Kvadrat tengsizliklar. Quvvat yoki eksponensial tenglamalar x teng

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun saytimizning youtube kanaliga.

Birinchidan, darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta sodir bo'ladi, biz bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar- bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asosi sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki o'lchov.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bunday misolni hatto ongda ham hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, shunday qilib, chap va o'ng qism teng bo'lsa, x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qaror qanday qabul qilinishi kerakligini ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Ushbu tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, deuces) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi yechimimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning asoslari o'ngda va chapda. Agar asoslar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo'lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi ba'zi misollarni hal qilaylik:

Oddiydan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama chiqdi.
x=4 - 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin, bular 3 va 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Boshlash uchun biz to'qqiztasini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. 9=3 2 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Biz 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ni olamiz

3 3x \u003d 3 2x + 16 endi chap va o'ng tomonlardagi asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani oldi
3x-2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Avvalo, biz bazalarni ko'rib chiqamiz, bazalar ikki va to'rtta farq qiladi. Va biz bir xil bo'lishimiz kerak. Biz to'rtburchakni (a n) m = a nm formulasiga muvofiq aylantiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizga xalaqit beradi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda biz 2 2x takrorlanganimizni ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2x qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

4=2 2 ni tasavvur qiling:

2 2x \u003d 2 2 tayanch bir xil, ularni tashlang va darajalarni tenglashtiring.
2x \u003d 2 eng oddiy tenglama bo'lib chiqdi. Biz uni 2 ga bo'lamiz, olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x - 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Biz uchun asoslar bir xil, uchtaga teng.Bu misolda birinchi uchlik ikkinchisiga (faqat x) nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rish mumkin. Bunday holda siz qaror qabul qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Eng kichik darajali raqam quyidagi bilan almashtiriladi:

Keyin 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t bilan tenglamada barcha darajalarni x bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Oʻzgaruvchi sahifasiga qaytish x.

Biz t 1 ni olamiz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Saytda siz o'zingizni qiziqtirgan savollarni berishda QAROR BERISHGA YORDAM BERISH bo'limida mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bunda a , b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar, a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan yechim usullarini o'rganishdan oldin, barcha kvadrat tenglamalarni uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

Ildizlari yo'q;
Ularning aynan bitta ildizi bor;
Ular ikki xil ildizga ega.

Bu muhim farq kvadrat tenglamalar chiziqlilardan, bu erda ildiz har doim mavjud va noyobdir. Tenglamaning nechta ildizi borligini qanday aniqlash mumkin? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglama berilsin.U holda diskriminant oddiygina D = b 2 - 4ac soni bo'ladi.

Bu formulani yoddan bilish kerak. Endi u qaerdan kelgani muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminantning belgisi bilan kvadrat tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlashingiz mumkin. Aynan:

Agar D< 0, корней нет;
Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
Agar D > 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

E'tibor bering: diskriminant negadir ko'pchilik o'ylaganidek, ularning belgilarini emas, balki ildizlarning sonini ko'rsatadi. Misollarni ko'rib chiqing va siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar nechta ildizga ega:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Demak, diskriminant musbat, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani xuddi shu tarzda tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz kelishmovchiliklarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz uchun tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz" bir muncha vaqt o'tgach, barcha koeffitsientlarni yozishingiz shart emas. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Aksariyat odamlar buni 50-70 ta echilgan tenglamadan keyin bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadrat tenglamaning ildizlari

Endi yechimga o'tamiz. Diskriminant D > 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, siz ushbu formulalarning har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil raqamni olasiz, bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \o'ng))=3. \\ \end (tekislash)\]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Har qanday formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblay olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha xatolar formulaga manfiy koeffitsientlar kiritilganda sodir bo'ladi. Bu erda yana, yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulaga tom ma'noda qarang, har bir qadamni bo'yash - va tezda xatolardan xalos bo'ling.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar

Shunday bo'ladiki, kvadrat tenglama ta'rifda berilganidan biroz farq qiladi. Masalan:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadrat tenglamalarni echish standart tenglamalarga qaraganda osonroq: ular hatto diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, keling, yangi kontseptsiyani kiritamiz:

ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementning koeffitsienti nolga teng.

Albatta, bu koeffitsientlarning ikkalasi ham nolga teng bo'lganda juda qiyin holat bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bunday holda, tenglama ax 2 \u003d 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bittaga ega. ildiz: x \u003d 0.

Keling, boshqa holatlarni ko'rib chiqaylik. b \u003d 0 bo'lsin, keyin ax 2 + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz. Keling, uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik (−c / a ) ≥ 0 bo'lgandagina ma'noga ega bo'ladi. Xulosa:

Agar ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (−c / a ) ≥ 0 tengsizlikni qanoatlantirsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
Agar (−c / a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant kerak emas edi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda murakkab hisoblar umuman yo'q. Aslida, (−c / a ) ≥ 0 tengsizligini eslash ham shart emas. X 2 qiymatini ifodalash va tenglik belgisining boshqa tomonida nima borligini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz, bunda erkin element nolga teng. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Polinomni faktorlarga ajratish kifoya:

Qavsdan umumiy omilni chiqarish

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu erdan ildizlar paydo bo'ladi. Xulosa qilib aytganda, biz ushbu tenglamalarning bir nechtasini tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni yeching:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, chunki kvadrat manfiy songa teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

y=k/y funksiyani ko‘rib chiqaylik. Bu funksiyaning grafigi chiziq bo‘lib, matematikada giperbola deb ataladi. Umumiy shakl giperbola quyidagi rasmda ko'rsatilgan. (Grafikda y ga teng k funksiyasi x ga bo'lingan, bu erda k birga teng.)

Ko'rinib turibdiki, grafik ikki qismdan iborat. Bu qismlar giperbolaning shoxlari deb ataladi. Shuni ham ta'kidlash joizki, giperbolaning har bir tarmog'i yo'nalishlardan birida koordinata o'qlariga tobora yaqinlashadi. Bu holda koordinata o'qlari asimptotlar deb ataladi.

Umuman, funksiya grafigi cheksiz yaqinlashadigan, lekin yetib bormaydigan har qanday to‘g‘ri chiziqlar asimptotalar deyiladi. Giperbola, xuddi parabola kabi, simmetriya o'qlariga ega. Yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan giperbola uchun bu y=x to'g'ri chiziqdir.

Endi giperbolalarning ikkita umumiy holatini ko'rib chiqamiz. y = k/x funksiyaning grafigi k ≠ 0 bo‘lganda, shoxlari yo birinchi va uchinchi koordinata burchaklarida, k>0 uchun yoki ikkinchi va to‘rtinchi koordinata burchaklarida joylashgan giperbola bo‘ladi. k uchun<0.

y = k/x funksiyaning asosiy xossalari, k>0 uchun

y = k/x funksiya grafigi, k>0 uchun

5. x>0 uchun y>0; y6. Funktsiya (-∞;0) oraliqda ham, (0;+∞) oraliqda ham kamayadi.

10. Funksiya diapazoni ikkita ochiq intervalli (-∞;0) va (0;+∞).

y = k/x funksiyaning asosiy xossalari, k uchun<0

y = k/x funksiyaning grafigi, k uchun<0

1. (0;0) nuqta giperbolaning simmetriya markazidir.

2. Koordinatalar o'qlari - giperbolaning asimptotalari.

4. Funktsiya doirasi x=0 dan tashqari hammasi x bo'ladi.

5. x0 uchun y>0.

6. Funksiya (-∞;0) oraliqda ham, (0;+∞) oraliqda ham ortadi.

7. Funktsiya pastdan yoki yuqoridan cheklanmaydi.

8. Funksiya eng katta va eng kichik qiymatlarga ega emas.

9. Funksiya (-∞;0) oraliqda va (0;+∞) oraliqda uzluksizdir. x=0 nuqtada bo'shliq mavjud.

Qadim zamonlardan beri amaliy masalalarni hal qilishda qiymatlar va miqdorlarni taqqoslash kerak edi. Shu bilan birga bir jinsli miqdorlarni solishtirish natijalarini bildiruvchi ko‘proq va kamroq, balandroq va past, engilroq va og‘irroq, sokinroq va balandroq, arzonroq va qimmatroq kabi so‘zlar paydo bo‘lgan.

Ko'p va kamroq tushunchalari predmetlarni sanash, miqdorlarni o'lchash va taqqoslash bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. Misol uchun, qadimgi Yunoniston matematiklari har qanday uchburchakning tomoni boshqa ikki tomonning yig'indisidan kichik ekanligini va uchburchakning katta tomoni kattaroq burchakka qarama-qarshi yotishini bilishgan. Arximed aylananing aylanasini hisoblar ekan, har qanday aylananing perimetri diametrning yettidan bir qismidan kam bo‘lgan, lekin diametrining o‘n yetmish birinchi qismidan ortiq bo‘lgan ortig‘i bilan diametrining uch barobariga teng ekanligini aniqladi.

> va b belgilaridan foydalanib sonlar va miqdorlar orasidagi munosabatlarni ramziy ravishda yozing. Ikkita son belgilardan biri bilan bog‘langan yozuvlar: > (kattaroq), Boshlang‘ich sinflarda sonli tengsizliklarga ham duch kelgansiz. Bilasizki, tengsizliklar to'g'ri bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Masalan, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) haqiqiy sonli tengsizlik, 0,23 > 0,235 yaroqsiz sonli tengsizlik.

Noma'lumlarni o'z ichiga olgan tengsizliklar noma'lumlarning ba'zi qiymatlari uchun to'g'ri, boshqalari uchun noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, 2x+1>5 tengsizlik x = 3 uchun to'g'ri, x = -3 uchun noto'g'ri. Bitta noma'lum bo'lgan tengsizlik uchun siz vazifani qo'yishingiz mumkin: tengsizlikni yeching. Tengsizliklarni yechish masalalari amalda tenglamalarni yechish masalalaridan kam bo‘lmagan tez-tez qo‘yiladi va yechiladi. Masalan, ko'p iqtisodiy muammolar chiziqli tengsizliklar sistemalarini o'rganish va yechishga keltiriladi. Matematikaning ko'p bo'limlarida tengsizliklar tenglamalarga qaraganda ko'proq uchraydi.

Ayrim tengsizliklar ma'lum bir ob'ektning, masalan, tenglamaning ildizining mavjudligini isbotlash yoki inkor qilish uchun yagona yordamchi vosita bo'lib xizmat qiladi.

Raqamli tengsizliklar

Butun va o'nli sonlarni solishtirishingiz mumkin. Maxrajlari bir xil, lekin sanoqchilari har xil bo‘lgan oddiy kasrlarni solishtirish qoidalarini bilish; soni bir xil, lekin maxrajlari har xil. Bu yerda siz har qanday ikkita raqamni ularning ayirma belgisini topib solishtirishni o'rganasiz.

Raqamlarni solishtirish amaliyotda keng qo'llaniladi. Masalan, iqtisodchi rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni haqiqiy ko'rsatkichlar bilan solishtiradi, shifokor bemorning haroratini me'yoriy bilan, tokar ishlov berilgan qismning o'lchamlarini standart bilan solishtiradi. Bunday hollarda ba'zi raqamlar taqqoslanadi. Raqamlarni solishtirish natijasida sonli tengsizliklar yuzaga keladi.

Ta'rif. Agar a soni b sonidan katta bo'lsa farq a-b ijobiy. Agar a-b farqi manfiy bo'lsa, a soni b sonidan kichikdir.

Agar a b dan katta bo'lsa, ular yozadilar: a > b; agar a b dan kichik bo'lsa, u holda yozadilar: a Shunday qilib, a > b tengsizlik a - b farqining ijobiy ekanligini bildiradi, ya'ni. a - b > 0. Tengsizlik a Quyidagi uchta munosabatdan har qanday ikkita a va b sonlar uchun a > b, a = b, a Teorema. Agar a > b va b > c bo'lsa, a > c.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil son qo'shilsa, u holda tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi.
Natija. Har qanday atama tengsizlikning bir qismidan ikkinchisiga bu hadning belgisini teskarisiga o'zgartirish orqali o'tkazilishi mumkin.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa ko'paytirilsa, tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlikning belgisi teskari tomonga o'zgaradi.
Natija. Agar tengsizlikning ikkala qismi bir xil musbat songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi bir xil manfiy songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

Bilasizki, sonli tengliklarni qo‘shish va hadga ko‘paytirish mumkin. Keyinchalik, tengsizliklar bilan o'xshash harakatlarni qanday bajarishni o'rganasiz. Tengsizliklarni atama bo'yicha qo'shish va ko'paytirish qobiliyati amalda ko'pincha qo'llaniladi. Ushbu harakatlar ifoda qiymatlarini baholash va taqqoslash muammolarini hal qilishga yordam beradi.

Turli masalalarni yechishda ko'pincha tengsizliklarning chap va o'ng qismlarini hadga qo'shish yoki ko'paytirish kerak bo'ladi. Ba'zan tengsizliklar qo'shiladi yoki ko'paytiriladi, deyiladi. Misol uchun, agar turist birinchi kuni 20 km dan ortiq, ikkinchi kuni esa 25 km dan ortiq yo'l bosib o'tgan bo'lsa, u holda ikki kun ichida u 45 km dan ortiq masofani bosib o'tgan deb bahslashish mumkin. Xuddi shunday, agar to'rtburchakning uzunligi 13 sm dan kam bo'lsa va kengligi 5 sm dan kam bo'lsa, unda bu to'rtburchakning maydoni 65 sm2 dan kam bo'lishi mumkin.

Ushbu misollarni ko'rib chiqsak, quyidagilar Tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari:

Teorema. Xuddi shu belgili tengsizliklarni qo'shganda bir xil belgili tengsizlikni olamiz: a > b va c > d bo'lsa, a + c > b + d bo'lsa.

Teorema. Chap va o'ng qismlari musbat bo'lgan bir xil belgili tengsizliklarni ko'paytirishda bir xil belgili tengsizlik olinadi: agar a > b, c > d va a, b, c, d musbat sonlar bo'lsa, u holda ac > bd.

> (katta) va 1/2, 3/4 b, c belgisi bo'lgan tengsizliklar > va qat'iy tengsizliklar bilan bir qatorda, \(a \geq b \) tengsizlik a soni dan katta ekanligini bildiradi. yoki b ga teng, ya'ni va b dan kam emas.

\(\geq \) yoki \(\leq \) belgisini o'z ichiga olgan tengsizliklar qat'iy bo'lmagan deb ataladi. Masalan, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) qat`iy tengsizliklar emas.

Qattiq tengsizliklarning barcha xossalari qat'iy bo'lmagan tengsizliklar uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, agar qat'iy tengsizliklar uchun belgilar > qarama-qarshi deb hisoblangan bo'lsa va siz bilasizki, bir qator amaliy masalalarni hal qilish uchun tenglama yoki tenglamalar tizimi ko'rinishidagi matematik modelni tuzish kerak. Bundan tashqari, siz ko'p muammolarni hal qilish uchun matematik modellar noma'lumlar bilan tengsizliklar ekanligini bilib olasiz. Tengsizlikni yechish tushunchasi bilan tanishamiz va berilgan son ma'lum bir tengsizlikning yechimi ekanligini tekshirishni ko'rsatamiz.

Shaklning tengsizliklari
\(ax > b, \quad ax bu erda a va b raqamlar berilgan va x noma'lum, deyiladi chiziqli tengsizliklar noma'lum biri bilan.

Ta'rif. Bitta noma’lumli tengsizlikning yechimi noma’lumning qiymati bo‘lib, bu tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi. Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo‘qligini aniqlash demakdir.

Siz tenglamalarni eng oddiy tenglamalarga qisqartirish orqali hal qildingiz. Xuddi shunday, tengsizliklarni yechishda ularni xossalar yordamida eng oddiy tengsizliklar shakliga keltirishga intiladi.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish

Shaklning tengsizliklari
\(ax^2+bx+c >0 \) va \(ax^2+bx+c bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c ba'zi raqamlar va \(a \neq 0 \) deyiladi. bitta o'zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklar.

Tengsizlikni yechish
\(ax^2+bx+c >0 \) yoki \(ax^2+bx+c \) funksiyani \(y= ax^2+bx+c \) musbat qabul qiladigan boʻshliqlarni topish deb qarash mumkin. yoki manfiy qiymatlar Buning uchun \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) funksiyaning grafigi koordinata tekisligida qanday joylashganligini tahlil qilish kifoya: parabolaning shoxlari yo'naltirilgan joyga - yuqoriga yoki pastga. , parabola x o'qini kesib o'tadimi yoki yo'qmi va agar kesishsa, u holda qaysi nuqtalarda.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish algoritmi:
1) kvadrat trinomning diskriminantini toping \(ax^2+bx+c\) va uchburchakning ildizlari borligini aniqlang;
2) agar trinomning ildizlari bo'lsa, ularni x o'qi bo'yicha belgilang va shoxlari a > 0 da yuqoriga yoki pastga 0 da pastga yo'naltirilgan belgilangan nuqtalar orqali sxematik ravishda parabola chizing 3) toping. x o'qidagi bo'shliqlar, ular uchun parabolalar x o'qi ustida joylashgan (agar ular \(ax^2+bx+c >0 \) tengsizlikni yechishsa) yoki x o'qi ostida (agar ular tengsizlikni yechishsa).
\(ax^2+bx+c Tengsizliklarni intervallar usulida yechish

Funktsiyani ko'rib chiqing
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Bu funksiyaning sohasi barcha raqamlar to'plamidir. Funksiyaning nollari -2, 3, 5 raqamlari. Ular funksiya sohasini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) oraliqlarga ajratadi. ) \) va \( (5; +\infty)\)

Keling, ko'rsatilgan intervallarning har birida ushbu funktsiyaning belgilari qanday ekanligini bilib olaylik.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifodasi uchta omilning mahsulotidir. Ushbu omillarning har birining ko'rib chiqilgan intervallardagi belgisi jadvalda ko'rsatilgan:

Umuman olganda, funktsiya formula bilan berilgan bo'lsin
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
bu erda x o'zgaruvchi va x 1 , x 2 , ..., x n teng sonlar emas. x 1 , x 2 , ..., x n raqamlari funksiyaning nollaridir. Ta'rif sohasi funksiyaning nollariga bo'lingan oraliqlarning har birida funksiya belgisi saqlanib qoladi va noldan o'tganda uning belgisi o'zgaradi.

Bu xususiyat shaklning tengsizliklarini yechish uchun ishlatiladi
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) bunda x 1 , x 2 , ..., x n teng sonlar emas

Ko'rib chiqilgan usul tengsizliklarni yechish intervallar usuli deyiladi.

Tengsizliklarni intervalli usul bilan yechishga misollar keltiramiz.

Tengsizlikni yeching:

\(x(0,5-x)(x+4) Shubhasiz, f(x) = x(0,5-x)(x+4) funksiyaning nollari nuqtalar \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funktsiyaning nollarini haqiqiy o'qda chizamiz va har bir oraliqdagi belgini hisoblaymiz:

Funktsiya noldan kichik yoki teng bo'lgan intervallarni tanlaymiz va javobni yozamiz.

Javob:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \o'ng) \chashka \left[ 4; \; +\infty \o'ng) \)

Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita boshlang'ich komponentni (sabzavotli salat va suv) va tayyor natijani - borschni ko'rib chiqaman. Geometrik jihatdan bu to'rtburchaklar shaklida ifodalanishi mumkin, unda bir tomoni marulni, ikkinchi tomoni suvni bildiradi. Bu ikki tomonning yig'indisi borschni bildiradi. Bunday "borsch" to'rtburchakning diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.

Marul va suv matematika nuqtai nazaridan qanday qilib borschga aylanadi? Ikki segmentning yig'indisi qanday qilib trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.

Matematika darsliklarida chiziqli burchak funksiyalari haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lishi mumkin emas. Tabiat qonunlari kabi matematika qonunlari ham bor yoki yo'qligini bilsak ham ishlaydi.

Chiziqli burchak funktsiyalari qo'shish qonunlari. Qanday qilib algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga aylanishiga qarang.

Chiziqli burchak funktsiyalarisiz qilish mumkinmi? Siz buni qila olasiz, chunki matematiklar hali ham ularsiz boshqarishadi. Matematiklarning hiylasi shundaki, ular har doim bizga faqat o'zlari hal qila oladigan muammolar haqida gapirib berishadi va hech qachon o'zlari hal qila olmaydigan muammolar haqida gapirmaydilar. Qarang. Agar qo'shish va bir hadning natijasini bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hamma narsa. Biz boshqa muammolarni bilmaymiz va ularni hal qila olmaymiz. Agar biz faqat qo'shish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak nima qilish kerak? Bunday holda, qo'shish natijasi chiziqli burchak funktsiyalaridan foydalangan holda ikkita atamaga ajralishi kerak. Bundan tashqari, biz bir atama nima bo'lishi mumkinligini o'zimiz tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari qo'shilish natijasi bizga kerak bo'lgan narsa bo'lishi uchun ikkinchi haddan qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi. Bunday juft atamalar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. V Kundalik hayot biz yig'indini ajratmasdan juda yaxshi ishlaymiz, ayirish biz uchun etarli. Lekin da ilmiy tadqiqot tabiat qonunlari, yig'indini atamalarga ajratish juda foydali bo'lishi mumkin.

Matematiklar haqida gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shish qonuni (ularning yana bir hiylasi) atamalarning bir xil o'lchov birligiga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu og'irlik, hajm, xarajat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.

Rasmda matematika uchun ikki darajadagi farq ko'rsatilgan. Birinchi daraja - bu ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, c. Matematiklar shunday qilishadi. Ikkinchi daraja - kvadrat qavs ichida ko'rsatilgan va harf bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar. U. Bu fiziklarning qiladigan ishi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar doirasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli ob'ektlar bir xil o'lchov birliklarining bir xil soniga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhimligini biz borsch trigonometriyasi misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz har xil ob'ektlarning o'lchov birliklari uchun bir xil yozuvga pastki belgilar qo'shsak, biz aniq qanday matematik miqdor muayyan ob'ektni tavsiflashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz bilan bog'liq holda qanday o'zgarishini aytishimiz mumkin. xat V Men suvni harf bilan belgilayman S Men salatni xat bilan belgilayman B- Borsh. Borsch uchun chiziqli burchak funktsiyalari qanday ko'rinishga ega bo'ladi.

Agar suvning bir qismini va salatning bir qismini olsak, ular birgalikda borschning bir portsiyasiga aylanadi. Bu erda men sizga borschdan bir oz tanaffus qilishni va uzoq bolaligingizni eslashni taklif qilaman. Esingizdami, bizga quyon va o'rdaklarni birlashtirishga qanday o'rgatilgan? Qancha hayvonlar paydo bo'lishini topish kerak edi. Keyin bizga nima qilishni o'rgatishdi? Bizga raqamlardan birliklarni ajratish va raqamlarni qo'shish o'rgatilgan. Ha, istalgan raqamni istalgan boshqa raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz nima ekanligini tushunmayapmiz, nima uchun aniq emas va bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, chunki uch darajadagi farq tufayli matematiklar faqat bittasida ishlaydi. Bir o'lchov birligidan boshqasiga o'tishni o'rganish to'g'riroq bo'ladi.

Va quyonlarni, o'rdaklarni va kichik hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni bir-biriga qo'shish imkonini beradi. Bu bolalar versiyasi vazifalar. Keling, kattalar uchun shunga o'xshash muammoni ko'rib chiqaylik. Quyonlar va pul qo'shsangiz nima olasiz? Bu erda ikkita mumkin bo'lgan yechim mavjud.

Birinchi variant. Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va uni mavjud naqd pulga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul shaklida oldik.

Ikkinchi variant. Bizdagi banknotlar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'char mulk miqdorini bo'laklarga bo'lamiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shilish qonuni turli xil natijalarni olish imkonini beradi. Hammasi aniq nimani bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.

Ammo bizning borschimizga qayting. Endi nima sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin turli ma'nolar chiziqli burchak funktsiyalarining burchagi.

Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu umuman nol borscht nol suvga teng degani emas. Nol borsch nol salatida ham bo'lishi mumkin (to'g'ri burchak).

Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isbotidir. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi shundaki, agar faqat bitta atama bo'lsa va ikkinchi atama yo'q bo'lsa, qo'shishning o'zi mumkin emas. Siz buni xohlaganingizcha bog'lashingiz mumkin, lekin esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklarning o'zlari ixtiro qilganlar, shuning uchun mantiqingizdan voz keching va matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ta'riflarni ahmoqona ravishda siqib chiqaring: "nolga bo'lish mumkin emas", "har qanday sonni nolga ko'paytirish" nolga teng", "nol nuqtasi orqasida" va boshqa bema'nilik. Nol raqam emasligini bir marta eslash kifoya va sizda nol natural sonmi yoki yo'qmi degan savol hech qachon bo'lmaydi, chunki bunday savol umuman ma'nosini yo'qotadi: qanday qilib raqamni raqam bo'lmagan deb hisoblash mumkin. . Bu ko'rinmas rangni qaysi rangga bog'lashni so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo‘shish mavjud bo‘lmagan bo‘yoq bilan bo‘yashga o‘xshaydi. Ular quruq cho'tkani silkitib, hammaga "bo'yalganmiz" deb aytishadi. Lekin men biroz chetlanaman.

Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kamroq. Bizda juda ko'p salat bor, lekin ozgina suv. Natijada, biz qalin borschni olamiz.

Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdorda suv va salat bor. Bu mukammal borsch (oshpazlar meni kechirsin, bu faqat matematika).

Burchak qirq besh darajadan kattaroq, lekin to'qson darajadan kamroq. Bizda ko'p suv va ozgina salat bor. Suyuq borschni oling.

To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salat haqida faqat xotiralar qoladi, chunki biz bir marta marulni belgilagan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettiramiz. Biz borschni pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Unday bo'lsa, ushlab turing va suv mavjud bo'lganda iching)))

Bu yerda. Shunga o'xshash narsa. Men bu erda o'rinli bo'lgan boshqa hikoyalarni aytib bera olaman.

Ikki do'st umumiy biznesda o'z ulushlariga ega edi. Ulardan biri o'ldirilganidan keyin hammasi ikkinchisiga o'tdi.

Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.

Bu hikoyalarning barchasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida matematika tilida aytiladi. Boshqa payt men sizga bu funktsiyalarning matematika tuzilishidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Shu bilan birga, keling, borscht trigonometriyasiga qaytaylik va proektsiyalarni ko'rib chiqaylik.

Shanba, 26 oktyabr, 2019 yil

haqida qiziqarli video tomosha qildim Grandi qatori Bir minus bir plyus bir minus bir - Numberphile. Matematiklar yolg'on gapirishadi. Ular fikrlashlarida tenglik testini o'tkazmadilar.

Bu mening fikrimga mos keladi.

Keling, matematiklarning bizni aldash belgilarini batafsil ko'rib chiqaylik. Mulohaza yuritishning boshida matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi undagi elementlar sonining juft bo'lishi yoki bo'lmasligiga bog'liqligini aytadilar. Bu OBYEKTİV TAQDIMLANGAN FAKT. Keyin nima bo'ladi?

Keyinchalik, matematiklar ketma-ketlikni birlikdan olib tashlashadi. Bu nimaga olib keladi? Bu ketma-ketlikdagi elementlar sonining o'zgarishiga olib keladi - juft son toq songa, toq raqam juft songa o'zgaradi. Axir biz ketma-ketlikka bir elementga teng bitta element qo'shdik. Barcha tashqi o'xshashlikka qaramay, transformatsiyadan oldingi ketma-ketlik transformatsiyadan keyingi ketma-ketlikka teng emas. Cheksiz ketma-ketlik haqida gapiradigan bo'lsak ham, toq sonli elementlarga ega cheksiz ketma-ketlik juft sonli cheksiz ketma-ketlikka teng emasligini yodda tutishimiz kerak.

Elementlar soni bo'yicha har xil bo'lgan ikkita ketma-ketlik orasiga teng belgi qo'yib, matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi ketma-ketlikdagi elementlar soniga BOG'LI EMAS, deb da'vo qiladilar, bu esa OB'YEKTIV TAQDIMLANGAN FAKTGA zid keladi. Cheksiz ketma-ketlikning yig'indisi haqidagi keyingi fikr noto'g'ri, chunki u noto'g'ri tenglikka asoslanadi.

Agar matematiklar isbotlash jarayonida qavs qo'yishlarini, matematik ifoda elementlarini qayta tartibga solishlarini, biror narsa qo'shishlarini yoki olib tashlashlarini ko'rsangiz, juda ehtiyot bo'ling, ehtimol ular sizni aldamoqchi. Karta sehrgarlari singari, matematiklar oxir-oqibat sizga noto'g'ri natija berish uchun iboraning turli xil manipulyatsiyalari bilan sizning e'tiboringizni chalg'itadi. Agar siz aldash sirini bilmay turib, karta hiylasini takrorlay olmasangiz, matematikada hamma narsa ancha sodda: siz aldash haqida hech narsadan shubhalanmaysiz, lekin matematik ifoda bilan barcha manipulyatsiyalarni takrorlash sizga boshqalarni ishontirishga imkon beradi. Natijaning to'g'riligi, xuddi sizni ishontirgan paytdagidek.

Tomoshabinlar savoli: Va cheksizlik (S ketma-ketligidagi elementlar soni sifatida), u juftmi yoki toqmi? Pariteti bo'lmagan narsaning paritetini qanday o'zgartirish mumkin?

Matematiklar uchun cheksizlik ruhoniylar uchun Osmon Shohligiga o'xshaydi - u erda hech kim bo'lmagan, lekin hamma narsa u erda qanday ishlashini aniq biladi))) Men roziman, o'limdan keyin siz juft yoki toq kunlar yashaganingizga mutlaqo befarq bo'lasiz. , lekin ... Hayotingizning boshida faqat bir kun qo'shsangiz, biz butunlay boshqa odamni olamiz: uning familiyasi, ismi va otasining ismi aynan bir xil, faqat tug'ilgan sanasi butunlay boshqacha - u bitta tug'ilgan sizdan bir kun oldin.

Va endi gapga))) Faraz qilaylik, paritetga ega bo'lgan chekli ketma-ketlik cheksizlikka ketayotganda bu paritetni yo'qotadi. U holda cheksiz ketma-ketlikning har qanday chekli segmenti ham paritetini yo'qotishi kerak. Biz buni kuzatmayapmiz. Cheksiz ketma-ketlikdagi elementlar sonining juft yoki toq ekanligini aniq ayta olmasligimiz, paritet yo‘qolganligini umuman anglatmaydi. Paritet, agar u mavjud bo'lsa, o'tkirroq kartaning yengida bo'lgani kabi, abadiylikka izsiz yo'qolib keta olmaydi. Bu holat uchun juda yaxshi o'xshashlik mavjud.

Soatda o'tirgan kakukdan soat qo'li qaysi tomonga aylanishini so'raganmisiz? Uning uchun o'q biz "soat yo'nalishi bo'yicha" deb ataydigan narsaga teskari yo'nalishda aylanadi. Bu paradoksal tuyulishi mumkin, lekin aylanish yo'nalishi faqat biz aylanishni qaysi tomondan kuzatishimizga bog'liq. Shunday qilib, bizda aylanadigan bitta g'ildirak bor. Aylanish qaysi yo'nalishda sodir bo'lishini ayta olmaymiz, chunki biz uni aylanish tekisligining bir tomonidan ham, boshqa tomonidan ham kuzatishimiz mumkin. Biz faqat aylanish borligiga guvohlik bera olamiz. Cheksiz ketma-ketlikning pariteti bilan to'liq o'xshashlik S.

Endi ikkinchi aylanuvchi g'ildirakni qo'shamiz, uning aylanish tekisligi birinchi aylanadigan g'ildirakning aylanish tekisligiga parallel. Biz haligacha bu g‘ildiraklar qaysi yo‘nalishda aylanayotganini aniq ayta olmaymiz, lekin ikkala g‘ildirak ham bir yo‘nalishda yoki qarama-qarshi yo‘nalishda aylanayotganini mutlaq ishonch bilan ayta olamiz. Ikki cheksiz ketma-ketlikni solishtirish S va 1-S, Men matematika yordamida bu ketma-ketliklar har xil paritetga ega ekanligini va ular orasiga teng belgi qo'yish xato ekanligini ko'rsatdim. Shaxsan men matematikaga ishonaman, matematiklarga ishonmayman))) Aytgancha, cheksiz ketma-ketliklarning o'zgarishi geometriyasini to'liq tushunish uchun tushunchani kiritish kerak. "bir vaqtning o'zida". Buni chizish kerak bo'ladi.

2019 yil 7 avgust, chorshanba

Haqida suhbatni yakunlab, cheksiz to'plamni ko'rib chiqishimiz kerak. Bu shuni ko'rsatdiki, "cheksizlik" tushunchasi quyondagi boa konstriktori kabi matematiklarga ta'sir qiladi. Cheksizlikning titroq dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:

Asl manba joylashgan. Alpha haqiqiy sonni bildiradi. Yuqoridagi iboralardagi tenglik belgisi cheksizlikka son yoki cheksizlik qo‘shilsa, hech narsa o‘zgarmasligini, natijada bir xil cheksizlik bo‘lishini ko‘rsatadi. Agar biz cheksiz to'plamni misol qilib olsak natural sonlar, ko'rib chiqilayotgan misollar quyidagi shaklda taqdim etilishi mumkin:

O'z holatlarini vizual tarzda isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli xil usullarni ishlab chiqdilar. Shaxsan men bu usullarning barchasiga shamanlarning daflar bilan raqslari sifatida qarayman. Aslini olganda, ularning barchasi yo xonalarning bir qismi band bo‘lmagani va ularga yangi mehmonlar joylashtirilgani yoki mehmonlarga joy bo‘shatish uchun (juda insonparvarlik bilan) kelganlarning bir qismini yo‘lakka chiqarib yuborishiga to‘g‘ri keladi. Men bunday qarorlar haqida o'z nuqtai nazarimni Blonde haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslanadi? Cheksiz miqdordagi tashrif buyuruvchilarni ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Birinchi mehmon xonasini bo'shatganimizdan so'ng, tashrif buyuruvchilardan biri har doim o'z xonasidan ikkinchisiga koridor bo'ylab vaqt oxirigacha yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu allaqachon "qonun ahmoqlar uchun yozilmagan" toifasidan bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Infinity inn - bu qancha xona band bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh ish o'rinlari soni bo'lgan mehmonxona. Agar "tashrif buyuruvchilar uchun" cheksiz koridordagi barcha xonalar band bo'lsa, "mehmonlar" uchun xonalari bo'lgan yana bir cheksiz koridor mavjud. Bunday koridorlar cheksiz ko'p bo'ladi. Shu bilan birga, “cheksiz mehmonxona” cheksiz sonli xudolar tomonidan yaratilgan cheksiz koinotdagi cheksiz sonli sayyoralardagi cheksiz sonli binolarda cheksiz sonli qavatlarga ega. Matematiklar esa oddiy kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: Xudo-Alloh-Budda har doim bitta, mehmonxona bitta, yo'lak bitta. Shunday qilib, matematiklar mehmonxona xonalarining seriya raqamlarini o'zgartirishga harakat qilmoqdalar, bu bizni "itarilmaganni itarib yuborish" mumkinligiga ishontirmoqda.

Men sizga cheksiz natural sonlar to'plami misolida o'z mulohazalarim mantiqini ko'rsataman. Avval siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta natural sonlar to'plami mavjud - bitta yoki ko'p? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz o'zimiz raqamlarni ixtiro qilganmiz, tabiatda raqamlar yo'q. Ha, Tabiat qanday qilib mukammal hisoblashni biladi, lekin buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiat o'ylagandek, men sizga boshqa safar aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz sababli, natural sonlarning nechta to'plami mavjudligini o'zimiz hal qilamiz. Haqiqiy olimga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqing.

Birinchi variant. Tokchada osoyishta yotgan natural sonlarning bitta to'plami "Bizga berilsin". Biz bu to'plamni javondan olamiz. Hammasi bo'ldi, javonda boshqa natural sonlar qolmadi va ularni olib ketadigan joy ham yo'q. Biz bu to'plamga bitta qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Agar chindan ham xohlasangiz nima bo'ladi? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan bir birlikni olib, uni javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz rafdan bir birlikni olib, bizda qolgan narsalarga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz natural sonlar to'plamini olamiz. Siz bizning barcha manipulyatsiyalarimizni shunday yozishingiz mumkin:

Men to‘plam elementlarini batafsil sanab, algebraik yozuv va to‘plamlar nazariyasi yozuvidagi amallarni yozdim. Pastki belgisi bizda bitta va yagona natural sonlar to'plamiga ega ekanligini bildiradi. Ma’lum bo‘lishicha, natural sonlar to‘plamidan bittasi ayirib, xuddi shu son qo‘shilsagina o‘zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizda turli xil cheksiz natural sonlar to'plami mavjud. Men ta'kidlayman - TURLI, garchi ular amalda farqlanmaydi. Biz ushbu to'plamlardan birini olamiz. Keyin boshqa natural sonlar to'plamidan bittasini olamiz va uni allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita natural sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Biz nimaga erishamiz:

"Bir" va "ikki" pastki belgisi bu elementlarning turli to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bitta qo'shsangiz, natijada ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Bitta cheksiz to‘plamga yana bir cheksiz to‘plam qo‘shilsa, natijada birinchi ikki to‘plamning elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to‘plam hosil bo‘ladi.

Natural sonlar to'plami o'lchov uchun o'lchagich bilan bir xil tarzda hisoblash uchun ishlatiladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shganingizni tasavvur qiling. Bu allaqachon boshqa chiziq bo'ladi, asl nusxaga teng emas.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning shaxsiy ishingiz. Ammo, agar siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklarning avlodlari tomonidan bosib olingan yolg'on fikrlash yo'lida ekanligingizni o'ylab ko'ring. Zero, matematika darslari, birinchi navbatda, bizda tafakkurning barqaror stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina ular bizga aqliy qobiliyatlarni qo'shadi (yoki aksincha, ular bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

Yakshanba, 4-avgust, 2019-yil

Men maqolaga postkript yozayotgan edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... boy nazariy asos Bobil matematikasi yaxlit xususiyatga ega emas edi va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga qisqartirildi.

Voy-buy! Biz qanchalik aqllimiz va boshqalarning kamchiliklarini ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil kontekstda qarash biz uchun zaifmi? Yuqoridagi matnni biroz izohlab, shaxsan men quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asoslari yaxlit xususiyatga ega emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli bo'limlar to'plamiga qisqartiriladi.

So'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - bu matematikaning boshqa ko'plab sohalari tili va qoidalaridan farq qiladigan til va shartlarga ega. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'noga ega bo'lishi mumkin. Men nashrlarning butun tsiklini zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

Shanba, 3-avgust, 2019-yil

To‘plamni kichik to‘plamlarga qanday ajratish mumkin? Buning uchun tanlangan to'plamning ba'zi elementlarida mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Bir misolni ko'rib chiqing.

Bizda ko'p bo'lsin A to'rt kishidan iborat. Bu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan. Keling, ushbu to'plamning elementlarini harf orqali belgilaymiz. a, raqam bilan pastki belgisi ushbu to'plamdagi har bir shaxsning tartib raqamini ko'rsatadi. Keling, yangi "jinsiy xususiyat" o'lchov birligini kiritamiz va uni harf bilan belgilaymiz b. Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz A jins bo'yicha b. E'tibor bering, bizning "odamlar" to'plami endi "jinsi bilan odamlar" to'plamiga aylandi. Shundan so'ng biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarga ajratishimiz mumkin bm va ayollar bw jins xususiyatlari. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri erkak yoki ayol ekanligi muhim emas. Agar u odamda mavjud bo'lsa, unda biz uni birga ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz odatiy maktab matematikasini qo'llaymiz. Nima bo'lganini ko'ring.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tartibga solishdan so'ng biz ikkita kichik to'plamni oldik: erkak kichik to'plam bm va ayollarning bir qismi bw. Matematiklar to'plam nazariyasini amaliyotda qo'llashda taxminan xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizga tafsilotlarga ruxsat bermaydi, balki yakuniy natijani beradi - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning kichik to'plamidan iborat". Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin, yuqoridagi o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llaniladi? Sizni ishontirishga jur'at etamanki, aslida o'zgartirishlar to'g'ri bajarilgan, arifmetika, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa bo'limlarining matematik asoslarini bilish kifoya. Bu nima? Boshqa payt men sizga bu haqda aytib beraman.

Supersetlarga kelsak, ushbu ikki to'plamning elementlarida mavjud bo'lgan o'lchov birligini tanlash orqali ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtirish mumkin.

Ko'rib turganingizdek, o'lchov birliklari va umumiy matematika to'plamlar nazariyasini o'tmishdagi narsaga aylantiradi. To‘plamlar nazariyasida hammasi yaxshi emasligining belgisi shundaki, matematiklar to‘plamlar nazariyasi uchun o‘z tillari va yozuvlarini o‘ylab topishgan. Matematiklar bir paytlar shamanlar qilgan ishni qilishgan. Faqat shamanlar o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni bilishadi. Bu "bilim"ni ular bizga o'rgatadi.

Xulosa qilib aytganda, men sizga matematiklar qanday manipulyatsiya qilishlarini ko'rsatmoqchiman
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n marta tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon cheksiz davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetmaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi u yoki bu tarzda Zenon aporiyalarini ko‘rib chiqdilar. Shok shu qadar kuchli ediki " ... hozirgi vaqtda munozaralar davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati haqida umumiy fikrga kela olmadi ... masalani o'rganishga matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb qilindi. ; ularning hech biri muammoning umume'tirof etilgan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya," Zenonning Aporias "]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin aldash nima ekanligini hech kim tushunmaydi.

Matematika nuqtai nazaridan Zenon o'zining aporiyasida qiymatdan o'tishni aniq ko'rsatdi. Bu o'tish doimiylar o'rniga qo'llashni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga tatbiq etilmagan. Bizning odatiy mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz, fikrlash inertsiyasiga ko'ra, o'zaro vaqtning doimiy birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda vaqt butunlay to'xtab qolganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'ta olmaydi.

Agar biz o'rganib qolgan mantiqni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. O'z yo'lining har bir keyingi segmenti avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar bu vaziyatda “cheksizlik” tushunchasini qo‘llasak, “Axilles toshbaqadan cheksiz tezlikda o‘zib ketadi” desak to‘g‘ri bo‘ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Vaqtning doimiy birliklarida qoling va o'zaro qiymatlarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axillesning ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu tomonga yuz qadam emaklaydi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng, Axilles yana ming qadam yuguradi va toshbaqa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Ammo bu muammoning to'liq yechimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining engib bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta ko'rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchuvchi o'q harakatsiz, chunki u har bir vaqtning har bir daqiqasida dam oladi va har bir vaqtning har bir daqiqasida tinch holatda bo'lganligi sababli, u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomashinaning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Avtomobilning harakatlanish faktini aniqlash uchun vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular masofani aniqlash uchun ishlatilmaydi. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak bo'ladi, lekin siz ulardan harakatlanish faktini aniqlay olmaysiz (tabiiyki, siz hali ham hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlarga muhtojsiz, trigonometriya sizga yordam beradi). Men alohida ta'kidlamoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta ikki xil narsadir, ularni chalkashtirib yubormaslik kerak, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar beradi.
Men jarayonni misol bilan ko'rsataman. Biz "pimple ichidagi qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butun". Shu bilan birga, biz bu narsalar kamonli va kamonsiz borligini ko'ramiz. Shundan so'ng biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni hosil qilamiz. Shamanlar o'zlarining nazariyasini haqiqatga bog'lash orqali o'zlarini shunday oziqlantiradilar.

Endi bir oz hiyla qilaylik. Keling, "kamon bilan pimple qattiq" ni olaylik va qizil elementlarni tanlab, bu "butun" ni rang bilan birlashtiramiz. Bizda juda ko'p "qizil" bor. Endi qiyin savol: olingan "kamon bilan" va "qizil" bir xil to'plammi yoki ikki xil to'plammi? Javobni faqat shamanlar biladi. Aniqrog'i, ularning o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'lsin.

Ushbu oddiy misol shuni ko'rsatadiki, to'plamlar nazariyasi haqiqatga kelganda mutlaqo foydasizdir. Buning siri nimada? Biz "kamon bilan qizil qattiq pimply" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligi bo'yicha amalga oshirildi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (bo'shliqda), bezaklar (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami haqiqiy ob'ektlarni matematika tilida etarli darajada tasvirlashga imkon beradi.. Bu qanday ko'rinishga ega.

Turli indeksli "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Qavslar ichida o'lchov birliklari ta'kidlangan, unga ko'ra "butun" dastlabki bosqichda ajratiladi. Qavslar ichidan to'plam tuzilgan o'lchov birligi olinadi. Oxirgi satr yakuniy natijani ko'rsatadi - to'plamning elementi. Ko'rib turganingizdek, agar biz to'plamni shakllantirish uchun birliklardan foydalansak, unda natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, shamanlarning daf bilan raqslari emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga kelishi mumkin, uni "ravshanlik" bilan bahslasha oladi, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenaliga kiritilmagan.

O'lchov birliklari yordamida bitta to'plamni sindirish yoki bir nechta to'plamlarni bitta supersetga birlashtirish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqaylik.