Ikkita teng raqib shaxmat o'ynaydi. Ekvivalent tenglamalar va tenglamalar-oqibatlar. Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish

2-bo'lim. Formulalarning mantiqiy ekvivalentligi. Taklif algebra formulalari uchun normal shakllar

Ekvivalentlik nisbati

Haqiqat jadvallaridan foydalanib, kiruvchi o'zgaruvchilarning qaysi haqiqat qiymatlari to'plamida formula haqiqiy yoki noto'g'ri qiymat olishini (shuningdek, tegishli mantiqiy tuzilishga ega bo'lgan bayonotni) aniqlash mumkin, qaysi formulalar tavtologiya yoki qarama-qarshiliklar, shuningdek, ikkita berilgan formulalar mavjudligini aniqlash ekvivalent.

Mantiqda ular ikkita jumla bir vaqtning o'zida to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lsa, ekvivalent deb aytishadi. Bu iboradagi "bir vaqtning o'zida" so'zi noaniq. Shunday qilib, "Ertaga seshanba bo'ladi" va "Kecha yakshanba edi" jumlalari uchun bu so'z to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: dushanba kuni ikkalasi ham to'g'ri, haftaning qolgan qismida esa ikkalasi ham yolg'on. Tenglamalar uchun " x = 2"va" 2x = 4"" Ayni paytda "o'zgaruvchining bir xil qiymatlarida" degan ma'noni anglatadi. "Ertaga yomg'ir yog'adi" va "Ertaga yomg'ir yog'maydi" degan bashoratlar bir vaqtning o'zida tasdiqlanadi (to'g'ri bo'lib chiqadi) yoki tasdiqlanmaydi (noto'g'ri bo'lib chiqadi). Aslida, bu formulalar bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan ikki xil shaklda ifodalangan bir xil prognozdir. NS va . Ushbu formulalar bir vaqtning o'zida "to'g'ri" yoki "noto'g'ri" qiymatini oladi. Buni tekshirish uchun haqiqat jadvalini tuzish kifoya:

NS
1	0	1
0	1	0

Birinchi va oxirgi ustunlardagi haqiqat qiymatlari bir xil ekanligini ko'ramiz. Bunday formulalarni, shuningdek, ularga mos keladigan jumlalarni ekvivalent deb hisoblash tabiiydir.

F 1 va F 2 formulalari ekvivalent deb ataladi, agar ularning ekvivalenti tavtologiya bo'lsa.

Ikki formulaning ekvivalentligi quyidagicha yoziladi: (o'qing: formula F 1 formulaga teng F 2).

Formulalarning ekvivalentligini tekshirishning uchta usuli mavjud: 1) ularning ekvivalentligini tuzing va uning tavtologiya emasligini tekshirish uchun haqiqat jadvalidan foydalaning; 2) har bir formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va yakuniy natijalarni solishtiring; agar oxirgi ustunlarda bir xil o'zgaruvchan qiymatlar to'plami bo'lsa ikkala formulaning haqiqat qiymatlari teng bo'ladi, keyin formulalar ekvivalent bo'ladi; 3) ekvivalent transformatsiyalar yordamida.

2.1-misol: Formulalar ekvivalentligini aniqlang: 1),; 2),.

1) Ekvivalentlikni aniqlashda birinchi usuldan foydalanamiz, ya’ni formulalar ekvivalentligi ham tavtologiya ekanligini aniqlaymiz.

Formulalar ekvivalentini tuzamiz:. Olingan formula ikki xil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi ( A va V) va 6 ta amal: 1); 2); 3); 4) ; 5) ; 6). Bu shuni anglatadiki, mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 8 ustunga ega bo'ladi:

A	V
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Haqiqat jadvalining yakuniy ustunidan ko'rinib turibdiki, tuzilgan ekvivalentlik tavtologiya va shuning uchun.

2) Formulalar ekvivalent yoki teng ekanligini bilish uchun ikkinchi usuldan foydalanamiz, ya’ni har bir formula uchun haqiqat jadvalini tuzamiz va yakuniy ustunlarni solishtiramiz. ( Izoh... Ikkinchi usuldan samarali foydalanish uchun barcha tuzilgan haqiqat jadvallari bir xil tarzda boshlanishi kerak, ya'ni o'zgaruvchan qiymatlar to'plami mos keladigan satrlarda bir xil edi .)

Formula ikki xil o'zgaruvchiga va 2 ta amalga ega, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 4 ustunga ega:

A	V
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

Formulada ikki xil o'zgaruvchi va 3 ta amal mavjud, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 5 ustunga ega:

A	V
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Tuzilgan haqiqat jadvallarining yakuniy ustunlarini solishtirsak (jadvallar bir xil tarzda boshlanganligi sababli, biz o'zgaruvchan qiymatlar to'plamini e'tiborsiz qoldiramiz), biz ularning bir-biriga mos kelmasligini va shuning uchun formulalar ekvivalent emasligini ko'ramiz ().

Ifoda formula emas (chunki "" belgisi hech qanday mantiqiy amalni bildirmaydi). U ifodalaydi munosabat formulalar orasidagi (shuningdek, raqamlar orasidagi tenglik, chiziqlar orasidagi parallellik va boshqalar).

Ekvivalentlik munosabatining xossalari haqidagi teorema o'rinli:

2.1 teorema. Taklifli algebra formulalari orasidagi ekvivalentlik munosabati:

1) aks ettiruvchi:;

2) simmetrik tarzda: agar, keyin;

3) o‘timli: agar va, keyin.

Mantiq qonunlari

Taklif mantiqidagi formulalarning ekvivalentligi ko'pincha deyiladi mantiq qonunlari... Ulardan eng muhimlarini sanab o'tamiz:

1. - o'ziga xoslik qonuni.

2.- chiqarib tashlangan uchinchi qonuni

3. - qarama-qarshilik qonuni

4. - nol bilan diszyunksiya

5. - nol bilan birikma

6. - birlik bilan diszyunksiya

7. - biri bilan qo‘shma

8. - ikkilamchi inkor qonuni

9. - qo‘shma gapning kommutativligi

10. - diszyunksiyaning kommutativligi

11. - qo‘shma gapning assotsiativligi

12. - diszyunksiyaning assotsiativligi

13. - qo‘shma gapning taqsimlanishi

14. - distributiv diszyunksiya

15.- identifikatorlik qonunlari

16. ; - yutilish qonunlari

17. ; - de Morgan qonunlari

18. - diszyunksiya orqali implikatsiyani ifodalovchi qonun

19. - qarama-qarshilik qonuni

20.- ekvivalentlikni boshqa mantiqiy amallar orqali ifodalovchi qonunlar

Mantiq qonunlari murakkab formulalarni soddalashtirish va formulalar teng darajada to'g'ri yoki yolg'on ekanligini isbotlash uchun ishlatiladi.

Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish

Agar ekvivalent formulalarda ba'zi o'zgaruvchilar o'rniga hamma joyda bir xil formulalar almashtirilsa, yangi olingan formulalar ham almashtirish qoidasiga muvofiq ekvivalent bo'lib chiqadi. Shunday qilib, har bir ekvivalentdan qancha yangi ekvivalentlar olinishi mumkin.

1-misol: Agar o'rniga de Morgan qonunida NS o‘rniga, va o‘rniga Y almashtirsak, biz yangi ekvivalentga ega bo'lamiz. Olingan ekvivalentlikning haqiqiyligini haqiqat jadvali yordamida tekshirish oson.

Formulaning bir qismi bo'lgan har qanday formula bo'lsa F, formulaga ekvivalent formula bilan almashtirilsa, natijada olingan formula formulaga ekvivalent bo'lib chiqadi. F.

Keyin, 2-misoldagi formula uchun quyidagi o'zgarishlar kiritilishi mumkin:

- ikkilamchi inkor qonuni;

- de Morgan qonuni;

- ikkilamchi inkor qonuni;

- assotsiativlik qonuni;

- identifikatorlik qonuni.

Ekvivalentlik munosabatining tranzitivlik xususiyatiga ko'ra, buni tasdiqlashimiz mumkin .

Bir formulani unga ekvivalent boshqa formula bilan almashtirish deyiladi ekvivalent konvertatsiya formulalar.

ostida soddalashtirish implikatsiya va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan formulalar elementar bo'lmagan formulalarning inkorlarini (xususan, qo'shaloq inkorlarni) o'z ichiga olmaydigan yoki yig'indisi va dis'yunktsiya belgilarini dastlabkisiga qaraganda kamroq o'z ichiga olgan formulaga olib keladigan ekvivalent transformatsiyani tushunadi. .

2.2-misol: Keling, formulani soddalashtiraylik .

Birinchi bosqichda biz implikatsiyani diszyunktsiyaga aylantiruvchi qonunni qo'lladik. Ikkinchi bosqichda biz kommutativ qonunni qo'lladik. Uchinchi bosqichda biz identifikatorlik qonunini qo'lladik. To'rtinchisi - de Morgan qonuni. Va beshinchisi - ikki tomonlama inkor qonuni.

Izoh 1... Agar ma'lum bir formula tavtologiya bo'lsa, unga teng keladigan har qanday formula ham tavtologiya hisoblanadi.

Shunday qilib, ekvivalent transformatsiyalar ma'lum formulalarning bir xil haqiqatini isbotlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Buning uchun ushbu formulani tavtologiya bo'lgan formulalardan biriga ekvivalent o'zgartirishlar bilan kamaytirish kerak.

Izoh 2... Ayrim tavtologiya va ekvivalentlar juft holda birlashtiriladi (ziddiyat qonuni va alternativ, kommutativ, assotsiativ qonunlar qonuni va boshqalar). Ushbu yozishmalarda, deb atalmish ikkilik printsipi .

Izoh va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan ikkita formula deyiladi ikki tomonlama agar ularning har biri mos ravishda belgilarni almashtirish orqali boshqasidan olinishi mumkin bo'lsa.

Ikkilik printsipi quyidagilarni ta'kidlaydi:

2.2 teorema: Agar ma’no va ekvivalentlik belgilari bo‘lmagan ikkita formula ekvivalent bo‘lsa, ularning ikkilik formulalari ham ekvivalent bo‘ladi.

Oddiy shakllar

Oddiy shakl Berilgan funktsiyani amalga oshiradigan formulani yozishning sintaktik jihatdan aniq usuli.

Foyda olish ma'lum qonunlar mantiq, har qanday formulani shaklning ekvivalent formulasiga aylantirish mumkin , bu yerda va har biri oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchining inkori yoki oʻzgaruvchining birikmasi yoki ularning inkori. Boshqacha qilib aytganda, har qanday formulani oddiy standart shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin, bu elementlarning dis'yunksiyasi bo'ladi, ularning har biri manfiy belgili yoki manfiy belgisiz alohida turli xil mantiqiy o'zgaruvchilarning birikmasidir.

2.3-misol: Katta formulalarda yoki bir nechta o'zgartirishlar uchun birikma belgisini qoldirish odatiy holdir (ko'paytirish belgisi bilan o'xshashlik bo'yicha):. Amalga oshirilgan transformatsiyalardan so'ng formula uchta birikmaning diszyunksiyasi ekanligini ko'ramiz.

Ushbu shakl deyiladi disjunktiv normal shakl (DNF). DNF ning alohida elementi deyiladi elementar birikma yoki tarkibiy birlik.

Xuddi shunday, har qanday formulani ekvivalent formulaga keltirish mumkin, bu elementlarning birikmasi bo'ladi, ularning har biri manfiy belgisi bo'lgan yoki bo'lmagan mantiqiy o'zgaruvchilarning diszyunksiyasi bo'ladi. Ya'ni, har bir formulani shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin , bu yerda va har biri oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchining inkori yoki oʻzgaruvchilarning diszyunksiyasi yoki ularning inkori. Ushbu shakl deyiladi konyunktiv normal shakl (CNF).

2.4-misol:

CNF ning alohida elementi deyiladi elementar disjunksiya yoki nolning tarkibiy qismi.

Shubhasiz, har bir formulada cheksiz ko'p DNF va CNF mavjud.

2.5-misol: Keling, formula uchun bir nechta DNFlarni topamiz .

Mukammal oddiy shakllar

SDNF (mukammal DNF) - bu DNF bo'lib, unda har bir elementar birikma barcha elementar gaplarni o'z ichiga oladi yoki ularning inkorlari bir marta, elementar birikmalar takrorlanmaydi.

SKNF (mukammal CNF) bu CNF bo'lib, unda har bir elementar dis'yunktsiya barcha elementar bayonotlarni o'z ichiga oladi yoki ularning inkorlari bir marta, elementar dis'yunktsiyalar takrorlanmaydi.

2.6-misol: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Keling, shakllantiramiz xarakterli belgilar SDNF (SKNF).

1) Dizyunksiya (bog‘lovchi)ning barcha a’zolari har xil;

2) Har bir qo‘shma gapning (dizyunksiya) barcha a’zolari har xil;

3) Bitta bog‘lovchi (dizyunksiya) ham o‘zgaruvchini, ham uning inkorini o‘z ichiga olmaydi;

4) Har bir birikma (dizyunksiya) dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga oladi.

Ko'rib turganimizdek, xarakterli xususiyatlar (lekin shakllar emas!) Ikkilik ta'rifini qondiradi, shuning uchun ikkalasini ham qanday qabul qilishni o'rganish uchun bitta shakl bilan shug'ullanish kifoya.

DNF (CNF) dan ekvivalent transformatsiyalar yordamida SDNF (SKNF) ni osongina olish mumkin. Mukammal normal shakllarni olish qoidalari ham ikki tomonlama bo'lganligi sababli, biz SDNFni olish qoidasini batafsil tahlil qilamiz va ikkilik ta'rifidan foydalanib, SKNFni o'zingiz olish qoidasini shakllantiramiz.

Umumiy qoida Ekvivalent transformatsiyalar yordamida formulani SDNF ga qisqartirish:

Formulani berish uchun F, SDNF uchun bir xil noto'g'ri bo'lsa, bu etarli:

1) uni DNFga olib boring;

2) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan dis'yunksiya a'zolarini inkori bilan birga olib tashlash (mavjud bo'lsa);

3) dis'yunksiyaning bir xil a'zolaridan tashqari hammasini olib tashlash (agar mavjud bo'lsa);

4) har bir bog‘lovchining bir xil a’zosidan tashqari hammasini olib tashlash (mavjud bo‘lsa);

5) agar biron bir birikmada dastlabki formulaga kiritilgan oʻzgaruvchilar sonidan oʻzgaruvchi boʻlmasa, bu birikmaga atama qoʻshing va tegishli taqsimot qonunini qoʻllang;

6) agar hosil bo'lgan disjunction bir xil shartlarni o'z ichiga olsa, 3-retseptdan foydalaning.

Olingan formula bu formulaning SDNF sidir.

2.7-misol: Formula uchun SDNF va SKNF ni topamiz .

Ushbu formula uchun DNF allaqachon topilganligi sababli (2.5-misolga qarang), biz SDNFni olishdan boshlaymiz:

2) hosil bo'lgan dis'yunksiyada ularning inkorlari bilan birga o'zgaruvchilar ham bo'lmaydi;

3) diszyunksiyada bir xil a'zolar mavjud emas;

4) hech qanday qo‘shma gapda bir xil o‘zgaruvchilar yo‘q;

5) birinchi elementar bog‘lanishda asl formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilar bor, ikkinchi elementar bog‘lanishda esa o‘zgaruvchi yo‘q. z, shuning uchun unga a'zo qo'shamiz va distributiv qonunni qo'llaymiz:;

6) disjunksiyada bir xil atamalar paydo bo'lganligini ko'rish oson, shuning uchun biz bittasini olib tashlaymiz (3-retsept);

3) bir xil ajratishlardan birini olib tashlang: ;

4) qolgan bandlarda bir xil a'zolar mavjud emas;

5) elementar ayirmalarning birortasi ham dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga olmaydi, shuning uchun ularning har birini qo‘shma gap bilan to‘ldiramiz:;

6) hosil bo‘lgan qo‘shma gapda bir xil ayirma gaplar bo‘lmaydi, demak, topilgan qo‘shma gap mukammal bo‘ladi.

Agregat SKNF va SDNF formulalarida beri F 8 a'zo, ular katta ehtimol bilan to'g'ri topilgan.

Har bir bajariladigan (rad etish mumkin) formulada bitta SDNF va bitta noyob SKNF mavjud. Tavtologiyada SKNF yo'q, qarama-qarshilikda esa SDNF yo'q.

Ta'rif. Ikki f 1 (x) = g 1 (x) va f 2 (x) = g 2 (x) tenglamalar, agar ularning ildizlari to'plamlari mos tushsa, ekvivalent deyiladi.

Masalan, tenglamalar x 2 - 9 = 0 va (2 NS + 6)(NS- 3) = 0 ekvivalentdir, chunki ikkalasining ildizi sifatida 3 va -3 raqamlari mavjud. Tenglamalar (3 NS + 1)-2 = x 2- + 1 va x 2+ 1 = 0, chunki ikkalasida ham ildiz yo'q, ya'ni. ularning ildiz to'plamlari bir-biriga mos keladi.

Ta'rif. Tenglamani ekvivalent tenglama bilan almashtirish ekvivalent transformatsiya deyiladi.

Keling, qanday o'zgarishlar ekvivalent tenglamalarni olishga imkon berishini bilib olaylik.

Teorema 1. Tenglama bo'lsin f (x) va g (x) to'plamda berilgan va h(x) bir xil to‘plamda aniqlangan ifodadir. Keyin tenglamalar f (x) = g (x)(1) va f (x) + h(x) =g (x) + h(x) (2) ekvivalentdir.

Isbot. bilan belgilaymiz T 1 -(1) tenglamaning yechimlari to'plami va orqali T 2 -(2) tenglamaning yechimlari to'plami. U holda (1) va (2) tenglamalar agar bo'lsa ekvivalent bo'ladi T 1 = T 2. Bunga ishonch hosil qilish uchun har qanday ildiz ekanligini ko'rsatish kerak T 1 tenglamaning ildizi (2) va aksincha, har qanday ildiz T 2(1) tenglamaning ildizidir.

Raqamga ruxsat bering a(1) tenglamaning ildizidir. Keyin a? T 1, va (1) tenglamaga almashtirilsa, uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f (a) = g (a) va ifoda h (x) sonli ifodaga aylantiradi h(a), bu to'plamda mantiqiy X. Haqiqiy tenglikning ikkala tomoniga qo'shing f (a) = g (a) raqamli ifoda h(a). Haqiqiy sonli tengliklarning xossalariga ko'ra haqiqiy sonli tenglikni olamiz f (a) + h(a) =g (a) + h(a), bu raqamni bildiradi a tenglamaning ildizi (2).

Demak, (1) tenglamaning har bir ildizi ham (2) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T 1 bilan T 2.

Keling a -(2) tenglamaning ildizi. Keyin a? T 2 va (2) tenglamaga almashtirilsa, uni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi f (a) + h(a) =g (a) + h(a). Ushbu tenglikning ikkala tomoniga raqamli ifoda qo'shing - h(a), Biz haqiqiy sonli tenglikni olamiz f (x) = g (x), bu raqam ekanligini bildiradi a -(1) tenglamaning ildizi.

Demak, (2) tenglamaning har bir ildizi ham (1) tenglamaning ildizi ekanligi isbotlangan, ya’ni. T 2 bilan T 1.

Chunki T 1 bilan T 2 va T 2 bilan T 1, keyin teng to'plamlar ta'rifi bilan T 1= T 2, bu (1) va (2) tenglamalar ekvivalent ekanligini bildiradi.

Bu teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoniga domen bilan X bir xil to'plamda aniqlangan o'zgaruvchi bilan bir xil ifodani qo'shing, keyin biz berilgan tenglamaga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.

Bu teorema tenglamalarni yechishda qo‘llaniladigan quyidagi xulosalarni bildiradi:

1. Agar tenglamaning ikkala tomoniga u yoki bu son qo'shilsa, u holda berilganga teng tenglamani olamiz.

2. Agar biron-bir atama (raqamli ifoda yoki o'zgaruvchili ifoda) tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazilsa, atama belgisini teskarisiga o'zgartirsa, biz bunga ekvivalent tenglamani olamiz.

Teorema 2. Tenglama bo'lsin f (x) = g (x) to'plamda berilgan X va h (x) - bir xil to'plamda aniqlangan va hech qanday qiymat uchun yo'qolmaydigan ifoda NS ko'pchilikdan X. Keyin tenglamalar f (x) = g (x) va f (x) h(x) =g (x) h(x) ekvivalentdir.

Bu teoremaning isboti 1-teoremaning isbotiga o'xshaydi.

2-teorema boshqacha shakllantirilishi mumkin: agar tenglamaning ikkala tomoni domen bilan bo'lsa X bir xil to'plamda aniqlangan va unda yo'qolmaydigan bir xil ifodaga ko'paytirilsa, biz berilganga ekvivalent yangi tenglamani olamiz.

Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa (yoki bo'linsa), u holda biz berilgan tenglamaga ekvivalentni olamiz.

Bir o‘zgaruvchili tenglamalarni yechish

1- tenglamani yechamiz x/3 = x/6, x ? R va biz hal qilish jarayonida amalga oshiradigan barcha o'zgarishlarni asoslang.

Transformatsiyalar	Konvertatsiya qilish uchun asos
1. Tenglamaning chap va o‘ng tomonidagi ifodalarni umumiy maxrajga keltiramiz: (6-2). NS)/ 6 = NS/6	Tenglamaning chap tomonidagi ifodani bir xil o'zgartirish amalga oshirildi.
2. Umumiy maxrajni tashlang: 6-2 NS = NS	Tenglamaning ikkala tomonini 6 ga (2-teorema) ko'paytirsak, biz berilgan tenglamaga ekvivalent bo'ldik.
3. -2x ifodasini ga o'tkazing o'ng tomon qarama-qarshi ishorali tenglamalar: 6 = NS+2NS.	Biz 1-teoremadan olingan xulosadan foydalandik va oldingi va demak, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama oldik.
4. Tenglamaning o'ng tomonida o'xshash shartlarni beramiz: 6 = 3 NS.	Ifodaning bir xil o'zgarishini amalga oshirdilar.
5. Tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo‘ling: NS = 2.	Biz 2-teoremadan olingan xulosadan foydalandik, avvalgisiga, shuning uchun berilganiga teng tenglamani oldik.

Ushbu tenglamani yechishda biz qilgan barcha o'zgarishlar ekvivalent bo'lganligi sababli, bu tenglamaning ildizi 2 ekanligini ta'kidlash mumkin.

Agar tenglamani yechish jarayonida 1 va 2 teoremalarning shartlari bajarilmasa, u holda ildizlarning yo'qolishi yoki begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, oddiyroq tenglamani olish uchun tenglamani o'zgartirganda, ular shunga o'xshash tenglamaga olib kelishini ta'minlash muhimdir.

Masalan, tenglamani ko'rib chiqing x (x - 1) = 2x, x? R... Keling, ikkala qismni ham ajratamiz NS, tenglamani olamiz NS - 1 = 2, qaerdan NS= 3, ya'ni bu tenglama bitta ildizga ega - 3 raqami. Lekin bu to'g'rimi? Berilgan tenglamada o'zgaruvchi o'rniga if ekanligini ko'rish oson NS 0 o'rniga qo'yilsa, u haqiqiy sonli tenglikka aylanadi 0 · (0 - 1) = 2 · 0. Bu shuni anglatadiki, 0 bu tenglamaning ildizi bo'lib, biz o'zgarishlarni amalga oshirishda yo'qotdik. Keling, ularni tahlil qilaylik. Biz qilgan birinchi narsa tenglamaning ikkala tomonini bo'lish edi NS, bular. ifodaga ko'paytiriladi x lekin da NS= Oh, bu mantiqqa to'g'ri kelmaydi. Binobarin, biz 2-teorema shartini bajarmadik, bu esa ildizning yo'qolishiga olib keldi.

Bu tenglamaning ildizlar to'plami ikkita 0 va 3 raqamlaridan iborat ekanligiga ishonch hosil qilish uchun biz boshqa yechim beramiz. Ifodani ko'chirish 2 NS o'ngdan chapga: x (x- 1) - 2x = 0. Qavslar tashqarisidagi tenglamaning chap tomonini chiqaramiz. NS va shunga o'xshash a'zolarni bering: x (x - 3) = 0. Ikki omilning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, agar va faqat ulardan kamida bittasi nolga teng bo‘lsa, shuning uchun x= 0 yoki NS- 3 = 0. Demak, bu tenglamaning ildizlari 0 va 3 ekanligiga erishamiz.

Matematikaning boshlang'ich kursida nazariy asos Tenglamalarni yechish - bu harakatlarning tarkibiy qismlari va natijalari o'rtasidagi munosabatlar. Masalan, tenglamani yechish ( NS 9): 24 = 3 quyidagicha oqlanadi. Noma'lum dividendda bo'lganligi sababli, dividendni topish uchun bo'luvchini ko'rsatkichga ko'paytirish kerak: NS 9 = 24 3 yoki NS 9 = 72.

Noma'lum omilni topish uchun siz mahsulotni ma'lum omilga bo'lishingiz kerak: x = 72: 9 yoki x = 8, shuning uchun bu tenglamaning ildizi 8 raqamidir.

Mashqlar

1 ... Quyidagi yozuvlardan qaysi biri bir o‘zgaruvchili tenglamalar ekanligini aniqlang:

a) ( NS-3) 5 = 12 NS; d) 3 + (12-7) 5 = 16;

b) ( NS-3) 5 = 12; e) ( NS-3) y =12NS;

v) ( NS-3) 17 + 12; e) x 2 - 2x + 5 = 0.

2. Tenglama 2 NS 4 + 4NS 2 -6 = 0 to'plamda berilgan natural sonlar... Nima uchun 1 raqami bu tenglamaning ildizi, lekin 2 va -1 uning ildizi emasligini tushuntiring.

3. tenglamada ( NS+ ...)(2NS + 5) - (NS - 3)(2NS+ 1) = 20 bitta raqam o'chiriladi va nuqtalar bilan almashtiriladi. Agar siz ushbu tenglamaning ildizi 2 raqami ekanligini bilsangiz, o'chirilgan raqamni toping.

4. Quyidagi shartlarni tuzing:

a) 5 raqami tenglamaning ildizidir f (x) = g (x);

b) 7 raqami tenglamaning ildizi emas f (x) = g (x).

5. Quyidagi juft tenglamalardan qaysi biri haqiqiy sonlar to‘plamiga ekvivalent ekanligini aniqlang:

a) 3 + 7 NS= -4 va 2 (3 + 7L NS) = -8;

6)3 + 7NS= -4 va 6 + 7 NS = -1;

c) 3 + 7 NS= -4 va l NS + 2 = 0.

6. Tenglamalarning ekvivalentlik munosabati xossalarini tuzing. Tenglamani yechish jarayonida qaysilaridan foydalaniladi?

7. Tenglamalarni yeching (ularning barchasi haqiqiy sonlar to'plamida berilgan) va ularni soddalashtirish jarayonida bajarilgan barcha o'zgarishlarni asoslang:

a) (7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;

b) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;

2-da NS)2-NS (NS + 1,5) = 4.

8. Talaba yechilgan tenglama 5 NS + 15 = 3 NS+ 9 quyidagicha: Men chap tomonda 5 va o'ng tomonda 3 raqamini chiqardim, men tenglikni oldim 5 (x+ 3) = 3(NS+ 3) va keyin ikkala qismni ifodaga ajrating NS+ 3. 5 = 3 tengligini oldi va bu tenglamaning ildizi yo‘q degan xulosaga keldi. Talaba haqmi?

9. 2 / (2-) tenglamasini yeching x) - ½ = 4 / ((2- x)x); NS? R... 2 raqami bu tenglamaning ildizimi?

10. Komponentlar va harakat natijalari o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib, tenglamalarni yeching:

a) ( NS+ 70) 4 = 328; c) (85 NS + 765): 170 = 98;

b) 560: ( NS+ 9) - 56; G) ( NS - 13581):709 = 306.

11. Masalalarni arifmetik va algebraik usullar yordamida yechish:

a) Birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda 16 ta ko'proq kitob bor. Agar siz har bir javondan 3 ta kitobni olib tashlasangiz, birinchi javonda ikkinchisiga qaraganda bir yarim baravar ko'p kitoblar bo'ladi. Har bir javonda nechta kitob bor?

b) Velosipedchi lager joyidan 26 km bo'lgan stansiyagacha bo'lgan barcha yo'lni 1 soat 10 daqiqada bosib o'tdi. Bu vaqtning dastlabki 40 daqiqasida u xuddi shu tezlikda, qolgan vaqtda esa 3 km/soat kamroq tezlikda yurdi. Yo'lning birinchi pog'onasida velosipedchining tezligini toping.

Ta'rif. Mantiq algebrasining ikkita formulasi A va B deyiladi ekvivalent, agar ular elementar bayonotlar formulalariga kiritilgan har qanday qiymatlar to'plamida bir xil mantiqiy qiymatlarni qabul qilsalar.

Formulalarning ekvivalentligi belgi va yozuv bilan belgilanadi A V formulalarni bildiradi A va B ekvivalentdir.

Masalan, formulalar ekvivalentdir:

Formula A deb ataladi xuddi shunday haqiqat (yoki tavtologiya) agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 1 qiymatini qabul qilsa.

Masalan, formulalar , .

Formula A chaqirdi xuddi shunday yolg'on, agar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun 0 qiymatini qabul qilsa.

Masalan, formula xuddi shunday noto'g'ri.

Ko'rinib turibdiki, ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va tranzitivdir.

Ekvivalentlik va ekvivalentlik tushunchalari o'rtasida quyidagi bog'liqlik mavjud: formulalar bo'lsa A va V ekvivalent, keyin formula A V- tavtologiya va aksincha, formula bo'lsa A V- tavtologiya, keyin formulalar A va V ekvivalentdir.

Mantiq algebrasining eng muhim ekvivalentlarini uch guruhga bo'lish mumkin.

1. Asosiy ekvivalentlar:

Yutish qonunlaridan birini isbotlaylik. Formulani ko'rib chiqing . Agar ushbu formulada bo'lsa a= 1 keyin, shubhasiz, va esa ikkita to'g'ri bayonotning birikmasi. Endi formulaga ruxsat bering A x = 0. Ammo keyin, ta'rifiga ko'ra, qo'shma amal yolg'on va bog'lovchi bo'ladi . Shunday qilib, barcha holatlarda formulaning qiymatlari A qiymatlarga mos keladi a, va shuning uchun A x.

2. Ayrim mantiqiy amallarni boshqalar orqali ifodalovchi ekvivalentlar:

5 va 6 ekvivalentlar mos ravishda 3 va 4 ekvivalentlardan olinganligi aniq, agar ikkinchisining ikkala qismidan negativlarni olsak va qo'sh negativlarni olib tashlash qonunidan foydalansak. Shunday qilib, birinchi to'rtta ekvivalentlik isbotga muhtoj. Keling, ulardan ikkitasini isbotlaylik: birinchi va uchinchi.

Chunki bir xil mantiqiy qiymatlar bilan NS va da formulalar,, rost, keyin bog`lovchi . Shuning uchun, bu holda, ekvivalentlikning ikkala qismi ham bir xil haqiqiy qiymatlarga ega.

Keling NS va da turli mantiqiy ma’nolarga ega. Keyin ekvivalentlik va ikkita ta'sirdan biri yoki noto'g'ri bo'ladi. Xuddi shu paytni o'zida

yolg‘on va bog‘lovchi bo‘ladi ... Shunday qilib, bu holda, ekvivalentlikning ikkala qismi ham bir xil mantiqiy qiymatlarga ega.

Ekvivalentlikni hisobga oling 3. Agar NS va da bir vaqtning o'zida haqiqiy qiymatlarni qabul qiling, shunda birikma haqiqat bo'ladi x & y va birikmaning noto‘g‘ri inkori. Shu bilan birga, va va va yolg'on bo'ladi, shuning uchun diszyunksiya .

Endi o'zgaruvchilardan kamida bittasiga ruxsat bering NS yoki da false qiymatini qabul qiladi. Shunda qo‘shma gap yolg‘on bo‘ladi x & y va uning haqiqiy inkori. Shu bilan birga, o'zgaruvchilardan kamida bittasining inkori to'g'ri bo'ladi va shuning uchun dis'yunksiya ham to'g'ri bo'ladi. .

Shuning uchun hamma hollarda 3-ekvivalentning ikkala qismi ham bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi.

2 va 4 ning ekvivalentlari xuddi shunday isbotlangan.

Bu guruhning ekvivalentlaridan kelib chiqadiki, mantiq algebrasining har qanday formulasi faqat ikkita mantiqiy amalni o'z ichiga olgan ekvivalent formula bilan almashtirilishi mumkin: konyunksiya va inkor yoki dis'yunksiya va inkor.

Keyinchalik mantiqiy operatsiyalarni istisno qilish mumkin emas. Shunday qilib, agar biz faqat birikmani ishlatsak, unda inkor kabi formula allaqachon mavjud NS bog‘lovchi amal yordamida ifodalab bo‘lmaydi.

Biroq, biz foydalanadigan beshta mantiqiy amalning istalganini ifodalash mumkin bo'lgan operatsiyalar mavjud. Bunday operatsiya, masalan, Schaeffer Stroke operatsiyasi. Ushbu operatsiya belgisi bilan ko'rsatilgan x |y va quyidagi haqiqat jadvali bilan aniqlanadi:

x	y	x \|y

Shubhasiz, ekvivalentlar mavjud:

2) x & y (x | y) | (x | y).

Bu ikki ekvivalentlikdan kelib chiqadiki, mantiq algebrasining istalgan formulasini faqat “Sxeffer zarbasi” amalini o‘z ichiga olgan ekvivalent formula bilan almashtirish mumkin.

Eslab qoling.

Operatsiya xuddi shunday kiritilishi mumkin .

3. Mantiq algebrasining asosiy qonunlarini ifodalovchi ekvivalentlar:

1. x & y y & x - qo‘shma gapning kommutativligi.

2. x da y NS- kommutativ disjunktsiya.

3. x & (y & z) (x & y) & z- qo‘shma gapning assotsiativligi.

4. NS(y z ) (NS y) z-dizyunksiyaning assotsiativligi.

5. x & (y z) (x & y) (x va z)- qo‘shma gapning dizyunksiyaga nisbatan distributivligi.

6. NS (y & z) (NS y) & (x z ) -dizyunksiyaning qo‘shma gapga nisbatan taqsimlanishi.

Keling, sanab o'tilgan qonunlarning oxirgisini isbotlaylik. Agar NS= 1, keyin formulalar NS (y & z), NS y, x z . Ammo keyin birikma (NS y) & (x z ). Shunday qilib, uchun NS= 1 ekvivalentlikning ikkala qismi 6 bir xil mantiqiy qiymatlarni oladi (to'g'ri).

Keling x = 0. Keyin NS (y & z) y & z, x da da va x z z , va shuning uchun qo‘shma gap NS (y & z) y & z... Demak, bu yerda 6 ekvivalentining ikkala tomoni bir xil formulaga ekvivalentdir y & z, va shuning uchun bir xil mantiqiy qiymatlarni qabul qiling.

§ 5. Formulalarni ekvivalent o'zgartirishlar

I, II va III guruhlarning ekvivalentlaridan foydalanib, formulaning bir qismini yoki formulani ekvivalent formulaga almashtirish mumkin. Formulalarning bunday o'zgarishi deyiladi ekvivalent.

Ekvivalent transformatsiyalar ekvivalentlikni isbotlash, formulalarni berilgan shaklga keltirish, formulalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

Formula A ekvivalent formuladan oddiyroq hisoblanadi V, agar u kamroq harflardan iborat bo'lsa, mantiqiy operatsiyalar kamroq bo'ladi. Bunda ekvivalentlik va implikatsiya amallari odatda dis'yunksiya va konyunksiya amallari bilan almashtiriladi va inkor elementar gaplar deb ataladi. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Ekvivalentlikni isbotlang .

I, II va III guruhlarning ekvivalentlaridan foydalanish

2. Formulani soddalashtiring .

Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:

3. Formulaning o‘ziga xosligini isbotlang

Ekvivalent formulalar zanjirini yozamiz:

Bul algebrasi

III guruh ekvivalentlari mantiq algebrasi konyunksiya va dis’yunksiya amallariga nisbatan kommutativ va assotsiativ qonunlarga, dis’yunksiyaga nisbatan distributiv konyunksiya qonuniga ega ekanligini ko‘rsatadi; xuddi shu qonunlar sonlar algebrasida ham sodir bo‘ladi. Demak, mantiq algebrasi formulalari ustida ham sonlar algebrasida amalga oshiriladigan o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin (qavslarni ochish, qavslar ichiga olish, umumiy omilni qavslar tashqarisida qoldirish).

Ammo mantiq algebrasida ekvivalentlardan foydalanishga asoslangan boshqa o'zgarishlar ham mumkin:

Bu xususiyat keng qamrovli umumlashmalarga kelish imkonini beradi.

Bo'sh bo'lmagan to'plamni ko'rib chiqing M har qanday tabiatning elementlari ( x, y, z, ...} , bunda "=" (teng) munosabat va uchta amal aniqlanadi: "+" (qo'shish), "" (ko'paytirish) va "-" (inkor qilish), quyidagi aksiomalarga bo'ysunadi:

Kommutativ qonunlar:

1a. x + y = y + x, 1b. NS y = y NS.

Assotsiativ qonunlar:

2a. x + (y + z)= (x + y) + z, 2b. NS (da z) = (x y) z.

Tarqatish qonunlari:

3a. (x + y) z = (x z ) + (y G) 3b. (x y) + z = (x + z) (y + z).

Idepotentlik qonunlari:

4a. x + x = x, 4b. NS x = x.

Ikki tomonlama inkor qonuni:

De Morgan qonunlari:

6a. , 6b . .

Absorbsiya qonunlari:

7a. x + (y NS)= NS, 7b. NS (y + x) = x.

Juda ko'p M chaqirdi Mantiqiy algebra.

Agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... gaplarni, mos ravishda "+", "", "-" dis'yunksiya, konyunksiya, inkor qilish amallari bilan tushuniladi va tenglik belgisi tenglik belgisi sifatida qaraladi, keyin I, II va III guruh ekvivalentlaridan kelib chiqadi. , mantiqiy algebraning barcha aksiomalari qanoatlantiriladi.

Aksiomalarning ma'lum bir tizimi uchun barcha aksiomalar qanoatlantirilishi uchun muayyan ob'ektlarni va ular orasidagi o'ziga xos munosabatlarni tanlash mumkin bo'lgan hollarda, ular topilgan deb aytishadi. talqin(yoki modeli) bu aksiomalar tizimi.

Demak, mantiqiy algebra mantiqiy algebraning talqinidir. Bul algebrasining boshqa talqinlari ham bor. Misol uchun, agar asosiy elementlar ostida bo'lsa x, y, z, ... ko'pchilik M to'plamlarni, mos ravishda "+", "", "-" birlashma, kesish, qo'shish amallari va teng belgisi bilan - to'plamlarning teng belgisini anglatsak, to'plamlar algebrasiga kelamiz. To'plamlar algebrasida mantiqiy algebraning barcha aksiomalari bajarilishini tekshirish oson.

Mantiqiy algebraning turli talqinlari orasida texnik xarakterdagi talqinlar ham mavjud. Ulardan biri quyida muhokama qilinadi. Ko'rsatilgandek, u o'ynaydi muhim rol zamonaviy avtomatlashtirishda.

Mantiqiy algebra funktsiyalari

Yuqorida aytib o'tilganidek, mantiq algebrasi formulasining ma'nosi butunlay ushbu formulaga kiritilgan bayonotlarning qiymatlariga bog'liq. Demak, mantiq algebrasining formulasi unga kiritilgan elementar gaplarning funktsiyasidir.

Masalan, formula - bu funksiya

uchta o'zgaruvchi f (x, y, z). Ushbu funktsiyaning o'ziga xos xususiyati shundaki, uning argumentlari ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta va funktsiya ikkita qiymatdan birini oladi: nol yoki bitta.

Ta'rif. Mantiqiy algebra funktsiyasi ha o'zgaruvchilari (yoki Mantiqiy funktsiya) m o'zgaruvchidan iborat funktsiya chaqiriladi, bunda har bir o'zgaruvchi ikkita qiymatni oladi: 0 va 1 va funktsiya ikkita qiymatdan faqat bittasini olishi mumkin: 0 yoki 1.

Ko'rinib turibdiki, mantiq algebrasining bir xil to'g'ri va bir xil noto'g'ri formulalari doimiy funktsiyalar bo'lib, ikkita ekvivalent formulalar bir xil funktsiyani ifodalaydi.

Keling, n ta o'zgaruvchining funksiyalar soni qancha ekanligini bilib olaylik. Shubhasiz, mantiq algebrasining har bir funktsiyasini (shuningdek, mantiq algebrasining formulasini) 2 n qatordan iborat bo'lgan haqiqat jadvali yordamida aniqlash mumkin. Shunday qilib, n ta o'zgaruvchining har bir funktsiyasi nol va birlardan tashkil topgan 2 n qiymatni oladi. Shunday qilib, n ta o‘zgaruvchining funksiyasi to‘liq nollar va 2 n uzunlikdagi birliklar qiymatlari to‘plami bilan aniqlanadi. (Nollar va 2 n uzunlikdagi birliklardan tashkil topgan to‘plamlarning umumiy soni teng. Demak, har xil o‘zgaruvchilar soni Boolean algebrasining vazifalari NS o'zgaruvchilar teng.

Xususan, bitta o‘zgaruvchining to‘rt xil funksiyasi, ikki o‘zgaruvchining o‘n olti xil funksiyasi mavjud. Keling, bitta mantiq algebrasining barcha funktsiyalarini yozamiz va ikkita o'zgaruvchi.

Bitta o'zgaruvchining turli funktsiyalari uchun haqiqat jadvalini ko'rib chiqing. Bu aniq ko'rinadi:

x	f 1 (x)	f 2 (x)	f 3 (x)	f 3 (x)
1

Ushbu jadvaldan kelib chiqadiki, bitta o'zgaruvchining ikkita funktsiyasi doimiy bo'ladi: f 1 (x) = 1, f 4 (x) = 0, va f 2 (x) NS, va f 3 (x) .

Ikki o‘zgaruvchining barcha mumkin bo‘lgan funksiyalari uchun haqiqat jadvali:

f i = f i (x, y)

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

f 6

f 7

f 8

f 9

f 10

f 11

f 12

f 13

f 14

f 15

f 16

Bu funksiyalarning analitik ifodalarini quyidagicha yozish mumkinligi aniq.

Matematikadan ochiq dars "Bernuli sxemasi. Bernuli va Laplas sxemasi bo'yicha masalalar yechish"

Didaktik: ehtimolliklarni hisoblash uchun Bernulli sxemasi bilan ishlash ko'nikma va malakalarini egallash.

Rivojlantiruvchi: bilimlarni amaliyotda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirish, o'quvchilarning funktsional tafakkurini shakllantirish va rivojlantirish, taqqoslash, tahlil qilish va sintez qilish ko'nikmalarini rivojlantirish, juftlikda ishlash ko'nikmalarini rivojlantirish, kasbiy so'z boyligini kengaytirish.

Ushbu o'yinni qanday o'ynash mumkin:

Tarbiyaviy: nazariyani amaliy qo'llash orqali fanga qiziqishni rivojlantirish, ongli o'zlashtirishga erishish o'quv materiali talabalar, jamoada ishlash qobiliyatini shakllantirish, to'g'ri foydalanish kompyuter terminlari, fanga qiziqish, kelajak kasbiga hurmat.

Bilimning ilmiy xarakteri: B

Dars turi: aralash dars:

oldingi darslarda o'tgan materialni mustahkamlash;
tematik, axborot-muammo texnologiyasi;
ushbu darsda o'rganilgan materialni umumlashtirish va mustahkamlash.

O'qitish usuli: tushuntirish - tasviriy, muammoli.

Bilimlarni nazorat qilish: frontal so'rov, muammolarni hal qilish, taqdimot.

Darsning moddiy-texnik jihozlanishi. kompyuter, multimedia proyektori.

Uslubiy ta'minot: ma'lumotnomalar, dars mavzusi bo'yicha taqdimot, krossvord.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt: 5 min.

(salomlashish, guruhning darsga tayyorligi).

2. Bilimlarni tekshirish:

Slaydlarda savollarni old tomondan tekshirish: 10 min.

"Ehtimollar nazariyasi" bo'limining ta'riflari
"Ehtimollar nazariyasi" bo'limining asosiy tushunchasi
"Ehtimollar nazariyasi" qanday hodisalarni o'rganadi?
tasodifiy hodisaga xos xususiyat
ehtimolliklarning klassik ta'rifi

Xulosa qilish. 5 daqiqa.

3. Qator bo`yicha masalalar yechish: 5 min.

1-masala. Zar tashlanadi. Teg va 5 balldan kam ball olish ehtimoli qanday?

Muammo 2. Qutida to'qqizta bir xil radio trubka bor, ulardan uchtasi ishlatilgan. Ish kuni davomida usta uskunani ta'mirlash uchun ikkita radio trubkani olishga majbur bo'ldi. Qabul qilingan ikkala chiroq ham ishlatilgan bo'lish ehtimoli qanday?

Masala 3. Kinoteatrning uchta zalida uch xil film namoyish etiladi. 1-zalning kassalarida ma'lum bir soatga chiptalar bo'lish ehtimoli 0,3 ga, 2-zalning kassalarida - 0,2 ga, 3-zalning kassalarida - 0,4 ga teng. Ma'lum bir soatda kamida bitta film uchun chipta sotib olish ehtimoli qanday?

4. Masalalarni yechish usullarini doskada tekshirish. Ilova 1,5 min.

Muammolarni hal qilish bo'yicha 5-xulosa:

Har bir vazifa uchun hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil: m va n - const

6. Topshiriq orqali maqsadni belgilash: 5 min.

Vazifa. Ikki teng shaxmatchi shaxmat o'ynaydi. To'rtta o'yindan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli qanday?

Oltita o'yindan uchtasida g'alaba qozonish ehtimoli qanday (durang hisobga olinmaydi)?

Savol. O'ylab ko'ring va ushbu topshiriqning savollari oldingi topshiriqlarning savollaridan qanday farq qiladi?

Javobga erishish uchun mulohaza yuritish, taqqoslash: savollarda m va n farqlanadi.

7. Dars mavzusi:

p-const bilan n ta tajribadan k marta hodisaning yuz berish ehtimolini hisoblash.

Agar har bir testda A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli boshqa sinovlar natijalariga bog'liq bo'lmagan sinovlar o'tkazilsa, unda bunday sinovlar A hodisasiga bog'liq bo'lmagan testlar deb ataladi. xuddi shu.

Bernulli formulasi. n ta mustaqil sinovda, har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli p (0) ga teng bo'lish ehtimoli.

yoki 2-ilova Bernulli formulasi, bu yerda k, n kichik sonlar bunda q = 1-p

Yechish: Ekvivalent shaxmatchilar o‘ynamoqda, shuning uchun g‘alaba qozonish ehtimoli p = 1/2; shuning uchun q ni yo'qotish ehtimoli ham 1/2 ga teng. Barcha o'yinlarda g'alaba qozonish ehtimoli doimiy bo'lgani uchun va o'yinlar qanday ketma-ketlikda g'alaba qozonishi muhim emasligi sababli, Bernulli formulasi qo'llaniladi. 5 daqiqa

Keling, to'rtta o'yindan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli topilsin:

Oltita o'yindan uchtasida g'alaba qozonish ehtimoli topilsin:

P4 (2)> P6 (3) bo'lgani uchun, oltitadan uchtadan to'rttadan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli ko'proq.

8. Vazifa.

Har bir testda bu hodisaning yuzaga kelish ehtimoli 0,25 ga teng bo‘lsa, 243 ta testda A hodisasining roppa-rosa 70 marta sodir bo‘lish ehtimolini toping.

k = 70, n = 243 Demak, k va n katta sonlardir. Bu shuni anglatadiki, Bernulli formulasi yordamida hisoblash qiyin. Bunday hollarda mahalliy Laplas formulasi qo'llaniladi:

X ning musbat qiymatlari uchun 3-ilova 4-ilovada keltirilgan; x ning manfiy qiymatlari uchun bir xil jadvaldan foydalaning va =.