Пифагорейские тройки. Современные наукоемкие технологии. Смотреть что такое "Пифагоровы тройки" в других словарях

Важный пример диофантова уравнения дает теорема Пифагора, связывающая длины x и y катетов прямоугольного треугольника с длиной z его гипотенузы:

Вы, конечно, встречали одно из замечательных решений этого уравнения в натуральных числах, а именно пифагорову тройку чисел x = 3, y = 4, z = 5. Есть ли еще такие тройки?

Оказывается пифагоровых троек бесконечно много и все они давным-давно найдены. Они могут быть получены по известным формулам, о которых вы узнаете из настоящего параграфа.

Если диофантовы уравнения первой и второй степени уже решены, то вопрос о решении уравнений более высоких степеней до сих пор остается открытым, несмотря на усилия крупнейших математиков. В настоящее время, например, еще окончательно не доказана и не опровергнута знаменитая гипотеза Ферма о том, что при любом целом значении n&362;2 уравнение

в целых числах не имеет решений.

Для решения некоторых типов диофантовых уравнений полезную роль могут сыграть так называемые комплексные числа. Что это такое? Пусть буквой i обозначен некий объект, удовлетворяющий условию i 2 = -1 (понятно, что ни одно действительное число этому условию не удовлетворяет). Рассмотрим выражения вида α + iβ, где α и β - действительные числа. Такие выражения будем называть комплексными числами, определив над ними операции сложения и умножения, как и над двучленами, но с той лишь разницей, что выражение i 2 всюду будем заменять числом -1:

7.1. Из одной тройки много

Докажите, что если x 0 , y 0 , z 0 - пифагорова тройка, то тройки y 0 , x 0 , z 0 и x 0 k, y 0 k, z 0 k при любом значении натурального параметра k также являются пифагоровыми.

7.2. Частные формулы

Проверьте, что при любых натуральных значениях m>n тройка вида

является пифагоровой. Всякую ли пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде, если разрешить переставлять местами числа x и y в тройке?

7.3. Несократимые тройки

Пифагорову тройку чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, будем называть несократимой. Докажите, что пифагорова тройка является несократимой только в случае, если любые два из чисел тройки являются взаимно простыми.

7.4. Свойство несократимых троек

Докажите, что в любой несократимой пифагоровой тройке x, y, z число z и ровно одно из чисел x или y являются нечетными.

7.5. Все несократимые тройки

Докажите, что тройка чисел x, y, z является несократимой пифагоровой тройкой тогда и только тогда, когда она с точностью до порядка первых двух чисел совпадает с тройкой 2mn, m 2 - n 2 , m 2 + n 2 , где m>n - взаимно простые натуральные числа разной четности.

7.6. Общие формулы

Докажите, что все решения уравнения

в натуральных числах задаются с точностью до порядка неизвестных x и y формулами

где m>n и k - натуральные параметры (чтобы исключить дублирование каких-либо троек, достаточно выбирать числа тип взаимно простыми и к тому же разной четности).

7.7. Первые 10 троек

Найдите все пифагоровы тройки x, y, z, удовлетворяющие условию x

7.8. Свойства пифагоровых троек

Докажите, что для любой пифагоровой тройки x, y, z справедливы утверждения:

а) хотя бы одно из чисел x или y кратно 3;

б) хотя бы одно из чисел x или y кратно 4;

в) хотя бы одно из чисел x, y или z кратно 5.

7.9. Применение комплексных чисел

Модулем комплексного числа α + iβ называется неотрицательное число

Проверьте, что для любых комплексных чисел α + iβ и γ + iδ выполняется свойство

Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей, докажите, что любые два целых числа m и n удовлетворяют равенству

т. е. задают решение уравнения

целых числах (сравните с задачей 7.5).

7.10. Непифагоровы тройки

Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей (см. задачу 7.9), найдите формулы для каких-либо целочисленных решений уравнения:

а) x 2 + y 2 = z 3 ; б) x 2 + y 2 = z 4 .

Решения

7.1. Если x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , то y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , и при любом натуральном значении k имеем

что и требовалось доказать.

7.2. Из равенств

заключаем, что указанная в задаче тройка удовлетворяет уравнению x 2 + y 2 = z 2 в натуральных числах. Однако не всякую пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде; например, тройка 9, 12, 15 является пифагоровой, но число 15 не представимо в виде суммы квадратов каких-либо двух натуральных чисел m и n.

7.3. Если какие-то два числа из пифагоровой тройки x, y, z имеют общий делитель d, то он будет делителем и третьего числа (так, в случае x = x 1 d, y = y 1 d имеем z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 , откуда z 2 делится на d 2 и z делится на d). Поэтому для несократимости пифагоровой тройки необходимо, чтобы любые два из чисел тройки были взаимно простыми,

7.4. Заметим, что одно из чисел x или y, скажем x, несократимой пифагоровой тройки x, y, z является нечетным, так как в противном случае числа x и y не были бы взаимно простыми (см. задачу 7.3). Если при этом другое число y также нечетно, то оба числа

дают остаток 1 при делении на 4, а число z 2 = x 2 + y 2 дает при делении на 4 остаток 2, т. е. оно делится на 2, но не делится на 4, чего не может быть. Таким образом, число y должно быть четным, а число z, стало быть, нечетным.

7.5. Пусть пифагорова тройка x, y, z несократима и, для определенности, число x четно, а числа y, z нечетны (см. задачу 7.4). Тогда

где числа являются целыми. Докажем, что числа а и b взаимно просты. В самом деле, если бы они имели общий делитель, больший 1, то такой же делитель имели бы и числа z = a + b, y = a - b, т. е. тройка не была бы несократимой (см. задачу 7.3). Теперь, раскладывая числа а и b в произведения простых множителей, замечаем, что любой простой множитель должен входить в произведение 4ab = x 2 только в четной степени, причем если он входит в разложение числа а, то не входит в разложение числа b и наоборот. Поэтому любой простой множитель входит в разложение числа а или b в отдельности только в четной степени, а, значит, сами эти числа являются квадратами целых чисел. Положим тогда получим равенства

причем натуральные параметры m>n взаимно просты (вследствие взаимной простоты чисел а и b) и имеют разную четность (из-за нечетности числа z = m 2 + n 2 ).

Пусть теперь натуральные числа m>n разной четности являются взаимно простыми. Тогда тройка х = 2mn, y = m 2 - n 2 , z = m 2 + n 2 , согласно утверждению задачи 7.2, является пифагоровой. Докажем, что она несократима. Для этого достаточно проверить, что числа y и z не имеют общих делителей (см. задачу 7.3). В самом деле, оба эти числа нечетны, так как числа тип имеют разную четность. Если же числа y и z имеют какой-либо простой общий делитель (тогда уж обязательно нечетный), то такой же делитель имеет и каждое из чисел и а с ними и каждое из чисел m и n, что противоречит их взаимной простоте.

7.6. В силу утверждений, сформулированных в задачах 7.1, 7.2, указанные формулы задают только пифагоровы тройки. С другой стороны, любая пифагорова тройка x, y, z после ее сокращения на наибольший общий делитель k пары чисел x и y становится несократимой (см. задачу 7.3) и, следовательно, может быть представлена с точностью до порядка чисел x и y в виде, описанном в задаче 7.5. Поэтому любая пифагорова тройка задается указанными формулами при некоторых значениях параметров.

7.7. Из неравенства z и формул задачи 7.6 получаем оценку m 2 т. е. m≤5 . Полагая m = 2, n = 1 и k = 1, 2, 3, 4, 5, получаем тройки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Полагая m = 3, n = 2 и k = 1, 2, получаем тройки 5, 12, 13; 10, 24, 26. Полагая m = 4, n = 1, 3 и k = 1, получаем тройки 8, 15, 17; 7, 24, 25. Наконец, полагая m = 5, n = 2 и k = 1, получаем тройку 20, 21, 29.

Дальше рассмотрим известные способы генерации эффективных пифагоровых троек. Ученики Пифагора были первыми, кто изобрели простой способ генерации пифагоровых троек, используя формулу, части которой представляют пифагорову тройку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Где m — непарное, m >2. Действительно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогичную формулу предложил древнегреческий философ Платон:

(2m ) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Где m — любое число. Для m = 2,3,4,5 генерируются следующие тройки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Как видим, эти формулы не могут дать все возможные примитивные тройки.

Россмотрим следующий полином, который разкладывается на суму полиномов:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m (m +1)) 2 + (2m +1) 2 .

Отсюда следующие формулы для получения примитивных троек:

a = 2m +1 , b = 2m (m +1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Эти формулы генерируют тройки, в которых среднее число отличается от наибольшего ровно на единицу, то есть также генерируются не все возможные тройки. Тут первые тройки равняются: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Чтобы определить способ генерации всех примитивных троек, следует исследовать ихние свойства. Во-первых, если (a,b,c ) — примитивная тройка, то a и b , b и c , а и c — должны быть взаимно простыми. Пусть a и b делятся на d . Тогда a 2 + b 2 — также делится на d . Соответственно, c 2 и c должны делиться на d . То есть, это не есть примитивная тройка.

Во-вторых, среди чисел a , b одно должно быть парным, а другое — непарным. Действительно, если a и b — парные, то и с будет парным, и числа можно поделить по крайней мере на 2. Если они оба непарные, то их можно представить как 2k +1 i 2l +1, где k ,l — некоторые числа. Тогда a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +1+4l 2 +4l +1, то есть, с 2 , как и a 2 + b 2 , при делении на 4 имеет остаток 2.

Пусть с — любое число, то есть с = 4k +i (i =0,…,3). Тогда с 2 = (4k +i ) 2 имеет остаток 0 или 1 и не может иметь остаток 2. Таким образом, a и b не могут быть непарными, то есть a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +4l 2 +4l +1 и остаток от деления с 2 на 4 должен быть 1, что значит, что с должно быть непарным.

Такие требования к элементам пифагоровой тройки удовлетворяют следующие числа:

a = 2mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n , (2)

Где m и n — взаимно простые с разной парностью. Впервые эти зависимости стали известными из трудов Эвклида, который жил 2300 р. назад.

Докажем справедливость зависимостей (2). Пусть а — парное, тогда b и c — непарные. Тогда c + b i c − b — парные. Их можно представить как c + b = 2u и c − b = 2v , где u ,v — некоторые целые числа. Поэтому

a 2 = с 2 − b 2 = (c + b )(c − b ) = 2u ·2v = 4uv

И поэтому (a /2) 2 = uv .

Можно доказать от противного, что u и v — взаимно простые. Пусть u и v — делятся на d . Тогда (c + b ) и (c − b ) делятся на d . И поэтому c и b должны делиться на d , а это противоречит условию к пифагоровой тройке.

Так как uv = (a /2) 2 и u и v — взаимно простые, то несложно доказать, что u и v должны быть квадратами каких-то чисел.

Таким образом, есть положительные целые числа m и n , такие что u = m 2 и v = n 2 . Тогда

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так что
а = 2mn ; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так как b > 0, то m > n .

Осталось показать, что m и n имеют разную парность. Если m и n — парные, то u и v должны быть парными, а это невозможно, так как они взаимно простые. Если m и n — непарные, то b = m 2 − n 2 и c = m 2 + n 2 были бы парными, что невозможно, так как c и b — взаимно простые.

Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка должна удовлетворять условия (2). При этом числа m и n называются генерирующими числами примитивных троек. Например, пусть имеем примитивную пифагорову тройку (120,119,169). В этом случае

а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, и c = 144+25=169,

Где m = 12, n = 5 — генерирующие числа, 12 > 5; 12 и 5 — взаимно простые и разной парности.

Можно доказать обратное, что числа m , n по формулам (2) дают примитивную пифагорову тройку (a,b,c). Действительно,

а 2 + b 2 = (2mn ) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

То есть (a ,b ,c ) — пифагорова тройка. Докажем, что при этом a ,b ,c — взаимно простые числа от противного. Пусть эти числа делятся на p > 1. Так как m и n имеют разную парность, то b и c — непарные, то есть p ≠ 2. Так как р делит b и c , то р должно делить 2m 2 и 2n 2 , а это невозможно, так как p ≠ 2. Поэтому m , n — взаимно простые и a ,b ,c — тоже взаимно простые.

В таблице 1 показаны все примитивные пифагоровы тройки, сгенерированые по формулам (2) для m ≤10.

Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m ≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Анализ этой таблицы показывает наличие следующего ряда закономерностей:

• или a , или b делятся на 3;
• одно из чисел a ,b ,c делится на 5;
• число а делится на 4;
• произведение a ·b делится на 12.

В 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин для генерации троек предложили такие малоизвестные параметры прямоугольного треугольника, как его рост (height) h = c − b и избыток (success) е = a + b − c . На рис.1. показаны эти величины на некотором прямоугольном треугольнике.

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник и его рост и избыток

Название “избыток” является производным от того, что это добавочное расстояние, которое необходимо пройти по катетам треугольника из одной вершины в противоположную, если не идти по его диагонали.

Через избыток и рост стороны пифагорового треугольника можно выразить как:

e 2 e 2
a = h + e , b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не все комбинации h и e могут отвечать пифагоровым треугольникам. Для заданого h возможные значения e — это произведения некоторого числа d . Это число d имеет название прироста и относится к h следующим образом: d — это наименьшее положительное целое число, квадрат которого делится на 2h . Так как e кратное d , то оно записывается как e = kd , где k — положительное целое.

С помощью пар (k ,h ) можно сгенерировать все пифагоровы треугольники, включая непримитивные и обобщенные, следующим образом:

(dk ) 2 (dk ) 2
a = h + dk , b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причем тройка является примитивной, если k и h — взаимно простые и если h =±q 2 при q — непарном.
Кроме того, это будет именно пифагорова тройка, если k > √2·h /d и h > 0.

Чтобы найти k и h из (a ,b ,c ), выполняют следующие действия:

• h = c − b ;
• записывают h как h = pq 2 , где p > 0 и такое, что не является квадратом;
• d = 2pq если p — непарное и d = pq , если p — парное;
• k = (a − h )/d .

Например, для тройки (8,15,17) имеем h = 17−15 = 2·1, так что p = 2 и q = 1, d = 2, и k = (8 − 2)/2 = 3. Так что эта тройка задается как (k ,h ) = (3,2).

Для тройки (459,1260,1341) имеем h = 1341 − 1260 = 81, так что p = 1, q = 9 и d = 18, отсюда k = (459 − 81)/18 = 21, так что код этой тройки равняется (k ,h ) = (21, 81).

Задание троек с помощью h и k имеет ряд интересных свойств. Параметр k равняется

k = 4S /(dP ), (5)

Где S = ab /2 — площадь треугольника, а P = a + b + c — его периметр. Это следует из равенства eP = 4S , которое выходит из теоремы Пифагора.

Для прямоугольного треугольника e равняется диаметру вписаной в треугольник окружности. Это выходит из того, что гипотенуза с = (а − r )+(b − r ) = a + b − 2r , где r — радиус окружности. Отсюда h = c − b = а − 2r и е = a − h = 2r .

Для h > 0 и k > 0, k является порядковым номером троек a -b -c в последовательности пифагоровых треугольников с ростом h . Из таблицы 2, где представлено несколько вариантов троек, сгенерированых парами h , k , видно, что с увеличением k возрастают величины сторон треугольника. Таким образом, в отличии от классической нумерации, нумерация парами h , k имеет больший порядок в последовательностях троек.

Таблица 2. Пифагоровы тройки, сгенерированые парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Для h > 0, d удовлетворяет неравенство 2√h ≤ d ≤ 2h , в котором нижняя граница достигается при p = 1, а верхняя — при q = 1. Поэтому значение d относительно 2√h — это мера того, насколько число h отдаленное от квадрата некоторого числа.

Червяк Виталий

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конкурс научных проектов школьников

В рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

Исследование пифагоровых чисел

Секция математика.

Червяк Виталий Геннадиевич, 9 класс

МОБУ СОШ №14

Кореновский район

Ст. Журавская

Научный руководитель:

Манько Галина Васильевна

Учитель математики

МОБУ СОШ №14

Кореновск 2011 г

Червяк Виталий Геннадиевич

Пифагоровы числа

Аннотация.

Тема исследования: Пифагоровы числа

Цели исследования:

Задачи исследования:

• Выявление и развитие математических способностей;
• Расширение математического представления по данной теме;
• Формирование устойчивого интереса к предмету;
• Развитие коммуникативных и общеучебных навыков самостоятельной работы, умение вести дискуссию, аргументировать и т.д.;
• Формирование и развитие аналитического и логического мышления;

Методы исследования:

• Использование ресурсов сети Интернет;
• Обращение к справочной литературе;
• Проведение эксперимента;

Вывод:

• Эта работа может быть использована на уроке геометрии как дополнительный материал, для проведения элективных курсов или факультативов по математике, а также во внеклассной работе по математике;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

1. Введение…………………………………………………………………3
2. Основная часть

2.1 Историческая страничка……………………………………………………4

2.2 Доказательство чётности и нечётности катетов……….............................5-6

2.3 Вывод закономерности для нахождения

Пифагоровых чисел……………………………………………………………7

2.4 Свойства пифагоровых чисел ……………………………………………… 8

3. Заключение……………………………………………………………………9

4.Список использованных источников и литературы…………………… 10

Приложения.........................................................................................................11

Приложение I……………………………………………………………………11

Приложение II…………………………………………………………………..13

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Введение

О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа.Я поставил цель исследования : узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Актуальность темы . Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учёнными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдёт речь в моей работе выглядит довольно простой потому, что в основе её лежит математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теперь тройки натуральных чисел x, y, z, для которых x 2 + y 2 = z 2 , принято называть пифагоровыми тройками . Оказывается, пифагоровы тройки знали уже в Вавилоне. Постепенно нашли их и греческие математики.

Цель данной работы

1. Исследовать пифагоровы числа;
2. Понять, как получаются пифагоровы числа;
3. Выяснить, какими свойствами обладают пифагоровы числа;
4. Опытно-экспериментальным путём построить перпендикулярные прямые на местности, используя пифагоровы числа;

В соответствии с целью работы поставлен ряд следующих задач :

1. Глубже изучить историю теоремы Пифагора;

2. Анализ универсальных свойств пифагоровых троек.

3. Анализ практического применения пифагоровых троек.

Объект исследования : пифагоровы тройки.

Предмет исследования : математика .

Методы исследования : - Использование ресурсов сети Интернет; -Обращение к справочной литературе; -Проведение эксперимента;

Теоретическая значимость: роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке; практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.

Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных источников и систематизации фактов.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Из истории пифагоровых чисел.

• Древний Китай:

Математическая книга Чу-пей: [ 2]

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

• Древний Египет: [ 2]

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

• Вавилония: [ 3 ]

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

• История теоремы Пифагора: ,

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Исследование Пифагоровых чисел.

• Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению
• А 2 + в 2 = с 2.
• Эти числа называются пифагоровыми числами

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнелесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. [ 1 ]

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий. Необходимо взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол.

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, прямоугольный.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. [ 1]

Ясно, что если (x, y, z ) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz ) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания

таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек. [ 1]

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами»,а с – « гипотенузой».
Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р- целочисленный множитель,- пифагоровы числа.
Верно и обратное утверждение!
Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а,в,с один из «катетов»должен быть чётным, а другой нечётным. Будем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и в чётны, то чётным будет число а 2 + в 2 , а значит и «гипотенуза». Но это противоречит тому, что числа а,в и с не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом хоть один из « катетов» а и в нечётен.

Остаётся ещё одна возможность: оба «катета» нечётные, а «гипотенуза» чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть, так как если «катеты» имеют вид 2 х + 1 и 2у+1, то сумма их квадратов равна

4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 = 4 (х 2 + х + у 2 + у) +2, т.е. представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка.

Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа; иначе говоря, наши три числа - не пифагоровы.

ВЫВОД:

Итак, из « катетов» а, в один чётный, а другой нечётный. Поэтому число а 2 + в 2 нечётно, а значит, нечётна и « гипотенуза» с.

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел.

Вот следующие пифагоровы тройки:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 и т.д.

Они так же являются Пифагоровыми числами/

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Свойства пифагоровых чисел.

• При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств:
• 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём;
• 2) Другое из них должно быть кратно четырём;
• 3) А третье из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Заключение.

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» - греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических знаний.

Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z – такие целые числа, что x 2 + y 2 = z 2 , то эти треугольники будут прямоугольными.

Все эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности человека.

Так до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит прямое применение в нашей жизни.

Строительство домов, дорог, космических кораблей, автомобилей, станков, нефтепроводов, самолётов, тоннелей, метро и многое, многое другое. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни.

А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

• В результате моей работы мне удалось:
• 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев.
• 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора.
• 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить и применять в практической деятельности.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Литература.

1. Занимательная алгебра. Я.И. Перельман (с.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё. – М.: МЦНМО, 2003.

5. Детская энциклопедия. – М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.

6. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.

7. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. - М.: Учпедгиз, 1959. С.111

Ход исследования Историческая страничка; Теорема Пифагора; Доказать, что один из « катетов» должен быть чётным, а другой нечётным; Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел; Выявить свойства пифагоровых чисел;

Введение О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа. Я поставил цель исследования: узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Пр ебудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век

Из истории пифагоровых чисел. Древний Китай Математическая книга Чу-пей: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Пифагоровы числа у древних египтян Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или " натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

Теорема Пифагора в Вавилонии «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как 3 2 + 4 2 = 5 2. Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению А 2 + в 2 = с 2. Эти числа называются пифагоровыми числами

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами», а с – « гипотенузой». Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р - целочисленный множитель,- пифагоровы числа. Верно и обратное утверждение! Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р)

Вывод! Итак из чисел а и в одно чётно, а другое нечётно, а значит нечётно и третье число.

Вот следующие Пифагоровы тройки: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 и т.д. Они так же являются Пифагоровыми числами

Свойства пифагоровых чисел При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств: 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём; 2) одно из них должно быть кратно четырём; 3) А другое из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Практическое применение пифагоровых чисел

Вывод: В результате моей работы мне удалось 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев. 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора. 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить. Опытно –экспериментальным путём откладывать прямой угол с помощью пифагоровых чисел.

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи , можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

.

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

Ссылки

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы числа" в других словарях:

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… …

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства 2 Примеры … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Содержание… … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их… … Википедия

- «Парадокс числа пи» шутка на тему математики, имевшая хождение в среде студентов до 80 х годов (фактически, до массового распространения микрокалькуляторов) и была связана с ограниченной точностью вычислений тригонометрических функций и… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Двоичная система счисления , Бобров Сергей Павлович. Двоичная система счисления, "Ханойская башня", ход коня, магические квадраты, арифметический треугольник, фигурные числа, сочетания, понятие о вероятностях, лента Мёбиуса и бутылка Клейна.…

Бескровный И.М. 1

1 OAO «Ангстрем–М»

Целью работы является разработка методов и алгоритмов вычисления пифагоровых троек вида a2+b2=c2. Процесс анализа осуществлялся в соответствии с принципами системного подхода. Наряду с математическими моделями, использованы графические модели, отображающие каждый член пифагоровой тройки в виде составных квадратов, каждый из которых состоит из совокупности единичных квадратов. Установлено, что бесконечное множество пифагоровы троек содержит бесконечное число подмножеств, различающих по признаку разности величин b–c. Предложен алгоритм формирования пифагоровых троек с любым наперёд заданным значением этой разности. Показано, что пифагоровы тройки существуют для любого значения 3≤a

Пифагоровы тройки

системный анализ

математическая модель

графическая модель

1. Аносов Д.Н. Взгляд на математику и нечто из неё. – М.: МЦНМО, 2003. – 24 с.: ил.

2. Айерланд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987.

3. Бескровный И.М. Системный анализ и информационные технологии в организациях: Учебное пособие. – М.: РУДН, 2012. – 392 с.

4. Саймон Сингх. Великая теорема Ферма.

5. Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. – М.: Наука, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Available at: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора x2 + y2 = z2. Вообще говоря, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений . Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках в той или иной мере затрагивается до сих пор не раскрыт в полной мере вопрос о существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования.

Так в книге Саймона Сингха говорится: - «Ученики и последователи Пифагора …поведали миру секрет нахождения так называемых пифагоровых трое к.». Однако, в след за этим читаем: - «Пифагорейцы мечтали найти и другие пифагорейские тройки, другие квадраты, из которых можно было бы сложить третий квадрат больших размеров. …По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже, и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много».

В приведенной цитате выделены слова вызывающие недоумение. Почему «Пифагорейцы мечтали найти…», если они «изобрели метод отыскания таких троек…», и почему для больших чисел «находить их становится все труднее и труднее…».

В работе известного математика Д.В. Аносова искомый ответ, вроде бы, приведен. - «Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, что

x2 + y2 = z2. (1)

…можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах? …Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

где l, m, n - натуральные числа, причем m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3, 4, 5) получается при l=1, m=2, n=1. ... По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли - неизвестно».

Обычно математики известны своей требовательностью к строгости своих формулировок. Но, в данной цитате такой строгости не наблюдается. Так что именно: найти или представить? Очевидно, что это совершенно разные вещи. Вот ниже приводится строчка «свежеиспеченных» троек (получены методом, описываемым ниже):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Не вызывает сомнений, что каждую из этих троек можно представить в виде соотношения (2) и вычислить после этого значения l, m, n. Но, это уже после того, как все значения троек были найдены. А как быть до того?

Нельзя исключить того, что ответы на эти вопросы давно известны. Но их почему-то найти, пока не удалось. Таким образом, целью настоящей работы является системный анализ совокупности известных примеров пифагоровых троек, поиск системообразующих отношений в различных группах троек и выявление системных признаков характерных для этих групп и, затем - разработка простых эффективных алгоритмов расчёта троек с предварительно заданной конфигурацией. Под конфигурацией будем понимать отношения между величинами, входящими в состав тройки.

В качестве инструментария будет использован математический аппарат на уровне, не выходящем за рамки математики, преподаваемой в средней школе, и системный анализ на базе методов, изложенных в .

Построение модели

С позиций системного анализа любая пифагорова тройка является системой, образованной объектами, которыми являются три числа и их свойствами. Их совокупность, в которой объекты поставлены в определённые отношения и образуют систему, обладающую новыми свойствами, не присущими ни отдельным объектам, ни любой иной их совокупности, где объекты поставлены в иные отношения.

В уравнении (1), объектами системы являются натуральные числа, связанные простыми алгебраическими соотношениями: слева от знака равенство стоит сумма двух чисел, возведенных в степень 2, справа - третье число, также возведённое в степень 2. Отдельно взятые числа, слева от равенства, будучи возведены в степень 2, не накладывают никаких ограничений на операцию их суммирования - результирующая сумма может быть какой угодно. Но, знак равенства, поставленный после операции суммирования, налагает на значение этой суммы системное ограничение: сумма должна быть таким числом, чтобы результатом операции извлечения корня квадратного явилось натуральное число. А это условие выполняется не для любых чисел, подставляемых в левую часть равенства. Таким образом, знак равенства, поставленный между двумя членами уравнения и третьим, превращает тройку членов в систему. Новым свойством этой системы является введение ограничений на значения исходных чисел.

Исходя из формы записи, пифагорова тройка может рассматриваться как математическая модель геометрической системы, состоящей из трёх квадратов, связанных между собой отношениями суммирования и равенства, как это показано на рис. 1. Рис. 1 является графической моделью рассматриваемой системы, а вербальной её моделью является утверждение:

Площадь квадрата с длиной стороны c может быть разделена без остатка на два квадрата с длинами сторон a и b, таких, что сумма их площадей равна площади исходного квадрата, то есть, все три величины a, b, и c, связаны соотношением

Графическая модель разложения квадрата

В рамках канонов системного анализа известно, что если математическая модель адекватно отображает свойства некоей геометрической системы, то анализ свойств самой этой системы позволяет уточнить свойства её математической модели, глубже их познать, уточнить, и, при необходимости, усовершенствовать. Этого пути мы и будем придерживаться.

Уточним, что согласно принципам системного анализа операции сложения и вычитания могут производиться только над составными объектами, то есть, объектами, составленными из совокупности элементарных объектов. Поэтому, будем воспринимать любой квадрат, как фигуру, составленную из совокупности элементарных, или единичных квадратов. Тогда условие получения решения в натуральных числах эквивалентно принятия условия, что единичный квадрат неделим.

Единичным квадратом будем называть квадрат, у которого длина каждой из сторон равна единице. То есть, при площадь единичного квадрата определяет следующее выражение.

Количественным параметром квадрата является его площадь, определяемая количеством единичных квадратов, которые можно разместить на данной площади. Для квадрата с произвольным значением x, выражение x2 определяет величину площади квадрата, образованного отрезками длиной в x единичных отрезков. На площади этого квадрата могут быть размещены x2 единичных квадратов.

Приведенные определения могут быть восприняты как тривиальные и очевидные, но это не так. Д.Н. Аносов определяет понятие площадь по-другому: - « … площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Почему мы уверены, что это так? …Мы представляем себе фигуру сделанной из какого-то однородного материала, тогда ее площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества - ее массе. Далее подразумевается, что когда мы разделяем тело на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что все состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса… Ведь, собственно, масса куска однородного материала пропорциональна его объему; значит, надо знать, что объем «листа», имеющего форму данной фигуры, пропорционален ее площади. Словом, …что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, в геометрии надо это доказывать. … В учебнике Киселева существование площади, имеющей то самое свойство, которое мы сейчас обсуждаем, честно постулировалось как некое допущение, причем говорилось, что это на самом деле верно, но мы этого доказывать не будем. Так что и теорема Пифагора, если ее доказывать с площадями, в чисто логическом отношении останется не совсем доказанной».

Нам представляется, что введенные выше определения единичного квадрата снимают указанную Д.Н. Аносовым неопределенность. Ведь если величина площади квадрата и прямоугольника определяется суммой заполняющих их единичных квадратов, то при разбиении прямоугольника на произвольные, прилегающие друг к другу части площадь прямоугольника естественно равна сумме всех его частей.

Более того, введенные определения снимают неопределенность использования понятий «разделить» и «сложить» применительно к абстрактным геометрическим фигурам. Действительно, что значит разделить прямоугольник или любую другую плоскую фигуру на части? Если это лист бумаги, то его можно разрезать ножницами. Если земельный участок - поставить забор. Комнату - поставить перегородку. А если это нарисованный квадрат? Провести разделительную линию и заявить, что квадрат разделён? Но, ведь говорил Д.И. Менделеев: «…Заявить можно всё, а ты - поди, демонстрируй!»

А при использовании предложенных определений «Разделить фигуру» означает разделить количество заполняющих эту фигуру единичных квадратов на две (или более) частей. Количество единичных квадратов в каждой из таких частей определяет её площадь. Конфигурацию этим частям можно придавать произвольную, но при этом сумма их площадей всегда будет равна площади исходной фигуры. Возможно, специалисты-математики сочтут эти рассуждения некорректными, тогда примем их за допущение. Если уж в учебнике Киселёва приемлемы такие допущения, то и нам подобным приёмом грех не воспользоваться.

Первым этапом системного анализа является выявление проблемной ситуации. В начале этого этапа было просмотрено несколько сот пифагоровых троек, найденных в различных источниках. При этом внимание привлекло то обстоятельство, что всю совокупность пифагоровых троек, упоминающихся в публикациях, можно разделить на несколько групп, различающихся по конфигурации. Признаком специфичной конфигурации будем считать разность длин сторон исходного и вычитаемого квадратов, то есть, величину c-b. Например, в публикациях довольно часто в качестве примера демонстрируются тройки, удовлетворяющие условию c-b=1 . Примем, что вся совокупность таких пифагоровых троек образует множество, которое будем называть «Класс c-1», и проведём анализ свойств этого класса.

Рассмотрим три квадрата, представленные на рисунке, где c - длина стороны уменьшаемого квадрата, b - длина стороны вычитаемого квадрата и a - длина стороны квадрата, образованного из их разности. На рис. 1 видно, что при вычитании из площади уменьшаемого квадрата площади вычитаемого квадрата в остатке остаются две полосы единичных квадратов:

Для того чтобы из этого остатка можно было образовать квадрат, необходимо выполнение условия

Эти соотношения позволяют определить значения всех членов тройки по единственному заданному числу c. Наименьшим числом c, удовлетворяющим соотношению (6), является число c = 5. Итак, были определенны длины всех трёх сторон квадратов, удовлетворяющих соотношению (1). Напомним, что значение b стороны среднего квадрата

было выбрано, когда мы решили образовать средний квадрат путем уменьшения стороны исходного квадрата на единицу. Тогда из соотношений (5), (6). (7) получаем следующее соотношение:

из которого следует, что выбранное значение c = 5 однозначно задаёт значения b = 4, a = 3.

В итоге, получены соотношения, позволяющие представить любую пифагорову тройку класса «c - 1» в таком виде, где значения все трёх членов определяются по одному задаваемому параметру - значению c:

Добавим, что число 5 в приведенном выше примере появилось как минимальное из всех возможных значений c, при которых уравнение (6) имеет решение в натуральных числах. Следующее число, обладающее таким же свойством, это 13, затем 25, далее 41, 61, 85 и т. д. Как видно, в этом ряду чисел интервалы между соседними числами интенсивно возрастают. Так, например, после допустимого значения , следующее допустимое значение , а после , следующее допустимое значение , то есть, допустимое значение отстоит от предыдущего более чем на пятьдесят миллионов!

Теперь понятно, откуда появилась эта фраза в книге : - «По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже, и находить их становится все труднее и труднее…». Однако это утверждение не является верным. Стоит только взглянуть на пифагоровы тройки, соответствующие приведенным выше парам соседних значений c, как сразу бросается в глаза одна особенность - в обеих парах, в которых значения c разнесены на столь большие интервалы, значения a оказываются соседними нечетными числами. Действительно, для первой пары имеем

и для второй пары

Так что «всё реже встречаются» не сами тройки, а интервалы между соседними значениями c увеличиваются. Сами же пифагоровы тройки, как это будет показано ниже, существуют для любого натурального числа.

Теперь рассмотрим, тройки следующего класса - «Класс c-2». Как видно из рис. 1, при вычитании из квадрата со стороной c квадрата со стороной (c - 2), образуется остаток в виде суммы двух единичных полос. Величина этой суммы определяется уравнением:

Из уравнения (10) получаем соотношения, определяющее любую из бесконечного множества троек класс «c-2»:

Условием существования решения уравнения (11) в натуральных числах является любое такого значения c , при котором a является натуральным числом. Минимальное значение c, при котором решение существует, составляет c = 5. Тогда «стартовая» тройка для этого класса троек определяется набором a = 4, b = 3, c = 5. То есть, вновь, образуется классическая тройка 3, 4, 5, только теперь площадь вычитаемого квадрата меньше площади остатка.

И наконец, проведём анализ троек класса «с-8». Для этого класса троек при вычитании площади квадрата из площади с2 исходного квадрата, получаем:

Тогда, из уравнения (12) следует:

Минимальное значение c, при котором решение существует: это c = 13. Пифагорова тройка при этом значении примет вид 12, 5, 13. В этом случае опять площадь вычитаемого квадрата меньше площади остатка. А переставив обозначения местами, получим тройку 5, 12, 13, которая по своей конфигурации относится к классу «c - 1». Похоже, что дальнейший анализ других возможных конфигураций ничего принципиально нового не откроет.

Вывод расчётных соотношений

В предыдущем разделе логика анализа развивалась в соответствии с требованиями системного анализа по четырём из пяти основных его этапов: анализ проблемной ситуации, формирование целей, формирование функций и формирование структуры. Теперь пора переходить к заключительному, пятому этапу - проверка реализуемости, то есть, проверка того, в какой мере поставленные цели достигнуты. .

Ниже показана табл. 1, в которой приведены значения пифагоровых троек, относящихся к классу «c - 1». Большинство троек встречаются в различных публикациях , но тройки для значений a, равных 999, 1001 в известных публикациях не встречались.

Таблица 1

Пифагоровы тройки класса «с-1»

Можно проверить, что все тройки удовлетворяют соотношению (3). Таким образом, одна из поставленных целей достигнута. Полученные в предыдущем разделе соотношения (9), (11), (13) позволяют формировать бесконечное множество троек, задавая единственный параметр c - сторону уменьшаемого квадрата. Это, конечно, более конструктивный вариант, чем соотношение (2), для использования которого следует задать произвольно три числа l, m, n, имеющих любое значение, затем искать решение, зная только, что в итоге, непременно будет получена пифагорова тройка, а какая - заранее неизвестно. В нашем случае заранее известна конфигурация формируемой тройки и нужно задавать только один параметр. Зато, увы, не для каждого значения этого параметра решение существует. И надо заранее знать его допустимые значения. Так что полученный результат хорош, но, далёк от идеала. Желательно получить такое решение, чтобы пифагоровы тройки можно было вычислять для любого произвольно заданного натурального числа. С этой целью вернемся к четвёртому этапу - формирование структуры полученных математических соотношений.

Поскольку выбор величины c в качестве базового параметра для определения остальных членов тройки оказался неудобным, следует испробовать другой вариант. Как видно из табл. 1, выбор параметра a в качестве базового представляется предпочтительным, поскольку значения этого параметра идут подряд в ряду нечётных натуральных чисел. После несложных преобразований приводим соотношения (9) к более конструктивному виду:

Соотношения (14) позволяют найти пифагорову тройку для любого наперёд заданного нечётного значения a. При этот простота выражения для b позволяет производить вычисления даже без калькулятора. Действительно, выбрав, к примеру, число 13, получаем:

А для числа 99 соответственно получаем:

Соотношения (15) позволяют получать значения всех трёх членов пифагоровой троки для любого заданного n, начиная с n=1.

Теперь рассмотрим пифагоровы тройки класса «c - 2». В табл. 2 приведены для примера десять таких троек. Причем, в известных публикациях были найдены только три пары троек - 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Этого оказалось достаточно, чтобы определить закономерности, по которым они формируются. Остальные семь были найдены из выведенных ранее соотношений (11). Для удобства вычисление эти соотношения были преобразованы так, чтобы все параметры выражались через величину a. Из (11) с очевидность следует, что все тройки для класса «c - 2» удовлетворяют следующим соотношениям:

Таблица 2

Пифагоровы тройки класса «с-2»

Как видно из табл. 2, всё бесконечное множество троек класса «c - 2» можно разделить на два подкласса. Для троек, у которых значение a делится на 4 без остатка, значения b и c - нечётные. Такие тройки, у которых НОД = 1, называют примитивными . Для троек, у которых значения a не делится на 4 в целых числах, все три члена тройки a, b, c - чётные.

Теперь перейдём к рассмотрению результатов анализа третьего из выделенных классов - класса «c - 8». Расчётные соотношения для этого класса, полученные из (13), имеют вид:

Соотношения (20), (21) по сути, идентичны. Различие только в выборе последовательности действий. Либо, в соответствии с (20) выбирается желательное значение a (в данном случае требуется, чтобы это значение делилось на 4), затем, определяются величины b и c. Либо, выбирается произвольное число, и затем, из соотношений (21) определяются все три члена пифагоровой тройки. В табл. 3 приведен ряд пифагоровых троек, вычисленных указанным способом. Однако, вычислять значения пифагоровых троек можно ещё проще. Если известно хоть одно значение , то все последующие значения определяются очень просто по следующим соотношениям:

Таблица 3

Справедливость соотношения (22) для всех может быть проверена как по тройкам из табл. 2, так и по другим источникам. В качестве примера, в табл. 4 курсивом выделены тройки из обширной таблицы пифагоровых троек (10000 троек), вычисленных на основе компьютерной программы по соотношению (2) и жирным шрифтом - тройки, вычисленные по соотношения (20). Эти значения в указанной таблице отсутствовали.

Таблица 4

Пифагоровы тройки класса «с-8»

Соответственно, для троек вида могут использоваться соотношения:

И для троек вида <>, имеем соотношение:

Следует подчеркнуть, что рассмотренные выше классы троек «c - 1», «с - 2», «с - 8» составляют более 90 % среди первой тысячи троек, из таблицы приведенной в . Это даёт основания воспринимать указанные классы как базовые. Добавим, что при выводе соотношений (22), (23), (24) не использовались какие либо специальные свойства чисел, изучаемые в теории чисел (простые, взаимно простые и пр.). Выявленные закономерности формирования пифагоровых троек обусловлены только системными свойствами описываемых этими тройками геометрических фигур - квадратов, состоящих из совокупности единичных квадратов.

Заключение

Теперь, как сказал Эндрю Уайлс в 1993 г.: «Думаю, мне следует на этом остановиться» . Поставленная цель полностью достигнута. Показано, что анализ свойств математических моделей, структура которых связана с геометрическими фигурами, существенно упрощается, если в процессе анализа наряду с чисто математическими выкладками учитываются и геометрические свойства изучаемых моделей. Упрощение достигается, в частности за счёт того, что исследователь «видит» искомые результаты, не проводя математических преобразований.

Например, равенство

становится очевидным без преобразований в левой его части, стоит только взглянуть на рис. 1, где приведена графическая модель этого равенства.

В итоге, на основе проведенного анализа показано, что для любого квадрата со стороной могут быть найдены квадраты со сторонами b и c, такие, что для них выполняется равенство и получены соотношения, обеспечивающие получение результатов при минимальном объеме вычислений:

для нечётных значений a,

и - для чётных значений.

Библиографическая ссылка

Бескровный И.М. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ СВОЙСТВ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 11. – С. 135-142;
URL: http://сайт/ru/article/view?id=33537 (дата обращения: 20.03.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»