• uy
  •  > 
  • Sayohatlar
  •  > 
  • Matematika fanidan "Sinuslar yig'indisi va ayirmasi. Kosinuslar yig'indisi va ayirmasi" mavzusida dars (11-sinf). Sinuslar va kosinalar yig'indisi va farqi: formulalar hosilasi, misollar Kosinuslar farqi

Matematika fanidan "Sinuslar yig'indisi va ayirmasi. Kosinuslar yig'indisi va ayirmasi" mavzusida dars (11-sinf). Sinuslar va kosinalar yig'indisi va farqi: formulalar hosilasi, misollar Kosinuslar farqi

). Bu formulalar burchaklar sinusi va kosinuslarining yigindisi yoki ayirmasidan sinuslar va/yoki burchaklarning kosinuslari mahsulotiga va . Ushbu maqolada biz birinchi navbatda ushbu formulalarni sanab o'tamiz, keyin ularning kelib chiqishini ko'rsatamiz va nihoyat ularni qo'llashning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Formulalar ro'yxati

Sinus va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasining formulalarini yozamiz. Siz tushunganingizdek, ulardan to'rttasi bor: ikkitasi sinuslar uchun va ikkitasi kosinuslar uchun.


Endi biz ularning formulalarini beramiz. Sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalarini shakllantirishda burchak burchaklarning yarim yig'indisi va, burchak esa yarim farq deb ataladi. Shunday qilib,

Shuni ta'kidlash kerakki, sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi uchun formulalar har qanday burchak va burchaklar uchun amal qiladi.

Formulalarni chiqarish

Sinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalarini olish uchun siz qo'shish formulalaridan, xususan, formulalardan foydalanishingiz mumkin.
sinus summasi,
sinus farqi,
yig'indining kosinusu va
farqning kosinusu.

Bizga burchaklarni shaklda tasvirlash ham kerak va . Bu tasvir amal qiladi, chunki va har qanday burchak va uchun.

Endi batafsil tahlil qilaylik ikki burchak sinuslari yigindisi formulasini chiqarish mehribon.

Birinchidan, biz summani bilan almashtiramiz , va yana , va biz olamiz. Hozirgacha yig'indining sinusi uchun formulani qo'llang va to - farqning sinus formulasi:

O'xshash shartlarni qisqartirgandan so'ng, biz olamiz . Natijada, bizda shaklning sinuslari yig'indisi uchun formula mavjud.

Qolgan formulalarni olish uchun siz shunga o'xshash amallarni bajarishingiz kerak. Biz sinuslar farqi, shuningdek, kosinuslarning yig'indisi va farqi uchun formulalarni chiqarishni taqdim etamiz:

Kosinuslar farqi uchun biz ikki turdagi yoki formulalarini berdik . Ular teng, chunki , bu qarama-qarshi burchaklar sinuslarining xususiyatlaridan kelib chiqadi.

Shunday qilib, biz sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining barcha formulalarining isbotini tahlil qildik.

Foydalanishga misollar

Keling, sinuslar va kosinuslar yig'indisi uchun formulalardan foydalanishning bir nechta misollarini, shuningdek, sinuslar va kosinuslar o'rtasidagi farqni tahlil qilaylik.

Masalan, , qabul qilish va ko'rinishdagi sinuslar yig'indisi uchun formulaning haqiqiyligini tekshirib ko'raylik. Buning uchun biz chap va qiymatlarni hisoblaymiz to'g'ri qismlar berilgan burchaklar uchun formulalar. Chunki va (agar kerak bo'lsa, sinuslar va kosinuslarning asosiy qiymatlari jadvaliga qarang), keyin. Uchun va bizda bor va , keyin. Shunday qilib, sinuslar yig'indisi uchun formulaning chap va o'ng qismlarining qiymatlari mos keladi va bu formulaning haqiqiyligini tasdiqlaydi.

Ba'zi hollarda sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi uchun formulalardan foydalanish burchaklar asosiy burchaklardan farq qilganda trigonometrik ifodalarning qiymatlarini hisoblash imkonini beradi ( ). Keling, bu fikrni tasdiqlovchi misol yechimini keltiramiz.

Misol.

165 va 75 daraja sinuslar orasidagi farqning aniq qiymatini hisoblang.

Yechim.

Biz 165 va 75 daraja sinuslarning aniq qiymatlarini bilmaymiz, shuning uchun biz berilgan farqning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblay olmaymiz. Ammo sinuslar farqi formulasi muammoning savoliga javob berishga imkon beradi. Darhaqiqat, 165 va 75 gradus burchaklarning yarim yig'indisi 120 ga teng, yarim farq esa 45 ga teng va aniq qiymatlar 45 gradus sinus va 120 gradus kosinus ma'lum.

Shunday qilib, bizda bor

Javob:

.

Shubhasiz, sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi uchun formulalarning asosiy qiymati shundaki, ular trigonometrik funktsiyalarning yig'indisi va ayirmasidan ko'paytmasiga o'tishga imkon beradi (shuning uchun bu formulalar ko'pincha formulalar deb ataladi). trigonometrik funktsiyalar yig'indisidan ko'paytmasiga o'tish). Va bu, o'z navbatida, foydali bo'lishi mumkin, masalan, qachon trigonometrik ifodalarni o'zgartirish yoki qachon trigonometrik tenglamalarni yechish. Ammo bu mavzular alohida muhokamani talab qiladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Algebra: Proc. 9 hujayra uchun. o'rtacha maktab / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy.- M.: Ma'rifat, 1990.- 272 b.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14-nashr.- M.: Ma'rifat, 2004.- 384 b.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Ikki burchak kosinuslari yig'indisini (farqini) ko'paytmaga aylantirish

Ikki burchak kosinuslarining yig‘indisi va ayirmasi uchun quyidagi formulalar to‘g‘ri bo‘ladi:

Ikki burchak kosinuslarining yig'indisi bu burchaklarning yarim yig'indisi kosinuslari va yarim farqlari kosinuslarining ikki barobar ko'paytmasiga teng.

Ikki burchakning kosinuslari orasidagi farq yarim yig'indi sinusi va bu burchaklarning yarim farqi sinusining ko'paytmasining minus ikki barobariga teng.

Misollar

Formulalar (1) va (2) ko'p usullar bilan olinishi mumkin. Masalan, (1) formulani isbotlaymiz.

cos a cos b = 1 / 2 .

Uni kiritish (α + β) = X , (α - β) = da, biz (1) formulaga kelamiz. Bu usul oldingi paragrafda ikkita burchak sinuslari yig'indisi formulasi olingan usulga o'xshaydi.

2-yo'l. Oldingi bo'limda formula isbotlangan

Uni kiritish α = X + p / 2, β = da + p / 2, biz olamiz:

Ammo qisqartirish formulalariga ko'ra gunoh( X+ p / 2) == cos x, sin (y + p / 2) = cos y;

Binobarin,

Q.E.D.

Biz talabalarga (2) formulani mustaqil ravishda isbotlashni taklif qilamiz. Kamida ikki xil dalil topishga harakat qiling!

Mashqlar

1. Ikki burchak kosinuslarining yig'indisi va farqi uchun formulalar yordamida jadvallarsiz hisoblang:

a). cos 105° + cos 75°. G). cos 11p / 12- chunki 5p / 12..

b). cos 105° - cos 75°. e). cos 15° -sin 15°.

ichida). cos 11p / 12+ cos 5p / 12.. e). gunoh p / 12+ cos 11p / 12.

2 . Ushbu ifodalarni soddalashtiring:

a). chunki( p / 3 + α ) + cos( p / 3 - α ).

b). chunki ( p / 3 + α ) - chunki( p / 3 - α ).

3. Shaxslarning har biri

gunoh α + cos α = \/ 2 gunoh( α + p / 4)

gunoh α - chunki α = \/ 2 gunoh( α - p / 4)

kamida ikki xil yo'l bilan isbotlang.

4. Ushbu iboralarni mahsulot shaklida taqdim eting:

a). \/ 2 + 2cos α . ichida). gunoh x + cos y.

b). \/ 3 - 2cos α . G). gunoh x - chunki y.

5 . gunoh 2 ifodasini soddalashtiring ( α - p / 8) - cos 2 ( α + p / 8) .

6 .Ushbu iboralarni omillarga ajrating (№ 1156-1159):

a). 1+ gunoh α - chunki α

b). gunoh α + gunoh (α + β) + gunoh β .

ichida). cos α + cos 2a+ cos 3a

G). 1+ gunoh α + cos α

7. Berilgan shaxsni isbotlang

8. Burchaklarning kosinuslari ekanligini isbotlang α va β faqat va faqat agar teng bo'lsa

α = ± β + 2npi,

bu yerda n qandaydir butun son.

Ikki burchak a va b uchun sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalari ko'rsatilgan burchaklar yig'indisidan a + b 2 va a - b 2 burchaklar ko'paytmasiga o'tishga imkon beradi. Biz darhol ta'kidlaymizki, siz sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va farqi formulalarini yig'indi va ayirmaning sinuslari va kosinuslari formulalari bilan aralashtirib yubormasligingiz kerak. Quyida biz ushbu formulalarni sanab o'tamiz, ularning hosilasini keltiramiz va muayyan masalalarni qo'llash misollarini ko'rsatamiz.

Sinus va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalari

Keling, sinuslar va kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari qanday ko'rinishini yozamiz

Sinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari

sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a - b 2 sin a - sin b = 2 sin a - b 2 cos a + b 2

Kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalari

cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a - b 2 cos a - cos b = - 2 sin a + b 2 cos a - b 2, cos a - cos b = 2 sin a + b 2 b - a 2

Bu formulalar har qanday a va b burchaklar uchun amal qiladi. a + b 2 va a - b 2 burchaklar mos ravishda alfa va beta burchaklarining yarim yig'indisi va yarim farqi deb ataladi. Har bir formula uchun formulani beramiz.

Sinuslar va kosinuslar uchun yig'indi va ayirma formulalarining ta'riflari

Ikki burchak sinuslarining yig'indisi bu burchaklarning yarim yigindisi sinusi va yarim ayirma kosinusining ikki karra mahsulotiga teng.

Ikki burchak sinuslarining farqi bu burchaklarning yarim farqi sinusi va yarim yig'indi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.

Ikki burchakning kosinuslari yig'indisi bu burchaklarning yarim yig'indisi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga va bu burchaklarning yarim farqining kosinusiga teng.

Ikki burchak kosinuslarining farqi manfiy belgi bilan olingan yarim yig'indining sinusi va bu burchaklarning yarim farqi kosinusining ikki barobar ko'paytmasiga teng.

Sinus va kosinuslarning yig‘indisi va ayirmasining formulalarini chiqarish

Ikki burchakning sinusi va kosinuslarining yig'indisi va ayirmasining formulalarini olish uchun qo'shish formulalari qo'llaniladi. Quyida ularni taqdim etamiz

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos ( a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Biz burchaklarning o'zini ham yarim yig'indi va yarim farqlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz.

a \u003d a + b 2 + a - b 2 \u003d a 2 + b 2 + a 2 - b 2 b \u003d a + b 2 - a - b 2 \u003d a 2 + b 2 + b 2 -

Biz to'g'ridan-to'g'ri sin va cos uchun yig'indi va farq formulalarini chiqarishga o'tamiz.

Sinuslar yig'indisi formulasini chiqarish

sin a + sin b yig'indisida a va b ni yuqorida keltirilgan bu burchaklar uchun ifodalar bilan almashtiramiz. Oling

sin a + sin b = sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2

Endi biz birinchi ifodaga qo'shish formulasini, ikkinchisiga esa burchak farqlarining sinus formulasini qo'llaymiz (yuqoridagi formulalarga qarang).

sin a + b 2 + a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a. - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 + sin a + b 2 - a - b 2 = sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2

sin a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 + sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a + b 2 cos a - b 2

Qolgan formulalarni olish bosqichlari o'xshash.

Sinuslar ayirmasi formulasini chiqarish

sin a - sin b = sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 sin a + b 2 + a - b 2 - sin a + b 2 - a - b 2 = gunoh a + b 2 cos a - b 2 + cos a + b 2 sin a - b 2 - sin a + b 2 cos a - b 2 - cos a + b 2 sin a - b 2 = = 2 sin a - b 2 cos a + b 2

Kosinuslar yig'indisi formulasini chiqarish

cos a + cos b = cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 + cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 + cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = 2 cos a + b 2 cos a - b 2

Kosinuslar farqi formulasini chiqarish

cos a - cos b = cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 cos a + b 2 + a - b 2 - cos a + b 2 - a - b 2 = cos a + b 2 cos a - b 2 - sin a + b 2 sin a - b 2 - cos a + b 2 cos a - b 2 + sin a + b 2 sin a - b 2 = = - 2 sin a + b. 2 sin a - b 2

Amaliy masalalarni yechishga misollar

Boshlash uchun biz formulalardan birini unga ma'lum burchak qiymatlarini qo'yish orqali tekshiramiz. a = p 2 , b = p 6 bo'lsin. Keling, bu burchaklar sinuslari yig'indisining qiymatini hisoblaymiz. Birinchidan, biz trigonometrik funktsiyalarning asosiy qiymatlari jadvalidan foydalanamiz, so'ngra sinuslar yig'indisi formulasini qo'llaymiz.

Misol 1. Ikki burchak sinuslari yig'indisi formulasini tekshirish

a \u003d p 2, b \u003d p 6 sin p 2 + sin p 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin p 2 + sin p 6 \u003d 2 sin p 2 + -s 6p 6 2 \u003d 2 sin p 3 cos p 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Keling, burchaklarning qiymatlari jadvalda keltirilgan asosiy qiymatlardan farq qiladigan holatni ko'rib chiqaylik. a = 165 °, b = 75 ° bo'lsin. Keling, bu burchaklarning sinuslari orasidagi farqning qiymatini hisoblaylik.

Misol 2. Sinuslar farqi formulasini qo'llash

a = 165 °, b = 75 ° sin a - sin b = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - gunoh 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasining formulalaridan foydalanib, siz trigonometrik funktsiyalarning yig'indisi yoki ayirmasidan o'tishingiz mumkin. Ko'pincha bu formulalar yig'indidan mahsulotga o'tish uchun formulalar deb ataladi. Sinus va kosinuslarning yigʻindisi va ayirmasi formulalari trigonometrik tenglamalarni yechishda va trigonometrik ifodalarni oʻzgartirishda keng qoʻllaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Shakllangan formulalar

Qisqartirish formulalari har qanday burchaklar uchun (faqat o'tkir emas) trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topishga imkon beradi. Ularning yordami bilan siz trigonometrik ifodalar shaklini soddalashtiradigan transformatsiyalarni amalga oshirishingiz mumkin.

1-rasm.

Masalalarni yechishda qisqartirish formulalaridan tashqari quyidagi asosiy formulalardan ham foydalaniladi.

1) Bir burchak formulalari:

2) Ayrim trigonometrik funksiyalarni boshqalar bilan ifodalash:

Izoh

Bu formulalarda radikalning belgisidan oldin burchak qaysi chorakda joylashganiga qarab $"+"$ yoki $"-"$ belgisi qo'yilishi kerak.

Sinuslar yig'indisi va ayirmasi, kosinuslarning yig'indisi va ayirmasi

Funktsiyalar yig'indisi va ayirmasining formulalari:

Funksiyalarning yig'indisi va ayirmasining formulalaridan tashqari, muammolarni hal qilishda funktsiyalar mahsuloti uchun formulalar foydalidir:

Egri uchburchaklar elementlari orasidagi asosiy munosabatlar

Belgilar:

$a$, $b$, $c$ - uchburchak tomonlari;

$A$, $B$, $C$ - sanab o'tilgan tomonlarga qarama-qarshi burchaklar;

$p=\frac(a+b+c)(2) $ - yarim perimetr;

$S$ - maydon;

$R$ - chegaralangan doira radiusi;

$r$ - chizilgan aylana radiusi.

Asosiy nisbatlar:

1) $\frac(a)(\sin A) =\frac(b)(\sin B) =\frac(c)(\sin C) =2\cdot R$ - sinus teoremasi;

2) $a^(2) =b^(2) +c^(2) -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ - kosinus teoremasi;

3) $\frac(a+b)(a-b) =\frac(tg\frac(A+B)(2) )(tg\frac(A-B)(2) ) $ - tangens teorema;

4) $S=\frac(1)(2) \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt(p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \ left(p-c\right)) =r\cdot p=\frac(a\cdot b\cdot c)(4\cdot R) $ - maydon formulalari.

Qiyma uchburchaklarni yechish

Egri uchburchaklarning yechimi uning barcha elementlarini aniqlashni o'z ichiga oladi: tomonlar va burchaklar.

1-misol

$a$, $b$, $c$ uch tomoni berilgan:

1) uchburchakda burchaklarni hisoblash uchun faqat kosinus teoremasidan foydalanish mumkin, chunki arkkosinaning faqat asosiy qiymati uchburchakka mos keladigan $0\le \arccos x\le +\pi $ ichida bo'ladi;

3) kosinuslar teoremasini $\cos B=\frac(a^(2) +c^(2) -b^(2) )(2\cdot a\cdot c) $ qoʻllash orqali $B$ burchakni toping, va keyin teskari trigonometrik funktsiya $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

2-misol

Ikki tomon $a$, $b$ va ular orasidagi $C$ burchak berilgan:

1) kosinuslar teoremasidan foydalanib $c$ tomonini toping $c^(2) =a^(2) +b^(2) -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

2) kosinus teoremasini $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) )(2\cdot b\cdot c) $ qo‘llash orqali $A$ burchakni toping, va keyin teskari trigonometrik funktsiya $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) $B=180()^\circ -\left(A+C\right)$ formulasidan foydalanib $B$ burchakni toping.

3-misol

Ikki burchak $A$, $B$ va yon tomoni $c$ berilgan:

1) $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$ formulasi yordamida $C$ burchakni toping;

2) $a=\frac(c\cdot \sin A)(\sin C) $ sin teoremasidan foydalanib $a$ tomonini toping;

3) $b=\frac(c\cdot \sin B)(\sin C) $ sinus teoremasidan foydalanib $b$ tomonini toping.

4-misol

$a$, $b$ tomonlari va $B$ qarama-qarshi tomoni $b$ burchaklari berilgan:

1) berilgan qiymatlardan foydalanib $b^(2) =a^(2) +c^(2) -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$ kosinus teoremasini yozing; shuning uchun olamiz kvadrat tenglama$ tomoniga nisbatan $c^(2) -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^(2) -b^(2) \right)=0$ c$;

2) olingan kvadrat tenglamani yechish orqali nazariy jihatdan uchta holatdan birini olishimiz mumkin - $c$ tomoni uchun ikkita musbat qiymat, $c$ tomoni uchun bitta musbat qiymat, $c$ tomoni uchun ijobiy qiymatlar yo'q; shunga ko'ra, muammoning ikkita, bitta yoki nol yechimlari bo'ladi;

3) $c$ tomonining oʻziga xos musbat qiymatidan foydalanib, $A$ burchagini $\cos A=\frac(b^(2) +c^(2) -a^(2) kosinus teoremasini qoʻllash orqali toping. )(2\cdot b\cdot c) $ va keyin teskari trigonometrik funksiya $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) $C=180()^\circ -\left(A+B\right)$ formulasidan foydalanib $C$ burchagini toping.

Dars mavzusi. Sinuslarning yig'indisi va farqi. Kosinuslarning yig'indisi va farqi.

(Yangi bilimlarni o'rganish darsi.)

Dars maqsadlari.

Didaktik:

    masalalar yechish jarayonida sinuslar yig‘indisi va kosinuslar yig‘indisi formulalarini hosil qilish va ularni o‘zlashtirishni osonlashtirish;

    trigonometrik formulalarni qo'llash ko'nikmalarini shakllantirishni davom ettirish;

    mavzu bo'yicha materialni o'zlashtirish darajasini nazorat qilish.

Rivojlanayotgan:

    bilimlarni mustaqil qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish;

    o'z-o'zini nazorat qilish va o'zaro nazorat qilish ko'nikmalarini rivojlantirish;

    muammoning yechimini izlashda mantiqiy fikrlash va og'zaki matematik nutqni rivojlantirish bo'yicha ishlarni davom ettirish.

Tarbiyaviy:

    muloqot qilish va boshqalarni tinglash qobiliyatini o'rgatish;

    diqqat va kuzatuvchanlikni rivojlantirish;

    trigonometriyani o'rganishga motivatsiya va qiziqishni rag'batlantirish.

Uskunalar: taqdimot, interfaol doska, formulalar.

Darslar davomida:

    Tashkiliy vaqt. - 2 daqiqa.

    Asosiy bilimlarni yangilash. Takrorlash. – 12 min.

    Maqsadni belgilash. - 1 daqiqa.

    Yangi bilimlarni idrok etish va tushunish. - 3 min.

    Olingan bilimlarni qo'llash. - 20 daqiqa.

    Yutuqlarni tahlil qilish va faoliyatni tuzatish. - 5 daqiqa.

    Reflektsiya. - 1 daqiqa.

    Uy vazifasi. - 1 daqiqa.

1. Tashkiliy vaqt.(1-slayd)

- Salom! Trigonometriya matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biridir, lekin negadir ko'pchilik talabalar uni eng qiyin deb bilishadi. Buni, ehtimol, ushbu bo'limda boshqa har qanday formulaga qaraganda ko'proq formulalar mavjudligi bilan izohlash mumkin. Trigonometriyadagi muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun siz ko'plab formulalarga ishonchingiz komil bo'lishi kerak. Ko'pgina formulalar allaqachon o'rganilgan, ammo hamma ham emas. Shuning uchun bu darsning shiori Pifagorning "Yo'lni yurgan, matematikani o'ylagan o'zlashtiradi" degan so'zi bo'ladi. Keling, o'ylab ko'raylik!

2. Asosiy bilimlarni aktuallashtirish. Takrorlash.

1) o'zaro tekshirish bilan matematik diktant(2-5 slaydlar)

Birinchi vazifa. O'rganilgan formulalardan foydalanish hisoblash:

1 variant

Variant 2

gunoh 390 0

cos 420 0

1 – cos 2 30 0

1 - gunoh 2 60 0

cos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0

sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0

Javoblar: ; bitta; -; ; - ; - bitta; bitta; ; ; 0; ; 3 . - o'zaro tekshirish.

Baholash mezonlari: (ishlar o'qituvchiga topshiriladi)

    "4" - 10 - 11

2) muammoli xarakterdagi vazifa(6-slayd) - talaba hisoboti.

Trigonometrik formulalar yordamida ifodani soddalashtiring:

Bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkinmi? (Ha, yangi formulalar bilan.)

3. Maqsadni belgilash(7-slayd)

Dars mavzusi:
Sinuslarning yig'indisi va farqi. Kosinuslarning yig'indisi va farqi. - daftarga yozish

Dars maqsadlari:

    sinuslar yig‘indisi va ayirmasi, kosinuslar yig‘indisi va ayirmasining formulalarini chiqarish;

    ularni amaliyotga tadbiq eta olish.

4. Yangi bilimlarni idrok etish va tushunish. ( slayd 8-9)

Sinuslar yig'indisining formulasini olamiz: - o'qituvchi

Qolgan formulalar xuddi shunday isbotlangan: (yig'indini mahsulotga aylantirish formulalari)

Xotira qoidalari!

Yana qanday trigonometrik formulalarni isbotlashda qo‘shish formulalaridan foydalanilgan?

5. Olingan bilimlarni qo'llash.(10-11-slaydlar)

Yangi formulalar bilan:

1) Hisoblang: (doskada) - Javob nima bo'ladi? (raqam)

O'qituvchi bilan diktant ostida

6. Yutuqlarni tahlil qilish va faoliyatni tuzatish.(slayd 13)

Differensiallashgan mustaqil ish o'z-o'zini tekshirish bilan

Hisoblash:

7. Reflektsiya.(slayd 14)

Sinfdagi ishingizdan qoniqasizmi?

Butun dars uchun o'zingizga qanday baho qo'ygan bo'lardingiz?

Darsning eng qiziqarli qismi nima edi?

Qayerda ko'proq diqqatni jamlashingiz kerak edi?

8. Uyga vazifa: formulalarni, kartalardagi individual topshiriqlarni o'rganish.