Kvadrat tenglama to'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. Kvadrat tenglamalar. To'liq va to'liqsiz kvadrat tenglama. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz " tenglamalarni yechish". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan uchrashdik va ular bilan tanishishga o'tamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, biz nima ekanligini tahlil qilamiz kvadrat tenglama da yozilganidek umumiy ko'rinish, va tegishli ta'riflarni bering. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyin to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning yechimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi munosabatni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama Shaklning tenglamasi a x 2 + b x + c = 0, bu erda x - o'zgaruvchi, a, b va c - ba'zi sonlar, a esa nolga teng emas.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Ovozlangan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 va hokazo. Kvadrat tenglamalar.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c = 0 va a koeffitsienti birinchi yoki eng yuqori deb ataladi yoki x 2 da koeffitsient, b ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti va c - erkin muddat.

Masalan, 5x2 −2x3 = 0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, kesma −3 ga teng. E'tibor bering, agar b va / yoki c koeffitsientlari hozirgi misoldagi kabi manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning qisqa shakli 5 x 2 + (- 2 ) X emas, balki 5 x 2 -2 x - 3 = 0 bo'ladi. + (- 3) = 0.

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamada aniq mavjud emas, bu ularni yozishning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y + 3 = 0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y dagi koeffitsient esa −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama... Aks holda kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 va hokazo. - berilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. 5 x 2 −x − 1 = 0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilganga o'tish qanday amalga oshirilishini misol orqali tahlil qilaylik.

Misol.

3 x 2 + 12 x - 7 = 0 tenglamasidan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Yechim.

Biz uchun dastlabki tenglamaning ikkala tomonini etakchi koeffitsient 3 ga bo'lish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz ushbu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, bir xil, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 va undan keyin (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 = 0, qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamaning ta'rifi a ≠ 0 shartini o'z ichiga oladi. Bu shart a x 2 + b x + c = 0 tenglama aniq kvadratik bo'lishi uchun zarur, chunki a = 0 da u haqiqatda b x + c = 0 ko'rinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 + b x + c = 0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz agar b, c koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To'liq kvadrat tenglama Barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.

Bunday nomlar tasodifan berilmagan. Bu quyidagi fikrlardan ma'lum bo'ladi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 + 0 x + c = 0 ko'rinishini oladi va u a x 2 + c = 0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c = 0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 + b x + 0 = 0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 + b x = 0 shaklida qayta yozish mumkin. Va b = 0 va c = 0 bilan biz a x 2 = 0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 + x + 1 = 0 va −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamalardir.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

a · x 2 = 0, u b = 0 va c = 0 koeffitsientlariga mos keladi;
b = 0 bo'lganda a x 2 + c = 0;
va c = 0 bo'lganda a x 2 + b x = 0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 = 0

Keling, b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a · x 2 = 0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan echishdan boshlaylik. a · x 2 = 0 tenglamasi x 2 = 0 tenglamaga ekvivalent bo'lib, u asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali olinadi. Shubhasiz, x 2 = 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 = 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, albatta, har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2> 0 tengsizlik o'rinli bo'ladi, bundan p ≠ 0 uchun p 2 = 0 tengligiga hech qachon erishilmaydi.

Demak, a · x 2 = 0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning bitta ildizi x = 0 bo‘ladi.

Misol tariqasida −4 · x 2 = 0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 = 0 tenglamaga ekvivalent, uning yagona ildizi x = 0, shuning uchun dastlabki tenglama noyob nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha shakllantirilishi mumkin:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Endi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz, bunda b koeffitsienti nolga teng va c ≠ 0, ya'ni a · x 2 + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan boshqasiga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Shuning uchun a x 2 + c = 0 to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning quyidagi ekvivalent o'zgarishlarini amalga oshirishimiz mumkin:

c ga o'tkazing o'ng tomon, bu a x 2 = −c tenglamani beradi,
va uning ikkala qismini a ga bo‘lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifodaning qiymati salbiy (masalan, a = 1 va c = 2 bo'lsa) yoki ijobiy (masalan, a = -2 va c = 6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin), u nolga teng emas, chunki gipoteza bo'yicha c ≠ 0. Keling va holatlarni alohida ko'rib chiqaylik.

Agar, u holda tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'lishi mumkin emas.

Agar, u holda tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar siz eslasangiz, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Hozirgina x 1 va −x 1 deb aytilgan tenglamaning ildizlarini belgilaymiz. Aytaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli yana bitta x 2 ildizi bor. Ma'lumki, tenglamada x o'rniga uning ildizlarini qo'yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va -x 1 uchun biz bor, va x 2 uchun biz bor. Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 −x 2 2 = 0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallarning xossalari natijaviy tenglikni (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0 shaklida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 - x 2 = 0 va / yoki x 1 + x 2 = 0, bu bir xil, x 2 = x 1 va / yoki x 2 = -x 1. Biz qarama-qarshilikka shunday keldik, chunki boshida x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu elementning ma'lumotlarini umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 + c = 0 tenglamaga ekvivalentdir.

ildizlari yo'q, agar,
ikkita ildizga ega va agar.

a · x 2 + c = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqing.

9 x 2 + 7 = 0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9 · x 2 = -7 ko'rinishini oladi. Olingan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, biz erishamiz. O'ng tomonda manfiy raqam bo'lgani uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 · x 2 + 7 = 0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

−x 2 + 9 = 0 boshqa to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani yeching. To'qqizni o'ngga siljiting: -x 2 = -9. Endi biz ikkala tomonni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 = 9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, undan biz yoki degan xulosaga kelamiz. Keyin yakuniy javobni yozamiz: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama -x 2 + 9 = 0 ikkita ildizga ega x = 3 yoki x = -3.

a x 2 + b x = 0

c = 0 uchun to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning oxirgi turini hal qilish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 + b x = 0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi. faktorizatsiya usuli... Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsientni ajratib ko'rsatish kifoya qiladi. Bu bizga asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamadan o'tishga imkon beradi tenglamaga teng x (a x + b) = 0 ko'rinishdagi. Va bu tenglama ikkita x = 0 va a x + b = 0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, ularning oxirgisi chiziqli va x = -b / a ildiziga ega.

Demak, a x 2 + b x = 0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x = 0 va x = −b / a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Qavslar ichidan x ni ko'chirish tenglamani beradi. Bu x = 0 va ikkita tenglamaga teng. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz: va aralash sonni oddiy kasrga bo'lgach, topamiz. Demak, asl tenglamaning ildizlari x = 0 va.

Kerakli amaliyotni qo'lga kiritgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x = 0,.

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadratik formula: , qayerda D = b 2 −4 a c- deb atalmish kvadratik diskriminant... Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, buni aniqlaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Faraz qilaylik, a x 2 + b x + c = 0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

Bu tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida:. Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
Ushbu bosqichda oxirgi ikki muddatni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda.
Va biz o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz:.

Natijada, biz a x 2 + b x + c = 0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga kelamiz.

Oldingi paragraflarda biz ularni tahlil qilganimizda, shakl jihatidan o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qilganmiz. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

agar, u holda tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
agar, u holda tenglama shaklga ega bo'lsa, demak, uning yagona ildizi qaerdan ko'rinadi;
agar, u holda yoki, qaysi biri bir xil yoki, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 · a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 · a · c ifodaning belgisi. Bu b 2 −4 a c ifodasi chaqirildi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D... Demak, diskriminantning mohiyati aniq - uning ma'nosi va belgisiga ko'ra kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari bor-yo'qligi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni - bir yoki ikkita degan xulosaga keladi.

Tenglamaga qaytsak, uni diskriminant belgisi yordamida qayta yozing:. Va biz xulosa chiqaramiz:

agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
agar D = 0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
Nihoyat, agar D> 0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi yoki ular tufayli yoki ko'rinishida qayta yozilishi mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, qisqartirgandan so'ng, biz hosil bo'lamiz.

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular D diskriminant D = b 2 -4 · a · c formulasi bilan hisoblangan shaklga ega.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga harakat qilganda, biz salbiy sonning kvadrat ildizini chiqarishga duch kelamiz, bu bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadi. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat biz tomonidan olingan bir xil ildiz formulalari bilan topilishi mumkin bo'lgan ildizlar.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamalarni yechishda siz darhol ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin, uning yordamida ularning qiymatlarini hisoblashingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebrasi kursida, odatda, murakkab emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin, birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va faqat keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblaydigan.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglama yechish... a x 2 + b x + c = 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

diskriminant formulasi bo'yicha D = b 2 -4 · a · c uning qiymatini hisoblang;
agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D = 0 bo'lsa;
diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda shuni ta'kidlaymizki, diskriminant nolga teng bo'lganda, formuladan ham foydalanish mumkin, u xuddi shunday qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni echish algoritmidan foydalanish misollariga o'tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 + 2 x − 6 = 0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu holda biz kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga egamiz: a = 1, b = 2 va c = -6. Algoritmga ko'ra, avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni ildiz formulasi yordamida topamiz, olamiz, bu erda siz bajarilgan iboralarni soddalashtirishingiz mumkin ildiz belgisini faktoring fraksiyaning keyingi qisqarishi bilan:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4x2 + 28x − 49 = 0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x = 3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 + 6 y + 2 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a = 5, b = 6 va c = 2. Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formulani qo'llaymiz va bajaramiz. murakkab son amallari:

Javob:

haqiqiy ildizlar yo'q, murakkab ildizlar quyidagicha:.

Yana bir bor e'tibor bering, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktabda ular odatda darhol haqiqiy ildizlar yo'qligini va murakkab ildizlar topilmasligini ko'rsatadigan javobni yozadilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D = b 2 -4 a ln5 = 2 7 ln5). Keling, chiqarib olaylik.

Aytaylik, a x 2 + 2 n x + c = 0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Biz bilgan formuladan foydalanib uning ildizlarini topamiz. Buning uchun diskriminantni hisoblang D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), va keyin biz ildizlar uchun formuladan foydalanamiz:

n 2 - a · c ifodasini D 1 deb belgilaymiz (ba'zan D " bilan belgilanadi).Unda ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan ko'rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1 yoki D 1 = D / 4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi ko'rsatkichidir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi

D 1 = n 2 −a · c ni hisoblang;
Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Agar D 1 = 0 bo'lsa, formula bo'yicha tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
Agar D 1> 0 bo'lsa, formula bo'yicha ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolni hal qilishni ko'rib chiqing.

Misol.

5x2 −6x − 32 = 0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Ushbu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2 · (−3) sifatida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, siz dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0 ko'rinishida qayta yozishingiz mumkin, bu erda a = 5, n = -3 va c = -32 va to'rtinchi qismni hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar ko'rinishini soddalashtirish

Ba'zan, kvadrat tenglamaning ildizlarini formulalar bo'yicha hisoblashni boshlashdan oldin, "Bu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi?" 1100 x 2 -400 x - 600 = 0 dan ko'ra, hisob-kitoblar nuqtai nazaridan 11 x 2 −4 x − 6 = 0 kvadrat tenglamani yechish osonroq bo'lishiga rozi bo'ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala qismini ma'lum songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100x2 -400x - 600 = 0 tenglamasini soddalashtirishga muvaffaq bo'ldik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala tomoni odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x + 48 = 0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala tomonini 6 ga bo‘lib, 2 x 2 −7 x + 8 = 0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning har ikki tomonini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bilan amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala tomoni LCM (6, 3, 1) = 6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 + 4 x - 18 = 0.

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, biz deyarli har doim kvadrat tenglamaning etakchi koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'lamiz, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2x2 −3x + 7 = 0 kvadrat tenglamadan biri 2x2 + 3x − 7 = 0 yechimiga o‘tadi.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlar uchun formulaga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi boshqa bog'liqliklarni olishingiz mumkin.

Eng yaxshi ma'lum va eng ko'p qo'llaniladigan formulalar Vietaning shakl va teoremasidan olingan. Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin hadga teng. Masalan, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kvadrat tenglamaning ko'rinishi bo'yicha darhol uning ildizlari yig'indisi 7/3, ildizlarning ko'paytmasi esa 22/3 ekanligini aytishimiz mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari orqali ifodalash mumkin:.

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: o'rganish. 8 cl uchun. umumiy ta'lim. muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008 .-- 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
A. G. Mordkovich Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Kvadrat trinomialni faktoring qilish. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktoringga misollar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamalarni onlayn yechish

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat ildizlar(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lsa, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (koeffitsientlar) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Bundan tashqari, biz bu haqiqiy raqamlar deb hisoblaymiz.
O'ylab ko'ring kvadratik diskriminant:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
U holda kvadrat trinomialning faktorizatsiyasi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Mana xayoliy birlik,;
va - ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar siz qursangiz funktsiya grafigi
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachonki, grafik abscissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi ().
Qachonki, grafik bir nuqtada () abscissa o'qiga tegsa.
Qachonki, grafik abscissa o'qini kesib o'tmaydi ().

Foydali kvadrat tenglamalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

O'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:

,
qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phad uchun formulani oldik:
.
Shundan ko'rinib turibdiki, tenglama

da amalga oshirildi
va .
Ya'ni, ular kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
(1.1) tenglamamiz bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bundan kvadrat trinomning faktorizatsiyasini olamiz:

.

Funktsiya grafigi y = 2 x 2 + 7 x + 3 abscissa o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

U holda trinomialning faktorizatsiyasi:
.

Funktsiya grafigi y = x 2 - 4 x + 4 bir nuqtada abscissa o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada abscissa o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta (2.1) dastlabki tenglamaning ildizidir. Chunki bu ildiz faktorizatsiyaga ikki marta kiradi:
,
keyin bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy,. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Murakkab ildizlarni topish mumkin:
;
;
.

Keyin

.

Funksiya grafigi abscissa o'qini kesib o'tmaydi. Yaroqli ildizlar yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abscissa (o'q) ni kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Yaroqli ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Shuningdek qarang:

Ko'p qiyin formulalar tufayli bu mavzu dastlab murakkab ko'rinishi mumkin. Kvadrat tenglamalar nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formula mavjud. Buni eslab qolish oson emas. Bu shunday tenglamalarni tez-tez hal qilgandan keyingina mumkin bo'ladi. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda, birinchi navbatda, eng yuqori daraja, keyin esa kamayish tartibida qayd etilganda, ularning aniq qayd etilishi taklif etiladi. Ko'pincha shartlar tartibsiz bo'lgan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayishi tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, belgi bilan tanishamiz. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu belgilashlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi yozuvga tushiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

eritmada ikkita ildiz bo'ladi;
javob bitta raqam;
tenglamaning hech qanday ildizi bo'lmaydi.

Va qaror oxirigacha etkazilmaguncha, ma'lum bir holatda variantlardan qaysi biri tushib ketishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalar ularning turli yozuvlarini o'z ichiga olishi mumkin. Ular har doim ham umumiy kvadrat tenglamaga o'xshamaydi. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglamadir. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqacha narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari yo'qolishi mumkin bo'lgan atamalar. "A" raqami hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. To'liq bo'lmagan tenglamalar shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud, to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikkinchi raqam va uchinchi raqam bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Hisoblash uchun siz ushbu raqamni bilishingiz kerak tenglamaning ildizlari. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikni ishlatishingiz kerak, bu to'rtta raqamga ega bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz raqamlarni olishingiz mumkin turli belgilar... Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Salbiy raqam bilan kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, javob bitta bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki birinchi navbatda siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lgandan so'ng, siz o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanishingiz kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz ifodasi diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula raqami besh. Xuddi shu yozuv shuni ko'rsatadiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarning yechimi hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, unda diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib olish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglama qanday yechiladi?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto qo'shimcha formulalarga ham ehtiyoj yo'q. Va siz diskriminant va noma'lum uchun allaqachon qayd etilgan narsalarga muhtoj bo'lmaysiz.

Birinchidan, ikkinchi raqamli to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Bu tenglikda noma’lum miqdorni qavsdan chiqarib, qavs ichida qolgan chiziqli tenglamani yechish kerak. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan omil mavjud. Ikkinchisi hal qilishda paydo bo'ladi chiziqli tenglama.

To'liq bo'lmagan uchinchi tenglama raqamni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum oldida omilga bo'lish kerak. Qolgan narsa - qazib olish Kvadrat ildiz va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Keyinchalik, kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tenglamalarni qanday echishni o'rganishga yordam beradigan ba'zi harakatlar yoziladi. Ular talabaga beparvo xatolardan qochishga yordam beradi. “Kvadrat tenglamalar (8-sinf)” keng mavzusini o‘rganishda bu kamchiliklar yomon baholarga sabab bo‘ladi. Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror mahorat paydo bo'ladi.

Birinchidan, siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, avval o'zgaruvchining eng yuqori darajasiga ega bo'lgan atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - shunchaki raqam.

Agar "a" koeffitsienti oldida minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganish uchun yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi.

Xuddi shu tarzda, fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Maxrajlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

ga misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Birinchi tenglama: x 2 - 7x = 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi raqamli formula uchun ta'riflanganidek echiladi.

Qavslarni tark etgandan so'ng, shunday bo'ladi: x (x - 7) = 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 = 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 = 0. X 2 = 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x 2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada ta'riflanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglikning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Uchinchi tenglama: 15 - 2x - x 2 = 0. Bundan keyin kvadrat tenglamalarni standart shaklda qayta yozishdan boshlanadi: - x 2 - 2x + 15 = 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va hamma narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 = 0. To'rtinchi formulaga ko'ra, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ma'lum bo'ladiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formuladan foydalanib hisoblash kerak. Aniqlanishicha, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 = 3, x 2 = - 5 bo'ladi.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x = 0 quyidagicha o'zgartiriladi: x 2 + 3x + 8 = 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q."

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formula qo'llanilgandan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Oltinchi tenglama (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) o'zgartirishlarni talab qiladi, bu esa qavslarni ochishdan oldin o'xshash atamalarni olib kelish kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida shunday ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. Bunday hadlarni sanab bo'lgach, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 - x = 0. To'liqsizga aylandi ... Bunga o'xshash narsa allaqachon biroz yuqoriroq ko'rib chiqilgan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.