• Dom
  •  > 
  • Dizajner
  •  > 
  • Test jednadžba svodiva na kvadrat. Kvadratne jednadžbe. Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

Test jednadžba svodiva na kvadrat. Kvadratne jednadžbe. Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

Opća teorija rješavanja problema pomoću jednačina

Prije nego što pređemo na određene vrste problema, prvo ćemo predstaviti opću teoriju za rješavanje različitih problema pomoću jednačina. Prije svega, problemi u disciplinama kao što su ekonomija, geometrija, fizika i mnoge druge svode se na jednačine. Opći postupak rješavanja problema pomoću jednačina je sljedeći:

  • Sve veličine koje tražimo iz uslova zadatka, kao i sve pomoćne, označene su varijablama koje su nam pogodne. Najčešće su ove varijable posljednja slova latinične abecede.
  • Koristeći numeričke vrijednosti date u zadatku, kao i verbalne odnose, sastavlja se jedna ili više jednačina (ovisno o stanju zadatka).
  • Oni rješavaju rezultirajuću jednačinu ili svoj sistem i izbacuju “nelogična” rješenja. Na primjer, ako trebate pronaći područje, onda će negativan broj, očito, biti strani korijen.
  • Dobijamo konačan odgovor.

Primjer problema iz algebre

Ovdje dajemo primjer problema koji se svodi na kvadratnu jednačinu bez oslanjanja na bilo koju određenu oblast.

Primjer 1

Nađite dva takva iracionalna broja, kada se saberu, kvadrata će biti pet, a kada se obično zbrajaju, tri.

Označimo ove brojeve slovima $x$ i $y$. Prema uslovu zadatka, prilično je lako sastaviti dvije jednačine $x^2+y^2=5$ i $x+y=3$. Vidimo da je jedan od njih kvadrat. Da biste pronašli rješenje, morate riješiti sistem:

$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$

Prvo, izražavamo iz drugog $x$

Zamjena u prvu i izvođenje elementarnih transformacija

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

Prešli smo na rješavanje kvadratne jednačine. Uradimo to sa formulama. Nađimo diskriminanta:

Prvi korijen

$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Drugi korijen

$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Nađimo drugu varijablu.

Za prvi korijen:

$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

Za drugi korijen:

$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Pošto nam redosled brojeva nije važan, dobijamo jedan par brojeva.

Odgovor: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ i $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.

Primjer problema iz fizike

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješenja kvadratne jednadžbe u fizici.

Primjer 2

Helikopter koji ravnomjerno leti po mirnom vremenu ima brzinu od 250$ km/h. On treba da odleti iz svoje baze do požarišta, koje je od nje udaljeno 70$ km, i vrati se nazad. U to vrijeme vjetar je duvao prema bazi, usporavajući kretanje helikoptera prema šumi. Zbog onoga što se vratio u bazu sat vremena ranije. Pronađite brzinu vjetra.

Označimo brzinu vjetra sa $v$. Tada dobijamo da će helikopter letjeti prema šumi stvarnom brzinom jednakom $250-v$, a nazad će njegova stvarna brzina biti $250+v$. Izračunajmo vrijeme za put do tamo i za povratak.

$t_1=\frac(70)(250-v)$

$t_2=\frac(70)(250+v)$

Pošto se helikopter vratio u bazu $1$ sat ranije, imaćemo

$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$

Svodimo lijevu stranu na zajednički nazivnik, primjenjujemo pravilo proporcije i izvodimo elementarne transformacije:

$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$

$140v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Dobili smo kvadratnu jednačinu za rješavanje ovog problema. Hajde da to rešimo.

Riješit ćemo ga pomoću diskriminanta:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Jednačina ima dva korijena:

$v=\frac(-140-519)(2)=-329.5$ i $v=\frac(-140+519)(2)=189.5$

Pošto smo tražili brzinu (koja ne može biti negativna), očito je da je prvi korijen suvišan.

Odgovor: 189,5$

Primjer problema iz geometrije

Razmotrimo primjer problema koji vodi do rješenja kvadratne jednadžbe u geometriji.

Primjer 3

Nađite površinu pravokutnog trougla koji zadovoljava sljedeće uvjete: njegova hipotenuza je 25$, a dužina njegovih krakova je 4$ do 3$.

Da bismo pronašli željeno područje, moramo pronaći noge. Jedan dio noge označavamo kroz $x$. Zatim izražavajući krakove u terminima ove varijable, dobijamo da su njihove dužine jednake $4x$ i $3x$. Dakle, iz Pitagorine teoreme možemo sastaviti sljedeću kvadratnu jednačinu:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(korijen $x=-5$ se može zanemariti, pošto krak ne može biti negativan)

Dobili smo da su noge jednake 20$ i 15$ respektivno, tako da je površina

$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$

Državna budžetska stručna obrazovna ustanova

"Nevinnomyssk Energy College"

Metodički razvoj otvoreni čas iz discipline "Matematika"

Tema lekcije :

Jednačine koje se svode na kvadrat

jednačine.

nastavnik matematike:

Skrylnikova Valentina Evgenievna

Nevinomissk 2016.

Ciljevi lekcije: Slajd #2

Tutorijali: promovirati organizaciju aktivnosti učenika na percepciji,

razumijevanje i primarno pamćenje novog znanja (metoda uvođenja nove varijable, definicija bikvadratne jednačine) i načina

radnje (naučiti rješavati jednačine uvođenjem novog

varijabla), kako bi pomogli učenicima da shvate društveno i lično

značaj edukativni materijal;

u razvoju: pomoći u poboljšanju računarskih sposobnosti učenika;

razvoj usmenog matematičkog govora; stvoriti uslove za

formiranje vještina samokontrole i međusobne kontrole,

algoritamska kultura učenika;

edukativni: promovirati dobru volju

jedni drugima.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Metode: verbalno, vizuelno, praktično, pretraživanje

Oblici rada : individualni, parni, kolektivni

Oprema: interaktivna tabla, prezentacija

Tokom nastave.

I. Organizacioni momenat.

Označite odsutan, provjerite spremnost razreda za čas.

Učitelj: Ljudi, otvaramo novu temu. Temu lekcije još ne zapisujemo, vi ćete je sami formulisati malo kasnije. Samo da kažem da govorimo o jednačinama.

Slajd broj 3.

Kroz jednačine, teoreme

Rešio je mnogo problema.

I predviđena suša, i pljuskovi -

Njegovo znanje je zaista divno.

Goser.

Vi ste već riješili više od deset jednačina.Možete rješavati probleme uz pomoć jednačina. Koristeći jednačine, možete opisati različite pojave u prirodi, fizičke, hemijske pojave, čak se i rast stanovništva u zemlji opisuje jednadžbom.Danas ćemo u lekciji naučiti još jednu istinu, istinu o načinu rješavanja jednačina.

II. Ažuriranje znanja.

Ali prvo, podsjetimo se:

Pitanja: Slajd 4

    Koje se jednačine nazivaju kvadratnim? (Jednačina oblika, gdjeX - varijabla, - neki brojevi i a ≠ 0.)

    Među datim jednačinama, odaberite one koje su kvadratne?

1) 4x - 5 = x + 11

2) x 2 +2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - X 2 – 4 = 8

5) 4x 2 - 1x + 7 \u003d 0 Odgovor: (2,3,5)

    Koje se jednadžbe nazivaju nepotpunim kvadratnim jednadžbama?(Jednačine u kojima je barem jedan od koeficijenatain ilisa je 0.)

Među ovim jednadžbama odaberite one koje su nepotpune kvadratne jednadžbe.(3)

Test prognoza

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 +4x-6=0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x+10=0

5) 4x 2 +2x=0

6) -2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 +3x=0

1 opcija

1) Zapišite brojeve potpunih kvadratnih jednačina.

2) Napišite koeficijente a, b, c u jednačini 8.

3) Zapišite broj nepotpune kvadratne jednačine koja ima jedan korijen.

4) Zapišite koeficijente a, b, c u jednačini 6.

5) Pronađite D u jednačini 4 i izvedite zaključak o broju korijena.

Opcija 2

1) Zapišite brojeve nepotpunih kvadratnih jednačina.

2) Zapišite koeficijente a, b, c u jednačini 1.

3) Zapišite broj nepotpune kvadratne jednačine koja ima jedan korijen 0.

4) Zapišite koeficijente a, b, c u jednačini 3.

5) Pronađite D u jednačini 3 i izvedite zaključak o broju korijena.


Učenici mijenjaju sveske, vrše vršnjačku provjeru i daju ocjene.

1c.

    1,2,4,8

    a=-4, b=3, c=15

    a=-2, b=0, c=2

    24, D<0, корней нет

2c.

    3,5,6,7

    a=-5, b=3, c=2

    a=8, b=0, c=-16

    D>0, 2 korijena.


Igra "Pogodi riječ".

A sada morate pogoditi riječ koja je napisana na tabli. Da biste to učinili, morate riješiti jednadžbe i pronaći tačne odgovore za njih. Svaki odgovor odgovara slovu, a svako slovo odgovara broju kartice i broju u tabeli kojoj ovo slovo odgovara. Na tabli je prikazana tabela br. 1 u cijelosti i tabela br. 2 u kojoj su upisani samo brojevi, slova upisuje nastavnik dok rješava primjere. Nastavnik svakom učeniku dijeli kartice sa kvadratnim jednačinama. Svaka kartica je numerisana. Učenik rješava kvadratnu jednačinu i dobija odgovor -21. U tabeli pronalazi svoj odgovor i saznaje koje slovo odgovara njegovom odgovoru. Ovo je slovo A. Zatim učitelju kaže koje slovo ima i zove broj kartice. Broj kartice odgovara mjestu slova u tabeli br. 2. Na primjer, odgovor je -21 slovo A kartica broj 5. Nastavnik u tabeli br. 2 ispod broja 5 zapisuje slovo A itd. sve dok izraz nije u potpunosti napisan.

    X 2 -5x+6=0 (2;3) B

    X 2 -2x-15=0(-3;5) I

    X 2 +6x+8=0(-4;-2) K

    X 2 -3x-18=0(-3;6) B

    X 2- 42x+441=0-21 A

    X 2 +8x+7=0(-7;-1) D

    X 2 -34x+289=017 R

    X 2 -42x+441=0 -21 A

    X 2 +4x-5=0(-5;1) T

    2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

    3x 2 -3x+4=0bez korijena oh

    5x 2 -8x+3=0 (;1) E

    X 2 -8x+15=0(3;5)

    X 2 -34x+289=017 R

    X 2 -42x+441=0-21 A

    X 2 -3x-18=0(-3;6) B

    2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

    5x 2 -8x+3=0 (;1) E

    2x 2 +3x+1=0(-1;-) N

    X 2 -2x-15=0(-3;5) I

    5x 2 -8x+3=0(;1) E

Tabela 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

nema korijena

(-5;1)

(3;5)

Njegovo odgovarajuće pismo

tabela 2

Dakle, tako smo formulisali temu današnje lekcije.

"Bikvadratna jednačina."

III. Učenje novog gradiva

Da li već znate kako riješiti kvadratne jednačine? razne vrste. Danas u lekciji prelazimo na razmatranje jednačina koje vode do rješenja kvadratnih jednačina. Jedna od ovih vrsta jednačina jebikvadratna jednačina.

Def. Prikaz jednačinasjekira 4 +bx 2 +c=0 , gdjea 0, pozvaobikvadratna jednačina .

BIKUADRATSKE JEDNAČINE - odbi - dva iLatinskiquadratus - kvadrat, tj. dva puta kvadrat.

Primjer 1 Hajde da riješimo jednačinu

Odluka. Rješenje bikvadratnih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednadžbi zamjenomy = x 2 .

Za pronalaženjeX nazad na zamjenu:

x 1 = 1; x 2 = -1 x 3 =; x 4 = - Odgovor: -1; -jedan

Iz razmotrenog primjera se vidi da je, da bi se jednačina četvrtog stepena dovela na kvadratni, uvedena još jedna varijabla -at . Ova metoda rješavanja jednačina se zovemetoda uvođenja novih varijabli.

Za rješavanje jednadžbi koje dovode do rješenja kvadratnih jednadžbi uvođenjem nove varijable, može se kompajlirati sljedeći algoritam:

1) Uvesti promjenu varijable: nekaX 2 = y

2) Napišite kvadratnu jednačinu sa novom varijablom:ay 2 + wu + c = 0

3) Riješite novu kvadratnu jednačinu

4) Povratak na zamjenu varijable

5) Riješite rezultirajuće kvadratne jednačine

6) Izvući zaključak o broju rješenja bikvadratne jednačine

7) Zapišite odgovor

Rješenje ne samo bikvadratnih, već i nekih drugih vrsta jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednačina.

Primjer 2 Hajde da riješimo jednačinu

Odluka. Hajde da uvedemo novu varijablu

nema korena.

nema korijena

odgovor: -

IV. Primarno pričvršćivanje

Ti i ja smo naučili kako da uvedemo novu varijablu, umorni ste, pa hajde da napravimo pauzu.

Fizminutka

1. Zatvorite oči. Otvorite oči (5 puta).

2. Kružni pokreti očiju. Nemojte rotirati glavu (10 puta).

3. Bez okretanja glave, skreni pogled što je više moguće ulijevo. Ne treptaj. Gledaj pravo ispred sebe. Trepnite nekoliko puta. Zatvorite oči i odmorite se. Isto udesno (2-3 puta).

4. Pogledajte neki predmet ispred sebe i okrenite glavu udesno i ulijevo ne skidajući pogled sa ovog predmeta (2-3 puta).

5. Gledajte kroz prozor u daljinu 1 minut.

6. Trepnite 10-15 s.

Opustite se zatvorenih očiju.

Dakle, otkrili smo novu metodu za rješavanje jednačina, međutim uspjeh rješavanja jednadžbi ovom metodom ovisi o ispravnosti jednadžbe sa novom varijablom, hajde da se zadržimo na ovoj fazi rješavanja jednadžbi detaljnije. Naučit ćemo kako uvesti novu varijablu i napisati novu jednačinu, kartica broj 1

Svaki učenik ima karticu

KARTICA #1

Zapišite jednačinu koja je rezultat uvođenja nove varijable

X 4 -13x 2 +36=0

neka y= ,

onda

X 4 +3x 2 -28 = 0

neka je y=

onda

(3x–5) 2 – 4(3h–5)=12

neka je y=

onda

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

neka je y=

onda

X 4 – 25x 2 + 144 = 0

neka je y=

onda

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

neka je y=

onda

Provjera znanja:

X 4 -13x 2 +36=0

neka je y=x 2 ,

onda u 2 -13y+36=0

X 4 +3x 2 -28 = 0

neka je y=x 2 ,

onda u 2 +3y-28=0

(3x–5) 2 – 4(3h–5)=12

neka je y=3x-5,

onda u 2 -4y-12=0

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

neka je y=6x+1,

onda u 2 +2y-24=0

X 4 – 25x 2 + 144 = 0

neka je y=x 2 ,

onda u 2 -25y+144=0

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

neka je y=x 2 ,

zatim 16g 2 -8y+1=0

Rješenje primjera na tabli:

    1. (t 2 -2 t) 2 -2(t 2 -2 t)-3=0 Odgovor: -1;1;3.

      (2x 2 +x-1)(2x 2 + x-4) = 40 Odgovor: -3; 2

Samostalni rad:

Opcija 1 Opcija 2

1)x 4 -5x 2 -36=0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2)(2x 2 +3) 2 -12(2x 2 +3)+11=0 2) (x 2 +3) 2 -11(x 2 +3)+28=0

odgovori:

Opcija 1 Opcija 2

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Sažetak lekcije

Da rezimirate lekciju, da izvučete zaključke o tome šta je bilo uspješno ili ne, dopunite rečenice na listovima.

- Bilo je zanimljivo jer...

Želeo bih da se pohvalim za...

- Ocijenio bih lekciju kao...

VI. Zadaća :

    (2x 2 +x-1)(2x 2 +x-4)+2=0

    (X 2 -4x) 2 +9(x 2 -4h)+20=0

    (X 2 +x)(x 2 +x-5)=84

Postoji nekoliko klasa jednadžbi koje se rješavaju svođenjem na kvadratne jednadžbe. Jedna od takvih jednačina su bikvadratne jednačine.

Bikvadratne jednačine

Bikvadratne jednačine su jednačine oblika a*x^4 + b*x^2 + c = 0, gdje a nije jednako 0.

Bikvadratne jednadžbe se rješavaju zamjenom x^2 =t. Nakon takve zamjene, dobijamo kvadratnu jednačinu za t. a*t^2+b*t+c=0. Rezultujuću jednačinu rešavamo, u opštem slučaju imamo t1 i t2. Ako se u ovoj fazi dobije negativan korijen, može se isključiti iz rješenja, jer smo uzeli t \u003d x ^ 2, a kvadrat bilo kojeg broja je pozitivan broj.

Vraćajući se na originalne varijable, imamo x^2 =t1, x^2=t2.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Uzmimo mali primjer:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Uvodimo zamjenu t=x^2. Tada će originalna jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

Ovu kvadratnu jednačinu rješavamo bilo kojom od poznatih metoda, nalazimo:

Koren -1 nije prikladan, pošto jednačina x^2 = -1 nema smisla.

Ostaje drugi korijen 4/9. Prelazeći na originalne varijable, imamo sljedeću jednačinu:

x1=-2/3, x2=2/3.

Ovo će biti rješenje jednačine.

odgovor: x1=-2/3, x2=2/3.

Druga vrsta jednadžbi koja se može svesti na kvadratne jednačine su razlomke racionalne jednačine. Racionalne jednačine su jednačine u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijevi ili desni dijelovi frakcijski izrazi, onda se takva racionalna jednačina naziva razlomkom.

Šema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

1. Naći zajednički imenilac svih razlomaka koji su uključeni u jednačinu.

2. Pomnožite obje strane jednačine zajedničkim nazivnikom.

3. Riješi rezultirajuću cijelu jednačinu.

4. Provjerite korijene i isključite one koji pretvaraju zajednički imenilac na nulu.

Razmotrimo primjer:

Riješite frakcionu racionalnu jednačinu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Pridržavat ćemo se opće šeme. Nađimo prvo zajednički imenilac svih razlomaka.

Dobijamo x*(x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednačinu.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Pojednostavimo rezultirajuću jednačinu. Dobijamo

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

Imam jednostavna redukovana kvadratna jednadžba. Rješavamo ga bilo kojom od poznatih metoda, dobijamo korijene x=-2 i x=5. Sada provjeravamo dobijena rješenja. Zamjenjujemo brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik.

Kod x=-2, zajednički imenilac x*(x-5) ne nestaje, -2*(-2-5)=14. Dakle, broj -2 će biti korijen originalne frakcione racionalne jednadžbe.

Lekcija #1

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Forma lekcije: razgovor.

Cilj: formirati sposobnost rješavanja jednadžbi koje se svode na kvadratne.

Zadaci:

  • upoznati učenike sa jednim od načina rješavanja jednačina;
  • razviti vještine rješavanja takvih jednačina;
  • stvoriti uslove za formiranje interesa za predmet i razvoj logičkog mišljenja;
  • obezbijediti lične i humane odnose između učesnika u obrazovnom procesu.

Plan lekcije:

1. Organizacioni momenat.

3. Učenje novog gradiva.
4. Konsolidacija novog materijala.
5. Domaći.
6. Rezultat lekcije.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat

Učitelj:“Dečki, danas počinjemo proučavati važnu i zanimljivu temu “Jednačine koje se svode na kvadrate”. Znate koncept kvadratne jednačine. Hajde da pogledamo šta znamo o ovoj temi.

Školskoj djeci se nude upute:

  • Zapamtite definicije vezane za ovu temu.
  • Prisjetite se metoda za rješavanje poznatih jednačina.
  • Zapamtite svoje poteškoće u ispunjavanju zadataka na teme koje su „bliske“ ovoj.
  • Zapamtite načine za prevazilaženje poteškoća.
  • Razmotrite moguće istraživačke zadatke i načine da ih ostvarite.
  • Zapamtite gdje su primijenjeni prethodno riješeni problemi.

Učenici pamte oblik potpune kvadratne jednačine, nepotpune kvadratne jednačine, uslove za rješavanje potpune kvadratne jednačine, metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina, pojam cijele jednačine, pojam stepena.

Učitelj predlaže rješavanje sljedećih jednačina (rad u parovima):

a) x 2 - 10x + 21 = 0
b) 3x 2 + 6x + 8 = 0
c) x (x - 1) + x 2 (x - 1) = 0

Jedan od učenika komentira rješenje ovih jednačina.

3. Učenje novog gradiva

Nastavnik predlaže razmatranje i rješavanje sljedeće jednačine (problemski zadatak):

(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120

Učenici govore o stepenu ove jednačine, predlažu množenje ovih faktora. Ali ima učenika koji primjećuju iste pojmove u ovoj jednačini. Koja metoda rješenja se ovdje može primijeniti?
Nastavnik poziva učenike da se okrenu udžbeniku (Yu. N. Makarychev "Algebra-9", str. 11, str. 63) i razumiju rješenje ove jednačine. Odeljenje je podeljeno u dve grupe. Oni učenici koji su razumjeli metodu rješenja izvršavaju sljedeće zadatke:

a) (x 2 + 2x) (x 2 + 2x + 2) = -1
b) (x 2 - 7) 2 - 4 (x 2 - 7) - 45 = 0,

ostali su algoritam rješenja takve jednačine i zajedno sa nastavnikom analizirati rješenje sljedeće jednačine.

(2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.

algoritam:

– unesite novu varijablu;
- napisati jednačinu koja sadrži ovu varijablu;
- riješiti jednačinu;
- zamijeniti pronađene korijene u zamjeni;
– riješiti jednačinu sa početnom varijablom;
- provjerite pronađene korijene, zapišite odgovor.

4. Konsolidacija novog materijala

Rad u parovima: „jako“ – objašnjava, „slabo“ ponavlja, odlučuje.

Riješite jednačinu:

a) 9x 3 - 27x 2 \u003d 0
b) x 4 - 13x 2 + 36 = 0

Učitelj:"Prisjetimo se gdje smo još koristili rješenje kvadratnih jednačina?"

Studenti:„Prilikom rješavanja nejednakosti; pri pronalaženju opsega funkcije; pri rješavanju jednačina s parametrom”.
Nastavnik nudi izborne zadatke. Odeljenje je podeljeno u 4 grupe. Svaka grupa objašnjava svoje rješenje.

a) Riješite jednačinu:
b) Pronađite domenu funkcije:
c) Za koje vrijednosti a jednadžba nema korijena:
d) Riješite jednačinu: x + - 20 = 0.

5. Domaći

br. 221 (a, b, c), br. 222 (a, b, c).

Učitelj predlaže pripremu poruka:

1. "Istorijski podaci o stvaranju ovih jednačina" (na osnovu materijala sa interneta).
2. Metode rješavanja jednačina na stranicama časopisa "Kvant".

Zadaci kreativne prirode izvode se po želji u posebnim sveskama:

a) x 6 + 2x 4 - 3x 2 \u003d 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1

6. Sažetak lekcije

Djeca govore šta su naučila na lekciji, koji su zadaci izazvali poteškoće, gdje su se prijavili, kako ocjenjuju svoje aktivnosti.

Lekcija #2

Vrsta lekcije: lekcija za konsolidaciju vještina i sposobnosti.

Forma lekcije: praktična lekcija.

Cilj: učvrstiti stečeno znanje, formirati sposobnost rješavanja jednačina na ovu temu.

Zadaci:

  • razviti sposobnost rješavanja jednadžbi koje se svode na kvadratne;
  • razviti sposobnosti samostalnog razmišljanja;
  • razviti sposobnost analize, traženja informacija koje nedostaju;
  • odgajati aktivnost, samostalnost, disciplinu.

Plan lekcije:

1. Organizacioni momenat.
2. Aktuelizacija subjektivnog iskustva učenika.
3. Rješavanje problema.
4. Samostalan rad.
5. Domaći.
6. Rezultat lekcije.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat

Učitelj:“U prošloj lekciji smo se upoznali sa jednadžbama koje se svode na kvadratne. A koji je matematičar doprinio rješavanju jednačina trećeg i četvrtog stepena?

Učenik koji je pripremio poruku govori o italijanskim matematičarima iz 16. veka.

2. Aktuelizacija subjektivnog iskustva

1) Provjera domaćeg zadatka

U tablu se poziva učenik koji rješava jednadžbe slične domaćim:

a) (x 2 - 10) 2 - 3 (x 2 - 10) - 4 = 0
b) x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

U ovom trenutku, da bi popunili praznine u znanju, „slabi“ učenici dobijaju kartice. "Slabiji" učenik komentariše rješenje "jakom" učeniku, "jaki" označava rješenje znakovima "+" ili "-".

2) Ponavljanje teorijskog materijala

Od učenika se traži da popune sljedeću tabelu:

Učenici popunjavaju treću kolonu na kraju časa.
Zadatak na tabli je provjeren. Otopina uzorka ostaje na ploči.

3. Rješavanje problema

Nastavnik nudi izbor između dvije grupe jednačina. Odeljenje je podeljeno u dve grupe. Jedan izvršava zadatke prema modelu, drugi traži nove metode za rješavanje jednačina. Ako rješenja uzrokuju poteškoće, onda se učenici mogu obratiti modelu – zaključivanju.

a) (2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0 a) (5x - 63) (5 x - 18) \u003d 550
b) x 4 - 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 - 7 x 2 + 9 = 0

Prva grupa komentariše svoju odluku, druga provjerava rješenje kroz opći opseg i komentira svoje metode rješenja.

Učitelj: Ljudi, pogledajmo jednu zanimljivu jednadžbu: (x 2 - 6 x - 9) 2 = x (x 2 - 4 x - 9).

Koji metod predlažete da se to riješi?

Učenici u grupama počinju raspravljati o problematičnom zadatku. Oni predlažu da se otvore zagrade, donesu slični članovi, dobije cijela algebarska jednačina četvrtog stepena i pronađu cjelobrojni korijeni među djeliteljima slobodnog člana, ako ih ima; zatim faktorizujte i pronađite korene date jednačine.
Nastavnik odobrava algoritam rješenja i predlaže razmatranje druge metode rješenja.

Označimo x 2 - 4x - 9 = t, zatim x 2 - 6x - 9 \u003d t - 2x. Dobijamo jednačinu t 2 - 5tx + 4x 2 = 0 i rješavamo je za t.

Originalna jednadžba se rastavlja na skup od dvije jednadžbe:

x 2 - 4 x - 9 \u003d 4 x x \u003d - 1
x 2 - 4 x - 9 = x x = 9
x = (5 + 61) / 2 x = (5 - 61) / 2

4. Samostalan rad

Učenicima se daju sljedeće jednačine na izbor:

a) x 4 - 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 - y 2) + 7 (1 - y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 - 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 - 18 x 2 - 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 - 28 = 0

Nastavnik komentariše jednačine svake grupe, skreće pažnju na činjenicu da jednačina pod tačkom c) omogućava studentima da prodube svoja znanja i vještine.
Samostalni rad se izvodi na listovima kroz karbonski papir.
Učenici provjeravaju rješenja putem kodoskopa, razmjenjujući sveske.

5. Domaći

br. 223 (d, e, f), br. 224 (a, b) ili br. 225, br. 226.

Kreativni zadatak.

Odredite stepen jednačine i izvedite Vietine formule za ovu jednačinu:

6. Sažetak lekcije

Učenici se vraćaju popunjavanju kolone tabele „Naučio sam“.

Lekcija #3

Vrsta lekcije: pregled časa i sistematizacija znanja.

Forma lekcije: lekcija je takmičenje.

Svrha lekcije: naučiti pravilno procijeniti svoja znanja i vještine, pravilno povezati svoje sposobnosti sa predloženim zadacima.

Zadaci:

  • naučiti kako svoje znanje primijeniti na kompleksan način;
  • otkriti dubinu i snagu vještina i sposobnosti;
  • unapređuje racionalnu organizaciju rada;
  • podstiču aktivnost, nezavisnost.

Plan lekcije:

1. Organizacioni momenat.
2. Aktuelizacija subjektivnog iskustva učenika.
3. Rješavanje problema.
4. Samostalan rad.
5. Domaći.
6. Rezultat lekcije.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat

Učitelj:“Danas ćemo održati neobičan čas, čas-takmičenje. Italijanski matematičari Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano su vam već poznati iz prošle lekcije.

Dana 12. februara 1535. dogodio se naučni duel između Fiorija i N. Tartaglije, u kojem je Tartaglia odnio briljantnu pobjedu. Za dva sata je riješio svih trideset zadataka koje je predložio Fiori, dok Fiori nije riješio nijedan Tartagliin problem.
Koliko jednačina možete riješiti po lekciji? Koje metode birate? Italijanski matematičari nude vam svoje jednačine.”

2. Aktuelizacija subjektivnog iskustva

usmeni rad

1) Koji od brojeva: - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 su korijeni jednadžbe:

a) x 3 - x = 0 b) y 3 - 9 y \u003d 0 c) y 3 + 4 y = 0?

Koliko rješenja može imati jednačina trećeg stepena?
Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovih jednačina?

2) Provjerite rješenje jednačine. Pronađite grešku koju ste napravili.

x 3 - 3x 2 + 4x - 12 = 0
x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0
(x - 3) (x 2 + 4) = 0
(x - 3)(x + 2)(x - 2) = 0
x = 3, x = - 2, x \u003d 2.

Raditi u parovima. Učenici objašnjavaju kako se rješavaju jednačine, načinjena greška.

Učitelj:„Ti, bravo! Izvršili ste prvi zadatak italijanskih matematičara.”

3. Rješavanje problema

Dva učenika za tablom

a) Pronađite koordinate presječnih tačaka sa koordinatnim osama grafa funkcije:

b) Riješite jednačinu:

Učenici u razredu biraju da urade jedan ili dva zadatka. Učenici za tablom dosledno komentarišu svoje postupke.

4. "Kroz" samostalan rad

Set kartica se sastavlja prema nivou složenosti i sa opcijama odgovora.

1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 - 32 x 2 - x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0

Opcije odgovora:

1) a) - 2; 2 b) - 3; 3 c) nema rješenja
2) a) - 1/4; 1/4 b) - 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) - 4; jedan; 2 b) –1; jedan; - 4; 2 c) - 4; 2
4) a) - 2; - jedan; b) - 2; - jedan; 1 c) 1; 2
5) a) - 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (- 3 - 5) / 2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.

5. Domaći

Zbirka zadataka za izvođenje pismenog ispita iz algebre: br.72, br.73 ili br.76, br.78.

Dodatni zadatak. Odredite vrijednost parametra a, pri kojoj je jednadžba x 4 + (a 2 - a + 1) x 2 - a 3 - a \u003d 0

a) ima jedan korijen;
b) ima dva različita korijena;
c) nema korijena.