Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости - первые две формулы, для трехмерной системы координат - все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f (x ) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у . При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х .

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х ), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D (y ). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е (у ).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f (x ) называют четной х

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f (x ) называют нечетной , если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х .

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида , и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x 1 ; 0) и (x 2 ; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x 0 ; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c ). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax 2 + bx + c , то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p - на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q - на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

Степенной функцией

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота - это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x | выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

Функция у = f (x ) называется периодической , если существует такое, неравное нулю, число Т , что f (x + Т ) = f (x ), для любого х из области определения функции f (x ). Если функция f (x ) является периодической с периодом T , то функция:

где: A , k , b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T 1 , который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций - это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой :

График функции y = cosx называется косинусоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.

Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

• поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
• четность и нечетность;
• промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
• наклонные и горизонтальные асимптоты;
• особые точки функций;
• особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Навигация по странице.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

• Область определения: все множество действительных чисел.
• Постоянная функция является четной.
• Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
• Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
• Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n -ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n -ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n -ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

>

При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a , .

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x) — горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y) — вертикальная ось.

Функция

Функция — это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b — любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b — точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , фукция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c:

1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

• Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
• Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
2. Коэффициент b помогает найти x в — координату вершины параболы.

x в = − b 2 a

1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью.

• Если D > 0 — две точки пересечения.
• Если D = 0 — одна точка пересечения.
• Если D < 0 — нет точек пересечения.

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f (x) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Функция y   =   f (x) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y) .

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Определение 1

• постоянная функция (константа);
• корень n -ой степени;
• степенная функция;
• показательная функция;
• логарифмическая функция;
• тригонометрические функции;
• братные тригонометрические функции.

Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

1. Корень n -й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Определение 3

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

• область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
• когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
• данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
• область значений: [ 0 , + ∞) ;
• данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
• отсутствуют точки перегиба;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .

1. Корень n -й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Определение 4

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

• область определения – множество всех действительных чисел;
• данная функция – нечетная;
• область значений – множество всех действительных чисел;
• функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
• функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
• точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
• асимптоты отсутствуют;
• график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .

Степенная функция

Определение 5

Степенная функция определяется формулой y = x a .

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .

Определение 6

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

• функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
• точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Определение 7

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

• область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• очки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Определение 8

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).

Определение 9

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

• область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;

• функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
• функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .

Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Определение 10

Свойства степенной функции при 0 < a < 1:

• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;

Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Определение 11

Свойства степенной функции при a > 1:

• область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .

Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Определение 12

Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• точки перегиба отсутствуют;

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Определение 13

Свойства степенной функции при a < - 1:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
• точка прохождения функции: (1 ; 1) .

Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .

Определение 14

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Определение 15

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
• точка прохождения функции: (0 ; 1) .

Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Определение 16

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая
• функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Определение 17

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

• область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: (1 ; 0) .

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

1. Функция синус: y = sin (х)

График данной функции называется синусоида.

Определение 18

Свойства функции синус:

• область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция косинус: y = cos (х)

График данной функции называется косинусоида.

Определение 19

Свойства функции косинус:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• наименьший положительный период: Т = 2 π ;
• область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
• данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
• функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
• функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция тангенс: y = t g (х)

График данной функции называется тангенсоида.

Определение 20

Свойства функции тангенс:

• область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
• функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
• функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;

1. Функция котангенс: y = c t g (х)

График данной функции называется котангенсоида.

Определение 21

Свойства функции котангенс:

• область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;

• наименьший положительный период: Т = π ;
• функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
• область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
• функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
• точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

1. Функция арксинус: y = a r c sin (х)

Определение 22

Свойства функции арксинус:

• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
• точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арккосинус: y = a r c cos (х)

Определение 23

Свойства функции арккосинус:

• область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
• область значений: y ∈ 0 ; π ;
• данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
• точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
• асимптоты отсутствуют.

1. Функция арктангенс: y = a r c t g (х)

Определение 24

Свойства функции арктангенс:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
• данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
• функция является возрастающей на всей области определения;
• функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

1. Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)

Определение 25

Свойства функции арккотангенс:

• область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• область значений: y ∈ (0 ; π) ;
• данная функция – общего вида;
• функция является убывающей на всей области определения;
• функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
• горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter