nije djeljivo sa 4 u cijelim brojevima, sva tri člana trojke a, b, c su parna.
Sada pređimo na razmatranje rezultata analize treće od istaknutih klasa - klase "c - 8". Izračunati omjeri za ovu klasu, dobijeni iz (13), imaju oblik:
Relacije (20), (21) su suštinski identične. Jedina razlika je u izboru redoslijeda radnji. Ili, u skladu sa (20), odabire se željena vrijednost a (u ovom slučaju potrebno je da ova vrijednost bude djeljiva sa 4), zatim se određuju vrijednosti b i c. Ili, bira se proizvoljan broj, a zatim se iz relacija (21) određuju sva tri člana Pitagorine trojke. Table 3 prikazuje broj Pitagorinih trojki izračunatih na ovaj način. Međutim, izračunavanje vrijednosti Pitagorinih trojki može biti još lakše. Ako je poznata barem jedna vrijednost, onda se sve sljedeće vrijednosti određuju vrlo jednostavno sljedećim relacijama:
Tabela 3
Valjanost relacije (22) za sve može se provjeriti i trojkama iz tabele. 2 i drugi izvori. Kao primjer, u tabeli. 4, kurzivom ispisane trojke iz opširne tabele Pitagorinih trojki (10.000 trojki), izračunate na osnovu kompjuterskog programa prema relaciji (2), a podebljane su trojke izračunate prema relaciji (20). Ove vrijednosti su odsutne u navedenoj tabeli.
Tabela 4
Pitagorine trojke klase "c-8"
Shodno tome, za trojke forme mogu se koristiti sljedeći omjeri:
I za trojke poput<
Treba naglasiti da navedene klase trojki "c - 1", "c - 2", "c - 8" čine više od 90% prvih hiljadu trojki, iz date tabele. To daje razloga da se ove klase percipiraju kao osnovne. Dodajmo da pri izvođenju relacija (22), (23), (24) nismo koristili nikakva posebna svojstva brojeva proučavanih u teoriji brojeva (prosti, koprosti, itd.). Otkriveni obrasci formiranja Pitagorinih trojki su samo zbog sistemskih svojstava geometrijskih figura opisanih ovim trojkama - kvadrata, koji se sastoje od skupa jediničnih kvadrata.
Zaključak
Sada, kao što je Andrew Wiles rekao 1993. godine, "mislim da bih tu trebao stati." Postavljeni cilj je u potpunosti ostvaren. Pokazano je da je analiza svojstava matematičkih modela čija je struktura povezana s geometrijskim figurama uvelike pojednostavljena ako se u procesu analize, uz čisto matematičke proračune, uzmu i geometrijska svojstva proučavanih modela. u obzir. Pojednostavljenje se postiže, posebno, zbog činjenice da istraživač "vidi" željene rezultate bez izvođenja matematičkih transformacija.
Na primjer, jednakost
postaje očigledan bez transformacija na lijevoj strani, samo treba pogledati sl. 1, koji prikazuje grafički model ove jednakosti.
Kao rezultat toga, na osnovu izvršene analize, pokazano je da se za svaki kvadrat sa stranicama mogu pronaći kvadrati sa stranicama b i c, tako da je za njih zadovoljena jednakost i dobiju se relacije koje daju rezultate sa minimalnom količinom izračunavanja. :
za neparne vrijednosti a,
i - za parne vrijednosti.
Bibliografska referenca
Beskrovny I.M. SISTEMSKA ANALIZA SVOJSTVA PITAGOROVA DRVETA // Moderne znanstveno-intenzivne tehnologije. - 2013. - br. 11. - Str. 135-142;URL: http: // site / ru / article / view? Id = 33537 (datum pristupa: 20.03.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje "Akademija prirodnih nauka"