Test tenglamalari kvadratikdir. Kvadrat tenglamalar. Kasrli ratsional tenglamani yechish sxemasi

Tenglamalar yordamida masalalar yechishning umumiy nazariyasi

Muayyan turdagi masalalarga o'tishdan oldin, biz birinchi navbatda tenglamalar yordamida turli muammolarni hal qilishning umumiy nazariyasini beramiz. Avvalo, iqtisod, geometriya, fizika va boshqa ko'plab fanlar bo'yicha masalalar tenglamaga keltiriladi. Tenglamalar yordamida masalalarni yechishning umumiy tartibi quyidagicha:

Masalaning shartidan biz izlayotgan barcha kattaliklar, shuningdek har qanday yordamchi kattaliklar biz uchun qulay bo‘lgan o‘zgaruvchilar bilan belgilanadi. Ko'pincha bu o'zgaruvchilar lotin alifbosining oxirgi harflaridir.
Muammodagi ma'lumotlardan, sonli qiymatlardan, shuningdek, og'zaki munosabatlardan foydalanib, bir yoki bir nechta tenglamalar tuziladi (muammoning holatiga qarab).
Ular olingan tenglamani yoki ularning tizimini yechishadi va "mantiqiy bo'lmagan" echimlarni chiqarib tashlashadi. Misol uchun, agar siz maydonni topishingiz kerak bo'lsa, unda salbiy raqam, shubhasiz, begona ildiz bo'ladi.
Yakuniy javobni olamiz.

Algebradan muammoga misol

Bu erda biz biron bir sohaga murojaat qilmasdan kvadrat tenglamaga keltiruvchi masalani misol qilib keltiramiz.

1-misol

Kvadratlari qo'shilganda beshta bo'ladigan ikkita irratsional sonni toping va ular odatda bir-biriga qo'shilganda uchta bo'ladi.

Keling, bu raqamlarni $ x $ va $ y $ harflari bilan belgilaylik. Muammoning shartiga ko'ra, $ x ^ 2 + y ^ 2 = 5 $ va $ x + y = 3 $ ikkita tenglama tuzish juda oson. Ulardan biri kvadrat ekanligini ko'ramiz. Yechimni topish uchun siz tizimni hal qilishingiz kerak:

$ \ holatlar (x ^ 2 + y ^ 2 = 5, \\ x + y = 3.) $

Birinchidan, biz ikkinchi $ x $ dan ifodalaymiz

Birinchisiga almashtirish va elementar o'zgarishlarni amalga oshirish

$ (3-y) ^ 2 + y ^ 2 = 5 $

$ 9-6y + y ^ 2 + y ^ 2 = 5 $

Biz kvadrat tenglamani echishga o'tdik. Buni formulalar yordamida bajaramiz. Diskriminantni topamiz:

Birinchi ildiz

$ y = \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) $

Ikkinchi ildiz

$ y = \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $

Ikkinchi o'zgaruvchini topamiz.

Birinchi ildiz uchun:

$ x = 3- \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) = \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $

Ikkinchi ildiz uchun:

$ x = 3- \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) = \ frak (3+ \ sqrt (17)) (2) $

Raqamlar ketma-ketligi biz uchun muhim emasligi sababli, biz bir juft raqamni olamiz.

Javob: $ \ frac (3- \ sqrt (17)) (2) $ va $ \ frac (3+ \ sqrt (17)) (2) $.

Fizikadan muammoga misol

Fizikadan kvadrat tenglamani yechishga olib keladigan masalani ko'rib chiqing.

2-misol

Sokin havoda bir tekis uchadigan vertolyot soatiga 250 dollar tezlikka ega. U o'z bazasidan 70 km uzoqlikda joylashgan olov joyiga uchib qaytishi kerak. Bu vaqtda shamol poydevor tomon esib, vertolyotning o'rmon tomon harakatini sekinlashtirdi. Shu tufayli u bazaga 1 soat avvalroq qaytdi. Shamol tezligini toping.

Shamol tezligini $v $ orqali belgilaymiz. Keyin biz vertolyotning o'rmon tomon 250-v $ ga teng haqiqiy tezlikda uchishini va uning haqiqiy tezligi $ 250 + v $ bo'lishini tushunamiz. Keling, u erga borish va qaytish vaqtini hisoblaylik.

$ t_1 = \ frac (70) (250-v) $

$ t_2 = \ frac (70) (250 + v) $

Vertolyot bazaga bir soat oldin 1 dollarga qaytganligi sababli, bizda shunday bo'ladi

$ \ frac (70) (250-v) - \ frac (70) (250 + v) = 1 $

Keling, chap tomonni umumiy maxrajga keltiramiz, mutanosiblik qoidasini qo'llaymiz va elementar o'zgarishlar qilamiz:

$ \ frac (17500 + 70v-17500 + 70v) ((250-v) (250 + v)) = 1 $

$ 140v = 62500-v ^ 2 $

$ v ^ 2 + 140v-62500 = 0 $

Bu masalani yechish uchun kvadrat tenglamani oldik. Keling, buni hal qilaylik.

Biz buni diskriminant yordamida hal qilamiz:

$ D = 19600 + 250000 = 269600≈519 ^ 2 $

Tenglama ikkita ildizga ega:

$ v = \ frac (-140-519) (2) = - 329,5 $ va $ v = \ frac (-140 + 519) (2) = 189,5 $

Biz tezlikni qidirganimiz uchun (bu salbiy bo'lishi mumkin emas), birinchi ildizning ortiqcha ekanligi aniq.

Javob: $189,5$

Geometriyadan muammoga misol

Geometriyada kvadrat tenglamani yechishga olib keladigan masala misolini ko'rib chiqing.

3-misol

To'g'ri burchakli uchburchakning quyidagi shartlarga javob beradigan maydonini toping: uning gipotenuzasi 25 dollar, oyoqlari esa 4 dollardan 3 dollargacha uzunlikda.

Kerakli maydonni topish uchun biz oyoqlarni topishimiz kerak. Keling, $ x $ orqali oyoqning bir qismini belgilaymiz. Keyin, bu o'zgaruvchi orqali oyoqlarni ifodalab, ularning uzunligi $ 4x $ va $ 3x $ ga teng ekanligini bilib olamiz. Shunday qilib, Pifagor teoremasidan quyidagi kvadrat tenglamani tuzishimiz mumkin:

$ (4x) ^ 2 + (3x) ^ 2 = 625 $

(oyoq manfiy bo'lmagani uchun $ x = -5 $ ildiziga e'tibor bermaslik mumkin)

Biz oyoqlarning mos ravishda 20 va 15 dollar ekanligini tushundik, ya'ni maydon

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 20 \ cdot 15 = 150 $

Davlat byudjeti kasb-hunar ta’limi muassasasi

"Nevinnomyssk energetika kolleji"

Metodik ishlab chiqish“Matematika” fanidan ochiq dars

Dars mavzusi :

Kvadratga qisqartiruvchi tenglamalar

tenglamalar.

Matematika o'qituvchisi:

Skrilnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomyssk 2016 yil.

Darsning maqsadi: Slayd raqami 2

Tarbiyaviy: talabalarning idrok etish faoliyatini tashkil etishga ko'maklashish;

yangi bilimlarni tushunish va birlamchi yodlash (yangi o'zgaruvchini kiritish usuli, bikvadrat tenglamani aniqlash) va usullar

harakatlar (yangisini kiritish orqali tenglamalarni echishni o'rgatish

o'zgaruvchan), talabalarga ijtimoiy va shaxsiy tushunishga yordam beradi

ahamiyati o'quv materiali;

Rivojlanayotgan: talabalarning hisoblash qobiliyatini yaxshilashga yordam berish;

og'zaki matematik nutqni rivojlantirish; uchun sharoit yaratish

o'z-o'zini nazorat qilish va o'zaro nazorat qilish ko'nikmalarini shakllantirish;

talabalarning algoritmik madaniyati;

Tarbiyaviy: yaxshi niyatni rivojlantirish

bir-biriga.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Usullari: og'zaki, vizual, amaliy, qidiruv

Ish shakllari : individual, juftlik, jamoaviy

Uskunalar: interaktiv doska, taqdimot

Darslar davomida.

I. Tashkiliy moment.

Yo'q deb belgilang, sinfning darsga tayyorligini tekshiring.

O'qituvchi: Bolalar, biz yangi mavzuni o'rganishni boshlaymiz. Biz dars mavzusini yozmayapmiz, uni birozdan keyin o'zingiz tuzasiz. Aytmoqchimanki, biz tenglamalar haqida gapiryapmiz.

Slayd raqami 3.

Tenglamalar, teoremalar yordamida

U juda ko'p muammolarni hal qildi.

Va u qurg'oqchilikni va yomg'irni bashorat qildi -

Darhaqiqat, uning bilimi ajoyibdir.

Goser.

Bolalar, siz allaqachon o'ndan ortiq tenglamalarni yechdingiz.Tenglamalar yordamida masalalarni yechishingiz mumkin. Tenglamalar yordamida tabiatdagi turli hodisalarni, fizikaviy, kimyoviy hodisalarni tasvirlash mumkin, hatto bir mamlakatda aholi sonining o'sishi ham tenglama orqali tasvirlanadi.Bugun darsda biz yana bir haqiqatni, tenglamalarni yechish usuliga oid haqiqatni bilib olamiz.

II. Bilimlarni yangilash.

Lekin birinchi navbatda eslaylik:

Savollar: 4-slayd

Qanday tenglamalar kvadratik deb ataladi? (Shaklning tenglamasi, bu erdaNS - o'zgaruvchi, - ba'zi raqamlar va a ≠ 0.)

Berilgan tenglamalardan kvadrat bo'lganlarini tanlang?

1) 4x - 5 = x + 11

2) x 2 + 2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - NS 2 – 4 = 8

5) 4x 2 - 1x + 7 = 0 Javob: (2,3,5)

Qanday tenglamalar to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar deb ataladi?(Koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lgan tenglamalarv yokibilan 0.)

Bu tenglamalar orasidan toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalarni tanlang.(3)

Sinov prognozi

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 + 4x-6 = 0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x + 10 = 0

5) 4x 2 + 2x = 0

6) –2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 + 3x = 0

Variant 1

1) To'liq kvadrat tenglamalar sonini yozing.

2) 8- tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

3) Bitta ildizli to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning sonini yozing.

4) 6- tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

5) 4-tenglamada D ni toping va ildizlar soni haqida xulosa chiqaring.

Variant 2

1) Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar sonini yozing.

2) 1-tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

3) Bitta ildizi 0 bo‘lgan to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning sonini yozing.

4) 3-tenglamadagi a, b, c koeffitsientlarni yozing.

5) 3-tenglamada D ni toping va ildizlar soni haqida xulosa chiqaring.

O‘quvchilar daftarlarini almashtiradilar, o‘zaro tekshiradilar va baho qo‘yadilar.

1c.

1,2,4,8

a = -4, b = 3, c = 15

a = -2, b = 0, c = 2

24, D<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a = -5, b = 3, c = 2

a = 8, b = 0, c = -16

D> 0, 2 ildiz.

So'z o'yini toping.

Endi siz doskada yozilgan so'zni taxmin qilishingiz kerak. Buning uchun tenglamalarni yechish va ularga to'g'ri javoblarni topish kerak. Har bir javob harfga mos keladi va har bir harf karta raqamiga va jadvaldagi ushbu harfga mos keladigan raqamga mos keladi. Doskada 1-jadval toʻliq koʻrsatilgan va 2-jadvalda faqat raqamlar yozilgan, misollar yechilganida harflar oʻqituvchi tomonidan kiritiladi. O'qituvchi har bir o'quvchiga kvadrat tenglama kartalarini tarqatadi. Har bir karta raqamlangan. Talaba kvadrat tenglamani yechadi va -21 javobini oladi. Jadvalda u o'z javobini topadi va uning javobiga qaysi harf mos kelishini topadi. Bu A harfi. Keyin u o'qituvchiga qanday harf borligini aytadi va kartaning raqamini aytadi. Karta raqami 2-jadvaldagi xatning o'rniga mos keladi. Masalan, javob -21 harf A, karta raqami 5. 2-jadvaldagi o'qituvchi, 5-raqam ostida, A harfini yozadi va hokazo. ifoda to'liq yozilgunga qadar.

NS 2 -5x + 6 = 0 (2; 3) B

NS 2 -2x-15 = 0(-3; 5) VA

NS 2 + 6x + 8 = 0(-4; -2) K

NS 2 -3x-18 = 0(-3; 6) B

NS 2- 42x + 441 = 0-21 A

NS 2 + 8x + 7 = 0(-7; -1) D

NS 2 -34x + 289 = 017 R

NS 2 -42x + 441 = 0 -21 A

NS 2 + 4x-5 = 0(-5; 1) T

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

3x 2 -3x + 4 = 0Ildiz yo'q Oh

5x 2 -8x + 3 = 0 (; 1) E

NS 2 -8x + 15 = 0(3; 5) Y

NS 2 -34x + 289 = 017 R

NS 2 -42x + 441 = 0-21 A

NS 2 -3x-18 = 0(-3; 6) B

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

5x 2 -8x + 3 = 0 (; 1) E

2x 2 + 3x + 1 = 0(-1 ;-) H

NS 2 -2x-15 = 0(-3; 5) VA

5x 2 -8x + 3 = 0(; 1) E

1-jadval.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

Ildiz yo'q

(-5;1)

(3;5)

Tegishli xat

jadval 2

Shunday qilib, biz bugungi dars mavzusini shunday tuzdik.

"Bikvadrat tenglama."

III. Yangi materialni o'rganish

Kvadrat tenglamalarni yechish usullarini allaqachon bilasiz turli xil turlari... Bugun darsda kvadrat tenglamalarni yechishga olib keladigan tenglamalarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu turdagi tenglamalardan biribikvadrat tenglama.

Def. Tenglamalar ko'rinishibolta 4 + bx 2 + c = 0 , qayerdaa 0, chaqirdibikvadrat tenglama .

BQUADRAT TENGLAMALARI - danbi - ikkita valotinquadratus - kvadrat, ya'ni. ikki marta kvadrat.

1-misol. Keling, tenglamani yechamiz

Yechim. Bikvadrat tenglamalarni yechish, almashtirish orqali kvadrat tenglamalarni yechishga keltiriladi.y = x 2 .

TopmoqNS almashtirishga qaytish:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Javob: -1; -1

Ko'rib chiqilgan misoldan ko'rinib turibdiki, to'rtinchi darajali tenglamani kvadratga kamaytirish uchun yana bir o'zgaruvchi kiritilgan -da ... Tenglamalarni yechishning bu usuli deyiladiyangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli bilan.

Kvadrat tenglamalarni echishga olib keladigan tenglamalarni yangi o'zgaruvchini kiritish usuli bilan echish uchun siz quyidagi algoritmni tuzishingiz mumkin:

1) o'zgaruvchan almashtirishni kiriting: ruxsatNS 2 = y

2) Yangi oʻzgaruvchili kvadrat tenglamani yozing:ay 2 + wu + c = 0

3) Yangi kvadrat tenglamani yeching

4) O'zgaruvchilarni almashtirishga qaytish

5) Olingan kvadrat tenglamalarni yeching

6) Bikvadrat tenglamaning yechimlari soni haqida xulosa chiqaring

7) Javobni yozing

Nafaqat bikvadrat, balki boshqa ayrim turdagi tenglamalarni ham yechish kvadrat tenglamalarni yechishga keltiriladi.

2-misol. Keling, tenglamani yechamiz

Yechim. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz

ildizlari yo'q.

Ildiz yo'q

Javob: -

IV. Birlamchi ankraj

Siz va men yangi o'zgaruvchini kiritishni o'rgandik, siz charchadingiz, shuning uchun biz biroz dam olamiz.

Fizminutka

1. Ko'zlaringizni yuming. Ko'zlarni oching (5 marta).

2. Ko'zlarning dumaloq harakatlari. Boshni aylantirmang (10 marta).

3. Boshingizni aylantirmasdan, ko'zingizni iloji boricha chapga olib boring. Miltillamang. To'g'ridan-to'g'ri ko'rish. Bir necha marta miltillash. Ko'zlaringizni yuming va dam oling. Xuddi shu narsa o'ng tomonga o'tadi (2-3 marta).

4. Oldingizda turgan har qanday ob'ektga qarang va bu narsadan ko'zingizni uzmasdan boshingizni o'ngga va chapga buring (2-3 marta).

5. Derazadan 1 daqiqa masofaga qarab turing.

6. 10-15 soniya davomida miltillash.

Ko'zlaringizni yumib dam oling.

Shunday qilib, biz tenglamalarni echishning yangi usulini kashf qildik, ammo bu usul bilan tenglamalarni echishning muvaffaqiyati yangi o'zgaruvchili tenglamani tuzishning to'g'riligiga bog'liq, keling, tenglamalarni echishning ushbu bosqichiga batafsil to'xtalib o'tamiz. Biz yangi o'zgaruvchini kiritish va yangi tenglama tuzishni o'rganamiz, karta raqami 1

Har bir talaba kartaga ega

KARTA № 1

Yangi o'zgaruvchini kiritish natijasida hosil bo'lgan tenglamani yozing

NS 4 -13x 2 +36=0

y = bo'lsin,

keyin

NS 4 + 3x 2 -28 = 0

y = bo'lsin

keyin

(3x – 5) 2 - 4 (3x – 5) = 12

y = bo'lsin

keyin

(6x + 1) 2 +2 (6x + 1) –24 = 0

y = bo'lsin

keyin

NS 4 - 25x 2 + 144 = 0

y = bo'lsin

keyin

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

y = bo'lsin

keyin

Bilimlarni tekshirish:

NS 4 -13x 2 +36=0

y = x bo'lsin 2 ,

keyin bor 2 -13y + 36 = 0

NS 4 + 3x 2 -28 = 0

y = x bo'lsin 2 ,

keyin bor 2 + 3y-28 = 0

(3x – 5) 2 - 4 (3x – 5) = 12

y = 3x-5 bo'lsin,

keyin bor 2 -4y-12 = 0

(6x + 1) 2 +2 (6x + 1) –24 = 0

y = 6x + 1 bo'lsin,

keyin bor 2 + 2y-24 = 0

NS 4 - 25x 2 + 144 = 0

y = x bo'lsin 2 ,

keyin bor 2 -25y + 144 = 0

16x 4 - 8x 2 + 1 = 0

y = x bo'lsin 2 ,

keyin 16y 2 -8y + 1 = 0

Doskada misollar yechish:

Mustaqil ish:

1-variant 2-variant

1) x 4 -5x 2 -36 = 0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2) (2x 2 +3) 2 -12 (2x 2 +3) + 11 = 0 2) (x 2 +3) 2 -11 (x 2 +3)+28=0

Javoblar:

1-variant 2-variant

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Darsning xulosasi

Darsni umumlashtirish, muvaffaqiyatga erishgan yoki muvaffaqiyatsiz bo'lgan xulosalar chiqarish uchun sizdan varaqlardagi jumlalarni tugatishingizni so'rayman.

- Bu qiziq edi, chunki ..

- Men o'zimni maqtashni xohlayman ...

- Men darsga baho bergan bo'lardim ...

Vi. Uy vazifasi :

(2x 2 + x-1) (2x 2 + x-4) + 2 = 0

(NS 2 -4x) 2 +9 (x 2 -4x) + 20 = 0

(NS 2 + x) (x 2 + x-5) = 84

Tenglamalarning bir necha sinflari mavjud bo'lib, ularni kvadrat tenglamalarga keltirish yo'li bilan yechiladi. Bunday tenglamalardan biri bikvadrat tenglamalardir.

Bikvadrat tenglamalar

Bikvadrat tenglamalar shakldagi tenglamalardir a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + c = 0, bu erda a 0 ga teng emas.

Bikvadrat tenglamalar x ^ 2 = t almashtirish yordamida yechiladi. Bunday almashtirishdan keyin t uchun kvadrat tenglamani olamiz. a * t ^ 2 + b * t + c = 0. Olingan tenglamani echamiz, bizda umumiy holatda t1 va t2 bor. Agar bu bosqichda manfiy ildiz olinsa, uni yechimdan chiqarib tashlash mumkin, chunki biz t = x ^ 2 ni oldik va har qanday sonning kvadrati musbat sondir.

Dastlabki o'zgaruvchilarga qaytsak, bizda x ^ 2 = t1, x ^ 2 = t2 mavjud.

x1,2 = ± √ (t1), x3,4 = ± √ (t2).

Keling, kichik bir misolni ko'rib chiqaylik:

9 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 - 4 = 0.

Biz t = x ^ 2 almashtirishni kiritamiz. Keyin asl tenglama quyidagi shaklni oladi:

Biz ushbu kvadrat tenglamani ma'lum usullardan birida echamiz, biz topamiz:

Ildiz -1 ishlamaydi, chunki x ^ 2 = -1 tenglama mantiqiy emas.

Bu ikkinchi ildizni 4/9 qoldiradi. Asl o'zgaruvchilarga o'tsak, biz quyidagi tenglamaga ega bo'lamiz:

x1 = -2/3, x2 = 2/3.

Bu tenglamaning yechimi bo'ladi.

Javob: x1 = -2/3, x2 = 2/3.

Kvadratga keltiriladigan tenglamalarning yana bir turi kasrli ratsional tenglamalardir. Ratsional tenglamalar - chap va o'ng tomonlari ratsional ifodalar bo'lgan tenglamalar. Agar ratsional tenglamada chap yoki o'ng tomonlar kasrli ifodalar bo'lsa, bunday ratsional tenglama kasr deyiladi.

Kasrli ratsional tenglamani yechish sxemasi

1. Tenglamadagi barcha kasrlarning umumiy maxrajini toping.

2. Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko‘paytiring.

3. Olingan butun tenglamani yeching.

4. Ildizlarni tekshiring va ulardan umumiy maxrajni yo'qotadiganlarni chiqarib tashlang.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Kasr ratsional tenglamani yeching: (x-3) / (x-5) + 1 / x = (x + 5) / (x * (x-5)).

Biz umumiy sxemaga rioya qilamiz. Avval barcha kasrlarning umumiy maxrajini topamiz.

Biz x * (x-5) olamiz.

Har bir kasrni umumiy maxrajga ko'paytiring va hosil bo'lgan butun tenglamani yozing.

x * (x + 3) + (x-5) = (x + 5);

Olingan tenglamani soddalashtiramiz. olamiz

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 = 0;

bor oddiy qisqartirilgan kvadrat tenglama. Biz uni ma'lum bo'lgan har qanday usulda hal qilamiz, biz x = -2 va x = 5 ildizlarini olamiz. Endi biz olingan echimlarni tekshiramiz. -2 va 5 raqamlarini umumiy maxrajga almashtiring.

X = -2 bo'lsa, umumiy maxraj x * (x-5) yo'qolmaydi, -2 * (- 2-5) = 14. Demak, -2 soni dastlabki kasr ratsional tenglamaning ildizi bo'ladi.

Dars raqami 1

Dars turi: yangi materialni o'rganish darsi.

Dars shakli: suhbat.

Maqsad: kvadratga keltiriladigan tenglamalarni yechish qobiliyatini shakllantirish.

Vazifalar:

talabalarni tenglamalarni yechish usullaridan biri bilan tanishtirish;
bunday tenglamalarni yechish malakalarini mashq qilish;
fanga qiziqishni shakllantirish va mantiqiy fikrlashni rivojlantirish uchun sharoit yaratish;
ta'lim jarayoni ishtirokchilari o'rtasidagi shaxsiy va insoniy munosabatlarni ta'minlash.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.

3. Yangi materialni o'rganish.
4. Yangi materialni himoya qilish.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi: Bolalar, bugun biz muhim va qiziqarli mavzuni o'rganishni boshlaymiz" Kvadratga qisqartirilgan tenglamalar ". Kvadrat tenglama tushunchasini bilasiz. Keling, ushbu mavzu bo'yicha bilganimizni eslaylik."

Maktab o'quvchilariga ko'rsatmalar taklif etiladi:

Ushbu mavzu bilan bog'liq ta'riflarni eslang.
Ma'lum tenglamalarni yechish usullarini eslang.
Ushbu mavzuga "yaqin" mavzular bo'yicha topshiriqlarni bajarishda qiyinchiliklaringizni eslang.
Qiyinchiliklarni engish yo'llari haqida o'ylang.
Mumkin bo'lgan tadqiqot vazifalari va ularni amalga oshirish usullari haqida o'ylang.
Ilgari hal qilingan muammolar qayerda qo'llanilganligini eslang.

O’quvchilar to’liq kvadrat tenglamaning ko’rinishini, to’liq bo’lmagan kvadrat tenglamani, to’liq kvadrat tenglamani yechish shartlarini, to’liq bo’lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullarini, butun tenglama tushunchasini, daraja tushunchasini eslab qoladilar.

O'qituvchi quyidagi tenglamalarni echishni taklif qiladi (juftlikda ishlash):

a) x 2 - 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x - 1) + x 2 (x - 1) = 0

Bitta talaba bu tenglamalar yechimini izohlaydi.

3. Yangi materialni o'rganish

O'qituvchi quyidagi tenglamani (muammo muammosini) ko'rib chiqish va echishni taklif qiladi:

(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120

Talabalar ushbu tenglamaning darajasi haqida gapiradilar, bu omillarni ko'paytirishni taklif qiladilar. Ammo bu tenglamada bir xil atamalarga e'tibor beradigan talabalar bor. Bu erda qanday yechim usulini qo'llash mumkin?
O'qituvchi talabalarni darslikka (Yu. N. Makarychev "Algebra-9" 11-bet, 63-bet) murojaat qilishni va bu tenglamaning echimini tushunishni taklif qiladi. Sinf ikki guruhga bo'lingan. Yechish usulini tushungan talabalar quyidagi vazifalarni bajaradilar:

a) (x 2 + 2x) (x 2 + 2x + 2) = –1
b) (x 2 - 7) 2 - 4 (x 2 - 7) - 45 = 0,

qolganlari yechim algoritmi shunday tenglamalar va quyidagi tenglamaning yechimini o’qituvchi bilan birgalikda tahlil qiling.

(2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.

Algoritm:

- yangi o'zgaruvchini kiritish;
- ushbu o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama tuzing;
- tenglamani yechish;
- topilgan ildizlarni almashtirishga almashtiring;
- boshlang‘ich o‘zgaruvchili tenglamani yechish;
- topilgan ildizlarni tekshiring, javobni yozing.

4. Yangi materialni himoya qilish

Juftlikda ishlash: “kuchli” – tushuntiradi, “zaif” takrorlaydi, qaror qiladi.

Tenglamani yeching:

a) 9x 3 - 27x 2 = 0
b) x 4 - 13x 2 + 36 = 0

O'qituvchi:— Eslaylik, kvadrat tenglamalar yechimini yana qayerda qo‘llaganmiz?

Talabalar:“Tengsizliklarni yechishda; funksiya ta'rifi sohasini topishda; parametrli tenglamalarni yechishda ”.
O'qituvchi ixtiyoriy topshiriqlarni taklif qiladi. Sinf 4 ta guruhga bo'lingan. Har bir guruh o‘z vazifasining yechimini tushuntiradi.

a) tenglamani yeching:
b) funktsiya sohasini toping:
c) Qaysi qiymatlarda a tenglamaning ildizlari yo'q:
d) tenglamani yeching: x + - 20 = 0.

5. Uyga vazifa

221-son (a, b, c), 222-son (a, b, c).

O'qituvchi xabarlarni tayyorlashni taklif qiladi:

1. “Ushbu tenglamalarni yaratish haqidagi tarixiy ma’lumotlar” (Internet materiallari asosida).
2. “Kvant” jurnali sahifalarida tenglamalarni yechish usullari.

Ijodiy xarakterdagi vazifalar alohida daftarlarda o'z xohishiga ko'ra bajariladi:

a) x 6 + 2x 4 - 3x 2 = 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1

6. Darsning xulosasi

Bolalar darsda nimani o'rganganlari, qanday topshiriqlar qiyinchilik tug'dirganligi, ularni qayerda qo'llaganliklari, o'z faoliyatini qanday baholaganliklarini aytadilar.

Dars raqami 2

Dars turi: malaka va ko'nikmalarni mustahkamlash darsi.

Dars shakli: dars ustaxonasi.

Maqsad: olingan bilimlarni mustahkamlash, berilgan mavzu bo'yicha tenglamalarni yechish qobiliyatini shakllantirish.

Vazifalar:

kvadratga keltiriladigan tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish;
mustaqil fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish;
tahlil qilish, etishmayotgan ma'lumotlarni qidirish qobiliyatini rivojlantirish;
faollik, mustaqillik, tartib-intizomni tarbiyalash.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.
2. Talabalarning fan tajribasini dolzarblashtirish.
3. Muammolarni yechish.
4. Mustaqil ish.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi:“O‘tgan darsda kvadratga keltiriladigan tenglamalar bilan tanishdik. Matematiklardan kim uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalarni echishga hissa qo'shgan?

Hisobotni tayyorlagan talaba XVI asrdagi italyan matematiklari haqida gapiradi.

2. Subyektiv tajribani aktuallashtirish

1) Uy vazifasini tekshirish

Talaba doskaga chaqiriladi, u uy tenglamalariga o'xshash tenglamalarni yechadi:

a) (x 2 - 10) 2 - 3 (x 2 - 10) - 4 = 0
b) x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

Bu vaqt ichida "zaif" talabalar bilim bo'shliqlarini to'ldirish uchun kartalarni oladilar. “Kuchli” o‘quvchiga yechimga “zaif” izoh beradi, “kuchli” yechimni “+” yoki “-” bilan belgilaydi.

2) Nazariy materialni takrorlash

Talabalar shakl jadvalini to'ldirishga taklif qilinadi:

Talabalar dars oxirida uchinchi ustunni to'ldiradilar.
Doskada bajarilgan vazifa tekshiriladi. Namuna eritmasi doskada qoladi.

3. Muammolarni yechish

O'qituvchi ikkita tenglamalar guruhini tanlashni taklif qiladi. Sinf ikki guruhga bo'lingan. Biri model bo'yicha vazifalarni bajaradi, ikkinchisi tenglamalarni echishning yangi usullarini qidiradi. Agar qaror qabul qilish qiyin bo'lsa, talabalar fikrlash modelidan foydalanishlari mumkin.

a) (2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x - 63) (5x - 18) = 550
b) x 4 - 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 - 7 x 2 + 9 = 0

Birinchi guruh o'z yechimini sharhlaydi, ikkinchisi esa qo'shimcha hajm orqali yechimni tekshiradi va o'z yechim usullarini sharhlaydi.

O'qituvchi: Bolalar, keling, bitta qiziqarli tenglamani ko'rib chiqaylik: (x 2 - 6 x - 9) 2 = x (x 2 - 4 x - 9).

- Uni hal qilishning qanday usulini taklif qilasiz?

Talabalar muammoli muammoni guruhlarda muhokama qilishni boshlaydilar. Ular qavslarni ochishni, oʻxshash shartlarni keltirishni, toʻrtinchi darajali butun algebraik tenglamani olishni va agar mavjud boʻlsa, erkin hadning boʻluvchilari orasidan butun son ildizlarini topishni taklif qiladilar; keyin bu tenglamaning ildizlarini koeffitsientga ajrating va toping.
O'qituvchi yechim algoritmini tasdiqlaydi va boshqa yechim usulini ko'rib chiqishni taklif qiladi.

X 2 - 4x - 9 = t, keyin x 2 - 6x - 9 = t - 2x ni belgilaymiz. t 2 - 5tx + 4x 2 = 0 tenglamani oling va uni t uchun yeching.

Dastlabki tenglama ikkita tenglama to'plamiga bo'linadi:

x 2 - 4 x - 9 = 4x x = - 1
x 2 - 4 x - 9 = x x = 9
x = (5 + 61) / 2 x = (5 - 61) / 2

4. Mustaqil ish

Talabalarga tanlash uchun quyidagi tenglamalar taklif etiladi:

a) x 4 - 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 - y 2) + 7 (1 - y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 - 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 - 18 x 2 - 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 - 28 = 0

O’qituvchi har bir guruhning tenglamalarini izohlab, tenglama ekanligini ta’kidlaydi c) bandi ostida o‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini chuqurlashtirish imkonini beradi.
Mustaqil ish uglerod nusxasi orqali qog'oz varaqlarida bajariladi.
Talabalar mashqlar daftarlarini almashish orqali kodoskop orqali yechimlarni tekshiradilar.

5. Uyga vazifa

223-son (d, d, f), 224-son (a, b) yoki 225-son, 226-son.

Ijodiy vazifa.

Tenglamaning darajasini aniqlang va ushbu tenglama uchun Vieta formulalarini chiqaring:

6. Darsning xulosasi

Talabalar “Men topdim” ustunini to‘ldirishga qaytadilar.

Dars raqami 3

Dars turi: darsni takrorlash va bilimlarni tizimlashtirish.

Dars shakli: dars - musobaqa.

Darsning maqsadi: bilim va ko'nikmalarini to'g'ri baholashga, o'z imkoniyatlarini taklif qilingan vazifalar bilan to'g'ri bog'lashga o'rgatish.

Vazifalar:

bilimlarini har tomonlama qo‘llashga o‘rgatish;
malaka va malakalarning chuqurligi va mustahkamligini ochib berish;
mehnatni oqilona tashkil etishga ko'maklashish;
faollikni, mustaqillikni tarbiyalash.

Dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.
2. Talabalarning fan tajribasini dolzarblashtirish.
3. Muammolarni yechish.
4. Mustaqil ish.
5. Uyga vazifa.
6. Darsning xulosasi.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi:“Bugun biz g'ayrioddiy dars, dars-tanlov o'tkazamiz. Siz Italiya matematiklari Fiori, N. Tartalya, L. Ferrari, D. Kardano bilan oxirgi darsdan allaqachon tanishsiz.

1535 yil 12 fevralda Fiori va N. Tartalya o'rtasida ilmiy duel bo'lib o'tdi va unda Tartalya yorqin g'alabaga erishdi. U Fiori taklif qilgan barcha o'ttizta masalani ikki soat ichida hal qildi, Fiori esa Tartalyaning bitta muammosini hal qilmadi.
Bir darsda nechta tenglamani yecha olasiz? Qanday usullarni tanlash kerak? Italiyalik matematiklar sizga o'zlarining tenglamalarini taklif qilishadi.

2. Subyektiv tajribani aktuallashtirish

Og'zaki ish

1) Raqamlardan qaysi biri: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 tenglamaning ildizi hisoblanadi:

a) x 3 - x = 0 b) y 3 - 9 y = 0 c) y 3 + 4 y = 0?

- Uchinchi darajali tenglama nechta yechimga ega bo'lishi mumkin?
- Bu tenglamalarni yechishda qanday usuldan foydalanasiz?

2) Tenglamaning yechimini tekshiring. Siz qilgan xatoni toping.

x 3 - 3x 2 + 4x - 12 = 0
x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0
(x - 3) (x 2 + 4) = 0
(x - 3) (x + 2) (x - 2) = 0
x = 3, x = - 2, x = 2.

Juft bo'lib ishlamoq. Talabalar tenglamalarni yechish usullarini, yo‘l qo‘yilgan xatolarni tushuntiradilar.

O'qituvchi:“Sizlar, birodarlar! Siz italiyalik matematiklarning birinchi topshirig'ini bajardingiz."

3. Muammolarni yechish

Doskada ikkita talaba:

a) funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarining koordinatalarini toping:

b) tenglamani yeching:

Sinfdagi talabalar bir yoki ikkita topshiriqni tanlashlari mumkin. Doskadagi o'quvchilar o'z harakatlarini doimiy ravishda sharhlaydilar.

4. “Orali” mustaqil ish

Kartochkalar to'plami qiyinchilik darajasiga ko'ra va javob variantlari bilan tuzilgan.

1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 - 32 x 2 - x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0

Javob variantlari:

1) a) - 2; 2 b) - 3; 3 c) yechim yo'q
2) a) - 1/4; 1/4 b) - 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) - 4; 1; 2 b) –1; 1; - 4; 2 c) - 4; 2
4) a) - 2; - 1; b) - 2; - 1; 1 c) 1; 2
5) a) - 1; (- 3 + 5) / 2 b) 1; (- 3 - 5) / 2 c) 1; (- 3 - 5) / 2; (–3 + 5) / 2.

5. Uyga vazifa

Algebra fanidan yozma imtihon uchun topshiriqlar to'plami: 72-son, 73-son yoki 76-son, 78-son.

Qo'shimcha vazifa. x 4 + (a 2 - a + 1) x 2 - a 3 - a = 0 tenglama bo'lgan a parametrining qiymatini aniqlang.

a) bitta ildizga ega;
b) ikki xil ildizga ega;
c) hech qanday ildizga ega emas.