Kvadrat tengsizliklari. Ko'rsatkichli yoki eksponent tenglama x ga teng

Bizning saytimizning youtube kanalida barcha yangi video darslardan xabardor bo'lib turish uchun.

Boshlash uchun darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta sodir bo'ladi, biz bu ifodani a ... a = a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a-0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Kuchli yoki eksponent tenglamalar- bu o'zgaruvchilar kuchda (yoki ko'rsatkichlarda), asos esa raqamda bo'lgan tenglamalar.

Eksponent tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastki qismida turadi va o'zgaruvchan x daraja yoki ko'rsatkich.

Ko'rsatkichli tenglamalarga yana bir nechta misollar keltirilgan.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0

Endi eksponent tenglamalar qanday echilganini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani ko'rib chiqamiz:

2 x = 2 3

Bunday misolni hatto ongda ham hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Darhaqiqat, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu echimni qanday rasmiylashtirish kerakligini ko'rib chiqamiz:

2 x = 2 3
x = 3

Bunday tenglamani echish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni deuces) va qolganlarini yozdi, bu darajalar. Biz kerakli javobni oldik.

Endi qarorimizni sarhisob qilaylik.

Ko'rsatkichli tenglamani echish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning o'ngda va chapda asoslari bormi. Agar asoslar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish uchun variantlarni qidirmoqdamiz.
2. Baza bir xil bo'lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani echish.

Keling, bir nechta misollarni hal qilaylik:

Oddiy boshlaymiz.

Chap va o'ng tomondagi poydevorlar 2 raqamiga teng, ya'ni biz poydevorni tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x + 2 = 4 Bu eng oddiy tenglama.
x = 4 - 2
x = 2
Javob: x = 2

Quyidagi misolda siz bazalarning har xilligini ko'rishingiz mumkin - 3 va 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Dastlab, biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz, quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni yaratishingiz kerak. 9 = 3 2 ekanligini bilamiz. Darajalar (a n) m = a nm formuladan foydalanamiz.

3 3x = (3 2) x + 8

9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2x + 16 ni olamiz

3 3x = 3 2x + 16 endi chap va o'ng tarafdagi tagliklar bir xil va uchga teng ekanligini ko'rishingiz mumkin, shuning uchun ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x = 2x + 16 eng oddiy tenglamani oldi
3x - 2x = 16
x = 16
Javob: x = 16.

Quyidagi misolga qarang:

2 2x + 4 - 10 4 x = 2 4

Avvalo, biz bazalarni ko'rib chiqamiz, tagliklar boshqacha va to'rtta. Va biz bo'lishimiz kerak - xuddi shunday. To'rtlikni (a n) m = a nm formula bo'yicha aylantiring.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Va biz bitta formuladan foydalanamiz a n a m = a n + m:

2 2x + 4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Biz misolni xuddi shu asoslarga keltirdik. Ammo bizga boshqa 10 va 24 raqamlari xalaqit beradi. Ular bilan nima qilish kerak? Agar diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda biz 2 2x ni takrorlaymiz, mana bu javob - 2 2x biz qavsdan chiqaramiz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Barcha tenglamani 6 ga bo'ling:

Keling, 4 = 2 2 ni tasavvur qilaylik:

2 2x = 2 2 asoslari bir xil, ularni tashlaymiz va kuchlarni tenglashtiramiz.
2x = 2 eng oddiy tenglamani olamiz. Biz uni 2 ga bo'linamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani echamiz:

9 x - 12 * 3 x + 27 = 0

Keling, o'zgartiraylik:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Bizning asoslarimiz 3 ga teng. Ushbu misolda birinchi uchlik ikkinchisiga nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin (shunchaki x). Bunday holda siz hal qilishingiz mumkin almashtirish usuli... Raqamni eng kichik darajaga almashtiring:

Keyin 3 2x = (3x) 2 = t 2

Tenglamadagi barcha kuchlarni x bilan almashtiring:

t 2 - 12t + 27 = 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Biz diskriminant orqali hal qilamiz, quyidagilarga erishamiz:
D = 144-108 = 36
t 1 = 9
t 2 = 3

O'zgaruvchiga qaytish x.

Biz t 1 ni olamiz:
t 1 = 9 = 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 = 2; x 2 = 1.

Saytda siz "Yordam berishga yordam bering" bo'limiga qiziqqan savollaringizni berishingiz mumkin, biz sizga aniq javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Kvadrat tenglamalar 8-sinfda o'rganiladi, shuning uchun bu erda murakkab narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati juda muhimdir.

Kvadrat tenglama - bu ax 2 + bx + c = 0 shakldagi tenglama, bu erda a, b va c koeffitsientlari ixtiyoriy sonlar va a ≠ 0 bo'ladi.

Muayyan echim usullarini o'rganishdan oldin barcha kvadrat tenglamalarni shartli ravishda uchta sinfga bo'lish mumkinligini ta'kidlaymiz:

Ildiz yo'q;
To'liq bitta ildizga ega bo'ling;
Ularning ikkita alohida ildizi bor.

Bu kvadrat doimo va chiziqli tenglamalarning muhim farqidir, bu erda ildiz doimo mavjud va o'ziga xosdir. Tenglama necha ildizga ega ekanligini qanday aniqlaysiz? Buning uchun ajoyib narsa bor - diskriminant.

Diskriminant

Ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamasi berilsin.Shunda diskriminant shunchaki D = b 2 - 4ac soniga teng.

Ushbu formulani yoddan bilishingiz kerak. Qaerdan kelib chiqadi - bu endi muhim emas. Yana bir narsa muhim: diskriminant belgisi bilan kvadrat tenglama necha ildizga ega ekanligini aniqlash mumkin. Aynan:

Agar D< 0, корней нет;
Agar D = 0 bo'lsa, aynan bitta ildiz mavjud;
Agar D> 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Iltimos, diqqat qiling: diskriminant ko'p sonli sabablarga ko'ra ildizlarning sonini belgilaydi va ularning belgilarini emas. Misollarni ko'rib chiqing - va siz hamma narsani tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar necha ildizga ega:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 - 6x + 9 = 0.

Birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni yozamiz va diskriminantni topamiz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Demak, diskriminant ijobiy, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Ikkinchi tenglamani shunga o'xshash tarzda tahlil qilamiz:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant salbiy, ildizlar yo'q. Oxirgi tenglama qoladi:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant nolga teng - bitta ildiz bo'ladi.

E'tibor bering, har bir tenglama uchun koeffitsientlar yozilgan. Ha, bu uzoq, ha, zerikarli - lekin siz koeffitsientlarni aralashtirmaysiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingiz tanlang: tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lingizni to'ldirsangiz", bir muncha vaqt o'tgach, siz barcha koeffitsientlarni yozishingizga hojat qolmaydi. Siz bunday operatsiyalarni boshingizda bajarasiz. Ko'pchilik buni 50-70 tenglama echilganidan keyin biron bir joyda qilishni boshlaydilar - umuman olganda, unchalik emas.

Kvadratik ildizlar

Endi echimga o'tamiz. Agar diskriminant D> 0 bo'lsa, ildizlarni quyidagi formulalar orqali topish mumkin:

Kvadrat tenglama ildizlari uchun asosiy formula

D = 0 bo'lganda, ushbu formulalardan har qandayidan foydalanishingiz mumkin - siz bir xil sonni olasiz, bu javob beradi. Nihoyat, agar D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D> 0 ⇒ tenglama ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz:

Ikkinchi tenglama:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ tenglama yana ikkita ildizga ega. Keling, ularni topamiz

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ chap (-1 \ o'ng)) = 3. \\ \ end (align) \]

Nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Istalgan formuladan foydalanish mumkin. Masalan, birinchisi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar siz formulalarni bilsangiz va hisoblashni bilsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, formuladagi salbiy koeffitsientlarni almashtirishda xatolar yuzaga keladi. Bu erda yana yuqorida tavsiflangan texnika yordam beradi: formulani so'zma-so'z ko'rib chiqing, har bir qadamni tavsiflang - va yaqin orada siz xatolardan xalos bo'lasiz.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglama ta'rifda keltirilganidan bir oz farq qiladi. Masalan:

x 2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Ushbu tenglamalarda atamalardan biri etishmayotganligini ko'rish oson. Bunday kvadratik tenglamalarni echish standartlardan ko'ra osonroq: ular uchun diskriminantni hisoblashning hojati yo'q. Shunday qilib, yangi kontseptsiyani taqdim etamiz:

Ax 2 + bx + c = 0 tenglama, agar b = 0 yoki c = 0 bo'lsa, ya'ni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchan x yoki erkin elementdagi koeffitsient nolga teng.

Albatta, bu ikkala koeffitsient nolga teng bo'lganda juda qiyin holat mumkin: b = c = 0. Bu holda tenglama ax 2 = 0 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x = 0.

Qolgan ishlarni ko'rib chiqamiz. B = 0 bo'lsin, shunda ax 2 + c = 0 shaklidagi to'liq bo'lmagan kvadratik tenglamani olamiz.

Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik faqat (−c / a) ≥ 0 uchun mantiqiy bo'ladi.

Agar (2c / a) ≥ 0 tengsizlik ax 2 + c = 0 shaklidagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamada bajarilsa, ikkita ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
Agar (−c / a)< 0, корней нет.

Ko'rib turganingizdek, diskriminant talab qilinmadi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarda umuman murakkab hisob-kitoblar mavjud emas. Darhaqiqat, (−c / a) ≥ 0. tengsizligini eslashning hojati yo'q, x 2 qiymatini ifodalash va teng belgining narigi tomonida nima turganini ko'rish kifoya. Agar ijobiy raqam bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi. Agar salbiy bo'lsa, hech qanday ildiz bo'lmaydi.

Endi erkin element nolga teng bo'lgan ax 2 + bx = 0 shaklidagi tenglamalar bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa oddiy: har doim ikkita ildiz bo'ladi. Ko'p polinomni ajratish kifoya:

Qavslar umumiy omil

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi. Bu erdan ildizlar. Xulosa qilib, biz bir nechta bunday tenglamalarni tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalarni eching:

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hech qanday ildiz yo'q, tk. kvadrat manfiy songa teng bo'lolmaydi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1,5.

Y = k / y funktsiyasini ko'rib chiqing. Ushbu funktsiyaning grafigi matematikada giperbola deb ataladigan chiziqdir. Giperbolaning umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda keltirilgan. (Grafikda $ y $ funktsiyasi $ k $ x $ ga bo'linib, unda $ k $ ga teng) ko'rsatilgan.

Ko'rinib turibdiki, grafik ikki qismdan iborat. Ushbu qismlar giperbolaning shoxlari deb ataladi. Shuni ham ta'kidlash kerakki, giperbolaning har bir tarmog'i koordinata o'qlariga yaqinroq va yaqinroq yo'nalishlardan biriga yaqinlashadi. Bu holda koordinata o'qlari asimptotlar deb ataladi.

Umuman olganda, funktsiya grafigi cheksiz yaqinlashadigan, ammo unga etib bormaydigan har qanday to'g'ri chiziqlar asimptotlar deb ataladi. Parabola singari giperbola ham simmetriya o'qlariga ega. Yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan giperbola uchun bu y = x chiziq.

Endi giperbolalarning ikkita umumiy holatini ko'rib chiqamiz. Y = k / x funktsiyasining grafigi k-0 uchun giperbola bo'ladi, uning shoxlari birinchi yoki uchinchi koordinatali burchaklarda, k> 0 uchun yoki ikkinchi va to'rtinchi koordinatali burchaklarda k uchun joylashgan bo'ladi.<0.

Y> k / x funktsiyasining k> 0 uchun asosiy xususiyatlari

Y> k / x funktsiyasining grafigi, k> 0 uchun

5. y> 0 x> 0 uchun; y6. Funksiya (-∞; 0) oralig'ida ham (0; + ∞) oralig'ida kamayadi.

10. Funksiya qiymatlari diapazoni ikkita ochiq oraliq (-∞; 0) va (0; + ∞).

Y = k / x funktsiyasining asosiy xususiyatlari, k uchun<0

Y = k / x funktsiya grafigi, k uchun<0

1. (0; 0) nuqta giperbolaning simmetriya markazi.

2. Koordinata o'qlari - giperbola asimptotalari.

4. Funksiya sohasi x = 0 dan tashqari hamma x ga teng.

5.y> 0 x0 uchun.

6. Funksiya (-∞; 0) oralig'ida ham, (0; + ∞) oralig'ida ham ko'payadi.

7. Funktsiya pastdan yoki yuqoridan cheklanmagan.

8. Funksiya na kattaroq va na eng kichik qiymatga ega.

9. Funksiya (-∞; 0) va (0; + ∞) oraliqda uzluksiz. X = 0 nuqtada uzilishga ega.

Qadim zamonlardan buyon amaliy masalalarni echishda qiymatlar va miqdorlarni taqqoslash zarur edi. Shu bilan birga, bir hil qadriyatlarni taqqoslash natijalarini bildiruvchi tobora kamroq, balandroq va pastroq, engilroq va og'irroq, jim va balandroq, arzonroq va qimmatroq va boshqalar kabi so'zlar paydo bo'ldi.

Ko'proq va kamroq tushunchalar ob'ektlarni hisoblash, miqdorlarni o'lchash va taqqoslash bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. Masalan, qadimgi Yunoniston matematiklari istalgan uchburchakning tomoni qolgan ikki tomonning yig'indisidan kichikligini va kattaroq tomoni uchburchakning kattaroq burchagi qarshisida yotishini bilar edilar. Arximed aylanani hisoblab, har qanday aylananing perimetri diametrining uch baravariga teng, ortiqcha diametri yetmish baravaridan kam, lekin diametrining o'n yetmish birinchi qismidan oshib ketishini aniqladi.

> Va b belgilaridan foydalanib, raqamlar va miqdorlar o'rtasidagi munosabatni ramziy ravishda yozing. Ikkala raqam bir belgi bilan bog'langan yozuvlar:> (dan katta), Siz pastki sinflarda raqamli tengsizliklarga duch keldingiz. Bilasizmi, tengsizliklar haqiqat bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Masalan, \ (\ frac (1) (2)> \ frac (1) (3) \) haqiqiy son tengsizligi, 0,23> 0,235 bekor raqamli tengsizlik.

Noma'lumlarni o'z ichiga olgan tengsizliklar noma'lumlarning ba'zi qiymatlari uchun to'g'ri, boshqalari uchun noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, 2x + 1> 5 tengsizlik x = 3 bo'lganda to'g'ri, x = -3 bo'lganda esa noto'g'ri. Bittasi noma'lum bo'lgan tengsizlik uchun muammo tug'dirishi mumkin: tengsizlikni echish. Amalda tengsizliklarni echish masalalari tenglamalarni echish masalalaridan kam emas va tez-tez echiladi. Masalan, ko'pgina iqtisodiy muammolar chiziqli tengsizliklar tizimini o'rganish va hal qilishgacha qisqartiriladi. Matematikaning ko'plab sohalarida tengsizliklar tenglamalarga qaraganda ko'proq uchraydi.

Ba'zi tengsizliklar ma'lum bir ob'ekt mavjudligini isbotlash yoki rad etish uchun yagona yordamchi vosita bo'lib xizmat qiladi, masalan, tenglamaning ildizi.

Raqamli tengsizliklar

Siz butun sonlarni, o'nliklarni taqqoslashingiz mumkin. Oddiy kasrlarni bir xil maxrajga ega, lekin har xil numeratorlar bilan taqqoslash qoidalarini bilish; bir xil raqamlar bilan, lekin har xil maxrajlar bilan. Bu erda siz istalgan ikkita raqamni ularning farqlanish belgisini topib taqqoslashni o'rganasiz.

Amalda raqamlarni taqqoslash keng qo'llaniladi. Masalan, iqtisodchi rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni haqiqiy ko'rsatkichlar bilan taqqoslaydi, shifokor bemorning haroratini normal bilan taqqoslaydi, turner ishlov berilgan qismning o'lchamlarini standart bilan taqqoslaydi. Bunday holatlarning barchasida ba'zi raqamlar taqqoslanadi. Raqamlarni taqqoslash natijasida sonli tengsizliklarga olib keladi.

Ta'rif. Agar a-b farq ijobiy bo'lsa, a soni b sonidan katta. Agar a-b farq manfiy bo'lsa, a soni b sonidan kam.

Agar a b dan katta bo'lsa, unda yozadilar: a> b; agar a b dan kichik bo'lsa, u holda ular quyidagilarni yozadilar: a Shunday qilib, a> b tengsizlik, a - b farqi musbat ekanligini anglatadi, ya'ni. a - b> 0. Tengsizlik a Quyidagi uchta munosabatlardan har qanday ikkita a va b sonlar uchun a> b, a = b, a a va b sonlarni taqqoslash>, = yoki belgilaridan qaysi birini topish kerakligini anglatadi. Teorema. Agar a> b va b> c bo'lsa, u holda a> c bo'ladi.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil son qo'shilsa, unda tengsizlik belgisi o'zgarmaydi.
Natijada. Ushbu atama belgisini teskari tomonga o'zgartirib, har qanday atama tengsizlikning bir qismidan boshqasiga o'tkazilishi mumkin.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa ko'paytirilsa, unda tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa ko'paytirilsa, unda tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgaradi.
Natijada. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa bo'linadigan bo'lsa, unda tengsizlik belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa bo'linadigan bo'lsa, unda tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

Siz bilasizki, raqamli tengliklar atamaga muddatga ko'paytirilishi va ko'paytirilishi mumkin. Keyinchalik, siz tengsizliklar bilan o'xshash harakatlarni qanday bajarishni bilib olasiz. Tengsizlikni atamaga qo'shish va ko'paytirish qobiliyatlari ko'pincha amalda qo'llaniladi. Ushbu harakatlar iboralar qiymatlarini baholash va taqqoslash muammolarini hal qilishga yordam beradi.

Turli masalalarni echishda ko'pincha tengsizlikning chap va o'ng tomonlarini muddat bo'yicha qo'shish yoki ko'paytirish kerak bo'ladi. Shu bilan birga, ba'zida tengsizliklar ko'payadi yoki ko'payadi, deyishadi. Masalan, agar sayyoh birinchi kuni 20 km dan ortiq, ikkinchisida 25 km dan ko'proq yurgan bo'lsa, u holda u ikki kun ichida 45 km dan ko'proq yurgan deb bahslashish mumkin. Xuddi shunday, agar to'rtburchakning uzunligi 13 sm dan kam bo'lsa va kengligi 5 sm dan kam bo'lsa, unda bu to'rtburchakning maydoni 65 sm2 dan kam deb bahslashish mumkin.

Ushbu misollarni ko'rib chiqishda quyidagilar qo'llanildi tengsizlikni qo'shish va ko'paytirish teoremalari:

Teorema. Xuddi shu belgining tengsizliklari qo'shilganda, xuddi shu belgining tengsizligi olinadi: agar a> b va c> d bo'lsa, u holda a + c> b + d bo'ladi.

Teorema. Chap va o'ng tomonlari musbat bo'lgan bir xil belgining tengsizligini ko'paytirganda, biz bir xil belgining tengsizligini olamiz: agar a> b, c> d va a, b, c, d musbat sonlar bo'lsa, u holda ac> bd.

> (Dan katta) belgisi bilan tengsizliklar va 1/2, 3/4 b, c Qattiq tengsizliklar belgilari bilan bir qatorda> va shunga o'xshash ravishda \ (a \ geq b \) tengsizlik a sonining kattaroq ekanligini anglatadi b ga teng, ya'ni b dan kam emas.

\ (\ Geq \) yoki \ (\ leq \) ni o'z ichiga olgan tengsizliklar bo'shashmasdan deyiladi. Masalan, \ (18 \ geq 12, \; 11 \ leq 12 \) qat'iy tengsizliklar emas.

Qattiq tengsizlikning barcha xossalari qat'iy bo'lmagan tengsizliklar uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, agar> tenglik tengsizliklar uchun qarama-qarshi deb hisoblangan bo'lsa va siz bir qator amaliy masalalarni hal qilish uchun matematik modelni tenglama yoki tenglamalar tizimi shaklida tuzishingiz kerakligini bilsangiz. Keyinchalik, noma'lumlar bilan tengsizliklar ko'plab muammolarni hal qilish uchun matematik model ekanligini bilib olasiz. Biz tengsizlikni echish tushunchasini tanishtiramiz va berilgan sonning ma'lum bir tengsizlikning echimi ekanligini tekshirishni ko'rsatamiz.

Shaklning tengsizligi
\ (ax> b, \ a va b raqamlar berilgan va x noma'lum bo'lgan to'rtburchak ax deyiladi bitta noma'lum bo'lgan chiziqli tengsizliklar.

Ta'rif. Bir noma'lum bilan tengsizlikning echimi bu noma'lumlikning qiymati bo'lib, unda bu tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi. Tengsizlikni echish uning barcha echimlarini topish yoki yo'qligini aniqlash demakdir.

Siz tenglamalarni eng oddiy tenglamalarga kamaytirish orqali hal qildingiz. Xuddi shunday, tengsizliklarni echishda ular xususiyatlardan foydalanib, eng oddiy tengsizliklar shakliga keltirishga moyil.

Ikkinchi darajadagi tengsizlikni bitta o'zgaruvchida echish

Shaklning tengsizligi
\ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \) va \ (ax ^ 2 + bx + c, bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c ba'zi sonlar va \ (a \ neq 0 \) deyiladi. bitta o'zgaruvchida ikkinchi darajadagi tengsizliklar.

Tengsizlikni echish
\ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \) yoki \ (ax ^ 2 + bx + c) funktsiyalar \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ijobiy yoki oladigan intervallarni topish deb qaralishi mumkin. manfiy qiymatlar Buning uchun koordinata tekisligida \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) funktsiya grafigi qanday joylashganligini tahlil qilish kifoya: parabola shoxlari yo'naltirilgan joyda - yuqoriga yoki pastga, parabola x o'qini kesib o'tadimi va agar shunday bo'lsa, qaysi nuqtalarda.

Bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkinchi darajadagi tengsizliklarni echish algoritmi:
1) kvadrat trinomial \ (ax ^ 2 + bx + c \) diskriminantini toping va trinomialning ildizlari borligini aniqlang;
2) agar trinomialning ildizlari bo'lsa, ularni x o'qida belgilang va belgilangan nuqtalar orqali parabola chizilgan bo'lib, uning shoxlari yuqoriga qarab> 0 ga yoki 0 ga pastga yoki pastdan 3 ga) x o'qi ustida parabolalar nuqtalari x o'qi ustida joylashgan oraliqlarni toping (agar ular tengsizlikni hal qilsa \ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \)) yoki x o'qi ostida (agar ular echilsa tengsizlik
\ (ax ^ 2 + bx + c Tengsizliklarni intervallar usuli bilan echish

Funktsiyani ko'rib chiqing
f (x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Ushbu funktsiya sohasi barcha raqamlar to'plamidir. Funksiyaning nollari -2, 3, 5 raqamlari. Ular funktsiya sohasini \ ((- \ infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) va \ ((5; + \ infty) \)

Keling, ko'rsatilgan har bir intervalda ushbu funktsiya belgilari qanday ekanligini bilib olaylik.

(X + 2) (x - 3) (x - 5) ifodasi uchta omilning hosilasi. Ushbu omillarning har birining ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'idagi belgisi jadvalda ko'rsatilgan:

Umuman olganda, funktsiya formula bo'yicha berilsin
f (x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
bu erda x o'zgaruvchi, va x 1, x 2, ..., x n teng sonlar emas. X 1, x 2, ..., x n raqamlari funktsiya nollari. Ta'rif sohasi funktsiya nollariga bo'linadigan har bir intervalda funktsiya belgisi saqlanib qoladi va noldan o'tishda uning belgisi o'zgaradi.

Ushbu xususiyat shaklning tengsizligini hal qilish uchun ishlatiladi
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n)> 0,
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n), bu erda x 1, x 2, ..., x n teng sonlar emas

Ko'rib chiqilgan usul tengsizliklar echimlari intervallar usuli deyiladi.

Tengsizlikni interval usuli bilan echishga misollar keltiraylik.

Tengsizlikni echish:

\ (x (0,5-x) (x + 4) Shubhasiz, f (x) = x (0,5-x) (x + 4)) funktsiyalarining nollari \ (x = 0, \ ; x = \ frac (1) (2), \; x = -4 \)

Funksiyaning nollarini sonli o'qga qo'yamiz va har bir oraliqdagi belgini hisoblaymiz:

Funksiya noldan kichik yoki teng bo'lgan intervallarni tanlaymiz va javobini yozamiz.

Javob:
\ (x \ in \ chap (- \ infty; \; 1 \ right) \ cup \ chap [4; \; + \ infty \ right) \)

Oddiy qilib aytganda, bu maxsus retsept bo'yicha suvda pishirilgan sabzavotlar. Men ikkita dastlabki komponentni (sabzavotli salat va suv) va yakuniy natijani - borschtni ko'rib chiqaman. Geometrik nuqtai nazardan, bu bir tomoni marulni, ikkinchisi suvni ifodalaydigan to'rtburchak deb o'ylash mumkin. Ushbu ikki tomonning yig'indisi borschtni anglatadi. Bunday "borscht" to'rtburchaklar diagonali va maydoni sof matematik tushunchalar bo'lib, hech qachon borsch retseptlarida ishlatilmaydi.

Matematikada marul va suv qanday qilib borschga aylanadi? Ikki chiziqli segmentlarning yig'indisi qanday qilib trigonometriyaga aylanishi mumkin? Buni tushunish uchun bizga chiziqli burchak funktsiyalari kerak.

Matematik darsliklarida chiziqli burchak funktsiyalari haqida hech narsa topa olmaysiz. Ammo ularsiz matematika bo'lmaydi. Matematika qonunlari, tabiat qonunlari singari, ularning mavjudligini bilishimiz yoki bilmasligimizdan qat'iy nazar ishlaydi.

Lineer burchak funktsiyalari qo'shilish qonunlari. Algebra geometriyaga, geometriya esa trigonometriyaga qanday o'tishini ko'ring.

Lineer burchak funktsiyalari taqsimlanishi mumkinmi? Siz qila olasiz, chunki matematiklar hali ham ularsiz ishlaydi. Matematiklarning hiyla-nayranglari shundan iboratki, ular har doim bizga faqat o'zlari qanday hal qilishni biladigan masalalar haqida gapirib berishadi va hal qila olmaydigan muammolar haqida hech qachon gapirishmaydi. Qarang. Agar biz qo'shilish natijasini va bitta atamani bilsak, boshqa atamani topish uchun ayirishdan foydalanamiz. Hammasi. Biz boshqa vazifalarni bilmaymiz va ularni echishga qodir emasmiz. Agar biz faqat qo'shilish natijasini bilsak va ikkala shartni ham bilmasak nima qilishimiz kerak? Bunday holda, qo'shilish natijasi chiziqli burchak funktsiyalari yordamida ikkita hadga ajralishi kerak. Keyin biz o'zimiz bitta atama qanday bo'lishi mumkinligini tanlaymiz va chiziqli burchak funktsiyalari ikkinchi atama qanday bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shunda qo'shilish natijasi aynan bizga kerak bo'ladi. Bunday juft atamalarning cheksiz ko'p bo'lishi mumkin. Kundalik hayotda biz summaning parchalanishisiz mukammal boshqaramiz, ayirish biz uchun etarli. Ammo tabiat qonunlarini ilmiy tadqiq qilishda yig'indining atamalarga ajralishi juda foydali bo'lishi mumkin.

Matematiklar gapirishni yoqtirmaydigan yana bir qo'shimcha qonun (ularning yana bir hiyla-nayranglari), atamalar bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishini talab qiladi. Salat, suv va borsch uchun bu vazn, hajm, qiymat yoki o'lchov birliklari bo'lishi mumkin.

Rasmda matematikaning ikkita farq darajasi ko'rsatilgan. Birinchi daraja ko'rsatilgan raqamlar sohasidagi farqlar a, b, v... Bu matematiklar qiladi. Ikkinchi daraja - bu kvadrat qavsda ko'rsatilgan va xat bilan ko'rsatilgan o'lchov birliklari sohasidagi farqlar U... Bu fiziklar qiladi. Biz uchinchi darajani - tasvirlangan ob'ektlar sohasidagi farqlarni tushunishimiz mumkin. Turli xil ob'ektlar bir xil miqdordagi bir xil o'lchov birliklariga ega bo'lishi mumkin. Bu qanchalik muhim, biz borscht trigonometriya misolida ko'rishimiz mumkin. Agar biz turli xil ob'ektlarning o'lchov birliklarining bir xil belgisiga pastki yozuvlarni qo'shsak, aniq qaysi matematik qiymat ma'lum bir ob'ektni tasvirlashini va vaqt o'tishi bilan yoki bizning harakatlarimiz bilan bog'liq ravishda qanday o'zgarishini aniq aytishimiz mumkin. Xat bilan V Men maktub bilan birga suv belgilayman S Men salat va xatni tayinlayman B- borsch. Borsch uchun chiziqli burchak funktsiyalari shunga o'xshash bo'ladi.

Agar biz bir oz suv va bir oz salat olsak, ular birgalikda borschtning bir qismiga aylanadi. Bu erda men sizga borschtdan tanaffus qilishni va uzoq bolaligingizni eslashni maslahat beraman. Qanday qilib quyonlar va o'rdaklarni birlashtirishni o'rgatganimizni eslaysizmi? U erda qancha hayvon borligini topish kerak edi. Keyin bizni nima qilishni o'rgatishdi? Bizga birliklarni raqamlardan ajratish va raqamlarni qo'shishni o'rgatishdi. Ha, istalgan raqamni boshqa istalgan raqamga qo'shish mumkin. Bu zamonaviy matematikaning autizmiga olib boradigan to'g'ridan-to'g'ri yo'l - biz buni amalga oshirmoqdamiz, nima uchun ekanligi noma'lum va biz bu haqiqat bilan qanday bog'liqligini juda yomon tushunamiz, chunki uchta farq darajasi tufayli matematika faqat bitta ishlaydi . Bir o'lchov birligidan boshqasiga qanday o'tishni o'rganish to'g'ri bo'ladi.

Quyon, o'rdak va hayvonlarni bo'laklarga bo'lish mumkin. Turli xil ob'ektlar uchun bitta umumiy o'lchov birligi ularni birlashtirishga imkon beradi. Bu muammoning bolalarcha versiyasi. Keling, kattalar uchun shunga o'xshash muammoni ko'rib chiqaylik. Agar quyonlar va pul qo'shsangiz nima bo'ladi? Bu erda ikkita echim bo'lishi mumkin.

Birinchi variant... Biz quyonlarning bozor qiymatini aniqlaymiz va mavjud pul miqdoriga qo'shamiz. Biz boyligimizning umumiy qiymatini pul ko'rinishida oldik.

Ikkinchi variant... Bizda mavjud bo'lgan banknotalar soniga quyonlar sonini qo'shishingiz mumkin. Biz ko'chma mulk sonini dona-dona olamiz.

Ko'rib turganingizdek, bir xil qo'shilish qonuni turli xil natijalarga erishishga imkon beradi. Hammasi aynan nimani bilmoqchi ekanligimizga bog'liq.

Ammo bizning borschtga qaytib boring. Endi biz chiziqli burchak funktsiyalari burchagining turli qiymatlari uchun nima bo'lishini ko'rishimiz mumkin.

Burchak nolga teng. Bizda salat bor, lekin suv yo'q. Biz borsch pishirolmaymiz. Borscht miqdori ham nolga teng. Bu nol borsch nol suvga teng degani emas. Nolinchi borsch nol salat (to'g'ri burchak ostida) bo'lishi mumkin.

Shaxsan men uchun bu haqiqatning asosiy matematik isboti. Nol qo'shilganda raqamni o'zgartirmaydi. Buning sababi shundaki, agar bitta atama bo'lsa va ikkinchi muddat bo'lmasa, qo'shilishning o'zi mumkin emas. Siz bunga o'zingizning xohishingiz bilan munosabatda bo'lishingiz mumkin, ammo esda tuting - nolga teng bo'lgan barcha matematik operatsiyalarni matematiklar o'zlari tomonidan ixtiro qilingan, shuning uchun sizning mantiqingizni va matematiklar tomonidan ixtiro qilingan ahmoqona tramvay ta'riflarini tashlang: "nolga bo'lish imkonsiz", "nolga ko'paytirilgan har qanday son nolga teng. "," nolga tushirish nuqtasi uchun "va boshqa deliryum. Nol raqam emasligini bir marta eslash kifoya, va siz hech qachon nol tabiiy son bo'ladimi degan savolga duch kelmaysiz, chunki bunday savol umuman ma'noni yo'qotadi: raqam bo'lmagan sonni qanday ko'rib chiqishimiz mumkin. Bu ko'rinmas rang qanday rang bo'lishi kerakligini so'rashga o'xshaydi. Raqamga nol qo'shish mavjud bo'lmagan bo'yoq bilan bo'yashga o'xshaydi. Biz quruq cho'tka bilan qo'l silkitib, hammaga "biz rasm chizdik" deb aytdik. Ammo men biroz chetga chiqaman.

Burchak noldan katta, ammo qirq besh darajadan kam. Bizda salat juda ko'p, ammo suv etarli emas. Natijada, biz qalin borscht olamiz.

Burchak qirq besh daraja. Bizda teng miqdordagi suv va salat bor. Bu mukammal borscht (meni oshpazlarni kechir, bu shunchaki matematik).

Burchak qirq besh darajadan kattaroq, ammo to'qson darajadan kam. Bizda suv va ozgina salat bor. Siz suyuq borschni olasiz.

To'g'ri burchak. Bizda suv bor. Salatadan faqat xotiralar qoladi, chunki biz avval salat uchun turgan chiziqdan burchakni o'lchashni davom ettirmoqdamiz. Biz borscht pishirolmaymiz. Borscht miqdori nolga teng. Bunday holda, ushlab turing va borligingizda suv iching)))

Bu yerda. Shunga o'xshash narsa. Bu erda boshqa voqealarni aytib berishim mumkin, ular bu erda ko'proq mos keladi.

Ikki do'stning umumiy biznesdagi ulushi bor edi. Ulardan birini o'ldirgandan so'ng, barchasi boshqasiga o'tdi.

Sayyoramizda matematikaning paydo bo'lishi.

Ushbu hikoyalarning barchasi matematik tilida chiziqli burchak funktsiyalari yordamida bayon etilgan. Boshqa vaqtlarda men sizga ushbu funktsiyalarning matematik tarkibidagi haqiqiy o'rnini ko'rsataman. Ayni paytda, keling, borschning trigonometriyasiga qaytaylik va proektsiyalarni ko'rib chiqaylik.

Shanba, 26 oktyabr 2019 yil

Haqida qiziqarli videoni tomosha qildim Grandi qatori Bir minus bitta ortiqcha bitta minus bitta - Numberphile... Matematiklar yolg'on gapirishadi. Fikrlash jarayonida ular tenglik testini o'tkazmadilar.

Bu mening fikrlarimni takrorlaydi.

Keling, matematiklar tomonidan bizni aldash belgilarini batafsil ko'rib chiqaylik. Fikrlashning boshida matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi undagi elementlar sonining teng yoki yo'qligiga bog'liq. Bu MAQSADLI QARORLI FAKT. Keyin nima bo'ladi?

Keyin matematiklar bittadan ketma-ketlikni chiqarib tashlashadi. Bu nimaga olib keladi? Bu ketma-ketlikdagi elementlar sonining o'zgarishiga olib keladi - juft son toq songa, toq raqam juft songa o'zgaradi. Axir biz ketma-ketlikka biriga teng bitta element qo'shdik. Barcha tashqi o'xshashliklarga qaramay, konversiyadan oldingi ketma-ketlik konversiyadan keyingi ketma-ketlikka teng emas. Agar cheksiz ketma-ketlik haqida gapiradigan bo'lsak ham, shuni yodda tutish kerakki, toq sonli elementlarga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlik elementlarning juft soniga ega bo'lgan cheksiz ketma-ketlikka teng emas.

Elementlar soni bo'yicha farq qiladigan ikkita ketma-ketlik o'rtasida teng belgi qo'yib, matematiklar ketma-ketlikning yig'indisi ketma-ketlikdagi elementlar soniga bog'liq emas, deb ta'kidlaydilar, bu OBYEKTIV Aniqlangan Haqiqatga ziddir. Cheksiz ketma-ketlikning yig'indisi haqida qo'shimcha fikrlar yolg'ondir, chunki u yolg'on tenglikka asoslangan.

Agar siz matematiklarning isbotlash jarayonida qavslarni joylashtirayotganini ko'rsangiz, matematik ifoda elementlarini qayta joylashtiring, biror narsani qo'shing yoki olib tashlang, juda ehtiyot bo'ling, ehtimol ular sizni aldashmoqchi. Karta sehrgarlari singari, matematiklar ham sizning natijangizni soxtalashtirishi uchun sizning e'tiboringizni turli xil ifoda manipulyatsiyalari bilan chalg'itadi. Agar siz aldash sirini bilmasdan karta hiyla-nayrangini takrorlay olmasangiz, unda matematikada hamma narsa ancha sodda: siz hiyla-nayrang haqida hech narsa shubha qilmaysiz, ammo matematik ifoda bilan barcha manipulyatsiyalarni takrorlash boshqalarni natijaning to'g'riligiga ishontirishga imkon beradi. , xuddi bir narsa sizni ishontirganda.

Tomoshabinlarning savoli: Va abadiylik (S ketma-ketlikdagi elementlar soni kabi) haqida nima deyish mumkin? Paritetga ega bo'lmagan narsaning paritetini qanday o'zgartirish mumkin?

Matematiklar uchun cheksizlik, ruhoniylar uchun Osmon Shohligi singari - hech qachon u erda bo'lmagan, ammo hamma u erda qanday ishlashini aniq biladi))) Men roziman, o'limdan keyin siz juft yoki toq sonda yashadingizmi, befarq bo'lasiz kunlar, lekin ... hayotingizning boshida bir kun, biz butunlay boshqacha odamni olamiz: uning familiyasi, ismi va otasining ismi aynan bir xil, faqat tug'ilgan sanasi butunlay boshqacha - u bir kun tug'ilgan sizdan oldin.

Va endi, mohiyatan))) Faraz qilaylik, paritetga ega bo'lgan cheklangan ketma-ketlik cheksizlikka borishda bu tenglikni yo'qotadi. Shunda cheksiz ketma-ketlikning har qanday cheklangan bo'lagi ham tenglikni yo'qotishi kerak. Biz buni ko'rmayapmiz. Cheksiz ketma-ketlikdagi elementlar soni juft yoki g'alati ekanligini aniq ayta olmaymiz, bu paritetlik yo'qolgan degani emas. Paritet, agar mavjud bo'lsa, o'tkirroq odamning yengida bo'lgani kabi, cheksizlikka izsiz yo'qolmaydi. Ushbu ish uchun juda yaxshi o'xshashlik mavjud.

Soatda o'tirgan kakkudan soat millari qaysi yo'nalishda aylanishini so'raganmisiz? Uning uchun o'q biz "soat sohasi" deb atagan narsaga teskari yo'nalishda aylanadi. Qanday paradoksal bo'lsa ham, aylanish yo'nalishi biz aylanmani qaysi tomondan kuzatayotganimizga bog'liq. Shunday qilib, bizda bitta g'ildirak bor. Aylanishni qaysi yo'nalishda sodir bo'lishini ayta olmaymiz, chunki uni aylanish tekisligining bir tomonidan, ikkinchisidan ham kuzatishimiz mumkin. Biz faqat rotatsiya borligini tasdiqlashimiz mumkin. Cheksiz ketma-ketlik tengligi bilan to'liq o'xshashlik S.

Endi aylanma tekisligi birinchi aylanuvchi g'ildirakning aylanish tekisligiga parallel bo'lgan ikkinchi aylanuvchi g'ildirakni qo'shamiz. Biz hali ham ushbu g'ildiraklarning qaysi yo'nalishda aylanishini aniq ayta olmaymiz, lekin ikkala g'ildirakning bir xil yo'nalishda yoki qarama-qarshi yo'nalishda aylanishini aniq aytishimiz mumkin. Ikki cheksiz ketma-ketlikni taqqoslash S va 1-S, Men matematikaning yordami bilan ushbu ketma-ketliklar har xil paritetga ega ekanligini va ular orasida teng belgini qo'yish xato ekanligini ko'rsatdim. Shaxsan men matematikaga ishonaman, matematiklarga ishonmayman))) Aytgancha, cheksiz ketma-ketlik konvertatsiyasining geometriyasini to'liq tushunish uchun kontseptsiyani kiritish kerak "bir vaqtda"... Buni chizish kerak bo'ladi.

2019 yil 7-avgust, chorshanba

Suhbatni yakunlab, cheksiz sonni hisobga olish kerak. Natijada "cheksizlik" tushunchasi matematiklarga quyonga boa konstriktatori kabi ta'sir qiladi. Cheksizlikning titraydigan dahshati matematiklarni sog'lom fikrdan mahrum qiladi. Mana bir misol:

Asl manba joylashgan. Alfa haqiqiy sonni anglatadi. Yuqoridagi iboralardagi tenglik belgisi cheksizlikka raqam yoki cheksiz qo'shsangiz, hech narsa o'zgarmaydi, natija bir xil cheksiz bo'lishini ko'rsatadi. Agar misol sifatida cheksiz tabiiy sonlar to'plamini olsak, ko'rib chiqilgan misollarni quyidagi shaklda taqdim etishimiz mumkin:

Ularning to'g'riligini vizual isbotlash uchun matematiklar juda ko'p turli usullarni o'ylab topdilar. Shaxsan men bu usullarning barchasiga daflar bilan raqs tushayotgan shamanlar sifatida qarayman. Aslida ularning hammasi yoki ba'zi xonalar band emasligi va yangi mehmonlar kirib kelayotgani, yoki mehmonlarning ba'zilari yo'lakka tashlanib, mehmonlarga joy ajratishgani uchun (juda insoniy). Men bunday qarorlarga o'z nuqtai nazarimni fotosini haqida fantastik hikoya shaklida taqdim etdim. Mening fikrim nimaga asoslangan? Cheksiz ko'p sonli mehmonlarni boshqa joyga ko'chirish cheksiz vaqtni oladi. Birinchi xonani mehmonga bo'shatib qo'yganimizdan so'ng, mehmonlardan biri asrning oxirigacha har doim o'z xonasidan keyingi xonasiga qadar yo'lak bo'ylab yuradi. Albatta, vaqt omilini ahmoqona tarzda e'tiborsiz qoldirish mumkin, ammo bu allaqachon "ahmoqlar uchun qonun yozilmagan" toifasidan bo'ladi. Hammasi nima qilayotganimizga bog'liq: haqiqatni matematik nazariyalarga moslashtirish yoki aksincha.

"Cheksiz mehmonxona" nima? Cheksiz mehmonxona - bu qancha xonada bo'lishidan qat'i nazar, har doim bo'sh joylarga ega bo'lgan mehmonxona. Agar cheksiz mehmonlar koridoridagi barcha xonalar band bo'lsa, mehmonlar xonalari joylashgan yana bir cheksiz yo'lak mavjud. Bunday yo'laklarning cheksiz ko'pligi bo'ladi. Bundan tashqari, "cheksiz mehmonxona" cheksiz ko'p sonli ko'p sonli sayyoradagi ko'p sonli binolarda cheksiz sonli Xudo tomonidan yaratilgan koinotlarda joylashgan. Ammo matematiklar odatdagi kundalik muammolardan uzoqlasha olmaydilar: Xudo-Olloh-Budda har doim bitta, mehmonxona bitta, yo'lak bitta. Matematiklar mehmonxonalarning tartib raqamlarini jongle bilan almashtirishga urinmoqdalar va bizni "narsalarni itarib yuborish" mumkinligiga ishontirmoqdalar.

Men o'zimning mantiqiy fikrimni cheksiz tabiiy sonlar misolida namoyish etaman. Birinchidan, siz juda oddiy savolga javob berishingiz kerak: nechta tabiiy sonlar to'plami bor - bitta yoki ko'pmi? Bu savolga to'g'ri javob yo'q, chunki biz o'zimiz raqamlarni ixtiro qildik, tabiatda raqamlar yo'q. Ha, tabiat sanashda juda zo'r, ammo buning uchun u bizga tanish bo'lmagan boshqa matematik vositalardan foydalanadi. Tabiat o'ylaganidek, men sizga yana bir marta aytaman. Biz raqamlarni ixtiro qilganimiz uchun, o'zimiz tabiiy sonlarning qancha to'plami borligini hal qilamiz. Haqiqiy olimga mos keladigan ikkala variantni ham ko'rib chiqing.

Birinchi variant. "Bizga beramiz" tokchasida tinchgina yotadigan bitta tabiiy sonlar to'plami. Ushbu to'plamni javondan olamiz. Bu erda, tokchada boshqa tabiiy sonlar qolmagan va ularni olib ketadigan joy yo'q. Biz ushbu to'plamga bittasini qo'sha olmaymiz, chunki bizda allaqachon mavjud. Va agar chindan ham xohlasangiz? Muammosiz. Biz allaqachon olgan to'plamdan birini olib, javonga qaytarishimiz mumkin. Shundan so'ng, biz javondan bir birlikni olib, qolgan narsamizga qo'shishimiz mumkin. Natijada, biz yana cheksiz tabiiy sonlar to'plamini olamiz. Bizning barcha manipulyatsiyalarimizni quyidagicha yozishingiz mumkin:

To'plam nazariyasini qabul qilgan algebraik yozuvlar tizimidagi va yozuvlar tizimidagi harakatlarni to'plam elementlarini batafsil sanab o'tib yozdim. Pastki yozuv bizda bitta va yagona tabiiy sonlar to'plami borligini ko'rsatadi. Ma'lum bo'lishicha, undan bitta ayirma va bir xil birlikni qo'shgandagina natural sonlar to'plami o'zgarishsiz qoladi.

Ikkinchi variant. Bizning tokchamizda juda ko'p sonli tabiiy sonlar to'plami mavjud. Shuni ta'kidlayman - ular deyarli farq qilmasligiga qaramay, TURLI. Biz ushbu to'plamlardan birini olamiz. Keyin biz boshqa tabiiy sonlar to'plamidan birini olamiz va allaqachon olgan to'plamga qo'shamiz. Hatto ikkita tabiiy sonlar to'plamini qo'shishimiz mumkin. Mana nimani olamiz:

"Bir" va "ikkitasi" pastki yozuvlari ushbu buyumlarning turli xil to'plamlarga tegishli ekanligini ko'rsatadi. Ha, agar siz cheksiz to'plamga bittasini qo'shsangiz, natija ham cheksiz to'plam bo'ladi, lekin u asl to'plam bilan bir xil bo'lmaydi. Agar bitta cheksiz to'plamga yana bir cheksiz to'plamni qo'shsak, natijada dastlabki ikkita to'plam elementlaridan tashkil topgan yangi cheksiz to'plam bo'ladi.

Sanoq uchun o'lchovlar uchun o'lchagich singari ko'p sonli tabiiy sonlardan foydalaniladi. Endi o'lchagichga bir santimetr qo'shishni tasavvur qiling. Bu allaqachon asl satrga teng bo'lmagan boshqa chiziq bo'ladi.

Mening fikrimni qabul qilishingiz yoki qabul qilmasligingiz mumkin - bu sizning o'zingizning ishingiz. Ammo siz matematik muammolarga duch kelsangiz, matematiklar avlodlari bosib o'tgan yolg'on fikr yuritish yo'lidan bormaysizmi, deb o'ylang. Axir matematikani bajarish, avvalambor, bizda barqaror fikrlash stereotipini shakllantiradi va shundan keyingina bizga aqliy qobiliyatlarni qo'shadi (yoki aksincha, bizni erkin fikrlashdan mahrum qiladi).

pozg.ru

4-avgust, yakshanba

Men maqolaga postkript yozar edim va Vikipediyada ushbu ajoyib matnni ko'rdim:

Biz o'qiymiz: "... Bobil matematikasining boy nazariy asoslari yaxlit xarakterga ega bo'lmagan va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil texnikalar to'plamiga aylangan".

Voy-buy! Biz qanchalik aqlli va boshqalarning kamchiliklarini qanchalik yaxshi ko'ra olamiz. Zamonaviy matematikaga bir xil nuqtai nazardan qarash biz uchun qiyinmi? Yuqoridagi matnni biroz o'zgartirib, men shaxsan quyidagilarni oldim:

Zamonaviy matematikaning boy nazariy asoslari yaxlit emas va umumiy tizim va dalillar bazasidan mahrum bo'lgan turli xil bo'limlar to'plamiga to'g'ri keladi.

Men so'zlarimni tasdiqlash uchun uzoqqa bormayman - uning tili va matematikaning boshqa ko'plab sohalari konventsiyalaridan farq qiladigan tili va konvensiyalari bor. Matematikaning turli sohalaridagi bir xil nomlar har xil ma'nolarga ega bo'lishi mumkin. Men zamonaviy matematikaning eng aniq xatolariga butun bir qator nashrlarni bag'ishlamoqchiman. Ko'rishguncha.

2019 yil 3-avgust, shanba

To'plamni qanday ajratish mumkin? Buning uchun siz tanlangan to'plamning ba'zi elementlari uchun mavjud bo'lgan yangi o'lchov birligini kiritishingiz kerak. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Bizda ko'p bo'lsin AMMA to'rt kishidan iborat. Ushbu to'plam "odamlar" asosida tuzilgan bo'lib, ushbu to'plam elementlarini xat bilan belgilaymiz lekin, raqamli indeks bu to'plamdagi har bir kishining tartib raqamini ko'rsatib beradi. Keling, yangi "jinsiy aloqa" o'lchov birligini tanishtiramiz va uni harf bilan belgilaymiz b... Jinsiy xususiyatlar barcha odamlarga xos bo'lganligi sababli, biz to'plamning har bir elementini ko'paytiramiz AMMA jinsi bo'yicha b... E'tibor bering, endi bizning "odamlar" ko'pligimiz "jinsiy xususiyatlarga ega odamlar" ga aylandi. Shundan so'ng, biz jinsiy xususiyatlarni erkaklarnikiga bo'lishimiz mumkin bm va ayollar bw jinsiy xususiyatlar. Endi biz matematik filtrni qo'llashimiz mumkin: biz ushbu jinsiy xususiyatlardan birini tanlaymiz, qaysi biri erkak yoki ayol bo'lishi muhim emas. Agar odamda bo'lsa, unda biz uni ko'paytiramiz, agar bunday belgi bo'lmasa, uni nolga ko'paytiramiz. Va keyin biz odatdagi maktab matematikasini qo'llaymiz. Qarang, nima bo'ldi.

Ko'paytirish, qisqartirish va qayta tuzishdan so'ng biz ikkita kichik guruhga egamiz: erkaklar to'plami Bm va ayollarning bir qismi Bw... Matematiklar to'plam nazariyasini amalda qo'llaganlarida ham xuddi shunday fikr yuritadilar. Ammo ular bizni tafsilotlarga bag'ishlamaydilar, ammo yakunlangan natijani berishadi - "ko'p odamlar erkaklar va ayollarning pastki qismidan iborat." Tabiiyki, sizda savol tug'ilishi mumkin, yuqoridagi o'zgarishlarda matematika qanchalik to'g'ri qo'llaniladi? Sizga ishontirishga jur'at etaman, aslida hammasi to'g'ri bajarilgan, arifmetikaning matematik asoslarini, mantiqiy algebra va matematikaning boshqa sohalarini bilish kifoya. Bu nima? Men sizga bu haqda boshqa vaqt aytaman.

Supersetsga kelsak, siz ushbu ikkita to'plam elementlari uchun mavjud bo'lgan o'lchov birligini tanlab, ikkita to'plamni bitta supersetga birlashtira olasiz.

Ko'rib turganingizdek, birliklar va umumiy matematikalar to'plam nazariyasini o'tmishga aylantiradi. Matematiklar to'plamlari nazariyasi uchun o'z tillarini va yozuvlarini o'ylab topganliklari to'plamlar nazariyasining hammasi yaxshi emasligidan dalolat beradi. Matematiklar bir paytlar shamanlar qilgan ishni qilishdi. Shamanlargina o'zlarining "bilimlarini" qanday "to'g'ri" qo'llashni biladilar. Ular bizga bu "bilim" ni o'rgatadilar.

Va nihoyat, men sizga matematiklar qanday qilib manipulyatsiya qilishlarini ko'rsatmoqchiman
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n baravar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Axilles bu masofani bosib o'tishi kerak bo'lgan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam yurib boradi. Axilles yuz qadam bosib o'tganida, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon abadiy davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqani quvib chiqmaydi.

Ushbu mulohaza keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Xilbert ... Ularning barchasi Zeno aporiyalarini u yoki bu tarzda ko'rib chiqdilar. Shok shunchalik kuchli ediki, " ... munozaralar hozirgi paytda davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati to'g'risida umumiy fikrga kela olmadi ... matematik tahlil, to'plam nazariyasi, yangi fizikaviy va falsafiy yondashuvlar masalani o'rganishda ishtirok etdi ; ularning hech biri bu savolning umumiy qabul qilingan echimiga aylanmagan ..."[Vikipediya, Zeno's Aporia"]. Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, ammo hech kim bu aldanishni tushunmaydi.

Matematika nuqtai nazaridan Zeno o'zining aporiyasida kattalikdan-ga o'tishni aniq ko'rsatib berdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Tushunishimcha, o'zgaruvchan o'lchov birliklarini qo'llash uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenoning aporiyasida qo'llanilmagan. Bizning odatiy mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Fikrlash inertsiyasi bo'yicha biz o'zaro ta'sirga vaqtni doimiy o'lchov birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqa bilan tenglashadigan paytga qadar to'liq to'xtaguncha vaqt kengayishiga o'xshaydi. Agar vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqani bosib o'tolmaydi.

Agar biz odatlanib qolgan mantiqni ag'darib tashlasak, hamma narsa o'z joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda ishlaydi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi oldingisiga qaraganda o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engib o'tishga sarflangan vaqt avvalgisiga nisbatan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, unda "Axilles toshbaqani cheksiz tez quvib yetadi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochishingiz mumkin? Doimiy vaqt birliklarida turing va orqaga qarab ketmang. Zeno tilida shunday ko'rinadi:

Axilles ming pog'onani bosib o'tadigan vaqt davomida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz pog'onani bosib o'tadi. Keyingi vaqt oralig'ida, birinchisiga teng Axilles yana ming qadam bosib o'tadi va toshbaqa yuz qadam bosib o'tadi. Endi Axill toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Ushbu yondashuv mantiqiy paradokslarsiz haqiqatni etarli darajada tavsiflaydi. Ammo bu muammoning to'liq echimi emas. Eynshteynning yorug'lik tezligining toqat qilib bo'lmaydiganligi haqidagi bayonoti Zeno aporiya "Axilles va toshbaqa" ga juda o'xshaydi. Biz hali ham ushbu muammoni o'rganishimiz, qayta ko'rib chiqishimiz va hal qilishimiz kerak. Va echimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Yana bir qiziqarli aporiya Zeno uchib yurgan o'q haqida shunday deydi:

Uchayotgan o'q harakatsiz, chunki har bir daqiqada u dam oladi, va har bir daqiqada u dam olgani uchun hamisha dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib chiqildi - har bir lahzada uchar o'q kosmosning turli nuqtalarida turishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Bu erda yana bir narsani ta'kidlash kerak. Yo'lda ketayotgan avtoulovning bitta fotosuratidan uning harakati faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlash mumkin emas. Mashinaning harakatlanish faktini aniqlash uchun bir vaqtning o'zida turli nuqtalarda bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan masofani aniqlab bo'lmaydi. Avtoulovgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ular harakatlanish faktini aniqlay olmaydilar (albatta, hisob-kitoblar uchun qo'shimcha ma'lumotlar hali ham kerak, trigonometriya sizga yordam beradi). Men alohida e'tiborni jalb qilmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtdagi ikkita nuqta va kosmosdagi ikkita nuqta bir-biridan chalg'itmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqotlar uchun har xil imkoniyatlarni beradi.
Sizga jarayonni misol bilan ko'rsatib beray. Biz "pimple ichida qizil qattiq" ni tanlaymiz - bu bizning "butunligimiz". Shu bilan birga, biz bu narsalarning kamon bilan ekanligini va kamon yo'qligini ko'ramiz. Shundan so'ng biz "butun" ning bir qismini tanlaymiz va "kamon bilan" to'plamni shakllantiramiz. Shamanlar o'zlarining nazariyasini haqiqatga bog'lab, o'zlarini qanday oziqlantiradi.

Keling, bir oz iflos nayrang qilaylik. "Yomg'ir bilan pimple ichiga qattiq" oling va qizil elementlarni tanlab, bu "butun" ranglarni birlashtiring. Bizda juda ko'p "qizil" ranglar bor edi. Endi to'ldirish kerak bo'lgan savol: natijada "kamon bilan" va "qizil" to'plamlar bir xil yoki ular ikki xil to'plamlarmi? Javobni faqat shamanlar bilishadi. Aniqrog'i, ular o'zlari hech narsani bilishmaydi, lekin ular aytganidek, shunday bo'lsin.

Ushbu oddiy misol, haqiqat haqida gap ketganda, to'plam nazariyasi umuman foydasiz ekanligini ko'rsatadi. Buning siri nimada? Biz "kamon bilan zarbaga qizil qattiq" to'plamini yaratdik. Shakllanish to'rt xil o'lchov birligi bo'yicha sodir bo'ldi: rang (qizil), kuch (qattiq), pürüzlülük (pimple ichida), bezaklar (kamon bilan). Faqat o'lchov birliklari to'plami matematik tilida haqiqiy ob'ektlarni etarli darajada tavsiflashga imkon beradi... Bu shunday ko'rinadi.

Turli xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan "a" harfi turli o'lchov birliklarini bildiradi. Qavslar ichida o'lchov birliklari ajratib ko'rsatiladi, ular yordamida dastlabki bosqichda "butun" ajratiladi. To'siq shakllanadigan o'lchov birligi qavsdan chiqariladi. Oxirgi satr yakuniy natijani - to'plam elementini ko'rsatadi. Ko'rib turganingizdek, agar biz to'plamni shakllantirish uchun o'lchov birliklaridan foydalansak, unda natija bizning harakatlarimiz tartibiga bog'liq emas. Va bu matematika, va daflar bilan shamlarni raqsga tushirish emas. Shamanlar "intuitiv ravishda" bir xil natijaga erishishlari mumkin, buni "dalillar bilan" tortishishadi, chunki o'lchov birliklari ularning "ilmiy" arsenaliga kiritilmagan.

Bitta qismni ajratish yoki bir nechta to'plamni bir supersetga birlashtirish uchun birliklardan foydalanish juda oson. Keling, ushbu jarayonning algebrasini batafsil ko'rib chiqamiz.