Testne jednadžbe su kvadratne. Kvadratne jednadžbe. Shema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

Opća teorija rješavanja problema pomoću jednadžbi

Prije nego što prijeđemo na određene vrste problema, prvo ćemo dati opću teoriju za rješavanje različitih problema pomoću jednadžbi. Prije svega, problemi u disciplinama kao što su ekonomija, geometrija, fizika i mnoge druge svode se na jednadžbe. Opći postupak rješavanja problema pomoću jednadžbi je sljedeći:

Sve veličine koje tražimo iz uvjeta zadatka, kao i sve pomoćne, označene su varijablama koje su nam prikladne. Najčešće su te varijable posljednja slova latinične abecede.
Koristeći podatke u zadatku, numeričke vrijednosti, kao i verbalne odnose, sastavlja se jedna ili više jednadžbi (ovisno o stanju zadatka).
Rješavaju dobivenu jednadžbu ili svoj sustav i izbacuju “nelogična” rješenja. Na primjer, ako trebate pronaći područje, tada će negativan broj očito biti strani korijen.
Dobijamo konačan odgovor.

Primjer problema iz algebre

Ovdje ćemo dati primjer problema koji se svodi na kvadratnu jednadžbu bez pozivanja na bilo koje određeno područje.

Primjer 1

Nađite dva takva iracionalna broja, zbrajanjem kvadrata od kojih će se dobiti petica, a s njihovim uobičajenim zbrajanjem jedan drugome trojka.

Označimo ove brojeve slovima $ x $ i $ y $. Prema uvjetu zadatka, prilično je lako sastaviti dvije jednadžbe $ x ^ 2 + y ^ 2 = 5 $ i $ x + y = 3 $. Vidimo da je jedan od njih kvadrat. Da biste pronašli rješenje, morate riješiti sustav:

$ \ slučajevi (x ^ 2 + y ^ 2 = 5, \\ x + y = 3.) $

Prvo, izražavamo iz drugog $ x $

Zamjena u prvu i izvođenje elementarnih transformacija

$ (3-y) ^ 2 + y ^ 2 = 5 $

$ 9-6y + y ^ 2 + y ^ 2 = 5 $

Prešli smo na rješavanje kvadratne jednadžbe. Učinimo to pomoću formula. Nađimo diskriminanta:

Prvi korijen

$ y = \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) $

Drugi korijen

$ y = \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $

Nađimo drugu varijablu.

Za prvi korijen:

$ x = 3- \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) = \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $

Za drugi korijen:

$ x = 3- \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) = \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) $

Kako nam redoslijed brojeva nije važan, dobivamo jedan par brojeva.

Odgovor: $ \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $ i $ \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) $.

Primjer problema iz fizike

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješavanja kvadratne jednadžbe u fizici.

Primjer 2

Helikopter koji ravnomjerno leti po mirnom vremenu ima brzinu od 250 km / h. Treba odletjeti iz svoje baze do mjesta požara, koje je od nje udaljeno 70 km i vratiti se. U to vrijeme vjetar je puhao prema bazi, usporavajući kretanje helikoptera prema šumi. Zbog toga se vratio u bazu 1 sat ranije. Pronađite brzinu vjetra.

Označimo brzinu vjetra kroz $ v $. Tada dobivamo da će helikopter letjeti prema šumi sa stvarnom brzinom jednakom $250-v $, a natrag će njegova stvarna brzina biti $250 + v $. Izračunajmo vrijeme do tamo i povratka.

$ t_1 = \ frac (70) (250-v) $

$ t_2 = \ frac (70) (250 + v) $

Budući da se helikopter vratio u bazu 1 $ sat ranije, imat ćemo

$ \ frac (70) (250-v) - \ frac (70) (250 + v) = 1 $

Dovedemo lijevu stranu na zajednički nazivnik, primijenimo pravilo proporcije i napravimo elementarne transformacije:

$ \ frac (17500 + 70v-17500 + 70v) ((250-v) (250 + v)) = 1 $

140 v = 62500-v ^ 2 $

$ v ^ 2 + 140v-62500 = 0 $

Dobili smo kvadratnu jednadžbu za rješavanje ovog problema. Idemo to riješiti.

Riješit ćemo ga pomoću diskriminanta:

D = 19600 + 250000 = 269600≈519 ^ 2 $

Jednadžba ima dva korijena:

$ v = \ frac (-140-519) (2) = - 329,5 $ i $ v = \ frac (-140 + 519) (2) = 189,5 $

Budući da smo tražili brzinu (koja ne može biti negativna), očito je da je prvi korijen suvišan.

Odgovor: 189,5 $

Primjer problema iz geometrije

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješenja kvadratne jednadžbe u geometriji.

Primjer 3

Nađite površinu pravokutnog trokuta koja zadovoljava sljedeće uvjete: njegova hipotenuza je 25 $, a noge su dugačke od 4 $ do 3 $.

Da bismo pronašli traženo područje, moramo pronaći noge. Označimo jedan dio noge kroz $ x $. Zatim, izražavajući noge kroz ovu varijablu, dobivamo da su njihove duljine jednake $4x $ i $3x $. Dakle, iz Pitagorinog teorema možemo sastaviti sljedeću kvadratnu jednadžbu:

$ (4x) ^ 2 + (3x) ^ 2 = 625 $

(korijen $ x = -5 $ može se zanemariti, jer krak ne može biti negativan)

Dobili smo da su noge 20 dolara i 15 dolara, odnosno, površina je

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 20 \ cdot 15 = 150 $

Državna proračunska stručna obrazovna ustanova

"Nevinnomyssk Energetski fakultet"

Metodički razvoj otvoreni sat iz discipline "Matematika"

Tema lekcije :

Jednadžbe koje se svode na kvadrat

jednadžbe.

Profesor matematike:

Skrylnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomyssk 2016.

Ciljevi sata: Slajd broj 2

Obrazovni: promovirati organizaciju aktivnosti učenika na percepciji,

razumijevanje i primarno pamćenje novog znanja (metoda uvođenja nove varijable, definicija bikvadratne jednadžbe) i metode

radnje (učiti kako rješavati jednadžbe uvođenjem novog

varijabla), pomažu učenicima u razumijevanju društvenog i osobnog

značaj nastavno gradivo;

Razvijanje: pomoći u poboljšanju računalne sposobnosti učenika;

razvoj usmenog matematičkog govora; stvoriti uvjete za

formiranje vještina samokontrole i međusobne kontrole,

algoritamska kultura učenika;

Obrazovni: njegovati dobru volju

jedno drugom.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Metode: verbalno, vizualno, praktično, pretraživanje

Oblici rada : individualni, parni, kolektivni

Oprema: interaktivna ploča, prezentacija

Tijekom nastave.

I. Organizacijski trenutak.

Označite odsutan, provjerite spremnost razreda za nastavu.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dečki, počinjemo proučavati novu temu. Temu lekcije još ne zapisujemo, malo kasnije ćete je sami formulirati. Samo da kažem da govorimo o jednadžbama.

Slajd broj 3.

Pomoću jednadžbi, teorema

Riješio je mnogo problema.

I predvidio je sušu i pljuskove -

Zaista, njegovo je znanje čudesno.

Goser.

Vi ste već riješili desetke jednadžbi. Možete riješiti probleme uz pomoć jednadžbi. Jednadžbe se mogu koristiti za opisivanje raznih pojava u prirodi, fizikalnih, kemijskih pojava, čak se i rast stanovništva u zemlji opisuje jednadžbom.Danas ćemo na satu naučiti još jednu istinu, istinu o načinu rješavanja jednadžbi.

II. Ažuriranje znanja.

Ali prvo, sjetimo se:

Pitanja: Slajd 4

Koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim? (Jednadžba oblika, gdjeNS - varijabla, - neki brojevi i a ≠ 0.)

Među zadanim jednadžbama odaberite one koje su kvadratne?

1) 4x - 5 = x + 11

2) x 2 + 2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - NS 2 – 4 = 8

5) 4x 2 - 1x + 7 = 0 Odgovor: (2,3,5)

Koje se jednadžbe nazivaju nepotpunim kvadratnim jednadžbama?(Jednadžbe u kojima je barem jedan od koeficijenatav ilis jednako 0.)

Među tim jednadžbama odaberite one koje su nepotpune kvadratne jednadžbe. (3)

Prognoza testa

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 + 4x-6 = 0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x + 10 = 0

5) 4x 2 + 2x = 0

6) –2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 + 3x = 0

opcija 1

1) Zapišite brojeve potpunih kvadratnih jednadžbi.

2) Zapišite koeficijente a, b, c u jednadžbi 8.

3) Zapišite broj nepotpune kvadratne jednadžbe koja ima jedan korijen.

4) Zapišite koeficijente a, b, c u jednadžbi 6.

5) Pronađite D u jednadžbi 4 i izvedite zaključak o broju korijena.

Opcija 2

1) Zapišite brojeve nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

2) Zapišite koeficijente a, b, c u jednadžbi 1.

3) Zapišite broj nepotpune kvadratne jednadžbe s jednim korijenom 0.

4) Zapišite koeficijente a, b, c u jednadžbi 3.

5) Pronađite D u jednadžbi 3 i izvedite zaključak o broju korijena.

Učenici zamjenjuju bilježnice, provjeravaju i daju ocjene.

1c.

1,2,4,8

a = -4, b = 3, c = 15

a = -2, b = 0, c = 2

24, D<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a = -5, b = 3, c = 2

a = 8, b = 0, c = -16

D> 0, 2 korijena.

Pogodi igru riječi.

Sada morate pogoditi riječ koja je napisana na ploči. Da biste to učinili, morate riješiti jednadžbe i pronaći točne odgovore za njih. Svaki odgovor odgovara slovu, a svako slovo odgovara broju kartice i broju u tablici kojoj ovo slovo odgovara. Na ploči su prikazane tablica br. 1 u cijelosti i tablica br. 2 u kojoj su upisani samo brojevi, slova upisuje nastavnik kako se rješavaju primjeri. Učitelj svakom učeniku daje kartice s kvadratnim jednadžbama. Svaka kartica je numerirana. Učenik rješava kvadratnu jednadžbu i dobiva odgovor -21. U tablici pronalazi svoj odgovor i saznaje koje slovo odgovara njegovom odgovoru. Ovo je slovo A. Zatim kaže učitelju koje je njegovo slovo i kaže broj kartice. Broj kartice odgovara mjestu slova u tablici №2. Na primjer, odgovor je -21 slovo A, kartica broj 5. Učiteljica u tablici broj 2 pod brojem 5 upisuje slovo A itd. dok izraz nije u potpunosti napisan.

NS 2 -5x + 6 = 0 (2; 3) B

NS 2 -2x-15 = 0(-3; 5) I

NS 2 + 6x + 8 = 0(-4; -2) K

NS 2 -3x-18 = 0(-3; 6) B

NS 2- 42x + 441 = 0-21 A

NS 2 + 8x + 7 = 0(-7; -1) D

NS 2 -34x + 289 = 017 R

NS 2 -42x + 441 = 0 -21 A

NS 2 + 4x-5 = 0(-5; 1) T

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

3x 2 -3x + 4 = 0Bez korijena Oh

5x 2 -8x + 3 = 0 (; 1) E

NS 2 -8x + 15 = 0(3; 5) Y

NS 2 -34x + 289 = 017 R

NS 2 -42x + 441 = 0-21 A

NS 2 -3x-18 = 0(-3; 6) B

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

5x 2 -8x + 3 = 0 (; 1) E

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

NS 2 -2x-15 = 0(-3; 5) I

5x 2 -8x + 3 = 0(; 1) E

Stol 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

Bez korijena

(-5;1)

(3;5)

Odgovarajuće pismo

tablica 2

Dakle, ovako smo formulirali temu današnje lekcije.

"Bikvadratna jednadžba."

III. Učenje novog gradiva

Već znate načine rješavanja kvadratnih jednadžbi različiti tipovi... Danas na satu prelazimo na razmatranje jednadžbi koje vode do rješenja kvadratnih jednadžbi. Jedna od ovih vrsta jednadžbi jebikvadratna jednadžba.

Def. Prikaz jednadžbisjekira 4 + bx 2 + c = 0 , gdjea 0, pozvaobikvadratna jednadžba .

BQUADRATE JEDNADŽBE - oddvo - dva ilatinskiquadratus - kvadrat, t.j. dva puta kvadrat.

Primjer 1. Riješimo jednadžbu

Riješenje. Rješenje bikvadratnih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednadžbi zamjenomy = x 2 .

PronaćiNS nazad na zamjenu:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Odgovor: -1; -1

Iz razmatranog primjera može se vidjeti da je za dovođenje jednadžbe četvrtog stupnja na kvadrat uvedena još jedna varijabla -na ... Ova metoda rješavanja jednadžbi naziva semetodom uvođenja novih varijabli.

Za rješavanje jednadžbi koje se svode na rješavanje kvadratnih jednadžbi uvođenjem nove varijable, možete sastaviti sljedeći algoritam:

1) Uvesti zamjenu varijable: nekaNS 2 = y

2) Napišite kvadratnu jednadžbu s novom varijablom:aj 2 + wu + c = 0

3) Riješite novu kvadratnu jednadžbu

4) Povratak na promjenjivu zamjenu

5) Riješite rezultirajuće kvadratne jednadžbe

6) Izvedite zaključak o broju rješenja bikvadratne jednadžbe

7) Zapišite odgovor

Rješenje ne samo bikvadratnih, već i nekih drugih vrsta jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer 2. Riješimo jednadžbu

Riješenje. Hajde da predstavimo novu varijablu

nema korijena.

Bez korijena

Odgovor: -

IV. Primarno sidrenje

Ti i ja smo naučili uvoditi novu varijablu, umorni ste pa ćemo se malo odmoriti.

Fizminutka

1. Zatvorite oči. Otvorite oči (5 puta).

2. Kružni pokreti očiju. Nemojte rotirati glavu (10 puta).

3. Bez okretanja glave, povucite oči što je više moguće ulijevo. Ne treptaj. Pogledajte izravno. Trepnite nekoliko puta. Zatvorite oči i odmorite se. Isto vrijedi i desno (2-3 puta).

4. Pogledajte bilo koji predmet ispred sebe i okrenite glavu udesno i ulijevo ne skidajući pogled s ovog predmeta (2-3 puta).

5. Gledajte kroz prozor u daljinu 1 minutu.

6. Treptaj 10-15 sekundi.

Opustite se zatvorenih očiju.

Dakle, otkrili smo novu metodu za rješavanje jednadžbi, međutim, uspješnost rješavanja jednadžbi ovom metodom ovisi o ispravnosti sastavljanja jednadžbe s novom varijablom, zaustavimo se na ovoj fazi rješavanja jednadžbi detaljnije. Naučit ćemo kako uvesti novu varijablu i sastaviti novu jednadžbu, kartica broj 1

Svaki učenik ima karticu

KARTICA br. 1

Zapišite jednadžbu koja je nastala uvođenjem nove varijable

NS 4 -13x 2 +36=0

neka y =,

zatim

NS 4 + 3x 2 -28 = 0

neka je y =

zatim

(3x – 5) 2 - 4 (3x – 5) = 12

neka je y =

zatim

(6x + 1) 2 +2 (6x + 1) –24 = 0

neka je y =

zatim

NS 4 - 25x 2 + 144 = 0

neka je y =

zatim

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

neka je y =

zatim

Provjera znanja:

NS 4 -13x 2 +36=0

neka je y = x 2 ,

onda imati 2 -13y + 36 = 0

NS 4 + 3x 2 -28 = 0

neka je y = x 2 ,

onda imati 2 + 3y-28 = 0

(3x – 5) 2 - 4 (3x – 5) = 12

neka je y = 3x-5,

onda imati 2 -4y-12 = 0

(6x + 1) 2 +2 (6x + 1) –24 = 0

neka je y = 6x + 1,

onda imati 2 + 2y-24 = 0

NS 4 - 25x 2 + 144 = 0

neka je y = x 2 ,

onda imati 2 -25y + 144 = 0

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

neka je y = x 2 ,

zatim 16g 2 -8y + 1 = 0

Rješavanje primjera na ploči:

Samostalni rad:

Opcija 1 Opcija 2

1) x 4 -5x 2 -36 = 0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2) (2x 2 +3) 2 -12 (2x 2 +3) + 11 = 0 2) (x 2 +3) 2 -11 (x 2 +3)+28=0

Odgovori:

Opcija 1 Opcija 2

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Sažetak lekcije

Da rezimirate lekciju, da izvučete zaključke da ste uspjeli ili ne, molim vas da dovršite rečenice na listovima.

- Bilo je zanimljivo jer..

- Želio bih se pohvaliti za...

- Ocijenio bih lekciju na...

Vi. Domaća zadaća :

(2x 2 + x-1) (2x 2 + x-4) + 2 = 0

(NS 2 -4x) 2 +9 (x 2 -4x) + 20 = 0

(NS 2 + x) (x 2 + x-5) = 84

Postoji nekoliko klasa jednadžbi koje se rješavaju svođenjem na kvadratne jednadžbe. Jedna od takvih jednadžbi su bikvadratne jednadžbe.

Bikvadratne jednadžbe

Bikvadratne jednadžbe su jednadžbe oblika a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c = 0, gdje a nije jednako 0.

Bikvadratne jednadžbe rješavaju se zamjenom x ^ 2 = t. Nakon takve zamjene dobivamo kvadratnu jednadžbu za t. a * t ^ 2 + b * t + c = 0. Rješavamo rezultirajuću jednadžbu, imamo u općem slučaju t1 i t2. Ako se u ovoj fazi dobije negativan korijen, može se isključiti iz rješenja, jer smo uzeli t = x ^ 2, a kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj.

Vraćajući se na izvorne varijable, imamo x ^ 2 = t1, x ^ 2 = t2.

x1,2 = ± √ (t1), x3,4 = ± √ (t2).

Pogledajmo mali primjer:

9 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 - 4 = 0.

Uvodimo zamjenu t = x ^ 2. Tada će izvorna jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

Rješavamo ovu kvadratnu jednadžbu na bilo koji od poznatih načina, nalazimo:

Korijen -1 ne radi, jer jednadžba x ^ 2 = -1 nema smisla.

To ostavlja drugi korijen 4/9. Prijelazom na izvorne varijable, imamo sljedeću jednadžbu:

x1 = -2 / 3, x2 = 2/3.

Ovo će biti rješenje jednadžbe.

Odgovor: x1 = -2 / 3, x2 = 2/3.

Druga vrsta jednadžbi koja se može svesti na kvadratne su frakcijske racionalne jednadžbe. Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva razlomkom.

Shema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

1. Pronađite zajednički nazivnik svih razlomaka u jednadžbi.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješi dobivenu cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i isključite iz njih one koji nestaju zajedničkog nazivnika.

Razmotrimo primjer:

Riješite racionalnu frakcijsku jednadžbu: (x-3) / (x-5) + 1 / x = (x + 5) / (x * (x-5)).

Pridržavat ćemo se opće sheme. Nađimo najprije zajednički nazivnik svih razlomaka.

Dobivamo x * (x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednadžbu.

x * (x + 3) + (x-5) = (x + 5);

Pojednostavimo rezultirajuću jednadžbu. dobivamo

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 = 0;

Dobio jednostavna reducirana kvadratna jednadžba. Rješavamo ga na bilo koji od poznatih načina, dobivamo korijene x = -2 i x = 5. Sada provjeravamo dobivena rješenja. Zamijenite brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik.

Kada je x = -2, zajednički nazivnik x * (x-5) ne nestaje, -2 * (- 2-5) = 14. Dakle, broj -2 će biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Lekcija broj 1

Vrsta lekcije: lekcija u učenju novog gradiva.

Obrazac lekcije: razgovor.

Cilj: formirati sposobnost rješavanja jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne.

Zadaci:

upoznati učenike s jednim od načina rješavanja jednadžbi;
vježbati vještine rješavanja takvih jednadžbi;
stvoriti uvjete za formiranje interesa za predmet i razvoj logičkog mišljenja;
osigurati osobne i humane odnose između sudionika odgojno-obrazovnog procesa.

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak.

3. Učenje novog gradiva.
4. Osiguravanje novog materijala.
5. Domaća zadaća.
6. Sažetak lekcije.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Učitelj, nastavnik, profesor:"Dečki, danas počinjemo proučavati važnu i zanimljivu temu" Jednadžbe svedene na kvadrat ". Znate koncept kvadratne jednadžbe. Prisjetimo se što znamo o ovoj temi."

Školarcima se nude upute:

Zapamtite definicije povezane s ovom temom.
Prisjetite se metoda za rješavanje poznatih jednadžbi.
Prisjetite se svojih poteškoća u ispunjavanju zadataka na teme koje su "bliske" ovoj.
Razmislite o načinima prevladavanja poteškoća.
Razmotrite moguće istraživačke zadatke i načine za njihovo postizanje.
Sjetite se gdje su primijenjeni prethodno riješeni problemi.

Učenici pamte oblik potpune kvadratne jednadžbe, nepotpune kvadratne jednadžbe, uvjete za rješavanje potpune kvadratne jednadžbe, metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi, pojam cijele jednadžbe, pojam stupnja.

Učitelj predlaže rješavanje sljedećih jednadžbi (rad u parovima):

a) x 2 - 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x - 1) + x 2 (x - 1) = 0

Jedan učenik komentira rješenje ovih jednadžbi.

3. Učenje novog gradiva

Učitelj predlaže razmatranje i rješavanje sljedeće jednadžbe (problema):

(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120

Učenici govore o stupnju zadane jednadžbe, predlažu množenje ovih faktora. Ali ima učenika koji primjećuju iste pojmove u ovoj jednadžbi. Koja se metoda rješenja ovdje može primijeniti?
Učitelj poziva učenike da se okrenu udžbeniku (Yu. N. Makarychev "Algebra-9", str. 11, str. 63) i razumiju rješenje ove jednadžbe. Razred je podijeljen u dvije grupe. Oni učenici koji razumiju metodu rješenja ispunjavaju sljedeće zadatke:

a) (x 2 + 2x) (x 2 + 2x + 2) = –1
b) (x 2 - 7) 2 - 4 (x 2 - 7) - 45 = 0,

ostali su algoritam rješenja takve jednadžbe i zajedno s učiteljem analizirati rješenje sljedeće jednadžbe.

(2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.

Algoritam:

- unesite novu varijablu;
- napraviti jednadžbu koja sadrži ovu varijablu;
- riješiti jednadžbu;
- zamijeniti pronađene korijene u zamjenu;
- riješiti jednadžbu s početnom varijablom;
- provjerite pronađene korijene, zapišite odgovor.

4. Osiguravanje novog materijala

Rad u paru: "jaki" - objašnjava, "slab" ponavlja, odlučuje.

Riješite jednadžbu:

a) 9x 3 - 27x 2 = 0
b) x 4 - 13x 2 + 36 = 0

Učitelj, nastavnik, profesor:"Prisjetimo se, gdje smo još koristili rješenje kvadratnih jednadžbi?"

studenti:„Prilikom rješavanja nejednačina; pri pronalaženju domene definicije funkcije; pri rješavanju jednadžbi s parametrom ”.
Učitelj nudi izborne zadatke. Razred je podijeljen u 4 grupe. Svaka skupina objašnjava rješenje svog zadatka.

a) Riješite jednadžbu:
b) Pronađite domenu funkcije:
c) Na kojim vrijednostima a jednadžba nema korijena:
d) Riješite jednadžbu: x + - 20 = 0.

5. Domaća zadaća

br. 221 (a, b, c), br. 222 (a, b, c).

Učitelj predlaže pripremu poruka:

1. "Povijesni podaci o stvaranju ovih jednadžbi" (na temelju materijala s Interneta).
2. Metode rješavanja jednadžbi na stranicama časopisa "Kvant".

Zadaci kreativne prirode izvode se po želji u zasebnim bilježnicama:

a) x 6 + 2x 4 - 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1

6. Sažetak lekcije

Djeca govore što su naučila na satu, koji su zadaci izazvali poteškoće, gdje su ih koristili, kako ocjenjuju svoje aktivnosti.

Lekcija broj 2

Vrsta lekcije: lekcija učvršćivanja vještina i sposobnosti.

Obrazac lekcije: nastavna radionica.

Cilj: učvrstiti stečeno znanje, formirati sposobnost rješavanja jednadžbi na zadanu temu.

Zadaci:

razviti sposobnost rješavanja jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne;
razvijati sposobnosti samostalnog razmišljanja;
razviti sposobnost provođenja analize, traženja informacija koje nedostaju;
odgajati aktivnost, samostalnost, disciplinu.

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak.
2. Aktualizacija predmetnog iskustva učenika.
3. Rješavanje problema.
4. Samostalan rad.
5. Domaća zadaća.
6. Sažetak lekcije.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Učitelj, nastavnik, profesor:“U prošloj lekciji upoznali smo se s jednadžbama koje se mogu svesti na kvadrat. A tko je od matematičara pridonio rješenju jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja?"

Učenik koji je pripremio izvještaj govori o talijanskim matematičarima 16. stoljeća.

2. Aktualizacija subjektivnog iskustva

1) Provjera domaće zadaće

U ploču se poziva učenik koji rješava jednadžbe slične domaćim:

a) (x 2 - 10) 2 - 3 (x 2 - 10) - 4 = 0
b) x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

Za to vrijeme “slabi” učenici dobivaju kartice za popunjavanje praznina u znanju. “Slab” komentira rješenje “jakom” učeniku, “jak” označava rješenje s “+” ili “-”.

2) Ponavljanje teorijskog gradiva

Pozivaju se studenti da popune tablicu obrasca:

Učenici popunjavaju treći stupac na kraju sata.
Provjerava se izvršeni zadatak na ploči. Otopina uzorka ostaje na ploči.

3. Rješavanje problema

Učitelj nudi izbor između dvije grupe jednadžbi. Razred je podijeljen u dvije grupe. Jedan izvršava zadatke prema modelu, drugi traži nove metode za rješavanje jednadžbi. Ako su rješenja teška, učenici mogu koristiti model zaključivanja.

a) (2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x - 63) (5x - 18) = 550
b) x 4 - 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 - 7 x 2 + 9 = 0

Prva skupina komentira svoje rješenje, druga provjerava rješenje kroz grafoskop i komentira svoje metode rješenja.

Učitelj, nastavnik, profesor: Dečki, pogledajmo zanimljivu jednadžbu: (x 2 - 6 x - 9) 2 = x (x 2 - 4 x - 9).

- Koju metodu predlažete da to riješite?

Učenici počinju raspravljati o problemu u skupinama. Oni predlažu da se otvore zagrade, da se dovedu slični članovi, da se dobije cijela algebarska jednadžba četvrtog stupnja i da se među djeliteljima slobodnog člana pronađu cijeli korijeni, ako ih ima; zatim faktor i pronađite korijene ove jednadžbe.
Učitelj odobrava algoritam rješenja i predlaže razmatranje druge metode rješenja.

Označimo x 2 - 4x - 9 = t, zatim x 2 - 6x - 9 = t - 2x. Dobijte jednadžbu t 2 - 5tx + 4x 2 = 0 i riješite je za t.

Izvorna jednadžba se rastavlja na skup od dvije jednadžbe:

x 2 - 4 x - 9 = 4x x = - 1
x 2 - 4 x - 9 = x x = 9
x = (5 + 61) / 2 x = (5 - 61) / 2

4. Samostalni rad

Učenicima se nude sljedeće jednadžbe na izbor:

a) x 4 - 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 - y 2) + 7 (1 - y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 - 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 - 18 x 2 - 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 - 28 = 0

Učitelj komentira jednadžbe svake grupe, napominjući da je jednadžba pod točkom c) omogućuje učenicima da prodube svoja znanja i vještine.
Samostalni rad izvodi se na listovima papira preko kopije.
Učenici provjeravaju rješenja putem grafoskopa razmjenom bilježnica.

5. Domaća zadaća

br. 223 (d, d, f), br. 224 (a, b) ili br. 225, br. 226.

Kreativni zadatak.

Odredite stupanj jednadžbe i izvedite Vieta formule za ovu jednadžbu:

6. Sažetak lekcije

Učenici se vraćaju popunjavanju stupca „Saznao sam“.

Lekcija broj 3

Vrsta lekcije: pregled sata i sistematizacija znanja.

Obrazac lekcije: lekcija – natjecanje.

Svrha lekcije: naučiti pravilno procjenjivati svoja znanja i vještine, pravilno korelirati svoje sposobnosti s predloženim zadacima.

Zadaci:

naučiti primjenjivati svoje znanje na sveobuhvatan način;
otkriti dubinu i snagu vještina i sposobnosti;
promicati racionalnu organizaciju rada;
odgajati aktivnost, samostalnost.

Plan učenja:

1. Organizacijski trenutak.
2. Aktualizacija predmetnog iskustva učenika.
3. Rješavanje problema.
4. Samostalan rad.
5. Domaća zadaća.
6. Sažetak lekcije.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Učitelj, nastavnik, profesor:“Danas ćemo provesti neobičan sat, sat-natjecanje. Već ste upoznati s prošle lekcije s talijanskim matematičarima Fiorijem, N. Tartagliom, L. Ferrarijem, D. Cardanom.

12. veljače 1535. dogodio se znanstveni dvoboj između Fiorija i N. Tartaglie u kojem je Tartaglia odnio briljantnu pobjedu. U dva sata riješio je svih trideset zadataka koje je predložio Fiori, dok Fiori nije riješio nijedan Tartagliin problem.
Koliko jednadžbi možete riješiti u lekciji? Koje metode trebate odabrati? Talijanski matematičari nude vam svoje jednadžbe."

2. Aktualizacija subjektivnog iskustva

Usmeni rad

1) Koji od brojeva: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 su korijeni jednadžbe:

a) x 3 - x = 0 b) y 3 - 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0?

- Koliko rješenja može imati jednadžba trećeg stupnja?
- Koju ćete metodu koristiti pri rješavanju ovih jednadžbi?

2) Provjerite rješenje jednadžbe. Pronađite pogrešku koju ste napravili.

x 3 - 3x 2 + 4x - 12 = 0
x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0
(x - 3) (x 2 + 4) = 0
(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0
x = 3, x = - 2, x = 2.

Raditi u parovima. Učenici objašnjavaju kako se rješavaju jednadžbe, učinjene pogreške.

Učitelj, nastavnik, profesor:„Vi, drugovi! Izvršili ste prvi zadatak talijanskih matematičara."

3. Rješavanje problema

Dva učenika za tablom:

a) Pronađite koordinate točaka presjeka s koordinatnim osi grafa funkcije:

b) Riješite jednadžbu:

Učenici u razredu imaju izbor između jednog ili dva zadatka. Učenici za tablom dosljedno komentiraju svoje postupke.

4. "Kroz" samostalan rad

Skup kartica se sastavlja prema stupnju težine i s opcijama za odgovore.

1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 - 32 x 2 - x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0

Opcije odgovora:

1) a) - 2; 2 b) - 3; 3 c) nema rješenja
2) a) - 1/4; 1/4 b) - 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) - 4; 1; 2 b) –1; 1; - 4; 2 c) - 4; 2
4) a) - 2; - 1; b) - 2; - 1; 1 c) 1; 2
5) a) - 1; (- 3 + 5) / 2 b) 1; (- 3 - 5) / 2 c) 1; (- 3 - 5) / 2; (–3 + 5) / 2.

5. Domaća zadaća

Zbirka zadataka za pismeni ispit iz algebre: br. 72, br. 73 ili br. 76, br.

Dodatni zadatak. Odredite vrijednost parametra a, za koji je jednadžba x 4 + (a 2 - a + 1) x 2 - a 3 - a = 0

a) ima jedan korijen;
b) ima dva različita korijena;
c) nema korijena.