Kvadratna jednadžba je potpuna i nepotpuna kvadratna jednadžba. Kvadratne jednadžbe. Potpuna i nepotpuna kvadratna jednadžba. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema

Nastavljamo proučavati temu rješenje jednadžbi". Već smo se upoznali s linearnim jednadžbama, a sada ćemo se upoznati s kvadratne jednadžbe.

Prvo ćemo razumjeti što je kvadratna jednadžba, kako piše u opći pogled, i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim prelazimo na rješavanje potpunih jednadžbi, dobivamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Konačno, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično govoriti o kvadratnim jednadžbama definicijom kvadratne jednadžbe, kao i definicijama vezanim uz nju. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zato što je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Zvučna definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 +b x + c=0, a koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo navedenom primjeru, koristi se kratki oblik kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog osobitosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 naziva se reducirana kvadratna jednadžba. Inače, kvadratna jednadžba je nesveden.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednadžbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, njihovi vodeći koeficijenti su različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela s vodećim koeficijentom, možete prijeći na smanjenu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao izvorna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u reduciranu.

Primjer.

Iz jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednadžbu.

Odluka.

Dovoljno nam je izvršiti dijeljenje oba dijela izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednadžbe postoji uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 +b x+c=0 bila točno kvadratna, budući da s a=0 zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 zove se nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +0 x+c=0 , a ekvivalentna je jednadžbi a x 2 +c=0 . Ako je c=0 , odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0 , tada se može prepisati kao x 2 +b x=0 . A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, ni oboje. Otuda njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stavka proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 kada je b=0;
i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a x 2 \u003d 0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a·x 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0, koja se dobiva iz originala dijeljenjem njezina oba dijela brojem a koji nije nula. Očito je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema drugih korijena, što je objašnjeno, doista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da se za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 \u003d 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0, njen jedini korijen je x \u003d 0, stoga izvorna jednadžba ima jednu korijensku nulu.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prijenos člana s jedne strane jednadžbe na drugu s suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe brojem koji nije nula, daju ekvivalentnu jednadžbu. Stoga se mogu provesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

premjestiti c na desna strana, što daje jednadžbu a x 2 =−c ,
i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam da izvučemo zaključke o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uvjetu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , tada je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očit, to je broj, budući da. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , Dapače, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može pokazati, na primjer, proturječjem. Učinimo to.

Označimo upravo glasovne korijene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima drugi korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njezinih korijena pretvara jednadžbu u pravu brojčanu jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti omogućuju nam da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, pa oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti daje x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima omogućuju nam da prepišemo rezultirajuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti proizlazi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, budući da smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1 . To dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Sumirajmo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

nema korijena ako,
ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0 . Nakon prijenosa slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe s 9 , dolazimo do . Budući da je na desnoj strani dobiven negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 \u003d -9. Sada oba dijela podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje pozabaviti se rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 omogućuju rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, smješteni na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. To vam omogućuje da prijeđete s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentno jednadžbi oblika x (a x+b)=0 . A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Kako bismo konsolidirali gradivo, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Odluka.

Izvlačimo x iz zagrada, to daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Dobivenu linearnu jednadžbu rješavamo: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom nalazimo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se ona primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Pozabavimo se ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

Oba dijela ove jednadžbe možemo podijeliti brojem a koji nije nula, kao rezultat dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu.
Sada odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik.
U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe , koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo riješili u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

ako , tada jednadžba nema pravih rješenja;
ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njezin jedini korijen;
ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe i označena slovom D. Odavde je jasna bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuje se ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći zapis diskriminanta: . I zaključujemo:

ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , što se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočeni smo s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog kurikuluma. S negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par složeni konjugat korijene, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovdje se više radi o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre obično ne govorimo o složenim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju poželjno je prvo pronaći diskriminant prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, provjeriti je li nenegativan (inače možemo zaključiti da jednadžba nema realnih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje nam razmišljanje omogućuje pisanje algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, trebate:

koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunaj njegovu vrijednost;
zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravih korijena ako je diskriminant negativan;
izračunaj jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, dat će istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2 x−6=0 .

Odluka.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1 , b=2 i c=−6 . Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Budući da je 28>0, odnosno diskriminant veći od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih po formuli korijena , dobivamo , Ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako da oduzimanje predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Odluka.

Počinjemo s pronalaženjem diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Odluka.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate specificirati složene korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni su korijeni: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda škola obično odmah zapiše odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, te da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 a c omogućuje vam da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Izvadimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 − a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . To jest, znak D 1 je također pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, za rješavanje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, trebate

Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom odlomku.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Odluka.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati izvornu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

Odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što krenemo u izračun korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe"? Složite se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom odlomku uspjeli smo postići pojednostavljenje jednadžbe 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična se transformacija provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe obično se dijele apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 , dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0 .

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6 , tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0 .

U zaključku ovog odlomka napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela s −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2·x 2 −3·x+7=0 ide na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietinog teorema oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0, možete odmah reći da je zbroj njezinih korijena 7/3, a umnožak korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata: .

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Sadržaj

Vidi također: Rješavanje kvadratnih jednadžbi online

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako se izgradi graf funkcije
,
što je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada , graf prelazi os apscise (os) u dvije točke ().
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki ().
Kada je , graf ne prelazi x-os ().

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):

,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da je jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva stvarna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo dekompoziciju kvadratnog trinoma na faktore:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prelazi os x u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-os (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen dvaput razložen na faktore:
,
onda se takav korijen naziva višekratnikom. To jest, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Kvadratnu jednadžbu zapisujemo u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Stoga nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim

.

Graf funkcije ne prelazi os x. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne prelazi apscisu (os). Stoga nema pravih korijena.

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Vidi također:

Ova se tema u početku može činiti kompliciranom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se korijeni također nalaze kroz diskriminant. Ukupno postoje tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće tek nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opći pogled na kvadratnu jednadžbu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada se najprije napiše najveći stupanj, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje jednadžbu prepisati silaznim redoslijedom stupnja varijable.

Uvedemo notaciju. Oni su prikazani u donjoj tablici.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeći zapis.

Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Neka je ova formula označena brojem jedan.

Kada je jednadžba data, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:

rješenje će imati dva korijena;
odgovor će biti jedan broj;
Jednadžba uopće nema korijen.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi

Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je potpuna jednadžba. Uklonite li u njemu drugi ili treći pojam, dobit ćete nešto drugo. Ti se zapisi nazivaju i kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.

Štoviše, mogu nestati samo pojmovi za koje koeficijenti "b" i "c". Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminant i ovisnost broja korijena o njegovoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunao korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti dolje napisanu jednakost, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različiti znakovi. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava kompletna kvadratna jednadžba?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti takvu formulu.

Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, tada je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantne i varijabilne formule. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?

Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak i nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati one koje su već napisane za diskriminatorno i nepoznato.

Prvo, razmotrimo nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednadžbi treba izvući nepoznatu količinu iz zagrada i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi dolazi iz rješavanja Linearna jednadžba.

Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim trebate podijeliti s koeficijentom ispred nepoznatog. Ostaje samo izvući Korijen i ne zaboravite to dvaput zapisati s suprotnim predznacima.

Sljedeće su neke radnje koje vam pomažu naučiti kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme „Kvadrične jednadžbe (8. razred)“. Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

Najprije trebate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo izraz s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i zadnji - samo broj.

Ako se ispred koeficijenta "a" pojavi minus, onda to može zakomplicirati rad početniku u proučavanju kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu, sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga je riješena kako je opisano za formulu broj dva.

Nakon zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i ispod, rješenje kvadratnih jednadžbi počet će prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Sada je vrijeme za korištenje drugog koristan savjet i sve pomnoži s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminanta: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednadžba ima dva korijena. Treba ih izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njen diskriminant jednak je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminant dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, i to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično je već smatrano malo višim. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.