Biz imtihondan B14 muammolarni hal qilamiz. Segmentdagi funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari f x funksiyasining eng kichik qiymati

Quyidagi rasmlar funksiya eng kichik va eng katta qiymatga erishish mumkin bo'lgan joyni ko'rsatadi. Chapdagi rasmda eng kichik va eng katta qiymatlar funktsiyaning mahalliy minimal va maksimal nuqtalarida o'rnatiladi. To'g'ri rasmda - chiziq segmentining oxirida.

Agar funktsiya y = f(x) segmentida uzluksiz [ a, b], keyin u ushbu segmentga etib boradi eng kichigi va eng yuqori qiymatlar ... Bu, yuqorida aytib o'tilganidek, ikkalasida ham sodir bo'lishi mumkin ekstremal nuqtalar, yoki segmentning oxirida. Shuning uchun, topish uchun eng kichigi va maksimal funktsiya qiymatlari segmentda uzluksiz [ a, b], siz uning barcha qiymatlarini hisoblashingiz kerak tanqidiy nuqtalar va segmentning uchlarida, so'ngra ulardan eng kichikini va eng kattasini tanlang.

Masalan, funktsiyaning eng katta qiymatini aniqlash talab qilinsin f(x) segmentida [ a, b]. Buni amalga oshirish uchun uning barcha kritik nuqtalarini [ ustida joylashganini toping. a, b] .

Kritik nuqta nuqta deb ataladi funksiya aniqlangan, va u hosila nolga teng yoki mavjud emas. Keyin kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblashingiz kerak. Va nihoyat, kritik nuqtalarda va segmentning oxirida funksiya qiymatlarini solishtirish kerak ( f(a) va f(b)). Bu raqamlarning eng kattasi bo'ladi segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati [a, b] .

Topish muammolari eng kichik funktsiya qiymatlari .

Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini birgalikda qidirish

Misol 1. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida [-1, 2] .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini toping. Keling, hosilani nolga () tenglashtiramiz va ikkita kritik nuqtani olamiz: va. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun uning segment oxiridagi va nuqtadagi qiymatlarini hisoblash kifoya qiladi, chunki nuqta segmentga tegishli emas [-1, 2]. Ushbu funktsiya qiymatlari quyidagicha:,,. Bundan kelib chiqadi eng kichik funktsiya qiymati(quyidagi grafikda u qizil rang bilan belgilangan), -7 ga teng, segmentning o'ng uchida - nuqtada va eng buyuk(shuningdek, grafikda qizil), 9 ga teng, - tanqidiy nuqtada.

Agar funktsiya qaysidir oraliqda uzluksiz bo'lsa va bu oraliq segment bo'lmasa (lekin, masalan, interval bo'lsa; oraliq va segment o'rtasidagi farq: intervalning chegara nuqtalari intervalga kiritilmaydi va chegara. segmentning nuqtalari segmentga kiritilgan), keyin funktsiya qiymatlari orasida u eng kichik va eng katta bo'lmasligi mumkin. Masalan, quyidagi rasmda ko'rsatilgan funksiya] -∞, + ∞ [da uzluksiz va eng katta qiymatga ega emas.

Biroq, har qanday interval uchun (yopiq, ochiq yoki cheksiz) doimiy funktsiyalarning quyidagi xossasi to'g'ri bo'ladi.

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

4-misol. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida [-1, 3] .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini qismning hosilasi sifatida topamiz:

Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bizga bitta muhim nuqtani beradi:. U [-1, 3] segmentiga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Biz ushbu qiymatlarni taqqoslaymiz. Xulosa: -5/13 ga teng, nuqtada va eng katta qiymat nuqtada 1 ga teng.

Biz birgalikda funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini qidirishni davom ettiramiz

Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish mavzusida o'quvchilarga ko'rib chiqilganlardan, ya'ni funktsiya polinom yoki kasr bo'lganlardan ko'ra murakkabroq misollarni echishni taklif qilmaydigan o'qituvchilar bor. soni va maxraji ko‘phadlardan iborat. Ammo biz bunday misollar bilan cheklanib qolmaymiz, chunki o'qituvchilar orasida o'quvchilarni to'liq o'ylashni yaxshi ko'radiganlar bor (hosilalar jadvali). Shuning uchun logarifm va trigonometrik funktsiyadan foydalaniladi.

Misol 8. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini sifatida toping hosilaviy ish :

Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bitta muhim nuqtani beradi:. Bu segmentga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Barcha harakatlar natijasi: funktsiya eng kichik qiymatiga etadi nuqtada va nuqtada 0 ga teng va eng katta qiymat ga teng e², nuqtada.

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

9-misol. Funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .

Yechim. Bu funksiyaning hosilasini toping:

Hosilni nolga tenglash:

Yagona tanqidiy nuqta chiziq segmentiga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Chiqish: funktsiya eng kichik qiymatiga etadi nuqtada va ga teng eng katta qiymat, teng, nuqtada.

Amaliy ekstremal masalalarda funktsiyaning eng kichik (eng katta) qiymatlarini topish, qoida tariqasida, minimal (maksimal) topishga qisqartiriladi. Ammo minimal yoki maksimallarning o'zi emas, balki ularga erishilgan dalillarning qiymatlari ko'proq amaliy qiziqish uyg'otadi. Amaliy muammolarni hal qilishda qo'shimcha qiyinchilik paydo bo'ladi - ko'rib chiqilayotgan hodisa yoki jarayonni tavsiflovchi funktsiyalarni kompilyatsiya qilish.

10-misol. To'rtburchak asosli parallelepiped shakliga ega va tepasi ochiq bo'lgan sig'imi 4 bo'lgan tankni qalay bilan ovlash kerak. Eng kam miqdordagi materialni qoplash uchun tank qanchalik katta bo'lishi kerak?

Yechim. Bo'lsin x- poydevor tomoni, h- tank balandligi, S- uning qoplamasiz yuzasi, V- uning hajmi. Tankning sirt maydoni formula bilan ifodalanadi, ya'ni. ikki o‘zgaruvchining funksiyasi. ifodalash uchun S bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida biz nima, qaerdan foydalanamiz. Topilgan ifodani almashtirish h uchun formulaga kiradi S:

Keling, bu funktsiyani ekstremum uchun ko'rib chiqaylik. U hamma joyda aniqlangan va farqlanadi] 0, + ∞ [, va

Hosilani nolga () tenglashtiring va kritik nuqtani toping. Bundan tashqari, lotin uchun mavjud emas, lekin bu qiymat ta'rif sohasiga kiritilmagan va shuning uchun ekstremum nuqta bo'la olmaydi. Demak, bu yagona muhim nuqta. Keling, ikkinchi etarli mezon yordamida ekstremum mavjudligini tekshirib ko'raylik. Keling, ikkinchi hosilani topamiz. Ikkinchi hosila noldan katta bo'lganda (). Demak, at, funktsiya minimal darajaga etadi ... Shundan beri minimal bu funksiyaning yagona ekstremumidir, u ham uning eng kichik qiymatidir... Shunday qilib, tank poydevorining yon tomoni 2 m ga teng bo'lishi kerak va uning balandligi.

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin

Amalda, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini hisoblash uchun hosiladan foydalanish juda keng tarqalgan. Biz ushbu harakatni xarajatlarni minimallashtirish, foydani oshirish, ishlab chiqarishga optimal yukni hisoblash va hokazolarni aniqlaganimizda, ya'ni har qanday parametrning optimal qiymatini aniqlash zarur bo'lgan hollarda amalga oshiramiz. Bunday muammolarni to'g'ri hal qilish uchun siz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari nima ekanligini yaxshi tushunishingiz kerak.

Biz odatda ushbu qiymatlarni ma'lum bir x oralig'ida aniqlaymiz, bu esa o'z navbatida funktsiyaning butun sohasiga yoki uning bir qismiga mos kelishi mumkin. Bu segment kabi bo'lishi mumkin [a; b] va ochiq interval (a; b), (a; b], [a; b), cheksiz interval (a; b), (a; b], [a; b) yoki cheksiz interval - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

Ushbu maqolada biz sizga bitta o'zgaruvchisi y = f (x) y = f (x) bilan aniq berilgan funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday hisoblashni aytib beramiz.

Asosiy ta'riflar

Keling, har doimgidek, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.

Ta'rif 1

y = f (x) funktsiyaning qaysidir x oralig'idagi eng katta qiymati maxy = f (x 0) x ∈ X qiymati bo'lib, xx ∈ X, x ≠ x 0 har qanday qiymat uchun f (x) ≤ tengsizlikni hosil qiladi. f (x 0).

Ta'rif 2

y = f (x) funktsiyaning qaysidir x oralig'idagi eng kichik qiymati minx ∈ X y = f (x 0) qiymati bo'lib, har qanday x ∈ X, x ≠ x 0 qiymati uchun f (X f ( X f) tengsizlikni hosil qiladi. x) ≥ f (x 0).

Bu ta'riflar juda aniq. Buni aytish yanada osonroq: funksiyaning eng katta qiymati uning x 0 abscissadagi ma’lum oraliqdagi eng katta qiymati, eng kichigi esa x 0 da bir xil intervalda qabul qilingan eng kichik qiymatdir.

Ta'rif 3

Statsionar nuqtalar - bu funktsiya argumentining hosilasi yo'qolgan qiymatlari.

Nima uchun biz statsionar nuqtalar nima ekanligini bilishimiz kerak? Bu savolga javob berish uchun Ferma teoremasini esga olish kerak. Bundan kelib chiqadiki, statsionar nuqta - bu differentsiallanuvchi funktsiyaning ekstremumi joylashgan nuqta (ya'ni, uning mahalliy minimal yoki maksimal). Shunday qilib, funktsiya eng kichik yoki eng katta qiymatni ma'lum bir oraliqda aniq statsionar nuqtalardan birida oladi.

Boshqa funktsiya eng katta yoki eng kichik qiymatni funktsiyaning o'zi aniq bo'lgan va uning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda qabul qilishi mumkin.

Ushbu mavzuni o'rganishda paydo bo'ladigan birinchi savol: barcha holatlarda berilgan segmentdagi funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini aniqlay olamizmi? Yo'q, agar berilgan oraliq chegaralari ta'rif sohasi chegaralariga to'g'ri kelganda yoki cheksiz interval bilan ishlayotgan bo'lsak, buni qila olmaymiz. Bundan tashqari, berilgan segmentdagi yoki cheksizlikdagi funksiya cheksiz kichik yoki cheksiz katta qiymatlarni oladi. Bunday hollarda, eng yuqori va / yoki eng past qiymatni aniqlash mumkin emas.

Ushbu fikrlar grafiklarda ko'rsatilgandan keyin aniqroq bo'ladi:

Birinchi rasm bizga segmentda joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta va eng kichik qiymatlarni (m a x y va m i n y) qabul qiluvchi funktsiyani ko'rsatadi [- 6; 6].

Keling, ikkinchi grafikda ko'rsatilgan ishni batafsil ko'rib chiqaylik. Segmentning qiymatini [1 ga o'zgartiramiz; 6] va biz funktsiyaning eng katta qiymatiga oraliqning o'ng chegarasida abtsissa joylashgan nuqtada, eng kichigi esa statsionar nuqtada erishilishiga erishamiz.

Uchinchi rasmda nuqtalarning abstsissalari segmentning chegara nuqtalarini ifodalaydi [- 3; 2]. Ular berilgan funktsiyaning eng yuqori va eng past qiymatlariga mos keladi.

Endi to'rtinchi raqamga qaraylik. Unda funksiya ochiq intervalda (- 6; 6) statsionar nuqtalarda m a x y (eng katta qiymat) va m i n y (eng kichik qiymat) ni oladi.

Intervalni olsak [1; 6), u holda biz undagi funksiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada erishiladi, deb aytishimiz mumkin. Eng katta qiymat bizga noma'lum bo'ladi. Funktsiya o'zining eng katta qiymatini x 6 ga teng bo'lganda qabul qilishi mumkin, agar x = 6 intervalga tegishli bo'lsa. Aynan shu holat 5-chizmada tasvirlangan.

6-grafada bu funksiya oraliqning o'ng chegarasida (- 3; 2] eng kichik qiymatga ega bo'ladi va biz eng katta qiymat haqida aniq xulosalar chiqara olmaymiz.

7-rasmda funksiya abtsissasi 1 ga teng statsionar nuqtada m a x y bo‘lishini ko‘ramiz. Funktsiya o'ng tomondagi interval chegarasida eng kichik qiymatiga etadi. Minus cheksizlikda funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi.

Agar x ∈ 2 intervalini olsak; + ∞, u holda berilgan funksiya undagi eng kichik va eng katta qiymatni ham olmasligini ko‘ramiz. Agar x 2 ga moyil bo'lsa, u holda funktsiyaning qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi, chunki x = 2 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir. Agar abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda funktsiyaning qiymatlari asimptotik ravishda y = 3 ga yaqinlashadi. Aynan shu holat 8-rasmda tasvirlangan.

Ushbu kichik bo'limda biz ma'lum bir segmentdagi funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish uchun bajarilishi kerak bo'lgan harakatlar ketma-ketligini taqdim etamiz.

Birinchidan, funksiyaning sohasini topamiz. Shartda ko'rsatilgan segment unga kiritilgan yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik.
Keling, birinchi hosila mavjud bo'lmagan ushbu segmentdagi nuqtalarni hisoblaylik. Ko'pincha ularni argumenti modul belgisi ostida yozilgan funktsiyalarda yoki ko'rsatkichi kasrli ratsional son bo'lgan quvvat funktsiyalarida topish mumkin.
Keyinchalik, berilgan segmentga qaysi statsionar nuqtalar tushishini aniqlaymiz. Buning uchun funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz kerak, keyin uni 0 ga tenglashtiring va hosil bo'lgan tenglamani yeching, so'ngra tegishli ildizlarni tanlang. Agar biz statsionar nuqtalarni olmasak yoki ular berilgan segmentga tushmasa, keyingi bosqichga o'tamiz.
Funktsiya berilgan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa) yoki birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa) qanday qiymatlarni olishini aniqlaymiz yoki x = a va x = qiymatlarini hisoblaymiz. b.
5. Bizda funktsiya qiymatlari qatori bor, endi ulardan eng kattasini va eng kichigini tanlashimiz kerak. Bu biz topishimiz kerak bo'lgan funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.

Keling, muammolarni hal qilishda ushbu algoritmni qanday to'g'ri qo'llashni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Holati: y = x 3 + 4 x 2 funksiya berilgan. Uning segmentlardagi eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang [1; 4] va [- 4; - 1].

Yechim:

Keling, ushbu funktsiyaning domenini topishdan boshlaylik. Bunday holda, u 0 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi. Boshqacha aytganda, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Shartda ko'rsatilgan ikkala segment ham aniqlash maydoni ichida bo'ladi.

Endi kasrni differensiallash qoidasiga asosan funksiya hosilasini hisoblaymiz:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida mavjud bo'lishini bilib oldik [1; 4] va [- 4; - 1].

Endi biz funktsiyaning statsionar nuqtalarini aniqlashimiz kerak. Buni x 3 - 8 x 3 = 0 tenglamasi yordamida qilamiz. Uning faqat bitta haqiqiy ildizi bor, ya'ni 2. U funksiyaning statsionar nuqtasi bo'ladi va birinchi segmentga tushadi [1; 4].

Biz funktsiyaning qiymatlarini birinchi segmentning oxirida va berilgan nuqtada hisoblaymiz, ya'ni. x = 1, x = 2 va x = 4 uchun:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Biz m a x y x ∈ funktsiyaning eng katta qiymatini oldik [1; 4] = y (2) = 3 ga x = 1 da erishiladi va eng kichik m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - x = 2 uchun.

Ikkinchi segment hech qanday statsionar nuqtalarni o'z ichiga olmaydi, shuning uchun biz funktsiyaning qiymatlarini faqat berilgan segmentning oxirida hisoblashimiz kerak:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Demak, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Javob: Segment uchun [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, segment uchun [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Rasmga qarang:

Ushbu usulni o'rganishdan oldin, biz sizga bir tomonlama chegara va cheksizlikda qanday qilib to'g'ri hisoblashni takrorlashni maslahat beramiz, shuningdek ularni topishning asosiy usullarini o'rganamiz. Ochiq yoki cheksiz oraliqda funksiyaning eng katta va/yoki eng kichik qiymatini topish uchun quyidagi amallarni ketma-ket bajaring.

Birinchidan, belgilangan oraliq ushbu funktsiya doirasining kichik to'plami bo'ladimi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak.
Kerakli intervalda joylashgan va birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan barcha nuqtalarni aniqlaymiz. Ular odatda argument modul belgisiga kiritilgan funksiyalarda va kasrli ratsional darajali darajali funksiyalarda topiladi. Agar bu nuqtalar bo'lmasa, keyingi bosqichga o'tishingiz mumkin.
Endi qaysi statsionar nuqtalar berilgan intervalga tushishini aniqlaymiz. Birinchidan, hosilani 0 ga tenglashtiramiz, tenglamani yechamiz va mos ildizlarni topamiz. Agar bizda bitta statsionar nuqta bo'lmasa yoki ular belgilangan oraliqda bo'lmasa, biz darhol keyingi harakatlarga o'tamiz. Ular interval turiga qarab belgilanadi.

Agar interval [a; b), u holda funksiyaning x = a nuqtadagi qiymatini va bir tomonlama chegara lim x → b - 0 f (x) ni hisoblashimiz kerak.
Agar interval (a; b] ko'rinishga ega bo'lsa, u holda funksiyaning x = b nuqtadagi qiymatini va lim x → a + 0 f (x) bir tomonlama chegarasini hisoblashimiz kerak.
Agar interval (a; b) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) bir tomonlama chegaralarni hisoblashimiz kerak.
Agar interval [a; + ∞), keyin x = a nuqtadagi qiymatni va plyus cheksizlik lim x → + ∞ f (x)dagi chegarani hisoblash kerak.
Agar interval (- ∞; b] kabi ko'rinsa, x = b nuqtadagi qiymatni va minus cheksizlikdagi chegarani lim x → - ∞ f (x) hisoblang.
Agar - ∞; b, u holda biz bir tomonlama chegara lim x → b - 0 f (x) va minus cheksizlikdagi chegarani lim x → - ∞ f (x) deb qabul qilamiz.
Agar - ∞; + ∞, keyin minus va plyus cheksizlikdagi chegaralarni ko'rib chiqamiz lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

Oxir-oqibat, siz olingan funktsiya qiymatlari va chegaralari asosida xulosa chiqarishingiz kerak. Bu erda juda ko'p imkoniyatlar mavjud. Demak, agar bir tomonlama chegara minus cheksizlik yoki ortiqcha cheksizlikka teng bo‘lsa, u holda funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emasligi darhol ma’lum bo‘ladi. Quyida biz bir tipik misolni tahlil qilamiz. Batafsil tavsiflar nima ekanligini tushunishga yordam beradi. Agar kerak bo'lsa, materialning birinchi qismidagi 4 - 8-rasmlarga qaytishingiz mumkin.

2-misol

Shart: y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 funksiya berilgan. Uning eng yuqori va eng past qiymatlarini intervallarda hisoblang - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Yechim

Birinchi qadam funksiya sohasini topishdir. Kasrning maxraji yo'qolib ketmasligi kerak bo'lgan kvadrat trinomialni o'z ichiga oladi:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Biz shartda ko'rsatilgan barcha intervallar tegishli bo'lgan funktsiya sohasini oldik.

Endi funksiyani farqlaymiz va olamiz:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Demak, funktsiyaning hosilalari uning ta'rifining butun sohasi bo'ylab mavjud.

Keling, statsionar nuqtalarni topishga o'tamiz. Funktsiyaning hosilasi x = - 1 2 da yo'qoladi. Bu (- 3; 1] va (- 3; 2) oraliqlarda joylashgan statsionar nuqta.

Funktsiyaning qiymatini x = - 4 oralig'ida (- ∞; - 4] oraliqda, shuningdek minus cheksizlikdagi chegarani hisoblaymiz:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4> - 1 bo'lgani uchun demak, maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu bizga eng kichik qiymatini bir ma'noda aniqlashga imkon bermaydi. Biz faqat pastki qismida - 1 chegarasi bor, degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki funktsiya aynan shu qiymatga minus cheksizlikda asimptotik tarzda yaqinlashadi.

Ikkinchi intervalning o'ziga xos xususiyati shundaki, unda bitta statsionar nuqta va bitta qat'iy chegara mavjud emas. Shuning uchun biz funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini hisoblay olmaymiz. Chegarani minus cheksizlikda aniqlab, argument chap tomonda - 3 ga moyil bo'lsa, biz faqat qiymatlar oralig'ini olamiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu funktsiya qiymatlari oraliqda joylashishini anglatadi - 1; + ∞

Funksiyaning uchinchi oraliqdagi eng katta qiymatini topish uchun uning x = - 1 2 statsionar nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz, agar x = 1 bo'lsa. Shuningdek, argument o'ng tomonda - 3 ga moyil bo'lgan holat uchun bir tomonlama chegarani bilishimiz kerak:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Biz funktsiya statsionar nuqtada eng katta qiymatni olishini aniqladik maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Eng kichik qiymatga kelsak, uni aniqlay olmaymiz. , pastdan - 4 gacha cheklov mavjudligi.

Interval uchun (- 3; 2) biz oldingi hisob-kitob natijalarini olamiz va chap tomonda 2 ga moyil bo'lganda bir tomonlama chegara nimaga teng ekanligini yana bir bor hisoblaymiz:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Demak, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 va eng kichik qiymatni aniqlab bo'lmaydi va funktsiyaning qiymatlari pastdan - 4 raqami bilan chegaralanadi.

Oldingi ikkita hisob-kitobda olingan narsalarga asoslanib, biz [1; 2) funktsiya x = 1 da eng katta qiymatni oladi va eng kichigini topish mumkin emas.

(2; + ∞) oraliqda funktsiya na eng katta, na eng kichik qiymatga erishadi, ya'ni. u oraliqdan qiymatlarni oladi - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

X = 4 uchun funktsiyaning qiymati qanday bo'lishini hisoblab, m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 va ortiqcha cheksizlikda berilgan funksiya asimptotik tarzda y = - 1 chiziqqa yaqinlashadi.

Keling, har bir hisob-kitobda olganimizni berilgan funktsiyaning grafigi bilan taqqoslaylik. Rasmda asimptotlar nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan.

Biz sizga eng katta va eng kichik funktsiya qiymatini topish haqida aytmoqchi bo'lgan narsa shu. Biz bergan harakatlar ketma-ketligi kerakli hisob-kitoblarni imkon qadar tez va oson bajarishga yordam beradi. Ammo esda tutingki, birinchi navbatda funktsiya qaysi oraliqlarda kamayishi va qaysi intervallarda ko'payishini aniqlash foydali bo'ladi, shundan so'ng siz qo'shimcha xulosalar chiqarishingiz mumkin. Shu tarzda siz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini aniqroq aniqlashingiz va olingan natijalarni asoslashingiz mumkin.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

NASA 2020-yil iyul oyida Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Koinot kemasi Marsga ekspeditsiyaning barcha ro‘yxatdan o‘tgan a’zolarining ismlari yozilgan elektron tashuvchini yetkazadi.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod variantlaridan biri nusxalanishi va veb-sahifangiz kodiga, yaxshisi teglar orasiga joylashtirilishi kerak. va yoki tegdan keyin ... Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytingiz boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklash kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshlanishi (Aytgancha, bu umuman kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Hammasi shu. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML belgilash sintaksisini o'rganing va veb-saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni joylashtirishga tayyorsiz.

Yana bir Yangi yil kechasi ... sovuq ob-havo va deraza oynasida qor parchalari ... Bularning barchasi meni yana ... fraktallar va Volfram Alpha bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Bu haqda qiziqarli maqola mavjud bo'lib, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz 3D fraktallarning yanada murakkab misollarini ko'rib chiqamiz.

Fraktalni geometrik figura yoki jism sifatida ko'rish (ta'riflash) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plam, bu holda nuqtalar to'plami), uning tafsilotlari asl figuraning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini kattalashtirish bilan hisobga olsak, biz kattalashtirmasdan bir xil shaklni ko'ramiz. Oddiy geometrik shakl (fraktal emas) bo'lsa, biz kattalashtirganda, biz asl shaklning o'zidan oddiyroq shaklga ega bo'lgan tafsilotlarni ko'ramiz. Misol uchun, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: har qanday o'sishda biz yana bir xil murakkab shaklni ko'ramiz, bu har bir o'sish bilan qayta-qayta takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o'zining "Fraktallar va fan uchun san'at" maqolasida shunday deb yozgan edi: "Fraktallar umumiy shaklida bo'lgani kabi o'zlarining tafsilotlari jihatidan ham murakkab geometrik shakllardir. Fraktalning bir qismi kattaligi katta bo'ladi. yaxlit bo'lsa, u bir butunga o'xshaydi, yoki aniq yoki biroz deformatsiya bilan.

Amaliy nuqtai nazardan, eng qiziq narsa funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun hosiladan foydalanishdir. Buning sababi nimada? Foydani maksimal darajada oshirish, xarajatlarni minimallashtirish, uskunaning optimal yukini aniqlash ... Boshqacha qilib aytganda, hayotning ko'p sohalarida har qanday parametrlarni optimallashtirish muammosini hal qilish kerak. Va bu funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish vazifalari.

Shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari odatda X oralig'ida qidiriladi, bu funktsiyaning butun sohasi yoki domenning bir qismidir. X intervalining o'zi chiziq segmenti, ochiq intervalli bo'lishi mumkin , cheksiz interval.

Ushbu maqolada biz bitta o'zgaruvchining y = f (x) aniq berilgan funktsiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish haqida gaplashamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Funktsiyaning eng yuqori va eng past qiymati - ta'riflar, rasmlar.

Keling, asosiy ta'riflarga qisqacha to'xtalib o'tamiz.

Funktsiyaning eng katta qiymati bu har qanday uchun tengsizlik haqiqatdir.

Eng kichik funktsiya qiymati X oraliqdagi y = f (x) bunday qiymat deyiladi bu har qanday uchun tengsizlik haqiqatdir.

Ushbu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissada ko'rib chiqilgan intervaldagi eng katta (eng kichik) qabul qilingan qiymatdir.

Statsionar nuqtalar Funktsiya hosilasi yo'qolgan argumentning qiymatlari.

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topishda bizga statsionar nuqtalar nima uchun kerak? Bu savolga Ferma teoremasi javob beradi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar differensiallanuvchi funksiya qaysidir nuqtada ekstremumga (lokal minimum yoki mahalliy maksimal) ega bo‘lsa, bu nuqta statsionar bo‘ladi. Shunday qilib, funktsiya ko'pincha X oralig'ida o'zining eng katta (eng kichik) qiymatini ushbu intervaldan statsionar nuqtalardan birida oladi.

Bundan tashqari, funktsiya ko'pincha bu funktsiyaning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan va funktsiyaning o'zi aniqlangan nuqtalarda eng katta va eng kichik qiymatni olishi mumkin.

Keling, darhol ushbu mavzu bo'yicha eng keng tarqalgan savollardan biriga javob beraylik: "Funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash har doim mumkinmi?" Yo'q har doim emas. Ba'zan X oraliq chegaralari funksiyaning aniqlanish sohasi chegaralariga to'g'ri keladi yoki X oralig'i cheksizdir. Cheksizlikda va aniqlanish sohasi chegaralarida ba'zi funktsiyalar cheksiz katta va cheksiz kichik qiymatlarni olishi mumkin. Bunday hollarda funktsiyaning eng yuqori va eng kichik qiymati haqida hech narsa aytish mumkin emas.

Aniqlik uchun biz grafik tasvirni beramiz. Rasmlarga qarang va ko'p narsa aniq bo'ladi.

Segmentda

Birinchi rasmda funksiya segment ichida joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi [-6; 6].

Ikkinchi rasmda ko'rsatilgan ishni ko'rib chiqing. Segmentni ga o'zgartiring. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng kattasi esa intervalning o'ng chegarasiga to'g'ri keladigan abtsissali nuqtada erishiladi.

3-rasmda [-3; 2] segmentining chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlariga mos keladigan nuqtalarning abstsissalaridir.

Ochiq intervalda

To'rtinchi rasmda funktsiya ochiq intervalda (-6; 6) joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi.

Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.

Cheksizlikda

Ettinchi rasmda ko'rsatilgan misolda funksiya abscissa x = 1 bo'lgan statsionar nuqtada eng katta qiymatni (max y) oladi va eng kichik qiymatga (min y) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funktsiyaning qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi.

Intervalda funktsiya eng kichik yoki eng katta qiymatga etib bormaydi. O'ng tomonda x = 2 ga moyil bo'lganda, funktsiyaning qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi (x = 2 to'g'ri chiziq vertikal asimptota), abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganda, funktsiya qiymatlari y = 3 ga asimptotik yondashuv. Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.

Segmentdagi uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish imkonini beruvchi algoritm yozamiz.

Funktsiyaning domenini toping va uning butun segmentni o'z ichiga olganligini tekshiring.
Biz birinchi hosila mavjud bo'lmagan va segmentda joylashgan barcha nuqtalarni topamiz (odatda bunday nuqtalar modul belgisi ostida argumentli funktsiyalarda va kasr ratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarida topiladi). Agar bunday nuqtalar bo'lmasa, keyingi bandga o'ting.
Segmentga kiradigan barcha statsionar nuqtalarni aniqlang. Buning uchun biz uni nolga tenglashtiramiz, hosil bo'lgan tenglamani yechib, tegishli ildizlarni tanlaymiz. Agar statsionar nuqtalar bo'lmasa yoki ularning hech biri segmentga tushmasa, keyingi elementga o'ting.
Funktsiyaning qiymatlarini tanlangan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), shuningdek x = a va x = b uchun hisoblaymiz.
Funktsiyaning olingan qiymatlaridan biz eng katta va eng kichikni tanlaymiz - ular mos ravishda funktsiyaning kerakli eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish misolini yechishda algoritmni tahlil qilaylik.

Misol.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping

segment bo'yicha;
segmentida [-4; -1].

Yechim.

Funksiyaning sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga to'g'ri keladi.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4; -1] mavjud.

Statsionar nuqtalar tenglamadan aniqlanadi. Yagona haqiqiy ildiz - x = 2. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi.

Birinchi holda, biz segmentning uchlarida va statsionar nuqtada, ya'ni x = 1, x = 2 va x = 4 uchun funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz:

Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati x = 1 va eng kichik qiymatda erishiladi - x = 2 uchun.

Ikkinchi holda, biz funktsiya qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4; -1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi):

Yechim.

Funktsiya doirasi bilan boshlaylik. Kasrning maxrajidagi kvadrat trinomial yo'qolib ketmasligi kerak:

Muammo bayonotidagi barcha intervallar funksiya sohasiga tegishli ekanligini tekshirish oson.

Funktsiyani farqlaylik:

Shubhasiz, hosila funktsiyaning butun sohasi bo'ylab mavjud.

Keling, statsionar nuqtalarni topamiz. hosila yo'qoladi. Bu statsionar nuqta (-3; 1] va (-3; 2) oraliqlarga tushadi.

Va endi siz har bir nuqtada olingan natijalarni funktsiya grafigi bilan solishtirishingiz mumkin. Asimptotlar ko'k chiziqli chiziqlar bilan belgilanadi.

Bu erda siz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishingiz mumkin. Ushbu maqolada muhokama qilingan algoritmlar sizga minimal harakatlar bilan natijalarni olish imkonini beradi. Biroq, ba'zan, avvalo, funktsiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini aniqlash va shundan keyingina istalgan oraliqda funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida xulosa chiqarish foydali bo'ladi. Bu aniqroq rasm va natijalar uchun kuchli asos beradi.

Matematikadan imtihondan olingan B14 topshiriqda bitta o'zgaruvchining funksiyasining eng kichik yoki eng katta qiymatini topish talab qilinadi. Bu matematik tahlilning juda ahamiyatsiz muammosi va shuning uchun har bir o'rta maktab bitiruvchisi uni oddiy tarzda hal qilishni o'rganishi mumkin va kerak. 2011 yil 7 dekabrda Moskvada bo'lib o'tgan matematika bo'yicha diagnostika ishlari davomida maktab o'quvchilari hal qilgan bir nechta misollarni tahlil qilaylik.

Funktsiyaning maksimal yoki minimal qiymatini topmoqchi bo'lgan intervalga qarab, ushbu muammoni hal qilish uchun quyidagi standart algoritmlardan biri qo'llaniladi.

I. Segmentdagi funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish algoritmi:

Funktsiyaning hosilasini toping.
Ekstremumga shubhali nuqtalardan, berilgan segmentga va funksiya sohasiga tegishli nuqtalarni tanlang.
Qiymatlarni hisoblang funktsiyalari(hosil emas!) bu nuqtalarda.
Olingan qiymatlar orasida eng katta yoki eng kichikni tanlang, u kerakli bo'ladi.

1-misol. Eng kichik funktsiya qiymatini toping
y = x 3 – 18x 2 + 81x segmentda + 23.

Yechim: segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini topish algoritmiga muvofiq harakat qilamiz:

Funktsiya doirasi cheklanmagan: D (y) = R.
Funktsiyaning hosilasi: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Funksiya hosilasining aniqlanish sohasi ham cheklanmagan: D (y ') = R.
Hosila nollari: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, shuning uchun x 2 – 12x+ 27 = 0, qaerdan x= 3 va x= 9, bizning intervalimiz faqat o'z ichiga oladi x= 9 (ekstremumga shubhali bir nuqta).
Funksiyaning ekstremumga shubhali nuqtadagi va oraliq chetlaridagi qiymatini toping. Hisoblash qulayligi uchun biz funktsiyani quyidagi shaklda ifodalaymiz: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Shunday qilib, olingan qiymatlarning eng kichigi 23 ga teng. Javob: 23.

II. Eng katta yoki eng kichik funktsiya qiymatini topish algoritmi:

Funktsiya sohasini toping.
Funktsiyaning hosilasini toping.
Ekstremumga shubhali nuqtalarni aniqlang (funktsiyaning hosilasi yo'qoladigan nuqtalar va ikki tomonlama chekli hosila bo'lmagan nuqtalar).
Bu nuqtalarni va funksiya sohasini raqamlar chizig‘ida belgilang va belgilarini aniqlang hosila(funksiyalari emas!) natijada olingan intervallarda.
Qiymatlarni aniqlang funktsiyalari(hosil emas!) minimal nuqtalarda (hosilning belgisi minusdan plyusga o'zgaradigan nuqtalarda), bu qiymatlarning eng kichigi funktsiyaning eng kichik qiymati bo'ladi. Agar minimal nuqtalar bo'lmasa, u holda funktsiya eng kichik qiymatga ega emas.
Qiymatlarni aniqlang funktsiyalari(hosil emas!) maksimal nuqtalarda (hosilning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradigan nuqtalarda), bu qiymatlarning eng kattasi funktsiyaning eng katta qiymati bo'ladi. Agar maksimal nuqtalar bo'lmasa, funktsiya maksimal qiymatga ega emas.

2-misol. Funktsiyaning eng katta qiymatini toping.