Реферат: Исследование функции с помощью производной. Задача B15 — исследование функции с помощью производной Исследование функции с помощью первой производной
МОУ средняя общеобразовательная школа № 18.
«Исследование функции с помощью производной».
Реферат по математике ко Дню науки.
Выполнила:
ученица 11”Б” класса
Бокарева Ирина Николаевна
Руководитель:
учитель математики
Батюкова Галина Викторовна.
Смоленск 2005
Введение. 3
Глава I. Развитие понятия функции. 4
Глава II. Основные свойства функции. 7
2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и
область значений функции. Нули функции. 7
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические
функции). 8
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10
Глава III. Исследование функций. 12
3.1. Общая схема исследования функций. 12
3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12
3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13
3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14
Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15
Заключение. 22
Список литературы 23
Введение.
Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.
Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.
Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:
Систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;
Усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.
Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.
Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.
Глава I. Развитие понятия функции.
Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.
Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.
Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.
Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.
Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».
В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.
Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.
Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.
Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.
Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.
Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.
Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.
Глава II. Основные свойства функции.
2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.
Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.
Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.
Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).
Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.
Аналитический – с помощью формул.
Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.
Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.
Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.
Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)
Ответ: D(y)=(1,5; +∞).
Одним из понятий для исследования функции является нули функции.
Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.
Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.
По определению:
Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.
Пример 3. Найти нули функции y=4x-8
По определению:
у=0, тогда
Ответ: нулями этой функции является точка х=2.
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).
Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.
Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.
y=2cos2x, D(y)=R
y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.
Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.
y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.
y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.
Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.
y=2sin2x, D(y)=R
y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.
Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.
y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.
Пример 4. Пример 5.
Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).
Пример 8. Определить период функции y=cos2x.
cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.
Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.
Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.
sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.
Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)>f(x 1).
Функция fубывает на множестве Р, если для любых х 1
и х 2
из множества Р, таких, что х 2
>х 1
, выполнено неравенство f(x 2) Иными словами, функция fназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x min) и максимума (x max). Точка х 0
называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0
выполнено неравенство f(x) ≤f(x 0). Точка х 0
называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0
выполнено неравенство f(x)≥ f(x 0). Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума. Пример 10.
Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x 2
+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции. y=x 2
+2x, D(y)=R y’=(x 2
+2x)’=2x+2 y’=0, т.е. 2х+2=0 Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки. x=-2, y’=-4+2<0 x=0, y’=0+2>0 Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1]. Точки экстремума: x min
= -1 Экстремумы функции: y min
=y(-1)=1-2= -1 Глава III. Исследование функций. 3.1. Общая схема исследования функций. Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования: 1) D(y) – область определения (область изменения переменной х) 2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у) 3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида. 4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности). 5) Промежутки знакопостоянства: а) функция принимает положительное значение: f(x)>0 б) отрицательное значение: f(x)<0. 6) Промежутки монотонности функции: а) возрастания; б) убывания; в) постоянства (f=const). 7) Точки экстремума (точки минимума и максимума) 8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума) 9) Дополнительные точки. Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции. Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции. 3.2. Признак возрастания и убывания функций. Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции. Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции. Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы. Определение монотонности функции на интервале
Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х 1
и х 2
этого интервала из условия х 1
<х 2
следует, что f(x 1) Достаточный признак монотонности функции в интервале.
Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале. Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства. Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы. 3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. Определение точек экстремума функции
. Пусть х 0
– внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x 0
- δ, x 0
+ δ [ точки х 0
, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x 0) (неравенство f(x)≥f(x 0)), точка х 0
называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции. Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции. Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции
. Теорема Ферма.
Если х 0
есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x 0)=0. Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х 0
производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х 0
функция имеет экстремум. Определение критических точек функции
. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Достаточные условия существования экстремума
. Теорема 1.
Если функция f(x) непрерывна в точке х 0
, f ‘(x)>0 на интервале и f ‘(x)<0 на интервале , то х 0
является точкой максимума функции f(x). Теорема 2.
Если функция f(x) непрерывна в точке х 0
, f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на интервале , то х 0
является точкой минимума функции f(x). Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума. 3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. Пример 11.
Исследовать функцию y=x 3
+6x 2
+9x и построить график. 2) Определим вид функции: y(-x)=(-x) 3
+6(-x) 2
+9(-x)=-x+6x 2
-9x функция общего вида. x=0 или x 2
+6x+9=0 D=0, уравнение имеет один корень. (0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х. y’=(x 3
+6x 2
+9x)’=3x 2
+12x+9 y’=0, т.е. 3x 2
+12x+9=0 сократим на 3 D>0, уравнение имеет 2 корня. x 1,2
=(-b±√D)/2a, x 1
=(-4+2)/2 , x 2
=(-4-2)/2 0 x=-4, y’=3*16-48+9=9>0 x=-2, y’=12-24+9=-3<0 x=0, y’=0+0+9=9>0 7) Найдем x min
и x max: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(-1)=-1+6-9=-4 y max
=y(-3)=-27+54-27=0 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-4)=-64+96-36=-4 Пример 12.
Исследовать функцию y=x 2
/(x-2) и построить график y=x 2
/(x-2)=x+2+4/(x-2) Найдем асимптоты функции: y=x+2 – наклонная асимптота, т.к. Найдем область определения. 2)Определим вид функции. y(-x)=(-x) 2
/(-x-2)=x 2
/(-x-2), функция общего вида. 3)Найдем точки пересечения с осями. Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y. x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2
=(2x 2
-4x-x 2)/(x-2) 2
=(x(x-4))/(x-2) 2
=(x 2
-4x)/(x-2) 2 5) Определим критические точки: x 2
-4x=0 x(x-4)=0 y’=0, (x 2
-4x)/(x-2) 2
=0 <=> <=> (x-2) 2
≠ 0 x≠ 2 x 2
-4x=0, а (x-2) 2
≠ 0, т.е. х≠ 2 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции. x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0 x=1, y’=(1-4)/1=-3<0 x=3, y’=(9-12)/1=-3<0 x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0 7) Найдем точки минимума и максимума функции: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(4)=16/2=8 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9 y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9 Пример 13.
Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x 2
+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции: 2) Определим вид функции: y(-x)=(6(-x-1))/(x 2
+3)=-(6(x+1))/(x 2
-3) – функция общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y. (6(x-1))/(x 2
+3)=0 O x: y=0, <=> 4) Найдем производную функции: y’=(6(x-1)/(x 2
+3))’=6(x 2
+3-2x 2
+2x)/(x 2
+2) 2
=-6(x+1)(x-3)/(x 2
+3) 2 5) Определим критические точки: y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x 2
+3) 2
=0 y’=0, если х 1
=-1 или х 2
=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2
=-30/49<0 x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2
=2>0 x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2
=-30/361<0 7) Найдем точки минимума и максимума: 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3 y max
=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1 9) Построим график функции: 10) Дополнительные точки: y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2 y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77 Пример 14.
Исследовать функцию y=xlnx и построить ее график: 1) Найдем область определения функции: D(y)=R +
(только положительные значения) 2) Определим вид функции: y(-x)=-xlnx - общего вида. 3) Найдем точки пересечения с осями: O y
, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет. O x: y=0, то есть xlnx=0 x=0 или lnx=0 (1;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1 5) Определим критические точки: y’=0, то есть lnx +1=0 y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции: 1/e x=1/(2e); y’=log(2e) -1
+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0 x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0 7) 1/e – точка минимума функции. 8) Найдем экстремумы функции: y min
=y(1/e)=1/e ln e -1
=-1/e (≈ -0,4). 9) Построим график функции: Заключение. Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки. Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме. Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему. Список литературы.
1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992. 2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983. 3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888. 4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974. 5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980. 6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993. В задаче B15 предлагается исследовать на экстремумы функцию, заданную формулой. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется зависимости от рассматриваемой функции: некоторые из них решаются буквально устно, другие же требуют серьезных размышлений. Прежде чем изучать методы решения, надо усвоить некоторые термины из области математического анализа. Итак, в задаче B15 требуется найти с помощью производной следующие величины: При этом глобальные экстремумы обычно ищутся не на всей области определения функции, а лишь на некотором отрезке . Важно понимать, что глобальный экстремум и значение функции в точке экстремума далеко не всегда совпадают. Поясним это на конкретном примере: Задача. Найти точку минимума и минимальное значение функции y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 на отрезке [−3; 3]. Сначала найдем точку минимума, для чего вычислим производную: Найдем критические точки, решив уравнение y’ = 0. Получим стандартное квадратное уравнение: Отметим эти точки на координатной прямой, добавим знаки производной и ограничения - концы отрезка: Масштаб картинки не имеет значения. Самое главное - отметить точки в правильной последовательности. Из школьного курса математики известно, что в точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс. Отсчет всегда идет слева направо - в направлении положительной полуоси. Поэтому точка минимума одна: x = 2. Теперь найдем минимальное значение функции на отрезке [−3; 3]. Оно достигается либо в точке минимума (тогда она становится точкой глобального минимума), либо на конце отрезка. Заметим, что на интервале (2; 3) производная всюду положительна, а значит y(3) > y(2), поэтому правый конец отрезка можно не рассматривать. Остались лишь точки x = −3 (левый конец отрезка) и x = 2 (точка минимума). Имеем: Итак, наименьшее значение функции достигается на конце отрезка и равно −44. Ответ
: x min = 2; y min = −44 Из приведенных рассуждений следует важный факт, о котором многие забывают. Функция принимает максимальное (минимальное) значение не обязательно в точке экстремума. Иногда такое значение достигается на конце отрезка, и производная там не обязана равняться нулю. Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f(x) на отрезке , выполняем следующие действия: Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию - даже если уравнение f’(x) = 0 не имело решений. Задача. Найти наибольшее значение функции y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 на отрезке [−5; 0]. Для начала найдем производную: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9. Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1. Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3: Очевидно, наибольшее значение равно 20 - оно достигается в точке x = −3. Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f(x) на отрезке . Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова: Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются. Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x 1 , x 2 , ..., x n . Помните: при переходе через корень четной кратности знак у производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки всегда просматриваются слева направо, т.е. по направлению числовой оси. Задача. Найти точку максимума функции на отрезке [−8; 8]. Найдем производную: Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю производную и ее знаменатель: Отметим точки x = −5, x = 0 и x = 5 на координатной прямой, расставим знаки и границы: Очевидно, что внутри отрезка осталась лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума. Еще раз поясним, чем отличаются точки экстремума от самих экстремумов. Точки экстремума - это значения переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремумы - это значения самих функций, максимальные или минимальные в некоторой своей окрестности. Помимо обычных многочленов и дробно-рациональных функций, в задаче B15 встречаются следующие виды выражений: С иррациональными функциями проблем, как правило, не возникает. Остальные случаи стоит рассмотреть более подробно. Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, где n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много? Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение - отрезок . Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылетит» за пределы отрезка . Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы. Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах. Задача. Найти точку максимума функции y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3]. Вычисляем производную: y’ = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x. Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z. С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n, начиная с n = 0. n = 0 ⇒ x = π/2. Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n, тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0. n = −1 ⇒ x = − π/2. Но −π/2 < −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1. Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой: Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательна, достаточно подставить в y’ значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно это точка максимума. Задача. Найти наибольшее значение функции y = 4tg x − 4x + π − 5 на отрезке [−π/4; π/4]. Вычисляем производную: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4. Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z. Выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n, начиная с n = 0: Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции для x = 0, x = π/4 и x = −π/4. Теперь заметим, что π = 3,14... < 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1. Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов может быть записана лишь единица. Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15. Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка. Задача. Найти наименьшее значение функции y = 7sin x − 8x + 5 на отрезке [−3π/2; 0]. Сначала находим производную: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8. Попробуем решить уравнение: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1], а 8/7 > 1. Поэтому корней нет. Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу - вычисляем значение функции: Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5. Вообще говоря, показательная функция - это выражение вида y = a x , где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e x и, в крайнем случае, y = e kx + b . Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко: Все остальное абсолютно стандартно. Разумеется, настоящие функции в задачах B15 выглядят более сурово, но схема решения от этого не меняется. Рассмотрим пару примеров, выделяя лишь основные моменты решения - без основательных рассуждений и комментариев. Задача. Найти наименьшее значение функции y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 на отрезке [−1; 5]. Производная: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 . Находим корни: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3. Оба корня лежат на отрезке [−1; 5]. Осталось найти значение функции во всех точках: Из четырех полученных чисел в бланк можно записать лишь y = −1. К тому же, это единственное отрицательное число - оно и будет наименьшим. Задача. Найти наибольшее значение функции y = (2x − 7)·e 8 − 2x на отрезке . Производная: y’ = ((2x − 7)·e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x)·e 8 − 2x = 4(4 − x)·e 8 − 2x . Находим корни: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4. Корень x = 4 принадлежит отрезку . Ищем значения функции: Очевидно в качестве ответа может выступать лишь y = 1. По аналогии с показательными функциями, в задаче B15 встречаются только натуральные логарифмы, поскольку их производная легко считается: Таким образом, производная всегда будет дробно-рациональной функцией. Остается лишь приравнять эту производную и ее знаменатель к нулю, а затем решить полученные уравнения. Для поиска максимального или минимального значения логарифмической функции помните: натуральный логарифм обращается в «нормальное» число только в точках вида e n . Например, ln 1 = ln e 0 = 0 - это логарифмический ноль, и чаще всего решение сводится именно к нему. В остальных случаях «убрать» знак логарифма невозможно. Задача. Найти наименьшее значение функции y = x 2 − 3x + ln x на отрезке . Считаем производную: Находим нули производной и ее знаменателя: Из трех чисел x = 0, x = 0,5 и x = 1 внутри отрезка лежит только x = 1, а число x = 0,5 является его концом. Имеем: Из полученных трех значений лишь y = −2 не содержит знака логарифма - это и будет ответ. Задача. Найти наибольшее значение функции y = ln(6x) − 6x + 4 на отрезке . Вычисляем производную: Выясняем, когда производная или ее знаменатель равны нулю: Вычеркиваем число x = 0, поскольку оно лежит за пределами отрезка . Считаем значение функции на концах отрезка и в точке x = 1/6: Очевидно, только y = 3 может выступать в качестве ответа - остальные значения содержат знак логарифма и не могут быть записаны в бланк ответов. Цель урока: проверка умений и навыковисследования
функций и построения графиков с помощью
производной. Теоретическая часть зачета. Вопросы
Определение точки минимума и точки максимума. Теоретическая часть зачета 1) Определение точки минимума. Если функция определена в некоторой
окрестности точки Х 0 , то точка Х 0
называется точкой минимума
функции
f(х), если существует такая окрестность точки Х 0
,что для всех хх 0
из этой окрестности выполняется неравенство
f(х)>f(х 0). Определение точки максимума. Если функция определена в некоторой
окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется
точкой максимума
функции
f(х),если
существует такая окрестность точки Х 0 , что
для всех х?х 0 из этой окрестности
выполняется неравенство f(х) 2) Определение критических точек. Критические точки – это внутренние точки
области определения функции в которых
производная не существует или равна нулю. 3) Необходимое условие, чтобы Х 0 была
точкой экстремума
: эта точка должна
быть критической. 4) Алгоритм нахождения критических точек. 1. Найти область определения функции. 2. Найти производную функции. 3. Найти область определения производной данной
функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых
производная не существует. Если такие точки есть,
то проверить являются ли они внутренними точками
области определения функции. 4. Найти точки, в которых производная равна нулю,
решив уравнение: f "(х)=0. Проверить являются ли найденные точки
внутренними точками области определения
функции. 5) Стационарные точки - точки, в которых
производная функции равна нулю. 6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума
функции.)
у=f(х)-функция, которая определена в некоторой
окрестности точки Х 0 , и имеет производную в
этой точке. Теорема: если Х 0 -точка экстремума
дифференцируемой функции f(х), то f "(х)=0. 7) Достаточные условия существования
экстремума функции в точке.
y=f(х) определена на (а;в). Х 0 -критическая
точка. Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f
"(х)>0 на интервале (а;х 0) и f "(х)<0 на
интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является точкой
максимума функции f
. (Упрощенная формулировка: если в точке Х 0
производная меняет знак с “+” на “ _ ”, то Х 0
есть точка максимума
.) Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f
"(х)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 на
интервале (X 0 ;в), то точка х 0 является точкой
минимума функции
f. (Упрощенная формулировка: если в точке Х 0
производная меняет знак с “ _ ” на “+”, то Х 0
есть точка минимума
.) 8) Достаточный признак возрастания, убывания
функции
. Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то
функция возрастает на промежутке (а; в). Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то
функция убывает на промежутке (а; в). (Если функция непрерывна на конце промежутка,
то его можно присоединить к промежутку
возрастания (убывания) функции.) 9) Точки экстремума, экстремум функции. Х 0 - точка максимума, Х 0 –точка
минимума называются точками экстремума
. f(х 0) - максимум функции, f(х 0) - минимум функции называются экстремумами
функции
. 10) Алгоритм нахождения экстремумов функции. 1. Находим область определения функции. 2. Находим производную функции. 3. Находим критические точки. 4. Определим знак производной на каждом из
интервалов, на которые критические точки
разбивают область определения. 5. Найдем точки экстремума, учитывая характер
изменения знака производной. 6. Найдем экстремумы функций. 11) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции на отрезке.
1. Найти значения функции на концах отрезка [а;
в]. 2. Найти значения функции в тех критических
точках, которые принадлежат интервалу (а; в). 3. Из найденных значений выбрать наибольшее и
наименьшее. Практическая часть зачета “Исследование функций с помощью
производной. Наибольшее и наименьшее значения
функций на отрезке” а) критические точки функций, б) экстремумы функций в) наибольшее и наименьшее значения функций на
указанном промежутке г) построить график. Практическая работа №16 (естественно-научный профиль)
Тема: «Исследование функций с помощью производной»
Цели:
научиться проводить исследование функции с помощью производной и.строить графики функций; закрепить основные признаки возрастания (убывания) функции, условия существования точек экстремума; проводить исследование функции по графику производной.
Краткая теоретическая справка
1.
Находим
D(f)
функции
y
=
f
(
x
).
2.
Проверяем функцию на
четность.
Если
f
(-
x
) =
f
(
x
),
то функция
четная,
график функции симметричен относительно оси OY.
Если
f
(-
x
) = -
f
(
x
),
то функция
нечетная,
график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.
3.
Если функция
периодическая
, то находим период функции.
4.
Находим
точки пересечения графика с осями координат.
Находим
нули функции
-
это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (O
x
).
Для этого мы решаем уравнение
f
(
x
) = 0.
Находим
точку пересечения графика функции с осью ординат (O
y
).
Для этого ищем
значение функции
при
x
=0
.
5.
Находим
промежутки знакопостоянства функции
, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства
f
(
x
) >0
и
f
(
x
) <0
.
6.
Исследуем функцию с помощью производной: находим
промежутки возрастания и убывания
функции, а также
точки максимума и минимума
.
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
а) Находим производную
б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения
Это стационарные точки.
в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых
производная положительна
, являются
промежутками возрастания функции
.
Промежутки, на которых
производная отрицательна
, являются
промежутками убывания функции
.
Точки, в которых
производная меняет знак с плюса на минус
, являются
точками максимума
.
Точки, в которых
производная меняет знак с минуса на плюс
, являются
точками минимума
.
7.
Найти
значения функции в точках экстремума.
8.
По данным исследования
построить график функции
.
Пример 1.
Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.
Решение.
1)
D
(f
):
R
2) Проверим функцию на чётность/нечётность: Значит, данная функция не является чётной или нечётной.
3) Функция непериодическая.
4) Нули функции.
С осью
О
y
: 5) Таким образом, на интервалах
график расположен
ниже оси абсцисс
f
(
x
)<0
, а на интервалах
– выше данной оси
f
(
x
) >0
.
6) Возрастание, убывание.
Найдём критические точки: Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной: точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»
.
точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».
8).
:
9) Строим график функции.
Пример 2.
, определенной на интервале
. В какой точке отрезка
принимает наибольшее значение.
Решение.
На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке
x
=-7.
Ответ. -7.
Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Найти производную функции.
Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).
Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.
Вычислить значения
функции
(не производной!) в этих точках и на концах отрезка.
Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.
Пример 3.
Найдите наименьшее значение функции
y
=
x
3
– 18
x
2
+ 81
x
+ 23 на отрезке .
Решение:
действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
y’
= 3
x
2
– 36
x
+ 81.
y’
= 3
x
2
– 36
x
+ 81 = 0
x
2
– 12
x
+ 27 = 0,
x
= 3 и
x
= 9
x
= 9 .
y
=
x
3
– 18
x
2
+ 81
x
+ 23 =
x
(
x
-9)
2
+23:
y
(8) = 8 · (8-9)
2
+23 = 31;
y
(9) = 9 · (9-9)
2
+23 = 23;
y
(13) = 13 · (13-9)
2
+23 = 231.
Ответ.
;
Порядок выполнения работы.
Внимательно изучите теоретическую справку по теме.
Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)
Выполните разбор примеров 3-7.
Пример 4.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Пример 5.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите количество точек экстремума функции
на отрезке
.
Пример 6.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите промежутки возрастания функции
. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Пример 7.
, определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Пример 8.
На рисунке изображен график производной функции
, определенной на интервале
. Найдите количество точек максимума функции
на отрезке
.
Пример 9.
На рисунке изображен график функции
, определенной на интервале
. Определите количество целых точек, в которых производная функции
положительна.
Задание на дом:
№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)
№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)
Выполните самостоятельно по вариантам.
-4
x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота
0 8
-3 2
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.Схема решения задач B15
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4·0 2 − 9·0 − 7 = −7.
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (корень второй кратности).
Тригонометрические функции
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = π и значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но π < −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.
y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.Показательные функции
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5·0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5·e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5·3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5·5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5·e 2 .
y(0) = (2·0 − 7)e 8 − 2·0 = ... = −7·e 8 ;
y(4) = (2·4 − 7)e 8 − 2·4 = ... = 1;
y(6) = (2·6 − 7)e 8 − 2·6 = ... = 5·e −4 .Логарифмические функции
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - тут решать нечего.
y(0,5) = 0,5 2 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - уже решено.
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.1. у=(х-3) 2 (х-2).
11. у=2х 4 -х.
[-1;1]
2. у=1/3х 3 +х 2
[-4;1]
12. у=х 2 -2/х.
[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3 -х 2 -3х
[-2;6]
13. у=1/(х 2 +1).
[-1;2]
4. у=-1/4х 4 +2х 2 +1.
[-3;3]
14. у=3х-х 3 .
[-1,5;1,5]
5. у=х 4 -8х 2 -9.
[-3;3]
15. у=2х 2 -х 4 .
[-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1) 2 .
[-1,5;1,5]
16. у=3х 2/3 -х 2 .
[-8;8]
7. у=-2/3х 3 +2х-4/3.
[-1,5;1,5]
17. у=3х 1/3 -х.
[-8;8]
8. у=3х 5 -5х 4 +4.
[-1;1]
18. у=х 3 -1,5х 2 -6х+4.
[-2;3]
9. у=9х 2 -9х 3 .
[-0,5;1]
19. у=(1-х)/(х 2 +3).
[-2;5]
10. у=1/3х 3 -4х.
[-3;3]
20. у= -х 4 +2х 2 +3.
[-0,5;2]
Чтобы найти точки пересечения с осью
Ox
(нули функции) требуется решить уравнение
f
(
x
) = 0
:
1
Следовательно, функция возрастает на
и убывает на
.
7). Экстремумы функции
.
