Dva jednaka protivnika igraju šah. Ekvivalentne jednadžbe i jednadžbe-posljedice. Ekvivalentne transformacije. Pojednostavljivanje formula

Odjeljak 2. Logička ekvivalencija formula. Normalni oblici za formule propozicionalne algebre

Omjer ekvivalencije

Uz pomoć tablica istinitosti moguće je ustanoviti za koje će skupove istinitih vrijednosti ulaznih varijabli formula uzeti istinitu ili lažnu vrijednost (kao i izjava koja ima odgovarajuću logičku strukturu), koje će formule biti tautologije ili proturječnosti, te također utvrditi jesu li dvije zadane formule ekvivalent.

U logici kažu da su dvije rečenice ekvivalentne ako su obje istinite ili netočne u isto vrijeme. Riječ "istovremeno" u ovoj frazi je višeznačna. Dakle, za rečenice "Sutra će biti utorak" i "Jučer je bila nedjelja" ova riječ ima doslovno značenje: u ponedjeljak su obje istinite, a u ostatku tjedna - obje su lažne. Za jednadžbe “ x = 2"i" 2x = 4"" U isto vrijeme "znači" na istim vrijednostima varijable". Prognoze "Sutra će padati kiša" i "Nije istina da sutra neće padati" istovremeno će se potvrditi (pokazati točnima) ili ne potvrditi (ispostaviti se lažnima). U suštini, ovo je jedna te ista prognoza, izražena u dva različita oblika, koja se može predstaviti formulama NS i . Ove formule istodobno uzimaju vrijednost "true" ili vrijednost "false". Za provjeru dovoljno je sastaviti tablicu istinitosti:

NS
1	0	1
0	1	0

Vidimo da su vrijednosti istine u prvom i posljednjem stupcu iste. Prirodno je smatrati da su takve formule, kao i rečenice koje im odgovaraju, ekvivalentne.

Formule F 1 i F 2 nazivaju se ekvivalentnima ako je njihov ekvivalent tautologija.

Ekvivalencija dviju formula piše se na sljedeći način: (čitaj: formula F 1 je ekvivalentna formuli F 2).

Postoje tri načina da provjerite jesu li formule ekvivalentne: 1) sastavite njihovu ekvivalentnost i pomoću tablice istinitosti provjerite nije li to tautologija; 2) za svaku formulu sastaviti tablicu istinitosti i usporediti konačne rezultate; ako u završnim stupcima s istim skupovima vrijednosti varijabli vrijednosti istinitosti obje formule će biti jednake, tada su formule ekvivalentne; 3) korištenjem ekvivalentnih transformacija.

Primjer 2.1: Saznajte jesu li formule ekvivalentne: 1),; 2),.

1) Prvom metodom ćemo odrediti ekvivalentnost, odnosno saznat ćemo je li ekvivalencija formula također tautologija.

Sastavimo ekvivalent formulama:. Rezultirajuća formula sadrži dvije različite varijable ( A i V) i 6 operacija: 1); 2); 3); 4) ; 5) ; 6). To znači da će odgovarajuća tablica istine imati 5 redaka i 8 stupaca:

A	V
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Iz završnog stupca tablice istinitosti može se vidjeti da je sastavljena ekvivalencija tautologija i, prema tome,.

2) Da bismo saznali jesu li formule ekvivalentne i jesu li ekvivalentne, koristimo drugu metodu, odnosno sastavljamo tablicu istinitosti za svaku od formula i uspoređujemo završne stupce. ( Komentar... Da bismo učinkovito koristili drugu metodu, potrebno je da sve sastavljene tablice istinitosti počinju na isti način, tj. skupovi vrijednosti varijabli bili su isti u odgovarajućim redovima .)

Formula ima dvije različite varijable i 2 operacije, što znači da odgovarajuća tablica istinitosti ima 5 redaka i 4 stupca:

A	V
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

Formula ima dvije različite varijable i 3 operacije, što znači da odgovarajuća tablica istinitosti ima 5 redaka i 5 stupaca:

A	V
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Uspoređujući završne stupce sastavljenih tablica istinitosti (budući da tablice počinju na isti način, možemo zanemariti skupove vrijednosti varijabli), vidimo da se ne podudaraju i stoga formule nisu ekvivalentne ().

Izraz nije formula (budući da se simbol "" ne odnosi ni na jednu logičku operaciju). Izražava stav između formula (kao i jednakost među brojevima, paralelizam između linija itd.).

Vrijedi teorem o svojstvima relacije ekvivalencije:

Teorem 2.1. Odnos ekvivalentnosti između formula propozicijske algebre:

1) refleksivno:;

2) simetrično: ako, onda;

3) tranzitivno: ako i, onda.

Zakoni logike

Često se nazivaju ekvivalentnosti formula u propozicijskoj logici zakonima logike... Nabrojimo najvažnije od njih:

1. - zakon identiteta.

2.- zakon isključene trećine

3. - zakon kontradikcije

4. - disjunkcija s nulom

5. - konjunkcija s nulom

6. - disjunkcija s jedinicom

7. - spoj s jednim

8. - zakon dvostruke negacije

9. - komutativnost veznika

10. - komutativnost disjunkcije

11. - asocijativnost veznika

12. - asocijativnost disjunkcije

13. - distributivnost veznika

14. - disjunkcijska distributivnost

15.- zakoni idempotencije

16. ; - zakoni apsorpcije

17. ; - de Morganovi zakoni

18. - zakon koji izražava implikaciju kroz disjunkciju

19. - zakon protupozicije

20.- zakoni koji izražavaju ekvivalentnost kroz druge logičke operacije

Zakoni logike se koriste za pojednostavljenje složenih formula i za dokazivanje da su formule jednako istinite ili netočne.

Ekvivalentne transformacije. Pojednostavljivanje formula

Ako se ista formula svugdje zamijeni u ekvivalentnim formulama umjesto neke varijable, tada će se i novodobivene formule također pokazati ekvivalentnima u skladu s pravilom zamjene. Na taj način se iz svake ekvivalencije može dobiti što više novih ekvivalencija.

Primjer 1: Ako u de Morganovom zakonu umjesto NS zamjena, a umjesto Y zamjenu, dobivamo novu ekvivalenciju. Valjanost dobivene ekvivalencije lako je provjeriti pomoću tablice istinitosti.

Ako bilo koja formula koja je dio formule F, zamijenjen formulom koja je ekvivalentna formuli, tada će rezultirajuća formula biti ekvivalentna formuli F.

Zatim se za formulu iz primjera 2 mogu napraviti sljedeće promjene:

- zakon dvostruke negacije;

- de Morganov zakon;

- zakon dvostruke negacije;

- zakon asocijativnosti;

- zakon idempotencije.

Svojstvom tranzitivnosti relacije ekvivalencije možemo to tvrditi .

Zamjena jedne formule drugom, njoj ekvivalentnom, naziva se ekvivalentna konverzija formule.

Pod, ispod pojednostavljenje formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije razumiju ekvivalentnu transformaciju koja vodi do formule koja ne sadrži negacije neelementarnih formula (posebno dvostruke negacije) ili ukupno sadrži manje znakova konjunkcije i disjunkcije od izvorne .

Primjer 2.2: Pojednostavimo formulu .

U prvom koraku primijenili smo zakon koji implikaciju pretvara u disjunkciju. U drugom koraku primijenili smo komutativni zakon. U trećem koraku primijenili smo zakon idempotencije. Četvrti je de Morganov zakon. A na petom - zakon dvostruke negacije.

Napomena 1... Ako je određena formula tautologija, tada je svaka formula koja joj je ekvivalentna također tautologija.

Dakle, ekvivalentne transformacije također se mogu koristiti za dokazivanje identične istinitosti određenih formula. Da bi se to postiglo, ova formula se mora svesti ekvivalentnim transformacijama na jednu od formula koje su tautologije.

Napomena 2... Neke se tautologije i ekvivalencije kombiniraju u parovima (zakon kontradikcije i zakon alternativnih, komutativnih, asocijativnih zakona itd.). U tim dopisima tzv princip dualnosti .

Zovu se dvije formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije ambivalentan ako se svaki od njih može dobiti od drugog zamjenom znakova, odnosno sa.

Načelo dualnosti kaže sljedeće:

Teorem 2.2: Ako su dvije formule koje ne sadrže znakove implikacije i ekvivalencije ekvivalentne, tada su i njihove dualne formule ekvivalentne.

Normalni oblici

Normalan oblik Sintaktički je nedvosmislen način pisanja formule koja implementira zadanu funkciju.

Koristeći dobro poznate zakone logike, svaka se formula može pretvoriti u ekvivalentnu formulu oblika , gdje i svaki je ili varijabla, ili negacija varijable, ili konjunkcija varijabli ili njihove negacije. Drugim riječima, svaka se formula može svesti na ekvivalentnu formulu jednostavnog standardnog oblika, koja će biti disjunkcija elemenata, od kojih je svaki konjunkcija zasebnih različitih logičkih varijabli, bilo s negativnim predznakom ili bez njega.

Primjer 2.3: U velikim formulama ili za višestruke transformacije uobičajeno je izostaviti znak veznika (po analogiji sa znakom množenja):. Vidimo da je nakon provedenih transformacija formula disjunkcija triju veznika.

Ovaj oblik se zove disjunktivni normalni oblik (DNF). Zaseban element DNF-a naziva se elementarna konjunkcija odnosno sastavne jedinice.

Slično, bilo koja formula može se svesti na ekvivalentnu formulu, koja će biti konjunkcija elemenata, od kojih će svaki biti disjunkcija logičkih varijabli sa ili bez negativnog predznaka. To jest, svaka se formula može svesti na ekvivalentnu formulu oblika , gdje i svaki je ili varijabla, ili negacija varijable, ili disjunkcija varijabli ili njihove negacije. Ovaj oblik se zove konjunktivni normalni oblik (CNF).

Primjer 2.4:

Zaseban element CNF-a naziva se elementarna disjunkcija ili sastavnica nule.

Očito, svaka formula ima beskonačno mnogo DNF-ova i CNF-ova.

Primjer 2.5: Pronađimo nekoliko DNF-ova za formulu .

Savršeni normalni oblici

SDNF (savršeni DNF) je DNF u kojem svaka elementarna konjunkcija sadrži sve elementarne tvrdnje, odnosno njihove negacije jednom, elementarne veznice se ne ponavljaju.

SKNF (savršeni CNF) je CNF u kojem svaka elementarna disjunkcija sadrži sve elementarne iskaze, ili njihove negacije jednom, elementarne disjunkcije se ne ponavljaju.

Primjer 2.6: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Formulirajmo karakteristične značajke SDNF (SKNF).

1) Svi su članovi disjunkcije (veznika) različiti;

2) Svi članovi svakog veznika (dizjunkcije) su različiti;

3) Niti jedan veznik (disjunkcija) ne sadrži i varijablu i njezinu negaciju;

4) Svaka konjunkcija (disjunkcija) sadrži sve varijable uključene u izvornu formulu.

Kao što vidimo, karakteristična obilježja (ali ne i oblici!) zadovoljavaju definiciju dualnosti, stoga je dovoljno pozabaviti se jednim oblikom da bismo naučili kako primiti oba.

Iz DNF (CNF), korištenjem ekvivalentnih transformacija, lako se može dobiti SDNF (SKNF). Budući da su pravila za dobivanje savršenih normalnih oblika također dualna, detaljno ćemo analizirati pravilo za dobivanje SDNF-a, te sami formulirati pravilo za dobivanje SKNF-a koristeći definiciju dualnosti.

Opće pravilo za redukciju formule na SDNF korištenjem ekvivalentnih transformacija:

Da bi se dala formula F, što nije identično lažno, za SDNF, dovoljno je:

1) dovesti je u neki DNF;

2) ukloniti članove disjunkcije koja sadrži varijablu zajedno s njezinom negacijom (ako postoji);

3) ukloniti sve identične članove disjunkcije osim jednog (ako ih ima);

4) ukloniti sve identične članove svakog veznika osim jednog (ako ih ima);

5) ako bilo koja konjunkcija ne sadrži varijablu iz broja varijabli uključenih u izvornu formulu, dodati pojam ovoj konjunkciji i primijeniti odgovarajući distributivni zakon;

6) ako rezultirajuća disjunkcija sadrži iste pojmove, upotrijebite recept 3.

Rezultirajuća formula je SDNF ove formule.

Primjer 2.7: Pronađite SDNF i SKNF za formulu .

Budući da je DNF za ovu formulu već pronađen (vidi primjer 2.5), počet ćemo dobivanjem SDNF-a:

2) u dobivenoj disjunkciji nema varijabli zajedno s njihovim negacijama;

3) u disjunkciju nema identičnih članova;

4) nema identičnih varijabli ni u jednoj konjunkciji;

5) prvi elementarni veznik sadrži sve varijable uključene u izvornu formulu, a drugi elementarni veznik nema varijablu z, pa dodajmo mu člana i primijenimo distributivni zakon:;

6) lako je vidjeti da su se u disjunkciji pojavili identični pojmovi, pa jedan uklanjamo (recept 3);

3) ukloniti jednu od istih disjunkcija: ;

4) u ostalim klauzulama nema identičnih članova;

5) niti jedna od elementarnih disjunkcija ne sadrži sve varijable uključene u izvornu formulu, stoga svaku od njih nadopunjujemo veznikom:;

6) u rezultirajućem vezniku nema identičnih disjunkcija, stoga je pronađeni oblik veznika savršen.

Budući da u agregatu formule SKNF i SDNF F 8 članova, najvjerojatnije su točno pronađeni.

Svaka izvršna (pobitna) formula ima jedan SDNF i jedan jedinstveni SKNF. Tautologija nema SKNF, a kontradikcija nema SDNF.

Definicija. Dvije jednadžbe f 1 (x) = g 1 (x) i f 2 (x) = g 2 (x) nazivaju se ekvivalentnima ako se skupovi njihovih korijena podudaraju.

Na primjer, jednadžbe x 2 - 9 = 0 i (2 NS + 6)(NS- 3) = 0 su ekvivalentni, jer oba imaju brojeve 3 i -3 kao korijene. Jednadžbe (3 NS + 1)-2 = x 2- + 1 i x 2+ 1 = 0, budući da oba nemaju korijena, tj. njihovi se skupovi korijena podudaraju.

Definicija. Zamjena jednadžbe s ekvivalentnom jednadžbom naziva se ekvivalentna transformacija.

Otkrijmo sada koje transformacije omogućuju dobivanje ekvivalentnih jednadžbi.

Teorem 1. Neka jednadžba f (x) i g (x) dano na setu i h(x) je izraz definiran na istom skupu. Zatim jednadžbe f (x) = g (x)(1) i f (x) + h(x) =g (x) + h(x) (2) su ekvivalentni.

Dokaz. Označimo sa T 1 - skup rješenja jednadžbe (1), i kroz T 2 - skup rješenja jednadžbe (2). Tada će jednadžbe (1) i (2) biti ekvivalentne ako T 1 = T 2. Da bismo se u to uvjerili, potrebno je pokazati da bilo koji korijen od T 1 je korijen jednadžbe (2) i, obrnuto, bilo koji korijen od T 2 je korijen jednadžbe (1).

Neka broj a je korijen jednadžbe (1). Zatim a? T 1, a kada se zamijeni u jednadžbu (1) pretvara je u pravu brojčanu jednakost f (a) = g (a) i izraz h (x) pretvara u numerički izraz h(a), što ima smisla na setu X. Dodajte objema stranama istinske jednakosti f (a) = g (a) numerički izraz h(a). Dobivamo, prema svojstvima pravih brojevnih jednakosti, pravu brojevnu jednakost f (a) + h(a) =g (a) + h(a), što označava da je broj a je korijen jednadžbe (2).

Dakle, dokazano je da je svaki korijen jednadžbe (1) ujedno i korijen jednadžbe (2), tj. T 1 s T 2.

Neka sada a - korijen jednadžbe (2). Zatim a? T 2 a kada se zamijeni u jednadžbu (2) pretvara je u pravu brojčanu jednakost f (a) + h(a) =g (a) + h(a). Objema stranama ove jednakosti dodajte brojčani izraz - h(a), Dobivamo pravu brojčanu jednakost f (x) = g (x),što ukazuje da je broj a - korijen jednadžbe (1).

Dakle, dokazano je da je svaki korijen jednadžbe (2) ujedno i korijen jednadžbe (1), tj. T 2 s T 1.

Jer T 1 s T 2 i T 2 s T 1, zatim po definiciji jednakih skupova T 1= T 2, što znači da su jednadžbe (1) i (2) ekvivalentne.

Ovaj se teorem može formulirati drugačije: ako na obje strane jednadžbe s domenom definicije x dodamo isti izraz s varijablom, definiranom na istom skupu, tada dobivamo novu jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Ovaj teorem podrazumijeva sljedeće posljedice koje se koriste za rješavanje jednadžbi:

1. Ako se jedan ili drugi broj doda na obje strane jednadžbe, onda ćemo dobiti jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

2. Ako se bilo koji pojam (brojčani izraz ili izraz s varijablom) prenese iz jednog dijela jednadžbe u drugi, mijenjajući predznak pojma u suprotan, tada dobivamo jednadžbu koja je ekvivalentna ovoj.

Teorem 2. Neka jednadžba f (x) = g (x) dano na setu x i h (x) - izraz koji je definiran na istom skupu i ne nestaje ni za jednu vrijednost NS mnoštva X. Zatim jednadžbe f (x) = g (x) i f (x) h(x) =g (x) h(x) su ekvivalentni.

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema 1.

Teorem 2 može se formulirati drugačije: ako su obje strane jednadžbe s domenom x pomnožimo s istim izrazom, koji je definiran na istom skupu i na njemu ne nestaje, tada dobivamo novu jednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Iz ovog teorema slijedi sljedeći zaključak: ako se obje strane jednadžbe pomnože (ili podijele) s istim brojem različitim od nule, tada dobivamo jednadžbu ekvivalentnu zadanoj jedinici.

Rješavanje jednadžbi u jednoj varijabli

Riješimo jednadžbu 1- x/3 = x/6, x ? R i opravdati sve transformacije koje ćemo izvesti u procesu rješavanja.

Transformacije	Obrazloženje za konverziju
1. Dovedemo izraze s lijeve i desne strane jednadžbe na zajednički nazivnik: (6-2 NS)/ 6 = NS/6	Provedena identična transformacija izraza na lijevoj strani jednadžbe.
2. Odbacite zajednički nazivnik: 6-2 NS = NS	Množenjem obje strane jednadžbe sa 6 (teorem 2), dobili smo jednadžbu koja je ekvivalentna zadanoj.
3. Izraz -2x prenosi se na desnu stranu jednadžbe s suprotnim predznakom: 6 = NS+2NS.	Koristili smo korolar iz teorema 1 i dobili jednadžbu ekvivalentnu prethodnoj, a time i zadanoj.
4. Slične članove dajemo na desnoj strani jednadžbe: 6 = 3 NS.	Izvršili su identičnu transformaciju izraza.
5. Podijelite obje strane jednadžbe s 3: NS = 2.	Koristili smo korolar iz teorema 2, dobili smo jednadžbu ekvivalentnu prethodnoj, a time i zadanoj.

Budući da su sve transformacije koje smo izvršili prilikom rješavanja ove jednadžbe bile ekvivalentne, može se tvrditi da je 2 korijen ove jednadžbe.

Ako se u procesu rješavanja jednadžbe ne ispune uvjeti iz teorema 1 i 2, može doći do gubitka korijena ili pojave stranih korijena. Stoga je važno, prilikom transformacije jednadžbe kako bi se dobila jednostavnija, osigurati da one dovode do jednadžbe koja je ekvivalentna ovoj.

Razmotrimo, na primjer, jednadžbu x (x - 1) = 2x, x? R... Podijelimo oba dijela na NS, dobivamo jednadžbu NS - 1 = 2, odakle NS= 3, to jest, ova jednadžba ima jedan korijen - broj 3. Ali je li to istina? Lako je vidjeti da ako u zadanoj jednadžbi umjesto varijable NS zamijeniti 0, pretvorit će se u pravu brojčanu jednakost 0 · (0 - 1) = 2 · 0. To znači da je 0 korijen ove jednadžbe, koju smo izgubili tijekom transformacije. Analizirajmo ih. Prvo što smo učinili bilo je podijeliti obje strane jednadžbe na NS, oni. pomnoženo izrazom x ali kod NS= Oh, nema smisla. Posljedično, nismo ispunili uvjet iz teorema 2, što je dovelo do gubitka korijena.

Kako bismo bili sigurni da se skup korijena ove jednadžbe sastoji od dva broja 0 i 3, dajemo joj još jedno rješenje. Pomakni izraz 2 NS s desna na lijevo: x (x- 1) - 2x = 0. Izvlačimo na lijevoj strani jednadžbe izvan zagrada NS i dati slične članove: x (x - 3) = 0. Umnožak dva faktora jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli, dakle x= 0 ili NS- 3 = 0. Stoga nalazimo da su korijeni ove jednadžbe 0 i 3.

U početnom kolegiju matematike teorijska osnova za rješavanje jednadžbi je odnos između komponenti i rezultata radnji. Na primjer, rješavanje jednadžbe ( NS 9): 24 = 3 opravdano je na sljedeći način. Budući da je nepoznanica u dividendi, da bismo pronašli dividendu, djelitelj se mora pomnožiti s kvocijentom: NS 9 = 24 3, ili NS 9 = 72.

Da biste pronašli nepoznati faktor, proizvod se mora podijeliti s poznatim faktorom: x = 72:9, ili x = 8, dakle, korijen ove jednadžbe je broj 8.

Vježbe

1 ... Odredite koji od sljedećih unosa su jednadžbe s jednom varijablom:

a) ( NS-3) 5 = 12 NS; d) 3 + (12-7) 5 = 16;

b) ( NS-3) 5 = 12; e) ( NS-3) y =12NS;

v) ( NS-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.

2. Jednadžba 2 NS 4 + 4NS 2 -6 = 0 zadan je na skupu prirodnih brojeva. Objasni zašto je broj 1 korijen ove jednadžbe, ali 2 i -1 nisu njezini korijeni.

3. U jednadžbi ( NS+ ...)(2NS + 5) - (NS - 3)(2NS+ 1) = 20 jedan broj se briše i zamjenjuje točkama. Pronađite izbrisani broj ako znate da je korijen ove jednadžbe broj 2.

4. Formulirajte uvjete pod kojima:

a) broj 5 je korijen jednadžbe f (x) = g (x);

b) broj 7 nije korijen jednadžbe f (x) = g (x).

5. Saznajte koji su od sljedećih parova jednadžbi ekvivalentni na skupu realnih brojeva:

a) 3 + 7 NS= -4 i 2 (3 + 7L NS) = -8;

6)3 + 7NS= -4 i 6 + 7 NS = -1;

c) 3 + 7 NS= -4 i l NS + 2 = 0.

6. Formulirajte svojstva relacije ekvivalencije jednadžbi. Koji se od njih koriste u procesu rješavanja jednadžbe?

7. Riješite jednadžbe (sve su dane na skupu realnih brojeva) i opravdajte sve transformacije izvršene u procesu njihovog pojednostavljivanja:

a) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;

b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;

u 2- NS)2-NS (NS + 1,5) = 4.

8. Učenik je riješio jednadžbu 5 NS + 15 = 3 NS+ 9 na sljedeći način: izvadio sam broj 5 s lijeve strane, a broj 3 s desne strane, dobio sam jednadžbu 5 (x+ 3) = 3(NS+ 3), a zatim podijeliti oba dijela u izraz NS+ 3. Dobio je jednakost 5 = 3 i zaključio da ova jednadžba nema korijena. Je li učenik u pravu?

9. Riješite jednadžbu 2 / (2- x) - ½ = 4 / ((2- x)x); NS? R... Je li broj 2 korijen ove jednadžbe?

10. Riješite jednadžbe koristeći odnos između komponenti i rezultata radnje:

a) ( NS+ 70) 4 = 328; c) (85 NS + 765): 170 = 98;

b) 560: ( NS+ 9) - 56; G) ( NS - 13581):709 = 306.

11. Rješavanje zadataka aritmetičkim i algebarskim metodama:

a) Prva polica ima 16 knjiga više od druge. Ako uklonite 3 knjige sa svake police, tada će na prvoj polici biti jedan i pol puta više knjiga nego na drugoj. Koliko knjiga ima na svakoj polici?

b) Biciklist je cijeli put od kampa do kolodvora, što je 26 km, prešao za 1 sat i 10 minuta. Prvih 40 minuta ovog vremena vozio je istom brzinom, a ostatak vremena - brzinom od 3 km / h manjom. Pronađite brzinu biciklista na prvom dijelu puta.

Definicija. Dvije formule algebre logike A i B se zovu ekvivalent, ako uzimaju iste logičke vrijednosti na bilo kojem skupu vrijednosti uključenih u formule elementarnih iskaza.

Ekvivalentnost formula bit će označena znakom i notacijom A V znači da formule A i B su ekvivalentni.

Na primjer, formule su ekvivalentne:

Formula A se zove identično istinito (ili tautologija) ako uzima vrijednost 1 za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega.

Na primjer, formule , .

Formula A pozvao identično lažno, ako uzima vrijednost 0 za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega.

Na primjer, formula je identično netočna.

Jasno je da je odnos ekvivalencije refleksivan, simetričan i tranzitivan.

Između pojmova ekvivalencije i ekvivalencije postoji sljedeća veza: ako formule A i V su ekvivalentne, onda formula A V- tautologija, i obrnuto, ako je formula A V- tautologija, zatim formule A i V su ekvivalentni.

Najvažnije ekvivalencije algebre logike mogu se podijeliti u tri skupine.

1. Osnovne ekvivalencije:

Dokažimo jedan od zakona apsorpcije. Razmotrite formulu . Ako u ovoj formuli a= 1 tada, očito, i dok je konjunkcija dva istinita iskaza. Sada neka formula A x = 0. Ali tada će, po definiciji, operacija veznika biti lažna i konjunkcija . Dakle, u svim slučajevima, vrijednosti formule A odgovaraju vrijednostima a, i stoga A x.

2. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije kroz druge:

Jasno je da se ekvivalentnosti 5 i 6 dobivaju iz ekvivalentnosti 3 i 4, ako uzmemo negative iz oba dijela potonjeg i koristimo se zakonom uklanjanja dvostrukih negativa. Dakle, prve četiri ekvivalencije trebaju dokaz. Dokazat ćemo dva od njih: prvi i treći.

Budući da s istim logičkim vrijednostima NS i na formule,, istinite, zatim veznik . Stoga u ovom slučaju oba dijela ekvivalencije imaju iste prave vrijednosti.

Neka sada NS i na imaju različita logička značenja. Tada će jednakost i jedna od dvije implikacije ili biti netočna. U isto vrijeme

bit će lažna i konjunkcija ... Dakle, u ovom slučaju, oba dijela ekvivalencije imaju iste logičke vrijednosti.

Razmotrite ekvivalentnost 3. Ako NS i na uzeti prave vrijednosti u isto vrijeme, tada će konjunkcija biti istinita x & y i lažna negacija konjunkcije. U isto vrijeme, i i i bit će lažni, a time i disjunkcija .

Sada neka barem jedna od varijabli NS ili na poprima vrijednost false. Tada će konjunkcija biti lažna x & y i njegovo istinsko poricanje. U isto vrijeme, negacija barem jedne od varijabli bit će istinita, pa će stoga i disjunkcija biti istinita .

Stoga u svim slučajevima oba dijela ekvivalencije 3 poprimaju iste logičke vrijednosti.

Slično se dokazuju ekvivalentnosti 2 i 4.

Iz ekvivalencija ove skupine slijedi da se bilo koja formula algebre logike može zamijeniti ekvivalentnom formulom koja sadrži samo dvije logičke operacije: konjunkciju i negaciju ili disjunkciju i negaciju.

Daljnje isključivanje logičkih operacija je nemoguće. Dakle, ako koristimo samo veznik, onda već takvu formulu kao negaciju NS ne može se izraziti operacijom veznika.

Međutim, postoje operacije pomoću kojih se može izraziti bilo koja od pet logičkih operacija koje koristimo. Takva operacija je npr. Schaeffer Stroke operacija. Ova operacija je označena simbolom x | y a određuje se sljedećom tablicom istinitosti:

x	y	x \| y

Očito, postoje ekvivalentnosti:

2) x & y (x | y) | (x | y).

Iz ove dvije ekvivalencije proizlazi da se bilo koja formula algebre logike može zamijeniti ekvivalentnom formulom koja sadrži samo operaciju "Schaefferov potez".

Imajte na umu da.

Operacija se može unijeti na sličan način .

3. Ekvivalencije koje izražavaju osnovne zakone algebre logike:

1. x & y y & x - komutativnost veznika.

2. x na y NS- komutativna disjunkcija.

3. x & (y & z) (x i y) i z- asocijativnost veznika.

4. NS(y z ) (NS y) z - asocijativnost disjunkcije.

5. x & (y z) (x & y) (x i z)- distributivnost veznika u odnosu na disjunkciju.

6. NS (y & z) (NS y) & (x z ) - distributivnost disjunkcije u odnosu na konjunkciju.

Dokažimo posljednji od navedenih zakona. Ako NS= 1, zatim formule NS (y & z), NS y, x z . Ali onda konjunkcija (NS y) & (x z ). Dakle, za NS= 1 oba dijela ekvivalencije 6 poprimaju iste logičke vrijednosti (točno).

Neka sada x = 0. Zatim NS (y & z) y & z, x na na i x z z , pa prema tome i veznik NS (y & z) y & z... Stoga su ovdje obje strane ekvivalencije 6 ekvivalentne istoj formuli y & z, te stoga uzimaju iste logičke vrijednosti.

§ 5. Ekvivalentne transformacije formula

Koristeći ekvivalencije skupina I, II i III, moguće je zamijeniti dio formule ili formule ekvivalentnom formulom. Takve transformacije formula nazivaju se ekvivalent.

Ekvivalentne transformacije koriste se za dokazivanje ekvivalencija, za dovođenje formula u zadani oblik, za pojednostavljenje formula.

Formula A smatra se jednostavnijom od ekvivalentne formule V, ako sadrži manje slova, manje je logičkih operacija. U ovom slučaju, operacije ekvivalencije i implikacije obično se zamjenjuju operacijama disjunkcije i konjunkcije, a negacija se naziva elementarnim iskazima. Pogledajmo neke primjere.

1. Dokažite jednakost .

Koristeći ekvivalencije skupina I, II i III

2. Pojednostavite formulu .

Zapišimo lanac ekvivalentnih formula:

3. Dokazati istovjetnost formule

Zapišimo lanac ekvivalentnih formula:

Booleova algebra

Ekvivalencije grupe III pokazuju da algebra logike ima komutativne i asocijativne zakone s obzirom na operacije konjunkcije i disjunkcije i distributivni zakon konjunkcije s obzirom na disjunkciju; isti zakoni se također odvijaju u algebri brojeva. Stoga se nad formulama algebre logike mogu izvesti iste transformacije koje se provode u algebri brojeva (otvoriti zagrade, zatvoriti ih u zagrade, ostaviti zajednički faktor izvan zagrada).

Ali u algebri logike moguće su i druge transformacije temeljene na korištenju ekvivalencija:

Ova značajka omogućuje da se dođe do dalekosežnih generalizacija.

Razmotrimo neprazan skup M elementi bilo koje prirode ( x, y, z, ...} , u kojem su definirane relacija "=" (jednako) i tri operacije: "+" (zbrajanje), "" (množenje) i "-" (negacija), poštujući sljedeće aksiome:

Komutativni zakoni:

1a. x + y = y + x, 1b. NS y = y NS.

Asocijativni zakoni:

2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. NS (na z) = (x y) z.

Distributivni zakoni:

3a. (x + y) z = (x z ) + (g G) 3b. (x y) + z = (x + z) (y + z).

Zakoni idempotencije:

4a. x + x = x, 4b. NS x = x.

Zakon dvostruke negacije:

De Morganovi zakoni:

6a. , 6b . .

Zakoni apsorpcije:

7a. x + (y NS)= NS, 7b. NS (y + x) = x.

Tako puno M pozvao Booleova algebra.

Ako pod glavnim elementima x, y, z, ... znači iskaze, operacijama "+", "", "-" disjunkcija, konjunkcija, negacija, odnosno, a znak jednakosti se smatra znakom ekvivalencije, tada, kako slijedi iz ekvivalencija grupa I, II i III , svi aksiomi Booleove algebre su zadovoljeni.

U onim slučajevima kada je za određeni sustav aksioma moguće odabrati određene objekte i specifične odnose među njima tako da su svi aksiomi zadovoljeni, kažu da je pronađeno tumačenje(ili model) ovaj sustav aksioma.

Dakle, Booleova algebra je interpretacija Booleove algebre. Booleova algebra ima i druga tumačenja. Na primjer, ako pod glavnim elementima x, y, z, ... mnoštva M označavajući skupove, operacijama "+", "", "-" unija, presjek, zbrajanje, odnosno, i znak jednakosti - znak jednakosti skupova, onda dolazimo do algebre skupova. Lako je provjeriti da u algebri skupova vrijede svi aksiomi Booleove algebre.

Među raznim interpretacijama Booleove algebre, postoje i tehnička tumačenja. O jednom od njih bit će riječi u nastavku. Kao što će se pokazati, igra važnu ulogu u modernoj automatizaciji.

Funkcije Booleove algebre

Kao što je već spomenuto, značenje formule u algebri logike u potpunosti ovisi o vrijednostima iskaza uključenih u ovu formulu. Stoga je formula algebre logike funkcija elementarnih propozicija uključenih u nju.

Na primjer, formula je funkcija

tri varijable f (x, y, z). Značajka ove funkcije je činjenica da njezini argumenti imaju jednu od dvije vrijednosti: nulu ili jedan, a funkcija također uzima jednu od dvije vrijednosti: nulu ili jedan.

Definicija. Funkcija Booleove algebre ha varijable (ili pomoću Boulleove funkcije) poziva se funkcija od m varijabli, gdje svaka varijabla ima dvije vrijednosti: 0 i 1, a funkcija može uzeti samo jednu od dvije vrijednosti: 0 ili 1.

Jasno je da su identično istinite i identično netočne formule algebre logike konstantne funkcije, a dvije ekvivalentne formule izražavaju istu funkciju.

Otkrijmo koliki je broj funkcija n varijabli. Očito, svaka funkcija algebre logike (kao i formula algebre logike) može se specificirati pomoću tablice istinitosti, koja će sadržavati 2 n reda. Stoga svaka funkcija od n varijabli uzima 2 n vrijednosti koje se sastoje od nula i jedinica. Dakle, funkcija od n varijabli u potpunosti je određena skupom vrijednosti nula i jedinica duljine 2 n. (Ukupan broj skupova koji se sastoje od nula i onih duljine 2 n je jednak. Dakle, broj različitih funkcije Booleove algebre NS varijable je jednaka.

Konkretno, postoje četiri različite funkcije jedne varijable i šesnaest različitih funkcija dvije varijable. Napišimo sve funkcije algebre logike jedan i dvije varijable.

Razmotrimo tablicu istinitosti za različite funkcije jedne varijable. Očito izgleda ovako:

x	f 1 (x)	f 2 (x)	f 3 (x)	f 3 (x)
1

Iz ove tablice slijedi da će dvije funkcije jedne varijable biti konstantne: f 1 (x) = 1, f 4 (x) = 0, i f 2 (x) NS, i f 3 (x) .

Tablica istinitosti za sve moguće funkcije dviju varijabli je:

f i = f i (x, y)

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

f 6

f 7

f 8

f 9

f 10

f 11

f 12

f 13

f 14

f 15

f 16

Jasno je da se analitički izrazi za ove funkcije mogu napisati na sljedeći način.

Otvoreni sat iz matematike "Bernoulijeva shema. Rješavanje zadataka prema Bernoulijevoj i Laplaceovoj shemi"

Didaktika: stjecanje vještina i sposobnosti za rad s Bernoullijevom shemom za izračunavanje vjerojatnosti.

Razvijanje: razvijanje vještina primjene znanja u praksi, formiranje i razvoj funkcionalnog mišljenja učenika, razvijanje vještina usporedbe, analize i sinteze, vještina rada u paru, proširenje stručnog rječnika.

Kako možete igrati ovu igru:

Odgojno: poticanje interesa za predmet kroz praktičnu primjenu teorije, postizanje svjesnog usvajanja nastavnog materijala učenika, formiranje sposobnosti za timski rad, pravilna uporaba računalnih izraza, zanimanje za znanost, poštivanje buduća profesija.

Znanstveni karakter znanja: B

Vrsta lekcije: kombinirani sat:

konsolidacija gradiva položenog u prethodnim lekcijama;
tematska, informacijsko-problemska tehnologija;
generalizacija i konsolidacija gradiva proučavanog u ovoj lekciji.

Nastavna metoda: eksplanatorno - ilustrativna, problematična.

Kontrola znanja: frontalna anketa, rješavanje problema, prezentacija.

Materijalno-tehnička opremljenost sata. računalo, multimedijski projektor.

Metodička potpora: referentni materijali, izlaganje na temu nastavnog sata, križaljka.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak: 5 min.

(pozdrav, spremnost grupe za nastavu).

2. Provjera znanja:

Provjeri pitanja frontalno na slajdovima: 10 min.

definicije odjeljka "Teorija vjerojatnosti"
glavni koncept odjeljka "Teorija vjerojatnosti"
koje događaje proučava "Teorija vjerojatnosti"?
karakterističan za slučajni događaj
klasična definicija vjerojatnosti

Rezimirajući. 5 minuta.

3. Rješavanje zadataka u redovima: 5 min.

Zadatak 1. Bačena je kocka. Kolika je vjerojatnost da će se oboriti par i manje od 5 bodova?

Problem 2. U kutiji se nalazi devet identičnih radio cijevi, od kojih su tri bile u uporabi. Tijekom radnog dana predradnik je morao uzeti dvije radio cijevi za popravak opreme. Kolika je vjerojatnost da su obje uzete svjetiljke bile u uporabi?

Zadatak 3. U tri dvorane kina prikazuju se tri različita filma. Vjerojatnost da na blagajni 1. dvorane ima ulaznica za određeni sat je 0,3, na blagajni 2. dvorane - 0,2, a na blagajni 3. dvorane - 0,4. Kolika je vjerojatnost da je u danom satu moguće kupiti kartu za barem jedan film?

4. Provjera načina rješavanja zadataka na ploči. Dodatak 1,5 min.

5. Zaključak o rješavanju problema:

Vjerojatnost nastanka događaja jednaka je za svaki zadatak: m i n - konst

6. Postavljanje ciljeva kroz zadatak: 5 min.

Zadatak. Dva jednaka šahista igraju šah. Kolika je vjerojatnost pobjede u dvije igre od četiri?

Kolika je vjerojatnost pobjede u tri igre od šest (remi se ne uzimaju u obzir)?

Pitanje. Razmislite i navedite po čemu se pitanja ovog zadatka razlikuju od pitanja prethodnih zadataka?

Rasuđivanje, uspoređivanje kako bi se dobio odgovor: u pitanjima m i n su različiti.

7. Tema lekcije:

Proračun vjerojatnosti pojave događaja k puta iz n pokusa s p-konst.

Ako se provode testovi u kojima vjerojatnost pojave događaja A u svakom testu ne ovisi o ishodima drugih testova, tada se takvi testovi nazivaju neovisni o događaju A. Testovi u svakom od kojih je vjerojatnost pojave događaja isto.

Bernoullijeva formula. Vjerojatnost da je u n neovisnih ispitivanja, u svakom od kojih je vjerojatnost pojave događaja p (0

ili Dodatak 2 Bernoullijeva formula, gdje su k, n mali brojevi gdje je q = 1-p

Rješenje: Igraju ekvivalentni šahisti, pa je vjerojatnost pobjede p = 1/2; stoga je vjerojatnost gubitka q također 1/2. Budući da je u svim igrama vjerojatnost pobjede konstantna i nije važno kojim će redoslijedom igre biti dobivene, primjenjiva je Bernoullijeva formula. 5 minuta

Pronađimo vjerojatnost da će dvije igre od četiri biti dobivene:

Nađimo vjerojatnost da će tri igre od šest biti dobivene:

Budući da je P4 (2)> P6 (3), vjerojatnije je da će pobijediti u dvije od četiri igre nego u tri od šest.

8. Zadatak.

Pronađite vjerojatnost da će se događaj A dogoditi točno 70 puta u 243 testa ako je vjerojatnost da se ovaj događaj dogodi u svakom testu 0,25.

k = 70, n = 243 Stoga su k i n veliki brojevi. To znači da je teško računati pomoću Bernoullijeve formule. Za takve slučajeve primjenjuje se lokalna Laplaceova formula:

Dodatak 3 za pozitivne vrijednosti x dat je u Dodatku 4; za negativne vrijednosti x koristite istu tablicu i =.