• uy
  •  > 
  • Sayohatlar
  •  > 
  • Pifagor uchliklari. Zamonaviy yuqori texnologiyalar. Boshqa lug'atlarda "Pifagor uchliklari" nima ekanligini ko'ring

Pifagor uchliklari. Zamonaviy yuqori texnologiyalar. Boshqa lug'atlarda "Pifagor uchliklari" nima ekanligini ko'ring

Diofant tenglamasining muhim misoli Pifagor teoremasida keltirilgan bo'lib, u to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining x va y uzunliklarini uning gipotenuzasining z uzunligi bilan bog'laydi:


Siz, albatta, natural sonlardagi ushbu tenglamaning ajoyib yechimlaridan birini, ya'ni Pifagor uchlik sonini uchratdingiz. x = 3, y = 4, z = 5. Hali ham shunday uch egizak bormi?

Ma'lum bo'lishicha, Pifagor uchliklari cheksiz ko'p va ularning barchasi ancha oldin topilgan. Ularni taniqli formulalar yordamida olish mumkin, siz ushbu paragrafdan bilib olasiz.

Agar birinchi va ikkinchi darajali Diofant tenglamalari allaqachon echilgan bo'lsa, unda eng katta matematiklarning sa'y-harakatlariga qaramay, yuqori darajali tenglamalarni echish masalasi hali ham ochiq. Hozirgi vaqtda, masalan, mashhur Fermaning gipotezasi har qanday butun qiymat uchun n2 tenglama


butun sonlarda yechim yo'q.

Diofant tenglamalarining ba'zi turlarini echish uchun murakkab sonlar. Bu nima? i harfi shartni qanoatlantiradigan predmetni bildirsin i 2 = -1(bu shartni hech qanday haqiqiy raqam qanoatlantirmasligi aniq). Shaklning ifodalarini ko'rib chiqing a + ib, bu yerda a va b haqiqiy sonlar. Bunday iboralar kompleks sonlar deb ataladi, ular ustida, shuningdek binomiallar ustida qo'shish va ko'paytirish amallari aniqlangan, ammo ifodaning yagona farqi bilan. men 2 hamma joyda -1 raqami bilan almashtiramiz:

7.1. Uchtasi ko'p

Agar buni isbotlang x 0, y 0, z 0- Pifagor uchligi, keyin uchlik y 0, x 0, z 0 va x 0 k, y 0 k, z 0 k tabiiy parametrning har qanday qiymati uchun k ham Pifagoriydir.

7.2. Shaxsiy formulalar

Har qanday tabiiy qiymatlarda buni tekshiring m> n uchlik yozing

Pifagoriydir. Har bir Pifagor uchligi x, y, z uchlikdagi x va y sonlarini almashtirishga ruxsat bersak, bu shaklda ifodalanishi mumkinmi?

7.3. Qaytarib bo'lmaydigan uchlik

Umumiy bo'luvchisi 1 dan katta bo'lmagan Pifagor uchlik sonlari kamaytirilmas deb ataladi. Pifagor uchligining kamaytirilmasligini isbotlang, agar uchlikdagi istalgan ikkita son ko‘p sonli bo‘lsa.

7.4. Qaytib bo'lmaydigan uchliklarning xossasi

Har qanday kamaytirilmaydigan Pifagor uchligida x, y, z sonida z soni va x yoki y sonlaridan aynan bittasi toq ekanligini isbotlang.

7.5. Barcha qaytarilmas tripletlar

X, y, z sonlarning uchligi birinchi ikki sonning tartibigacha bo‘lgan uchlik bilan to‘g‘ri kelsagina, qaytarilmas Pifagor uchligi ekanligini isbotlang. 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, qayerda m> n- har xil paritetli natural sonlarni ko‘paytirish.

7.6. Umumiy formulalar

Tenglamaning barcha yechimlari ekanligini isbotlang


natural sonlarda x va y noma'lumlar tartibiga qadar formulalar orqali aniqlanadi

bu yerda m> n va k tabiiy parametrlardir (har qanday uchliklarning takrorlanishini istisno qilish uchun ko‘p sonli va bundan tashqari, har xil paritetdagi raqamlarni tanlash kifoya).

7.7. Dastlabki 10 ta uchlik

Barcha Pifagor uchliklarini toping x, y, z, shartni qondirish x

7.8. Pifagor uchliklarining xossalari

Har qanday Pifagor uchligi uchun buni isbotlang x, y, z quyidagi bayonotlar haqiqatdir:

a) x yoki y sonlaridan kamida bittasi 3 ga karrali;

b) x yoki y sonlaridan kamida bittasi 4 ga karrali;

c) x, y yoki z sonlaridan kamida bittasi 5 ga karrali.

7.9. Kompleks sonlardan foydalanish

Kompleks sonning moduli bo'yicha a + ib manfiy bo'lmagan sondir

Har qanday murakkab raqamlar uchun buni tekshiring a + ib va g + i mulk amalga oshiriladi

Kompleks sonlarning xossalari va ularning modullaridan foydalanib, har qanday ikkita m va n butun sonlar tenglikni qondirishini isbotlang.

ya'ni tenglamaning yechimini beradilar


butun sonlar (7.5-masala bilan solishtiring).

7.10. Pifagordan tashqari uchlik

Kompleks sonlar va ularning modullarining xossalaridan (7.9-masalaga qarang) foydalanib, tenglamaning har qanday butun son yechimlari uchun formulalarni toping:

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Yechimlar


7.1. Agar x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, keyin y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, va k ning har qanday tabiiy qiymati uchun bizda mavjud

Q.E.D.

7.2. Tengliklardan

masalada ko'rsatilgan uchlik tenglamani qanoatlantiradi, degan xulosaga kelamiz x 2 + y 2 = z 2 natural sonlarda. Biroq, har bir Pifagor uchligi emas x, y, z ushbu shaklda taqdim etilishi mumkin; masalan, 9, 12, 15 uchliklari Pifagorchadir, lekin 15 raqamini har qanday ikkita m va n natural sonlarining kvadratlari yigʻindisi sifatida ifodalab boʻlmaydi.

7.3. Agar Pifagor uchidan ikkita raqam bo'lsa x, y, z umumiy bo'luvchi d bo'lsa, u ham uchinchi sonning bo'luvchisi bo'ladi (masalan, holatda x = x 1 d, y = y 1 d bizda ... bor z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2, bundan z 2 d 2 ga, z esa d ga bo'linadi). Shuning uchun Pifagor uchligining qaytarilmasligi uchun uchlikdagi istalgan ikkita son koʻp tub boʻlishi kerak,

7.4. E'tibor bering, qaytarilmas Pifagor uchligining x yoki y raqamlaridan biri, aytaylik, x. x, y, z g'alati, chunki aks holda x va y raqamlari o'zaro tub son bo'lmaydi (7.3-masalaga qarang). Agar bu holda boshqa y soni ham toq bo'lsa, ikkala raqam ham

4 ga bo'linganda 1 qoldig'ini va sonni bering z 2 = x 2 + y 2 4 ga bo'linganda 2 ning qoldig'ini beradi, ya'ni 2 ga bo'linadi, lekin 4 ga bo'linmaydi, bu bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, y soni juft, z soni esa toq bo'lishi kerak.

7.5. Pifagor uch baravar ko'paysin x, y, z qaytarilmas va aniqligi uchun x soni juft, y va z sonlari toqdir (7.4-masalaga qarang). Keyin

raqamlar qayerda butundir. Keling, a va b sonlarning ko'p sonli ekanligini isbotlaylik. Haqiqatan ham, agar ularning umumiy bo'luvchisi 1 dan katta bo'lsa, unda raqamlar bir xil bo'luvchiga ega bo'lar edi. z = a + b, y = a - b, ya'ni uchlik qaytarilmas bo'lmaydi (7.3-masalaga qarang). Endi, a va b raqamlarini tub omillar mahsulotiga kengaytirib, biz har qanday tub omil mahsulotga kiritilishi kerakligini ta'kidlaymiz. 4ab = x 2 faqat juft darajagacha va agar u a sonining parchalanishiga kirsa, u b sonining parchalanishiga kirmaydi va aksincha. Shuning uchun, har qanday tub omil a yoki b sonini faqat juft darajaga ajratishga kiradi, ya'ni bu sonlarning o'zi butun sonlarning kvadratlaridir. qo'yamiz keyin biz tenglikni olamiz

bundan tashqari m> n natural parametrlari koʻp tub (a va b sonlarining oʻzaro soddaligi tufayli) va har xil paritetga ega (toq son tufayli) z = m 2 + n 2).

Endi har xil paritetli m> n natural sonlar ko‘p tub bo‘lsin. Keyin uchlik x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, 7.2-masala bayonotiga ko'ra, Pifagoriydir. Keling, uning qaytarilmas ekanligini isbotlaylik. Buning uchun y va z sonlarining umumiy bo‘luvchilari yo‘qligini tekshirish kifoya (7.3-masalaga qarang). Darhaqiqat, bu raqamlarning ikkalasi ham g'alati, chunki turdagi raqamlar har xil paritetga ega. Agar y va z sonlari qandaydir tub umumiy boʻluvchiga ega boʻlsa (demak, u albatta gʻalati), u holda har bir sonning bir xil boʻluvchisi bor va ular bilan birga m va n sonlarining har biri ularning oʻzaro soddaligiga zid keladi.

7.6. 7.1, 7.2-masalalarda ifodalangan bayonotlarga ko'ra, bu formulalar faqat Pifagor uchliklarini aniqlaydi. Boshqa tomondan, har qanday Pifagor uchligi x, y, z u eng katta umumiy bo‘luvchi k tomonidan bekor qilinishi mumkin bo‘lgandan so‘ng, x va y sonlar juftligi qaytarilmas holga keladi (7.3-masalaga qarang) va shuning uchun 7.5-masalada tasvirlangan ko‘rinishda x va y sonlari tartibiga qadar ifodalanishi mumkin. . Shuning uchun har qanday Pifagor uchligi parametrlarning ba'zi qiymatlari uchun ko'rsatilgan formulalar bilan beriladi.

7.7. Tengsizlikdan z va 7.6-masala formulalari, biz taxminni olamiz m 2 ya'ni. m≤5... Taxmin qilib m = 2, n = 1 va k = 1, 2, 3, 4, 5, biz uch barobar olamiz 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Taxmin qilib m = 3, n = 2 va k = 1, 2, biz uch barobar olamiz 5, 12, 13; 10, 24, 26. Taxmin qilib m = 4, n = 1, 3 va k = 1, biz uch barobar olamiz 8, 15, 17; 7, 24, 25. Nihoyat, taxmin qilish m = 5, n = 2 va k = 1, biz uchta olamiz 20, 21, 29.

Keyinchalik, samarali Pifagor uchliklarini yaratishning ma'lum usullarini ko'rib chiqamiz. Pifagor talabalari birinchi bo'lib qismlari Pifagor uchligini ifodalovchi formuladan foydalanib, Pifagor uchliklarini yaratishning oddiy usulini ixtiro qildilar:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Qayerda m- juftlashtirilmagan, m> 2. Haqiqatan ham,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Xuddi shunday formulani qadimgi yunon faylasufi Platon ham taklif qilgan:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Qayerda m- har qanday raqam. Uchun m= 2,3,4,5 quyidagi uchlik hosil bo'ladi:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Ko'rib turganingizdek, bu formulalar barcha mumkin bo'lgan ibtidoiy uchliklarni bera olmaydi.

Ko'phadlar yig'indisiga ajraladigan quyidagi ko'phadni ko'rib chiqing:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Shunday qilib, ibtidoiy uchliklarni olish uchun quyidagi formulalar:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Bu formulalar uchlik hosil qiladi, bunda o'rtacha eng kattasidan bittaga farq qiladi, ya'ni barcha mumkin bo'lgan uchlik ham yaratilmaydi. Bu erda birinchi uchtasi teng: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11.60,61).

Barcha ibtidoiy uchliklarni qanday yaratishni aniqlash uchun ularning xususiyatlarini o'rganish kerak. Birinchidan, agar ( a, b, c) Demak, ibtidoiy uchlik a va b, b va c, a va c- o'zaro sodda bo'lishi kerak. Bo'lsin a va b ga bo'linadi d... Keyin a 2 + b 2 - ga ham bo'linadi d... Mos ravishda, c 2 va c ga bo'linishi kerak d... Ya'ni, bu ibtidoiy uchlik emas.

Ikkinchidan, raqamlar orasida a, b biri juftlashtirilgan, ikkinchisi esa ajratilmagan bo'lishi kerak. Haqiqatan ham, agar a va b- keyin juftlashgan bilan juftlashtiriladi va raqamlar kamida 2 ga bo'linishi mumkin. Agar ikkalasi ham juftlashtirilmagan bo'lsa, ular 2 sifatida ifodalanishi mumkin. k+1 va 2 l+1, qaerda k,l- ba'zi raqamlar. Keyin a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, ya'ni, bilan 2 shuningdek a 2 + b 2, 4 ga bo'linganda qoldiq 2 bo'ladi.

Bo'lsin bilan- har qanday raqam, ya'ni bilan = 4k+i (i= 0, ..., 3). Keyin bilan 2 = (4k+i) 2 ning 0 yoki 1 qoldig‘i bor va 2 ning qoldig‘iga ega bo‘la olmaydi. a va b juftlashtirib bo'lmaydi, ya'ni a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 va qolgan bilan 2 dan 4 gacha 1 bo'lishi kerak, bu shuni anglatadiki bilan ajratilmagan bo'lishi kerak.

Quyidagi raqamlar Pifagor uchligining elementlari uchun bunday talablarni qondiradi:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Qayerda m va n- boshqa juftlik bilan o'zaro oddiy. Birinchi marta bu bog'liqliklar 2300 r yashagan Evklidning asarlaridan ma'lum bo'ldi. orqaga.

Keling, (2) bog'liqliklarning haqiqiyligini isbotlaylik. Bo'lsin a- keyin juftlashgan b va c- juftlashtirilmagan. Keyin c + b i c − b- juftlashgan. Ular sifatida ifodalanishi mumkin c + b = 2u va c − b = 2v, qayerda u,v- ba'zi butun sonlar. Shunung uchun

a 2 = bilan 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv

Va shuning uchun ( a/2) 2 = uv.

Buni qarama-qarshilik bilan isbotlash mumkin u va v- o'zaro oddiy. Bo'lsin u va v-ga bo'linadi d... Keyin ( c + b) va ( c − b) ga bo'linadi d... Va shuning uchun c va b ga bo'linishi kerak d, va bu Pifagor uchligining shartiga zid keladi.

Chunki uv = (a/ 2) 2 va u va v Agar ular o'xshash bo'lsa, buni isbotlash oson u va v ba'zi raqamlarning kvadratlari bo'lishi kerak.

Shunday qilib, musbat butun sonlar mavjud m va n shu kabi u = m 2 va v = n 2. Keyin

a 2 = 4uv = 4m 2 n 2 shunday
a = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Chunki b> 0, keyin m > n.

Buni ko'rsatish qoladi m va n boshqa juftlikka ega. Agar m va n- keyin juftlashgan u va v juft bo'lishi kerak, lekin bu mumkin emas, chunki ular o'zaro oddiy. Agar m va n- juftlashtirilmagan, keyin b = m 2 − n 2 va c = m 2 + n 2 juft bo'lardi, chunki bu mumkin emas c va b- o'zaro oddiy.

Shunday qilib, har qanday ibtidoiy Pifagor uchligi shartlarni qondirishi kerak (2). Bundan tashqari, raqamlar m va n deyiladi raqamlarni hosil qilish ibtidoiy uchlik. Masalan, bizda ibtidoiy Pifagor uchligi bor (120,119,169). Ushbu holatda

a= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 - 25, va c = 144+25=169,

Qayerda m = 12, n= 5 - hosil qiluvchi raqamlar, 12> 5; 12 va 5 o'zaro oddiy va turli juftliklardir.

Buning aksini, raqamlar ekanligini isbotlash mumkin m, n formulalar (2) bo'yicha ibtidoiy Pifagor uchligini (a, b, c) bering. Haqiqatan ham,

a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Ya'ni ( a,b,c) Pifagor uchligi. Keling, bu holatda buni isbotlaylik a,b,c- qarama-qarshilik bo'yicha o'zaro tub sonlar. Bu raqamlar ga bo'linsin p> 1. Buyon m va n keyin boshqa juftlikka ega bo'ling b va c- juftlashtirilmagan, ya'ni p≠ 2. Buyon R ajratadi b va c, keyin R 2 ga bo'lish kerak m 2 va 2 n 2, lekin bu mumkin emas, chunki p≠ 2. Shuning uchun m, n- o'zaro oddiy va a,b,c- ham o'zaro sodda.

1-jadvalda (2) formulalar bo'yicha yaratilgan barcha ibtidoiy Pifagor uchliklari ko'rsatilgan m≤10.

Jadval 1. uchun ibtidoiy Pifagor uchliklari m≤10

m n a b c m n a b c
2 1 4 3 5 8 1 16 63 65
3 2 12 5 13 8 3 48 55 73
4 1 8 15 17 8 5 80 39 89
4 3 24 7 25 8 7 112 15 113
5 2 20 21 29 9 2 36 77 85
5 4 40 9 41 9 4 72 65 97
6 1 12 35 37 9 8 144 17 145
6 5 60 11 61 10 1 20 99 101
7 2 28 45 53 10 3 60 91 109
7 4 56 33 65 10 7 140 51 149
7 6 84 13 85 10 9 180 19 181

Ushbu jadvalning tahlili quyidagi naqshlar seriyasining mavjudligini ko'rsatadi:

  • yoki a, yoki b 3 ga bo'linadigan;
  • raqamlardan biri a,b,c 5 ga bo'linadi;
  • raqam a 4 ga bo'linadi;
  • ish a· b 12 ga karrali hisoblanadi.

1971 yilda amerikalik matematiklar Teygan va Xedvin to'g'ri burchakli uchburchakning unchalik ma'lum bo'lmagan parametrlarini uning balandligi kabi uch baravar hosil qilish uchun taklif qilishdi. h = c- b va ortiqcha (muvaffaqiyat) e = a + b − c... 1-rasm. bu qiymatlar ma'lum bir to'g'ri burchakli uchburchakda ko'rsatilgan.

Shakl 1. To'g'ri burchakli uchburchak va uning o'sishi va ortiqcha

"Oddiy" nomi uchburchakning diagonali bo'ylab ketmasa, uning oyoqlari bo'ylab bir cho'qqidan qarama-qarshi tomonga o'tishi kerak bo'lgan qo'shimcha masofa ekanligidan olingan.

Pifagor uchburchagi tomonlarining ortiqcha va o'sishi orqali uni quyidagicha ifodalash mumkin:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Hamma kombinatsiyalar emas h va e Pifagor uchburchaklariga mos kelishi mumkin. Berilgan uchun h mumkin bo'lgan qiymatlar e Bu ma'lum miqdordagi mahsulotdir d... Bu raqam d o'sish nomiga ega va tegishli h quyida bayon qilinganidek: d Kvadrati 2 ga boʻlinadigan eng kichik musbat son h... Chunki e bir nechta d, keyin shunday yoziladi e = kd, qayerda k Ijobiy bir butun.

Juftlardan foydalanish ( k,h) siz barcha Pifagor uchburchaklarini, shu jumladan ibtidoiy bo'lmagan va umumlashtirilgan uchburchaklarni quyidagicha yaratishingiz mumkin:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Bundan tashqari, agar uchlik ibtidoiy hisoblanadi k va h O'zaro oddiy va agar h =± q 2 da q- juftlashtirilmagan.
Bundan tashqari, agar u aniq Pifagor uchligi bo'ladi k> √2 h/d va h > 0.

Topmoq k va h dan ( a,b,c), quyidagi amallarni bajaring:

  • h = c − b;
  • yozib qo'ying h Qanaqasiga h = pq 2, qayerda p> 0 va kvadrat bo'lmasligi uchun;
  • d = 2pq agar p- juftlashtirilmagan va d = pq agar p juftlangan bo'lsa;
  • k = (a − h)/d.

Masalan, uchlik uchun (8,15,17) bizda bor h= 17−15 = 2 1, shuning uchun p= 2 va q = 1, d= 2, va k= (8 - 2) / 2 = 3. Demak, bu uchlik (() shaklida berilgan. k,h) = (3,2).

Uchlik uchun (459,1260,1341) bizda bor h= 1341 - 1260 = 81, shuning uchun p = 1, q= 9 va d= 18, shuning uchun k= (459 - 81) / 18 = 21, shuning uchun bu uchlikning kodi ( ga teng) k,h) = (21, 81).

Foydalanishda uchliklarni o'rnatish h va k qator qiziqarli xususiyatlarga ega. Parametr k teng

k = 4S/(dP), (5)

Qayerda S = ab/ 2 - uchburchakning maydoni, va P = a + b + c- uning perimetri. Bu tenglikdan kelib chiqadi eP = 4S, bu Pifagor teoremasidan kelib chiqadi.

To'g'ri uchburchak uchun e uchburchak ichiga chizilgan aylana diametriga teng. Bu gipotenuzaning mavjudligidan kelib chiqadi bilan = (a − r)+(b − r) = a + b − 2r, qayerda r Aylana radiusi. Bu yerdan h = c − b = a − 2r va e = a − h = 2r.

Uchun h> 0 va k > 0, k uchliklarning tartib soni a-b-c ortib borishi bilan Pifagor uchburchaklari ketma-ketligida h... 2-jadvaldan, bu erda juftliklar tomonidan yaratilgan uchliklarning bir nechta variantlari keltirilgan h, k, ortishi bilan ko'rish mumkin k uchburchak tomonlarining o'lchamlari ortadi. Shunday qilib, klassik raqamlashdan farqli o'laroq, juftlikdagi raqamlash h, k uch martalik ketma-ketlikda yuqori tartibga ega.

Jadval 2. h, k juftliklari tomonidan yaratilgan Pifagor uchliklari.

h k a b c h k a b c
2 1 4 3 5 3 1 9 12 15
2 2 6 8 10 3 2 15 36 39
2 3 8 15 17 3 3 21 72 75
2 4 10 24 26 3 4 27 120 123
2 5 12 35 37 3 5 33 180 183

Uchun h > 0, d 2√ tengsizlikni qanoatlantiradi h ≤ d ≤ 2h, unda pastki chegaraga erishiladi p= 1, va yuqorisi - uchun q= 1. Shuning uchun qiymat d 2√ ga nisbatan h Raqam qancha ekanligini ko'rsatadigan o'lchovdir h qaysidir sonning kvadratidan uzoqda.

Vitaliy qurt

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Maktab o'quvchilari uchun ilmiy loyihalar tanlovi

“Evrika” mintaqaviy ilmiy-amaliy anjumani doirasida

Kuban talabalari uchun kichik fanlar akademiyasi

Pifagor raqamlarini o'rganish

Matematika bo'limi.

Worm Vitaliy Gennadievich, 9-sinf

MOBU SOSH №14

Korenovskiy tumani

Art. Juravskaya

Nazoratchi:

Manko Galina Vasilevna

Matematika o'qituvchisi

MOBU SOSH №14

Korenovsk 2011 yil

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Pifagor raqamlari

Izoh.

Tadqiqot mavzusi:Pifagor raqamlari

Tadqiqot maqsadlari:

Tadqiqot maqsadlari:

  • Matematik qobiliyatlarni aniqlash va rivojlantirish;
  • Berilgan mavzu bo'yicha matematik tasvirni kengaytirish;
  • Mavzuga barqaror qiziqishni shakllantirish;
  • Mustaqil ishlashning muloqot va umumiy ta'lim ko'nikmalarini, munozarani olib borish qobiliyatini, mulohaza yuritish va boshqalarni rivojlantirish;
  • Analitik va mantiqiy fikrlashni shakllantirish va rivojlantirish;

Tadqiqot usullari:

  • Internet resurslaridan foydalanish;
  • Ma'lumotnoma adabiyotiga murojaat qilish;
  • Eksperiment o'tkazish;

Chiqish:

  • Bu ish geometriya darsida qo‘shimcha material sifatida, matematikadan fakulteativ kurslar yoki fakultativ fanlarni o‘tkazishda, shuningdek, matematikadan sinfdan tashqari ishlarda foydalanish mumkin;

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

  1. Kirish ……………………………………………………………… 3
  2. Asosiy qism

2.1 Tarixiy sahifa ……………………………………………… 4

2.2 Juft va toq oyoqlarning isboti ... ... ... ................................ 5-6

2.3 Topish uchun naqshlarni chiqarish

Pifagor raqamlari ………………………………………………………… 7

2.4 Pifagor sonlarining xossalari ……………………………………………… 8

3. Xulosa …………………………………………………………………… 9

4. Foydalanilgan manbalar va adabiyotlar roʻyxati…………………… 10

Ilovalar ................................................... ................................................................ ...... o'n bir

I-ilova …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………                                                   ''

II-ilova ……………………………………………………………… ..13

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Kirish

Men beshinchi sinfda matematika darsida Pifagor va uning hayoti haqida eshitganman va "Pifagorning shimi barcha yo'nalishlarda tengdir" degan gapga qiziqib qoldim. Pifagor teoremasini o'rganar ekanman, men Pifagor raqamlari bilan qiziqdim.tadqiqot maqsadi: Pifagor teoremasi va "Pifagor raqamlari" haqida ko'proq bilib oling.

Mavzuning dolzarbligi... Pifagor teoremasi va Pifagor uchliklarining ahamiyati dunyoning ko'plab olimlari tomonidan ko'p asrlar davomida isbotlangan. Mening ishimda ko'rib chiqiladigan muammo juda oddiy ko'rinadi, chunki u hammaga ma'lum bo'lgan matematik bayonotga asoslangan - Pifagor teoremasi: har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga qurilgan kvadrat qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng. oyoqlarda. Endi x, y, z natural sonlarining uch barobari, buning uchun x 2 + y 2 = z 2 , qo'ng'iroq qilish odatiy holdirPifagor uchliklari... Ma'lum bo'lishicha, Pifagor uchliklari allaqachon Bobilda ma'lum bo'lgan. Asta-sekin yunon matematiklari ham ularni topdilar.

Ushbu ishning maqsadi

  1. Pifagor raqamlarini o'rganing;
  2. Pifagor raqamlari qanday olinganligini tushunish;
  3. Pifagor raqamlari qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlang;
  4. Eksperimental ravishda Pifagor raqamlari yordamida erga perpendikulyar to'g'ri chiziqlarni qurish;

Ishning maqsadiga muvofiq, quyidagi bir qator vazifalar:

1. Pifagor teoremasi tarixini chuqurroq o‘rganish;

2. Pifagor uchliklarining universal xossalarini tahlil qilish.

3. Pifagor uchliklarini amaliy qo'llash tahlili.

O'rganish ob'ekti: Pifagor uchliklari.

O'rganish mavzusi: matematika .

Tadqiqot usullari: - Internet resurslaridan foydalanish; -ma'lumotnoma adabiyotiga havola; - eksperiment o'tkazish;

Nazariy ahamiyati:Pifagor uchliklarining kashf etilishining fandagi o‘rni; Pifagor kashfiyotining inson hayotida amaliy qo'llanilishi.

Qo'llaniladigan qiymattadqiqot adabiy manbalarni tahlil qilish va faktlarni tizimlashtirishdan iborat.

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Pifagor raqamlari tarixidan.

  • Qadimgi Xitoy:

Chu-pei matematika kitobi:[ 2]

"Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq asosi 3 va balandligi 4 bo'lganda 5 ga teng bo'ladi".

  • Qadimgi Misr: [2]

Kantor (eng yirik nemis matematika tarixchisi) tenglik deb hisoblaydi 3 ² + 4 ² = 5² Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan. e., podshoh davrida Amenemxet (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning so'zlariga ko'ra harpedonaptlar, yoki tomonlari 3 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklar qurilgan "arqonni qistirgichlar"; 4 va 5.

  • Bobiliya: [3]

“Birinchi yunon matematiklarining Fales, Pifagor va Pifagorchilarning xizmatlari matematikaning kashfiyoti emas, balki uni tizimlashtirish va asoslashdir. Ularning qo'lida noaniq tushunchalarga asoslangan hisoblash retseptlari aniq fanga aylandi ".

  • Pifagor teoremasining tarixi:,

Garchi bu teorema Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lsa-da, undan ancha oldin ma'lum bo'lgan.

Bobil matnlarida u Pifagordan 1200 yil oldin topilgan.

Ko'rinib turibdiki, u birinchi bo'lib buning isbotini topdi. Shu munosabat bilan quyidagi yozuv kiritildi: "... to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning oyoqlari bilan mos kelishini aniqlaganida, bug'doy xamiridan qilingan buqani qurbon qildi".

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Pifagor raqamlarini o'rganish.

  • Mashhur Pifagor teoremasiga ko'ra, har bir uchburchakning tomonlari 3: 4: 5 bilan bog'langan - to'rtburchaklar, chunki

3 2 + 4 2 = 5 2.

  • 3,4 va 5 raqamlaridan tashqari, ma'lumki, munosabatlarni qanoatlantiruvchi a, b va c musbat sonlarning cheksiz to'plami mavjud.
  • A 2 + b 2 = c 2.
  • Bu raqamlar deyiladiPifagor raqamlari

Pifagor uchliklari juda uzoq vaqtdan beri ma'lum. Qadimgi Sopotamiya qabr toshlari me'morchiligida tomonlari 9, 12 va 15 tirsak bo'lgan ikkita to'rtburchaklardan tashkil topgan teng yonli uchburchak mavjud. Fir'avn Sneferu (miloddan avvalgi XXI asr) piramidalari tomonlari 20, 21 va 29, shuningdek, 18, 24 va 30 o'nlab Misr tirsakli uchburchaklar yordamida qurilgan.[ 1 ]

Qatlamlari 3, 4 va gipotenuzasi 5 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak Misr uchburchagi deyiladi. Bu uchburchakning maydoni mukammal raqam 6 ga teng. Perimetri 12 ga teng - bu raqam baxt va farovonlik ramzi hisoblangan.

Tugunlar bilan 12 ta teng qismga bo'lingan arqondan foydalanib, qadimgi misrliklar to'g'ri burchakli uchburchak va to'g'ri burchakni qurishgan. Erga perpendikulyar chiziqlarni chizish uchun er tadqiqotchilari tomonidan qo'llaniladigan qulay va juda aniq usul. Bir shnur va uchta qoziqni olish kerak, shnur uchburchakka joylashtiriladi, shunda bir tomoni 3 qismdan, ikkinchisi 4 ta aktsiyadan va oxirgi beshta bunday aktsiyadan iborat bo'ladi. Shnur to'g'ri burchakli uchburchakda joylashgan bo'ladi.

Misr piramidalarini quruvchilar tomonidan ming yillar oldin qo'llanilgan bu qadimiy usul, Pifagor teoremasiga ko'ra, tomonlari 3: 4: 5 bilan bog'liq bo'lgan har bir uchburchak to'rtburchaklar ekanligiga asoslanadi.

Evklid, Pifagor, Diofant va boshqalar Pifagor uchliklarini topish bilan shug'ullangan.[ 1]

Aniqki, agar (x, y, z ) Pifagor uchligi, keyin har qanday tabiiy uchun k uchlik (kx, ky, kz) shuningdek, Pifagor uchligi bo'ladi. Xususan, (6, 8, 10), (9, 12, 15) va boshqalar. Pifagor uchliklaridir.

Raqamlar oshgani sayin, Pifagor uchliklari kamroq va kamroq uchraydi va topish tobora qiyinlashadi. Pifagorchilar topish usulini ixtiro qildilar

bunday uchlik va ulardan foydalanib, cheksiz ko'p Pifagor uchligi borligini isbotladi.

Umumiy boʻluvchilari 1 dan katta boʻlmagan uchliklar eng oddiy deb ataladi.

Keling, Pifagor uchliklarining ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.[ 1]

Pifagor teoremasiga ko'ra, bu raqamlar qandaydir to'g'ri burchakli uchburchakning uzunliklari bo'lib xizmat qilishi mumkin; shuning uchun a va b "oyoqlar" deb ataladi va c - "gipotenuza".
Ko'rinib turibdiki, agar a, b, c Pifagor sonlarining uch karrali bo'lsa, u holda p - butun son omili bo'lgan pa, pb, pc - Pifagor raqamlari.
Muloqot ham to'g'ri!
Shuning uchun biz birinchi navbatda Pifagor raqamlarining faqat uch baravarini tekshiramiz (qolganlari ulardan p butun son omiliga ko'paytirish orqali olinadi).

Keling, ushbu a, b, c uchliklarining har birida "oyoqlardan" biri juft, ikkinchisi toq bo'lishi kerakligini ko'rsatamiz. Biz "qarama-qarshilik bilan" bahslashamiz. Agar ikkala "oyoq" a va b juft bo'lsa, a soni juft bo'ladi 2 + 2 da , va shuning uchun "gipotenuza". Ammo bu a, b va c sonlari umumiy omillarga ega emasligiga zid keladi, chunki uchta juft sonning umumiy omili 2. Shunday qilib, a va b "oyoqlari" ning kamida bittasi toqdir.

Yana bitta imkoniyat bor: ikkala "oyoq" ham toq, "gipotenuza" esa juft. Bu bo'lishi mumkin emasligini isbotlash oson, chunki agar "oyoqlar" 2 x + 1 va 2y + 1 ko'rinishda bo'lsa, ularning kvadratlari yig'indisi

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2) + y) +2, ya'ni. 4 ga bo'linganda 2 ning qoldig'ini beradigan sondir. Shu bilan birga, har qanday juft sonning kvadrati 4 ga qoldiqsiz bo'linishi kerak.

Demak, ikkita toq sonning kvadratlari yigʻindisi juft sonning kvadrati boʻla olmaydi; boshqacha aytganda, bizning uchta raqamimiz Pifagoriy emas.

Chiqish:

Shunday qilib, "oyoq" dan a, biriga juft, ikkinchisi toq. Shuning uchun a soni 2 + 2 da g'alati, ya'ni "gipotenuza" lar ham toq.

Pifagorlar zamonaviy simvolizmda quyidagicha yozilishi mumkin bo'lgan formulalarni topdi: a = 2n + 1, b = 2n (n + 1), c = 2 n 2 + 2n + 1, bu erda n butun son.

Bu raqamlar Pifagor uchliklaridir.

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Pifagor raqamlarini topish uchun naqshlarni chiqarish.

Mana quyidagi Pifagor uchliklari:

  • 3, 4, 5; 9+16=25.
  • 5, 12, 13; 25+144=225.
  • 7, 24, 25; 49+576=625.
  • 8, 15, 17; 64+225=289.
  • 9, 40, 41; 81+1600=1681.
  • 12, 35, 37; 144+1225=1369.
  • 20, 21, 29; 400+441=881

Pifagor uchligining har bir sonini 2, 3, 4, 5 va boshqalarga ko'paytirsak, biz quyidagi uchliklarni olamiz.

  • 6, 8, 10;
  • 9,12,15.
  • 12, 16, 20;
  • 15, 20, 25;
  • 10, 24, 26;
  • 18, 24, 30;
  • 16, 30, 34;
  • 21, 28, 35;
  • 15, 36, 39;
  • 24, 32, 40;
  • 14, 48, 50;
  • 30, 40, 50 va boshqalar.

Ular, shuningdek, Pifagor raqamlari /

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Pifagor raqamlarining xossalari.

  • Pifagor raqamlariga qaraganimda, men bir qator xususiyatlarni ko'rdim:
  • 1) Pifagor raqamlaridan biri uchga karrali bo'lishi kerak;
  • 2) Ularning ikkinchisi to'rtga karrali bo'lishi kerak;
  • 3) Pifagor raqamlarining uchinchisi esa beshga karrali bo'lishi kerak;

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Xulosa.

Geometriya boshqa fanlar kabi amaliyot ehtiyojlaridan kelib chiqqan. "Geometriya" so'zining o'zi yunoncha bo'lib, tarjimasi "o'lchash" degan ma'noni anglatadi.

Odamlar juda erta erni o'lchash zaruriyatiga duch kelishdi. Miloddan avvalgi 3-4 ming yil. Nil, Furot va Dajla vodiylari, Xitoy daryolaridagi unumdor yerlarning har bir qismi odamlar hayoti uchun muhim edi. Buning uchun ma'lum miqdordagi geometrik va arifmetik bilimlar kerak edi.

Asta-sekin odamlar murakkabroq geometrik shakllarning xususiyatlarini o'lchash va o'rganishni boshladilar.

Misrda ham, Bobilda ham ulkan ibodatxonalar qurilgan, ularning qurilishi faqat dastlabki hisob-kitoblar asosida amalga oshirilishi mumkin edi. Suv quvurlari ham qurildi. Bularning barchasi chizmalar va hisob-kitoblarni talab qildi. Bu vaqtga kelib, Pifagor teoremasining maxsus holatlari yaxshi ma'lum edi, ular allaqachon bilar edilar, agar tomonlar x, y, z bo'lgan uchburchaklarni olsak, bu erda x, y, z butun sonlardir. x 2 + y 2 = z 2 , keyin bu uchburchaklar to'rtburchaklar bo'ladi.

Bu bilimlarning barchasi inson hayotining ko'plab sohalarida bevosita qo'llanilgan.

Shunday qilib, hozirgi kunga qadar antik davr olimi va faylasufi Pifagorning buyuk kashfiyoti bizning hayotimizda bevosita qo'llaniladi.

Uylar, yo'llar, kosmik kemalar, avtomobillar, dastgohlar, neft quvurlari, samolyotlar, tunnellar, metrolar va boshqa ko'p narsalarni qurish. Pifagor uchliklari kundalik hayotda bizni o'rab turgan ko'plab narsalarni loyihalashda bevosita qo'llanilishini topadi.

Olimlarning ongi esa Pifagor teoremasi isbotlarining yangi versiyalarini izlashda davom etmoqda.

  • V Ishim natijasida men quyidagilarga erishdim:
  • 1. Pifagor, uning hayoti, Pifagorchilarning birodarligi haqida ko'proq bilib oling.
  • 2. Pifagor teoremasi tarixi bilan tanishing.
  • 3. Pifagor raqamlari, ularning xossalari haqida bilib oling, ularni topishni o'rganing va amalda qo'llang.

Vormyak Vitaliy Gennadievich

Krasnodar o'lkasi, Zhuravskaya qishlog'i, MOBU 14-sonli o'rta maktab, 9-sinf

Pifagor raqamlari

Ilmiy maslahatchi: Manko Galina Vasilevna, MOBU №14 o'rta maktab matematika o'qituvchisi

Adabiyot.

  1. Qiziqarli algebra. MEN VA. Perelman (117-120-betlar)
  2. www.garshin.ru
  3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Matematikaga qarash va undan biror narsa. - M .: MTsNMO, 2003 yil.

5. Bolalar ensiklopediyasi. - M .: RSFSR Pedagogika fanlari akademiyasining nashriyoti, 1959 yil.

6. Stepanova L.L. Elementar sonlar nazariyasining tanlangan boblari. - M .: Prometey, 2001 yil.

7. V. Serpinskiy Pifagor uchburchaklari. - M .: Uchpedgiz, 1959. S. 111

Tadqiqotning borishi Tarixiy sahifa; Pifagor teoremasi; «Oyoq»lardan biri juft, ikkinchisi toq bo‘lishi kerakligini isbotlang; Pifagor raqamlarini topish uchun naqshlarni chiqarish; Pifagor raqamlarining xususiyatlarini oching;

Kirish Men beshinchi sinfda matematika darsida Pifagor va uning hayoti haqida eshitgan edim va "Pifagorning shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir" degan gapga qiziqib qoldim. Pifagor teoremasini o'rganar ekanman, men Pifagor raqamlari bilan qiziqdim. Men tadqiqot maqsadini qo'ydim: Pifagor teoremasi va "Pifagor raqamlari" haqida ko'proq bilish.

Haqiqat abadiy bo'lsin, zaif odam buni qanchalik tez anglaydi! Va endi Pifagor Verne teoremasi, uning uzoq asridagi kabi

Pifagor raqamlari tarixidan. Qadimgi Xitoy Matematik kitobi Chu-pei: "Agar to'g'ri burchak uning tarkibiy qismlariga ajralsa, uning tomonlari uchlarini bog'laydigan chiziq asosi 3 ga, balandligi esa 4 ga teng bo'lganda 5 ga teng bo'ladi".

Qadimgi misrliklar orasida Pifagor raqamlari Kantor (eng yirik nemis matematika tarixchisi) 3 ² + 4 ² = 5² tengligi miloddan avvalgi 2300 yillarda misrliklarga ma'lum bo'lgan deb hisoblaydi. Miloddan avvalgi qirol Amenemhat davrida (Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning fikriga ko'ra, arpedonaptlar yoki "arqon tortuvchilar" tomonlari 3 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklar qurdilar; 4 va 5.

Bobildagi Pifagor teoremasi “Birinchi yunon matematiklari Fales, Pifagor va Pifagorchilarning xizmatlari matematikaning kashfiyoti emas, balki uni tizimlashtirish va asoslash edi. Ularning qo'lida noaniq tushunchalarga asoslangan hisoblash retseptlari aniq fanga aylandi ".

Har bir uchburchakning tomonlari 3: 4: 5, taniqli Pifagor teoremasiga ko'ra, - to'rtburchaklar, chunki 3 2 + 4 2 = 5 2. 3,4 va 5 raqamlariga qo'shimcha ravishda, Ma'lumki, A 2 + v 2 = s 2 munosabatini qanoatlantiruvchi a , v va s musbat sonlarning cheksiz to'plami. Bu raqamlar Pifagor raqamlari deyiladi.

Pifagor teoremasiga ko'ra, bu raqamlar qandaydir to'g'ri burchakli uchburchakning uzunliklari bo'lib xizmat qilishi mumkin; shuning uchun a va b "oyoqlar" deb ataladi va c - "gipotenuza". Ko'rinib turibdiki, agar a, b, c Pifagor sonlarining uch karrali bo'lsa, u holda p - butun son omili bo'lgan pa, pb, pc - Pifagor raqamlari. Muloqot ham to'g'ri! Shuning uchun biz birinchi navbatda Pifagor raqamlarining faqat uch baravarini tekshiramiz (qolganlari ulardan p butun son omiliga ko'paytirish orqali olinadi)

Chiqish! Demak, a va sonlardan biriga juft, ikkinchisi toq, bu uchinchi raqam ham toq ekanligini bildiradi.

Mana, quyidagi Pifagor uchliklari: 3, 4, 5; 9 + 16 = 25. 5, 12, 13; 25 + 144 = 169. 7, 24, 25; 49 + 576 = 625. 8, 15, 17; 64 + 225 = 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 = 841

Pifagor uchligining har bir sonini 2, 3, 4, 5 va boshqalarga ko'paytirsak, biz quyidagi uchliklarni olamiz. 6, 8, 10; 9.12.15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 va boshqalar. Ular, shuningdek, Pifagor raqamlari.

Pifagor raqamlarining xossalari Pifagor raqamlarini ko'rib chiqayotganda, men bir qancha xususiyatlarni ko'rdim: 1) Pifagor sonlaridan biri uchga karrali bo'lishi kerak; 2) ulardan biri to'rtga karrali bo'lishi kerak; 3) Pifagor raqamlarining ikkinchisi esa beshga karrali bo'lishi kerak;

Pifagor raqamlarining amaliy qo'llanilishi

Xulosa: Mening ishim natijasida men 1. Pifagor, uning hayoti, Pifagorchilarning birodarligi haqida ko'proq bilib oling. 2. Pifagor teoremasi tarixi bilan tanishing. 3. Pifagor raqamlari, ularning xossalari haqida bilib oling, ularni topishni o'rganing. Empirik - Pifagor raqamlari yordamida to'g'ri burchakni eksperimental ravishda kechiktirish.

Xususiyatlari

Tenglamadan beri x 2 + y 2 = z 2 bir hil, ko'payganda x , y va z xuddi shu raqam uchun siz boshqa Pifagor uchligini olasiz. Pifagor uchligi deyiladi ibtidoiy, agar uni shu tarzda olish mumkin bo'lmasa, ya'ni - ko'p tub sonlar.

ga misollar

Ba'zi Pifagor uchliklari (maksimal sonning o'sish tartibida tartiblangan, ibtidoiy ta'kidlangan):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Fibonachchi raqamlarining xususiyatlariga asoslanib, siz ulardan, masalan, quyidagi Pifagor uchliklarini yaratishingiz mumkin:

.

Tarix

Pifagor uchliklari juda uzoq vaqtdan beri ma'lum. Qadimgi Mesopotamiya qabr toshlari me'morchiligida tomonlari 9, 12 va 15 tirsak bo'lgan ikkita to'rtburchakdan tashkil topgan teng yonli uchburchak mavjud. Fir'avn Sneferu (miloddan avvalgi XXI asr) piramidalari tomonlari 20, 21 va 29, shuningdek, 18, 24 va 30 o'nlab Misr tirsakli uchburchaklar yordamida qurilgan.

Shuningdek qarang

Havolalar

  • E. A. Gorin Pifagor uchliklarida tub sonlarning kuchlari // Matematik ta'lim... - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Pifagor raqamlari" nima ekanligini ko'ring:

    Tabiiy sonlarning uchliklari shundayki, tomonlari uzunligi shu sonlarga proportsional (yoki teng) bo'lgan uchburchak, masalan, to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. uchta raqam: 3, 4, 5 ... Katta ensiklopedik lug'at

    Tomonlarining uzunligi shu sonlarga proporsional (yoki teng) boʻlgan uchburchak toʻrtburchaklar shaklida boʻladigan natural sonlarning uch karrasi, masalan, sonlar uchligi: 3, 4, 5. * * * PİFAGOR SONLARI PİFAGOR SONLARI. , shunday natural sonlarning uch baravari, ...... ensiklopedik lug'at

    Tabiiy sonlarning uchliklari shundayki, tomonlari uzunliklari shu sonlarga proportsional (yoki teng) bo'lgan uchburchak to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. Pifagor teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremaga ko'ra (Pifagor teoremasiga qarang), buning uchun ular ... ...

    x2 + y 2 = z2 tenglamasini qanoatlantiradigan x, y, z musbat sonlarning uchliklari. Bu tenglamaning barcha yechimlari, demak, barcha P. raqamlari x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 formulalari bilan ifodalanadi, bunda a, b ixtiyoriy musbat sonlar (a> b). P. h ... Matematika ensiklopediyasi

    Tabiiy sonlarning uchliklari shundayki, tomonlari uzunligi shu sonlarga proportsional (yoki teng) bo'lgan uchburchak, masalan, to'rtburchaklar shaklida bo'ladi. uchta raqam: 3, 4, 5 ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

    Matematikada Pifagor raqamlari (Pifagor uchliklari) Pifagor munosabatlarini qanoatlantiruvchi uchta butun sondan iborat kortejdir: x2 + y2 = z2. Mundarija 1 Xususiyatlar 2 Misollar ... Vikipediya

    Raqamli raqamlar - ma'lum bir geometrik figura bilan bog'langan raqamlarning umumiy nomi. Bu tarixiy tushuncha Pifagorchilar davridan boshlangan. Ehtimol, jingalak raqamlardan ibora paydo bo'ldi: "Raqamni kvadratga yoki kubga aylantirish". Mundarija ...... Vikipediya

    Raqamli raqamlar - ma'lum bir geometrik figura bilan bog'langan raqamlarning umumiy nomi. Bu tarixiy tushuncha Pifagorchilar davridan boshlangan. Jingalak raqamlarning quyidagi turlari mavjud: Chiziqli raqamlar omillarga ajralmaydigan raqamlar, ya'ni ularning ... ... Vikipediya

    - "Pi paradoksi" - 80-yillarga qadar (aslida, mikrokalkulyatorlarning ommaviy taqsimlanishidan oldin) talabalar orasida aylanib yurgan va trigonometrik funktsiyalarni hisoblashning cheklangan aniqligi bilan bog'liq bo'lgan matematika mavzusidagi hazil va ... . .. Vikipediya

    - (yunoncha arifmetika, arifmys sonidan) sonlar haqidagi fan, eng avvalo natural (musbat butun) sonlar va (ratsional) kasrlar hamda ular ustida amallar. Natural sonning etarlicha rivojlangan kontseptsiyasiga va qobiliyatiga ega bo'lish ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Kitoblar

  • Arximed yozi yoki Yosh matematiklar hamdo'stligi tarixi. Ikkilik sanoq sistemasi, Bobrov Sergey Pavlovich. Ikkilik sanoq tizimi, "Xanoy minorasi", ritsar harakati, sehrli kvadratlar, arifmetik uchburchak, jingalak raqamlar, kombinatsiyalar, ehtimollar tushunchasi, Mobius chizig'i va Klein shishasi. ...

Beskrovniy I.M. 1

1 "Angstrem-M" OAJ

Ishning maqsadi a2 + b2 = c2 ko'rinishidagi Pifagor uchliklarini hisoblash usullari va algoritmlarini ishlab chiqishdir. Tahlil jarayoni tizimli yondashuv tamoyillariga muvofiq amalga oshirildi. Matematik modellar bilan bir qatorda, Pifagor uchligining har bir a'zosini har biri birlik kvadratlar to'plamidan iborat bo'lgan murakkab kvadratlar shaklida aks ettiruvchi grafik modellar qo'llaniladi. Pifagor uchliklarining cheksiz to'plami cheksiz sonli kichik to'plamlarni o'z ichiga olganligi aniqlandi, ular b - c qiymatlari orasidagi farqga ko'ra ajralib turadi. Bu farqning har qanday oldindan belgilangan qiymati bilan Pifagor uchliklarini shakllantirish algoritmi taklif etiladi. Har qanday 3≤a qiymati uchun Pifagor uchliklari mavjudligi ko'rsatilgan

Pifagor uchliklari

tizim tahlili

matematik model

grafik modeli

1. Anosov D.N. Matematikaga qarash va undan biror narsa. - M .: MTsNMO, 2003 .-- 24 p .: kasal.

2. Ayerland K., Rosen M. Zamonaviy sonlar nazariyasiga klassik kirish. - M .: Mir, 1987 yil.

3. Beskrovniy I.M. Tashkilotlarda tizimli tahlil va axborot texnologiyalari: Darslik. - M .: RUDN, 2012 .-- 392 b.

4. Saymon Singx. Fermaning oxirgi teoremasi.

5. Fermat P. Sonlar nazariyasi va diofant analizi bo'yicha tadqiqotlar. - M .: Nauka, 1992 yil.

6. Yaptro. Ucoz, mavjud: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pifagor uchliklari - bu x2 + y2 = z2 Pifagor munosabatlarini qanoatlantiruvchi uchta butun sondan iborat kogorta. Umuman olganda, bu diofant tenglamalarining alohida holati, ya'ni noma'lumlar soni tenglamalar sonidan ko'p bo'lgan tenglamalar tizimlari. Ular uzoq vaqtdan beri, Bobil davridan, ya'ni Pifagordan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Va ular bu nomni Pifagor o'zining mashhur teoremasini ular asosida isbotlaganidan keyin oldilar. Biroq, Pifagor uchliklari masalasi u yoki bu darajada ko'rib chiqiladigan ko'plab manbalarning tahlilidan kelib chiqqan holda, ushbu uchliklarning mavjud sinflari va ularni shakllantirishning mumkin bo'lgan yo'llari masalasi hali to'liq ochib berilmagan.

Shunday qilib, Simon Singx kitobida shunday deyilgan: - "Pifagorning shogirdlari va izdoshlari ... dunyoga Pifagor uch k deb ataladigan narsani topish sirini aytib berishdi". Biroq, bundan keyin biz o'qiymiz: - "Pifagorchilar boshqa Pifagor uchliklarini, uchinchi katta kvadratni yig'ish mumkin bo'lgan boshqa kvadratlarni topishni orzu qilishdi. ... Raqamlar ortib borayotgani sayin, Pifagor uchliklari kamroq va kamroq uchraydi va ularni topish tobora qiyinlashmoqda. Pifagorchilar bunday uchliklarni topish usulini ixtiro qildilar va undan foydalanib, cheksiz ko'p Pifagor uchliklari mavjudligini isbotladilar.

Yuqoridagi iqtibosda chalkashliklarni keltirib chiqaradigan so'zlar ta'kidlangan. Nima uchun "pifagorchilar ... topishni orzu qilishdi", agar ular "bunday uchliklarni topish usulini ixtiro qilgan bo'lsalar ..." va nima uchun ko'p sonlilar uchun "ularni topish tobora qiyinlashmoqda ...".

Mashhur matematik D.V ishida. Anosov, kerakli javob berilganga o'xshaydi. - “X, y, z tabiiy (ya’ni musbat butun sonlar) uchliklari borki, ular

x2 + y2 = z2. (1)

... x2 + y2 = z2 tenglamaning barcha yechimlarini natural sonlarda topish mumkinmi? …Ha. Javob shunday: har bir bunday yechim shaklda ifodalanishi mumkin

x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),

Bu erda l, m, n natural sonlar, m> n yoki shunga o'xshash shaklda, ularda x va y almashinadi. Qisqacha aytganda, (2) dan x, y, z barcha mumkin bo'lgan natural sonlar l va m> n bilan (1) ning x va y o'rnini almashtirishgacha bo'lgan barcha mumkin bo'lgan yechimlari ekanligini aytish mumkin. Masalan, uchlik (3, 4, 5) l = 1, m = 2, n = 1 bo'lganda olinadi. ... Ko'rinishidan, bobilliklar bu javobni bilishgan, ammo ular bunga qanday kelganlari noma'lum ".

Odatda matematiklar o'zlarining formulalarida o'zlarining talabchanligi bilan mashhur. Ammo, bu iqtibosda bunday qat'iylik kuzatilmaydi. Xo'sh, aniq nima: topish yoki tasavvur qilish? Shubhasiz, bu butunlay boshqa narsalar. Quyida "yangi pishirilgan" uchlik qatori (quyida tavsiflangan usul bilan olingan):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Shubha yo'qki, bu uchliklarning har biri (2) munosabat ko'rinishida ifodalanishi mumkin va shundan keyin l, m, n qiymatlarini hisoblash mumkin. Ammo, bu uchlikning barcha qiymatlari topilgandan keyin. Ammo undan oldin nima bo'ladi?

Bu savollarga javoblar allaqachon ma'lum bo'lganini inkor etib bo'lmaydi. Lekin negadir ular hali topilmadi. Shunday qilib, ushbu ishning maqsadi - Pifagor uchliklarining ma'lum namunalari to'plamini tizimli tahlil qilish, uchliklarning turli guruhlarida tizim hosil qiluvchi munosabatlarni izlash va ushbu guruhlarga xos bo'lgan tizimli xususiyatlarni aniqlash, keyin esa - rivojlanish. oldindan belgilangan konfiguratsiya bilan uchliklarni hisoblash uchun oddiy samarali algoritmlar. Konfiguratsiya deganda biz uchlikni tashkil etuvchi miqdorlar orasidagi munosabatni tushunamiz.

Asboblar to'plami sifatida matematika apparati o'rta maktabda o'qitiladigan matematika doirasidan tashqariga chiqmaydigan darajada qo'llaniladi va unda tasvirlangan usullarga asoslangan tizimli tahlil qilinadi.

Modelni qurish

Tizim tahlili nuqtai nazaridan, har qanday Pifagor uchligi uchta raqam va ularning xususiyatlaridan iborat ob'ektlar tomonidan tuzilgan tizimdir. Ularning yig'indisi, unda ob'ektlar ma'lum munosabatlarga joylashtiriladi va alohida ob'ektlarga yoki ularning boshqa to'plamiga xos bo'lmagan yangi xususiyatlarga ega tizimni tashkil qiladi, bu erda ob'ektlar boshqa munosabatlarda joylashtiriladi.

(1) tenglamada sistemaning ob'ektlari oddiy algebraik munosabatlar bilan bog'langan natural sonlardir: teng belgining chap tomonida 2 ning darajasiga ko'tarilgan ikkita sonning yig'indisi, o'ngda uchinchi son, shuningdek ko'tarilgan. kuchga 2. Alohida raqamlar, tenglikning chap tomonida, 2 darajasiga ko'tariladi, ularning yig'indisi ishlashiga hech qanday cheklovlar qo'ymaydi - natijada yig'indi har qanday bo'lishi mumkin. Biroq, yig'indisi operatsiyasidan keyin qo'yilgan teng belgisi bu yig'indining qiymatiga tizim cheklovini qo'yadi: yig'indi shunday raqam bo'lishi kerakki, kvadrat ildiz chiqarish operatsiyasining natijasi natural son bo'ladi. Va bu shart tenglikning chap tomoniga almashtirilgan har qanday raqamlar uchun bajarilmaydi. Shunday qilib, tenglamaning ikkita hadi va uchinchisi orasiga qo'yilgan tenglik belgisi uchta hadni tizimga aylantiradi. Ushbu tizimning yangi xususiyati - bu boshlang'ich raqamlarning qiymatlariga cheklovlarni joriy etish.

Belgilanish shakliga asoslanib, Pifagor uchligi 2-rasmda ko'rsatilganidek, yig'indi va tenglik munosabatlari bilan bog'langan uchta kvadratdan iborat geometrik tizimning matematik modeli sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. 1. rasm. 1 ko'rib chiqilayotgan tizimning grafik modeli va uning og'zaki modeli - bu bayonot:

Yon uzunligi c bo'lgan kvadratning maydonini qoldiqsiz yon uzunligi a va b bo'lgan ikkita kvadratga bo'lish mumkin, shunda ularning maydonlarining yig'indisi dastlabki kvadratning maydoniga teng bo'ladi, ya'ni barcha a, b va c uchta miqdor nisbat bilan bog'langan

Kvadrat parchalanishining grafik modeli

Tizim tahlilining kanonlari doirasida ma'lumki, agar matematik model ma'lum bir geometrik tizimning xususiyatlarini etarli darajada aks ettirsa, u holda ushbu tizimning xususiyatlarini tahlil qilish uning matematik modelining xususiyatlarini aniqlashtirishga imkon beradi, ularni chuqurroq bilish, oydinlashtirish, kerak bo‘lsa, takomillashtirish. Biz bu yo'lga qat'iy rioya qilamiz.

Aniqlik kiritamizki, tizimli tahlil tamoyillariga ko‘ra qo‘shish va ayirish amallarini faqat qo‘shma ob’ektlar, ya’ni elementar ob’ektlar to‘plamidan tashkil topgan obyektlar ustida bajarish mumkin. Shuning uchun biz har qanday kvadratni elementar yoki birlik kvadratlar yig'indisidan tashkil topgan figura sifatida qabul qilamiz. U holda natural sonlardagi yechimni olish sharti birlik kvadratning boʻlinmasligi shartini qabul qilishga teng boʻladi.

Birlik kvadrat - bu har bir tomonining uzunligi birga teng bo'lgan kvadrat. Ya'ni, birlik kvadratining maydoni quyidagi ifoda bilan aniqlanganda.

Kvadratning miqdoriy parametri uning maydoni bo'lib, ma'lum bir maydonga joylashtirilishi mumkin bo'lgan birlik kvadratlar soni bilan belgilanadi. Ixtiyoriy x qiymatiga ega bo'lgan kvadrat uchun x2 ifodasi x uzunlikdagi birlik segmentlari tomonidan hosil qilingan kvadrat maydonini belgilaydi. Ushbu kvadratning maydoniga X2 birlik kvadratlarni qo'yish mumkin.

Yuqoridagi ta'riflarni ahamiyatsiz va ravshan deb hisoblash mumkin, ammo ular emas. D.N. Anosov maydon tushunchasiga boshqacha ta'rif beradi: - "... figuraning maydoni uning qismlari maydonlarining yig'indisiga teng. Nega biz bu shunday ekanligiga aminmiz? ... Biz qandaydir bir hil materialdan yasalgan figurani tasavvur qilamiz, keyin uning maydoni tarkibidagi moddaning miqdori - uning massasi bilan mutanosib bo'ladi. Yana shuni nazarda tutadiki, jismni bir necha qismlarga bo'lganimizda, ularning massalari yig'indisi dastlabki tananing massasiga teng bo'ladi. Bu tushunarli, chunki hamma narsa atomlar va molekulalardan iborat va ularning soni o'zgarmaganligi sababli, ularning umumiy massasi ham o'zgarmagan ... Haqiqatan ham, bir hil materialning massasi uning hajmiga mutanosibdir; shuning uchun siz ma'lum bir raqam shakliga ega bo'lgan "varaq" hajmi uning maydoniga mutanosib ekanligini bilishingiz kerak. Bir so'z bilan aytganda, ... figuraning maydoni uning qismlari maydonlarining yig'indisiga teng ekanligini, geometriyada buni isbotlash kerak. ...Kiselev darsligida biz hozir muhokama qilayotgan o‘ziga xos xususiyatga ega bo‘lgan hududning mavjudligi to‘g‘ridan-to‘g‘ri farazning bir turi sifatida ilgari surilgan va bu haqiqatda haqiqat ekanligi aytilgan, lekin biz buni isbotlamaymiz. Shunday qilib, Pifagor teoremasi, agar u sohalar bilan isbotlangan bo'lsa, sof mantiqiy ma'noda to'liq isbotlanmagan bo'lib qoladi.

Bizningcha, yuqorida keltirilgan birlik kvadratining ta'riflari D.N. Anosov noaniqlik. Darhaqiqat, agar kvadrat va to'rtburchaklar maydonining o'lchami ularni to'ldiradigan kvadratlarning yig'indisi bilan aniqlansa, to'rtburchaklar bir-biriga ulashgan ixtiyoriy qismlarga bo'linganda, to'rtburchakning maydoni tabiiy ravishda uning barcha qismlari yig'indisiga teng.

Bundan tashqari, kiritilgan ta'riflar mavhum geometrik raqamlarga nisbatan "bo'lish" va "qo'shish" tushunchalarini qo'llashning noaniqligini olib tashlaydi. Haqiqatan ham, to'rtburchak yoki boshqa tekis shaklni qismlarga bo'lish nimani anglatadi? Agar u qog'oz bo'lsa, uni qaychi bilan kesishingiz mumkin. Agar er uchastkasi bo'lsa - panjara qo'ying. Xona - bo'lim qo'ying. Agar chizilgan kvadrat bo'lsa-chi? Ajratish chizig'ini chizing va kvadrat bo'linganligini e'lon qiling? Ammo, oxir-oqibat, D.I. Mendeleev: "... Siz hamma narsani e'lon qilishingiz mumkin, lekin siz - borib ko'rsating!"

Va taklif qilingan ta'riflardan foydalanganda, "Raqamni bo'lish" bu raqamni to'ldiradigan birlik kvadratlar sonini ikki (yoki undan ko'p) qismga bo'lishni anglatadi. Ushbu qismlarning har biridagi birlik kvadratlar soni uning maydonini aniqlaydi. Ushbu qismlarga har qanday konfiguratsiyani berishingiz mumkin, ammo ularning maydonlarining yig'indisi har doim asl rasmning maydoniga teng bo'ladi. Ehtimol, matematiklar bu dalillarni noto'g'ri deb hisoblashadi, keyin biz ularni taxmin sifatida qabul qilamiz. Agar Kiselevning darsligida bunday taxminlar maqbul bo'lsa, unda bunday texnikani qo'llamaslik biz uchun gunoh bo'ladi.

Tizim tahlilining birinchi bosqichi muammoli vaziyatni aniqlashdan iborat. Ushbu bosqichning boshida turli manbalarda topilgan bir necha yuz Pifagor uchliklari tekshirildi. Shu bilan birga, nashrlarda eslatib o'tilgan Pifagor uchliklarining barcha to'plamini konfiguratsiyasi bo'yicha bir-biridan farq qiladigan bir nechta guruhlarga bo'lish mumkinligiga e'tibor qaratildi. Asl va ayirib tashlangan kvadratlarning tomonlari uzunligidagi farq, ya'ni c-b qiymati muayyan konfiguratsiyaning belgisi hisoblanadi. Misol uchun, nashrlarda ko'pincha misol sifatida c-b = 1 shartini qondiradigan uchlik ko'rsatiladi. Faraz qilaylik, bunday Pifagor uchliklarining butun to'plami to'plamni tashkil qiladi, biz uni "C-1 sinfi" deb nomlaymiz va bu sinfning xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Rasmda ko'rsatilgan uchta kvadratni ko'rib chiqing, bu erda c - qisqartirilgan kvadratning yon uzunligi, b - ayirilishi kerak bo'lgan kvadratning yon uzunligi va a - ularning farqidan hosil bo'lgan kvadratning yon uzunligi. Shaklda. 1-sonli kvadratning maydonini qisqartirilgan kvadratning maydonidan ayirishda, qolgan qismida birlik kvadratlarning ikkita chizig'i qoladi:

Bu qoldiq kvadrat hosil qila olishi uchun shart

Ushbu nisbatlar bitta berilgan c soni uchun tripletning barcha a'zolarining qiymatlarini aniqlashga imkon beradi. Eng kichik c soni qanoatlantiruvchi munosabat (6) soni c = 5. Shunday qilib, (1) munosabatni qanoatlantiruvchi kvadratlarning har uch tomonining uzunligi aniqlandi. Eslatib o'tamiz, o'rtacha kvadrat tomonining b qiymati

asl kvadratning yon tomonini bittaga kamaytirib, o'rta kvadrat hosil qilishga qaror qilganimizda tanlangan. Keyin munosabatlardan (5), (6). (7) biz quyidagi munosabatni olamiz:

shundan kelib chiqadiki, tanlangan c = 5 qiymati b = 4, a = 3 qiymatlarini yagona tarzda o'rnatadi.

Natijada, "c - 1" sinfining har qanday Pifagor uchligini shunday ko'rinishda ko'rsatishga imkon beradigan munosabatlar olindi, bu erda barcha uchta atamaning qiymatlari bitta belgilangan parametr - c qiymati bilan belgilanadi:

Yuqoridagi misoldagi 5 raqami c ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining minimali sifatida paydo bo'lganligini qo'shamiz, buning uchun tenglama (6) natural sonlarda yechimga ega. Keyingi bir xil xususiyatga ega bo'lgan raqam 13, keyin 25, keyin 41, 61, 85 va hokazo. Ko'rib turganingizdek, bu raqamlar qatorida qo'shni raqamlar orasidagi intervallar intensiv ravishda oshadi. Demak, masalan, ruxsat etilgan qiymatdan keyin, keyingi joiz qiymatdan keyin, keyingi joiz qiymatdan keyin, ya'ni joiz qiymat avvalgisidan ellik milliondan ortiqroqdir!

Endi bu ibora kitobda qayerdan kelgani aniq bo'ldi: - "Raqamlar ko'paygan sayin, Pifagor uchliklari kamroq va kamroq tarqalgan va ularni topish tobora qiyinlashib bormoqda ...". Biroq, bu bayonot haqiqat emas. Yuqoridagi c ning qo'shni qiymatlari juftligiga mos keladigan Pifagor uchliklariga qarash kerak, chunki bitta xususiyat darhol e'tiborni tortadi - har ikkala juftlikda ham, ularda c qiymatlari bir-biridan shunday katta oraliqlar bilan ajralib turadi, burilish qiymatlari qo'shni toq sonlar bo'lib chiqadi. Haqiqatan ham, bizda birinchi juftlik bor

va ikkinchi juftlik uchun

Shunday qilib, "kamroq va kamroq tarqalgan" uchliklarning o'zlari emas, balki c ning qo'shni qiymatlari orasidagi intervallar ortib bormoqda. Pifagorning o'z-o'zidan uch marta ko'tarilishi, quyida ko'rsatilgandek, har qanday natural son uchun mavjud.

Endi keling, keyingi sinfning uchliklarini ko'rib chiqaylik - "Class c-2". Shakldan ko'rinib turibdiki. 1, tomoni c bo'lgan kvadratdan tomoni (c - 2) bo'lgan kvadratni ayirishda ikkita birlik chiziq yig'indisi shaklida qoldiq hosil bo'ladi. Ushbu summaning qiymati tenglama bilan aniqlanadi:

(10) tenglamadan biz "c-2" sinfining cheksiz uchlik to'plamidan istalganini aniqlovchi munosabatlarni olamiz:

Natural sonlarda (11) tenglama yechimining mavjudligi sharti c ning a natural son bo lgan har qanday shunday qiymati hisoblanadi. Yechim mavjud bo'lgan minimal c qiymati c = 5. Keyin ushbu uchlik sinfi uchun "boshlovchi" uchlik a = 4, b = 3, c = 5 to'plam bilan aniqlanadi. Ya'ni, yana klassik triplet. 3, 4, 5 hosil bo'ldi, faqat endi ayirilishi kerak bo'lgan kvadratning maydoni qolgan qismidan kamroq.

Va nihoyat, keling, C-8 sinf uchliklarini tahlil qilaylik. Ushbu uchlik sinfi uchun kvadratning maydonini asl kvadratning c2 maydonidan ayirib, biz quyidagilarni olamiz:

U holda (12) tenglamadan kelib chiqadi:

Yechim mavjud bo'lgan c ning minimal qiymati c = 13. Bu qiymatga ega Pifagor uchligi 12, 5, 13 ko'rinishini oladi. Bu holda, yana ayirish kerak bo'lgan kvadratning maydoni qolgan qismining maydoni. Belgilarni joylarda qayta tartibga solib, biz konfiguratsiyasi bo'yicha "c - 1" sinfiga tegishli bo'lgan 5, 12, 13 uchliklarini olamiz. Ko'rinishidan, boshqa mumkin bo'lgan konfiguratsiyalarni keyingi tahlil qilish tubdan yangi narsani aniqlamaydi.

Dizayn nisbatlarini chiqarish

Oldingi bo'limda tahlil mantig'i tizimli tahlil talablariga muvofiq uning beshta asosiy bosqichidan to'rttasida ishlab chiqilgan: muammoli vaziyatni tahlil qilish, maqsadlarni shakllantirish, funktsiyalarni shakllantirish va tuzilmani shakllantirish. Endi yakuniy, beshinchi bosqichga o'tish vaqti keldi - amalga oshirishning maqsadga muvofiqligini tekshirish, ya'ni belgilangan maqsadlarga qay darajada erishilganligini tekshirish. ...

1-jadval quyida keltirilgan. 1, bu "c - 1" sinfiga tegishli Pifagor uchliklarining qiymatlarini ko'rsatadi. Uchliklarning aksariyati turli nashrlarda uchraydi, ammo ma'lum nashrlarda 999, 1001 ga teng bo'lgan uchliklarga uchramagan.

1-jadval

"S-1" sinfidagi Pifagor uchliklari

Tasdiqlanishi mumkinki, barcha uchliklar (3) munosabatni qanoatlantiradi. Shunday qilib, belgilangan maqsadlardan biriga erishildi. Oldingi bo'limda olingan (9), (11), (13) munosabatlari yagona c parametrini - qisqartirilgan kvadrat tomonini ko'rsatib, cheksiz uchlik to'plamini yaratishga imkon beradi. Bu, albatta, (2) munosabatdan ko'ra konstruktiv variant bo'lib, undan foydalanish uchun har qanday qiymatga ega bo'lgan uchta l, m, n raqamlarini o'rnatish kerak, so'ngra yechim izlash kerak, faqat oxir-oqibat, Pifagor uchligi albatta olinadi va bu oldindan noma'lum. Bizning holatda, shakllangan uchlikning konfiguratsiyasi oldindan ma'lum va faqat bitta parametrni o'rnatish kerak. Ammo, afsuski, ushbu parametrning har bir qiymati yechimga ega emas. Va uning ruxsat etilgan qiymatlarini oldindan bilishingiz kerak. Shunday qilib, natija yaxshi, lekin idealdan uzoqdir. Pifagor uchliklarini har qanday o'zboshimchalik bilan berilgan natural son uchun hisoblash mumkin bo'lishi uchun bunday yechimni olish maqsadga muvofiqdir. Shu maqsadda to'rtinchi bosqichga - olingan matematik munosabatlarning strukturasini shakllantirishga qaytaylik.

Uchlikning qolgan a'zolarini aniqlash uchun asosiy parametr sifatida c ni tanlash noqulay bo'lganligi sababli, boshqa variantni sinab ko'rish kerak. Jadvaldan ko'rib turganingizdek. 1, asosiy parametr sifatida a parametrini tanlash afzalroq ko'rinadi, chunki bu parametrning qiymatlari toq natural sonlar qatorida joylashgan. Oddiy o'zgarishlardan so'ng biz munosabatlarni (9) yanada konstruktiv shaklga keltiramiz:

Aloqalar (14) a ning har qanday oldindan belgilangan toq qiymati uchun Pifagor uchligini topishga imkon beradi. Biroq, b uchun ifodaning soddaligi hisob-kitoblarni kalkulyatorsiz ham bajarishga imkon beradi. Darhaqiqat, masalan, 13 raqamini tanlab, biz quyidagilarni olamiz:

Va 99 raqami uchun biz mos ravishda olamiz:

Aloqalar (15) n = 1 dan boshlab har qanday berilgan n uchun Pifagor satrining barcha uchta a'zosining qiymatlarini olish imkonini beradi.

Keling, "c - 2" sinfining Pifagor uchliklarini ko'rib chiqaylik. Jadval 2-rasmda misol tariqasida o'nta shunday uchlik ko'rsatilgan. Bundan tashqari, taniqli nashrlarda faqat uchta juft uchlik topilgan - 8, 15, 23; 12, 35, 36; va 16, 63, 65. Bu ularning shakllangan naqshlarini aniqlash uchun etarli bo'lib chiqdi. Qolgan yettita avval olingan munosabatlardan topilgan (11). Hisoblashda qulaylik yaratish uchun bu nisbatlar barcha parametrlar a bilan ifodalanadigan tarzda o'zgartirildi. (11) dan aniq ko'rinib turibdiki, "c - 2" sinfi uchun barcha uchliklar quyidagi munosabatlarni qondiradi:

jadval 2

"C-2" sinfidagi Pifagor uchliklari

Jadvaldan ko'rib turganingizdek. 2, "c - 2" sinfining butun cheksiz uchlik to'plamini ikkita kichik sinfga bo'lish mumkin. A qiymati 4 ga qoldiqsiz bo'linadigan uchlik uchun b va c qiymatlari toq bo'ladi. GCD = 1 bo'lgan bunday uchliklar ibtidoiy deb ataladi. Butun sonlarda a 4 ga boʻlinmaydigan uchlik uchun a, b, c uchlik aʼzolarining hammasi juft boʻladi.

Endi ajratilgan sinflarning uchinchisi - "c - 8" sinfini tahlil qilish natijalarini ko'rib chiqishga o'tamiz. (13) dan olingan ushbu sinf uchun hisoblangan nisbatlar quyidagi shaklga ega:

Munosabatlar (20), (21) mohiyatan bir xil. Faqatgina farq harakatlar ketma-ketligini tanlashda. Yoki (20) ga muvofiq a ning kerakli qiymati tanlanadi (bu holda bu qiymat 4 ga bo'linishi talab qilinadi), keyin b va c qiymatlari aniqlanadi. Yoki ixtiyoriy raqam tanlanadi, so'ngra munosabatlardan (21) Pifagor uchligining barcha uchta a'zosi aniqlanadi. Jadval 3-rasmda shu tarzda hisoblangan bir qancha Pifagor uchliklari ko'rsatilgan. Biroq, Pifagor uchliklarining qiymatlarini hisoblash yanada osonroq bo'lishi mumkin. Agar kamida bitta qiymat ma'lum bo'lsa, unda barcha keyingi qiymatlar juda oddiy quyidagi munosabatlar bilan aniqlanadi:

3-jadval

(22) munosabatning hamma uchun to'g'riligini Jadvaldagi uchlik bilan tekshirish mumkin. 2 va boshqa manbalar. Misol tariqasida, jadvalda. 4, Pifagor uchliklarining keng jadvalidan kursivlangan uchlik (10 000 uchlik), kompyuter dasturi asosida (2) munosabat bo'yicha hisoblangan va qalin harflar (20) bo'yicha hisoblangan. Ushbu qiymatlar belgilangan jadvalda yo'q edi.

4-jadval

"C-8" sinfidagi Pifagor uchliklari

Shunga ko'ra, shaklning uchligi uchun quyidagi nisbatlardan foydalanish mumkin:

Va shunga o'xshash uch egizaklar uchun<>, bizda nisbat mavjud:

Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi "c - 1", "c - 2", "c - 8" uchlik sinflari keltirilgan jadvaldan birinchi mingta uchlikning 90% dan ortig'ini tashkil qiladi. Bu ushbu sinflarni asosiy deb qabul qilish uchun asos beradi. Qo'shimcha qilamizki, (22), (23), (24) munosabatlarini chiqarishda sonlar nazariyasida o'rganilgan sonlarning hech qanday maxsus xususiyatlaridan (tutqich, ikkilamchi va boshqalar) foydalanilmagan. Pifagor uchliklarining paydo bo'lishining aniqlangan naqshlari faqat ushbu uchliklar tomonidan tasvirlangan geometrik figuralarning tizimli xususiyatlari - birlik kvadratlar to'plamidan iborat kvadratlar bilan bog'liq.

Xulosa

Endi, 1993 yilda Endryu Uayls aytganidek, "Men u erda to'xtashim kerak deb o'ylayman." Belgilangan maqsad to'liq amalga oshirildi. Tuzilishi geometrik figuralar bilan bog'liq bo'lgan matematik modellarning xossalarini tahlil qilish, agar tahlil jarayonida sof matematik hisob-kitoblar bilan bir qatorda o'rganilayotgan modellarning geometrik xossalari ham olinsa, ancha soddalashtirilganligi ko'rsatilgan. hisobga. Soddalashtirishga, xususan, tadqiqotchi matematik o'zgarishlarni amalga oshirmasdan turib kerakli natijalarni "ko'rishi" tufayli erishiladi.

Masalan, tenglik

chap tomonda o'zgarishlarsiz aniq bo'ladi, faqat rasmga qarash kerak. 1, bu tenglikning grafik modelini ko'rsatadi.

Natijada, o'tkazilgan tahlillar asosida tomonlari bo'lgan har qanday kvadrat uchun b va c tomonlari bo'lgan kvadratlarni topish mumkinligi ko'rsatilgan, ular uchun tenglik qondiriladi va minimal hisoblash miqdori bilan natijalarni ta'minlaydigan munosabatlar olinadi. :

a ning toq qiymatlari uchun,

va - teng qiymatlar uchun.

Bibliografik ma'lumotnoma

Beskrovniy I.M. PİFAGOR DARAXTI XUSUSIYATLARINING TIZIMLI TAHLILI // Zamonaviy ilm-fanni talab qiluvchi texnologiyalar. - 2013. - No 11. - B. 135-142;
URL: http: // sayt / ru / maqola / ko'rish? Id = 33537 (kirish sanasi: 20.03.2020). "Tabiiy fanlar akademiyasi" tomonidan nashr etilgan jurnallarni e'tiboringizga havola qilamiz.