Kvadrat tenglama to'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Kvadrat tenglamalar. To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglama. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalar yechimi". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishgan edik va endi biz bilan tanishamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, biz nima ekanligini tushunamiz kvadrat tenglama, unda yozilganidek umumiy ko'rinish, va tegishli ta'riflarni bering. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, unga tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x o'zgaruvchi, a , b va c ba'zi sonlar, a esa noldan farq qiladi.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Olingan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 +b x + c=0 va a koeffitsienti birinchi yoki katta yoki x 2 da koeffitsient, b ikkinchi koeffitsient yoki x da koeffitsient, c esa erkin a'zo deb ataladi.

Masalan, 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, erkin had −3 ga teng. E'tibor bering, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, 5 x 2 +(− emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamaning qisqa shakli qo'llaniladi. 2 )x+(−3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamaning yozuvida aniq mavjud emas, bu esa bunday belgilarning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsienti −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab, qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 va hokazo. - qisqartirilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. Va 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday bajarilishini misol qilib olaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Yechim.

Bizga dastlabki tenglamaning ikkala qismini yetakchi koeffitsient 3 ga bo'linishini bajarish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz bu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ga teng, bu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 va hokazo (3) :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamani belgilashda a≠0 sharti mavjud. Bu shart a x 2 +b x+c=0 tenglama toʻliq kvadrat boʻlishi uchun zarur, chunki a=0 bilan u haqiqatda b x+c=0 koʻrinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar koeffitsientlardan kamida bittasi b , c nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bu nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamadan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 +0 x+c=0 ko'rinishini oladi va u a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 +b x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 +b x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

a x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
va c=0 bo'lganda x 2 +b x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, haqiqatdan ham har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik sodir bo'ladi, bu esa p≠0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmasligini bildiradi.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 \u003d 0 bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 \u003d 0 tenglamasiga teng, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglama bitta nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha chiqarilishi mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar va c≠0, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqing. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirish mumkin:

c ga o'tkazing o'ng tomon, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
va uning ikkala qismini a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo'lsa) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va .

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Tenglamaning oddiy tovushli ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli boshqa x 2 ildizi bor. Ma’lumki, tenglamaga uning ildizlari o‘rniga x o‘rniga qo‘yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 − x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0 , bu bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 = −x 1 . Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'lib, u

ildizlari yo'q, agar,
ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liq bo`lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqing.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9·x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomonda manfiy son olinganligi sababli, bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7=0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana bitta to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz -x 2 +9=0. Biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 \u003d -9. Endi ikkala qismni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, biz bu yoki degan xulosaga kelamiz. Yakuniy javobni yozganimizdan so'ng: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 +b x=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu sizga asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamadan o'tish imkonini beradi tenglamaga teng x (a x+b)=0 ko'rinishdagi. Va bu tenglama ikkita x=0 va a x+b=0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, oxirgisi chiziqli va x=−b/a ildiziga ega.

Demak, a x 2 +b x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Qavsdan x ni chiqaramiz, bu tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lgach, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Bu tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda .
Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga erishamiz.

Biz tahlil qilganimizda, oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
bo'lsa, tenglama uning yagona ildizi ko'rinadigan , demak, , ko'rinishga ega bo'ladi;
agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Demak, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 a c ifoda belgisidir. Bu b 2 −4 a c ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga ko'ra kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga egami yoki yo'qmi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni - bir yoki ikkita degan xulosaga keladi.

Biz tenglamaga qaytamiz, uni diskriminantning yozuvidan foydalanib qayta yozamiz: . Va xulosa qilamiz:

agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki , uni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, qisqartirgandan so'ng, biz .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular ga o'xshaydi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4 a c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lganda, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga urinayotganda, bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sondan kvadrat ildizni chiqarishga duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, ularni biz olgan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamani yechishda siz darhol ularning qiymatlarini hisoblash uchun ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebrasi kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va undan keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

diskriminant formulasi yordamida D=b 2 −4 a c uning qiymatini hisoblang;
agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0 bo'lsa;
diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz faqat diskriminant nolga teng bo'lsa, formuladan ham foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz, u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmini qo‘llash misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 +2 x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1 , b=2 va c=−6 . Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildizlar formulasi bilan topamiz, olamiz, bu erda bajarib olingan ifodalarni soddalashtirishimiz mumkin. ildiz belgisini faktoring keyin kasrni kamaytirish:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 +6 y+2=0 tenglamani yeching.

Yechim.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5 , b=6 va c=2 . Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktab odatda darhol javobni yozadi, unda ular haqiqiy ildizlar yo'qligini ko'rsatadilar va ular murakkab ildizlarni topmaydilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4 ac kvadrat tenglamalarni x da teng koeffitsientli (yoki oddiygina 2 n ga o'xshash koeffitsient bilan) yechish imkonini beruvchi yanada ixcham formulani olish imkonini beradi. , masalan, yoki 14 ln5=2 7 ln5 ). Keling, uni olib chiqaylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x + c=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Bizga ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 −a c ifodasini D 1 deb belgilang (ba’zan u D “ deb ham belgilanadi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo‘lgan ko‘rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining bor yoki yo'qligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani echish uchun sizga kerak bo'ladi

D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

5 x 2 −6 x−32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , bu erda a=5 , n=−3 va c=−32 ko'rinishda qayta yozishingiz va 4-qismning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi" degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x −6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini qandaydir songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini soddalashtirishga erishdik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala qismi odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala qismini 6 ga bo‘lib, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala qismini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bo'yicha amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala qismi LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 +4 x−18=0 .

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'ling, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2·x 2 −3·x+7=0 kvadrat tenglamadan 2·x 2 +3·x−7=0 yechimga o‘tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlarning formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Shaklning Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va . Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga teng, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin haddir. Masalan, 3 x 2 −7 x+22=0 kvadrat tenglama ko‘rinishida darhol uning ildizlari yig‘indisi 7/3, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22/3 ekanligini aytish mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktorizatsiyaga misollar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamalarni onlayn yechish

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lganda, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Bundan tashqari, biz bu haqiqiy raqamlar deb hisoblaymiz.
O'ylab ko'ring kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Keyin kvadrat trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar qursa funktsiya grafigi
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachon , grafik abscissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi ().
Qachon bo'lsa, grafik x o'qiga bir nuqtada () tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi ().

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

O'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:

,
qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bundan ko'rinadiki, tenglama

da amalga oshirildi
va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
(1.1) tenglamamiz bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu erdan kvadrat trinomialning omillarga bo'linishini olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta (2.1) dastlabki tenglamaning ildizidir. Bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratilganligi sababli:
,
u holda bunday ildiz ko'plik deyiladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz bor deb hisoblashadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topish:
.
Diskriminant manfiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin

.

Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abscissa (o'q) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Shuningdek qarang:

Ko'p oddiy bo'lmagan formulalar tufayli bu mavzu dastlab murakkab ko'rinishi mumkin. Kvadrat tenglamalarning o'zi nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari ham diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formula mavjud. Eslab qolish unchalik oson emas. Bunday tenglamalarni tez-tez yechishdan keyingina bu mumkin. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda birinchi navbatda eng katta daraja yozilsa, keyin esa - kamayish tartibida ularning aniq belgilanishi taklif etiladi. Ko'pincha atamalar bir-biridan ajralib turadigan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, notatsiya bilan tanishamiz. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu yozuvlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi belgiga keltiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
javob bitta raqam bo'ladi;
Tenglama umuman ildizga ega emas.

Va qaror oxirigacha etkazilmagan bo'lsa-da, ma'lum bir holatda variantlardan qaysi biri tushib ketishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalar turli xil yozuvlarga ega bo'lishi mumkin. Ular har doim ham kvadrat tenglamaning umumiy formulasi kabi ko'rinmaydi. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglamadir. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqacha narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari yo'qolishi mumkin bo'lgan shartlar. "A" soni hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tenglamalarning to'liq bo'lmagan shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud, to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikki raqam, ikkinchisi esa uchinchi raqam bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Hisoblash uchun bu raqam ma'lum bo'lishi kerak tenglamaning ildizlari. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikni ishlatishingiz kerak, bu to'rtta raqamga ega bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz raqamlarni olishingiz mumkin turli belgilar. Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Salbiy raqam bilan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, javob bitta bo'ladi.

Toʻliq kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki birinchi navbatda siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lgandan so'ng, siz o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanishingiz kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz bunday formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula besh. Xuddi shu yozuvdan ko'rinib turibdiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarning yechimi hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib olish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ehtiyoj yo'q. Va sizga diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozilgan narsalar kerak bo'lmaydi.

Birinchidan, ikkinchi raqamli to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglikda noma’lum qiymatni qavsdan chiqarib, chiziqli tenglamani yechish kerak, bu esa qavs ichida qoladi. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan omil mavjud. Ikkinchisi hal qilishdan kelib chiqadi chiziqli tenglama.

Uchinchi raqamdagi to'liq bo'lmagan tenglama raqamni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum oldida koeffitsientga bo'lish kerak. Faqat qazib olish uchun qoladi Kvadrat ildiz va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Quyida kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni echishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi harakatlar keltirilgan. Ular o'quvchiga e'tiborsizlik tufayli xatolardan qochishga yordam beradi. “Kvadrik tenglamalar (8-sinf)” keng mavzusini o‘rganishda ana shu kamchiliklar yomon baholarga sabab bo‘lmoqda. Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror odat bo'ladi.

Avval siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, avval o'zgaruvchining eng katta darajasiga ega atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - shunchaki raqam.

Agar "a" koeffitsientidan oldin minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganish uchun yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar ishorani teskari tomonga o'zgartiradi.

Xuddi shu tarzda, fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinchi tenglama: x 2 - 7x \u003d 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi formulada ta'riflanganidek echiladi.

Qavsdan so'ng shunday bo'ladi: x (x - 7) \u003d 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 \u003d 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 \u003d 0. X 2 \u003d 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada ta'riflanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Uchinchi tenglama: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Bu erda va quyida kvadrat tenglamalarni echish ularni standart shaklga qayta yozishdan boshlanadi: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va hamma narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 \u003d 0. To'rtinchi formulaga ko'ra, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ma'lum bo'ladiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formula bo'yicha hisoblash kerak. Unga ko'ra, ma'lum bo'lishicha, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x \u003d 0 bunga aylantiriladi: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Uning diskriminanti ushbu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q."

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formula qo'llanilgandan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Oltinchi tenglama (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) o'zgartirishlarni talab qiladi, bu esa qavslarni ochishdan oldin o'xshash atamalarni keltirish kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida shunday ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. O'xshash atamalar hisoblangandan so'ng, tenglama x 2 ko'rinishini oladi. - x \u003d 0. U to'liq bo'lmadi. Bunga o'xshash allaqachon biroz yuqoriroq ko'rib chiqilgan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.