Zadatke B14 rješavamo iz ispita. Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu Najmanja vrijednost funkcije fx

Slike ispod pokazuju gdje funkcija može doseći svoju najmanju i najveću vrijednost. Na lijevoj slici, najmanja i najveća vrijednost fiksirane su u točkama lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Na desnoj slici - na krajevima segmenta linije.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano je na segmentu [ a, b], zatim dopire do ovog segmenta najmanji i najviše vrijednosti ... To se, kao što je već spomenuto, može dogoditi bilo u ekstremne točke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanji i maksimalne vrijednosti funkcije kontinuirano na segmentu [ a, b], trebate izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

Kritična točka naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i ona izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije na kritičnim točkama. I, konačno, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b)). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Riješenje. Pronađite derivaciju ove funkcije. Izjednačimo derivaciju s nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i. Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta i u točki, budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2]. Vrijednosti ove funkcije su sljedeće:,,. Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(na grafikonu ispod označeno je crvenom bojom), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki, i najveća(također crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj točki.

Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu i taj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, a granica točke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici kontinuirana na] -∞, + ∞ [i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Za samoprovjeru tijekom izračuna, možete koristiti online kalkulator izvedenica .

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Riješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku:. Pripada segmentu [-1, 3]. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Uspoređujemo te vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednako 1 u točki.

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Postoje učitelji koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima da rješavaju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima ima onih koji vole natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.

Primjer 8. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Pronađite derivaciju ove funkcije kao derivativni rad :

Izvedbu izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku:. Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Rezultat svih radnji: funkcija doseže svoju najmanju vrijednost jednako 0 u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e², u točki.

Za samoprovjeru tijekom izračuna, možete koristiti online kalkulator izvedenica .

Primjer 9. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Pronađite derivaciju ove funkcije:

Izjednačavanje derivacije s nulom:

Jedina kritična točka pripada segmentu linije. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Izlaz: funkcija doseže svoju najmanju vrijednost jednako u točki i najveća vrijednost, jednako, u točki.

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima se oni dostižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 10. Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda s četvrtastom bazom i otvoren je na vrhu, mora se izvući kositrom. Koliki bi trebao biti spremnik da pokrije najmanju količinu materijala?

Riješenje. Neka bude x- strana baze, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable koristit ćemo što, odakle. Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Svugdje je definiran i diferenciran u] 0, + ∞ [, i

Izjednačite derivaciju s nulom () i pronađite kritičnu točku. Osim toga, za derivaciju ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična točka. Provjerimo prisutnost ekstrema koristeći drugi dovoljan kriterij. Nađimo drugu izvedenicu. Kada je drugi izvod veći od nule (). Dakle, na, funkcija doseže minimum ... Od ovog minimum je jedini ekstrem ove funkcije, ujedno je i njezina najmanja vrijednost... Dakle, strana baze spremnika treba biti jednaka 2 m, a njegova visina.

Za samoprovjeru tijekom izračuna, možete koristiti

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivaciju kako bi se izračunala najveća i najmanja vrijednost funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako minimizirati troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u onim slučajevima kada je potrebno odrediti optimalnu vrijednost bilo kojeg parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koje su najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Ove vrijednosti obično definiramo unutar određenog intervala x, koji zauzvrat može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njezinom dijelu. Može biti kao segment [a; b] i otvoreni interval (a; b), (a; b], [a; b), beskonačni interval (a; b), (a; b], [a; b) ili beskonačni interval - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

U ovom članku ćemo vam reći kako se izračunavaju najveća i najmanja vrijednost eksplicitno zadane funkcije s jednom varijablom y = f (x) y = f (x).

Osnovne definicije

Počnimo, kao i uvijek, s formulacijom osnovnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost maxy = f (x 0) x ∈ X, što za bilo koju vrijednost xx ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x 0).

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost minx ∈ X y = f (x 0), što za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Ove su definicije prilično očite. Može biti još jednostavnije reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njezina najveća vrijednost u poznatom intervalu pri x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost u istom intervalu pri x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke su one vrijednosti argumenta funkcije u kojima njezina derivacija nestaje.

Zašto moramo znati što su stacionarne točke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se prisjetiti Fermatovog teorema. Iz toga slijedi da je stacionarna točka točka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost u određenom intervalu točno u jednoj od stacionarnih točaka.

Druga funkcija može uzeti najveću ili najmanju vrijednost u onim točkama u kojima je sama funkcija određena, a njezin prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće pri proučavanju ove teme: možemo li u svim slučajevima odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na danom segmentu? Ne, to ne možemo učiniti kada se granice zadanog intervala poklapaju s granicama domene definicije ili ako imamo posla s beskonačnim intervalom. Također se događa da će funkcija u danom segmentu ili u beskonačnosti poprimiti beskonačno male ili beskonačno velike vrijednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najvišu i/ili najnižu vrijednost.

Ove točke će postati jasnije nakon što budu prikazane na grafikonima:

Prva slika nam prikazuje funkciju koja uzima najveću i najmanju vrijednost (m a x y i m i n y) u stacionarnim točkama koje se nalaze na segmentu [- 6; 6].

Proučimo detaljno slučaj naveden u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [1; 6] i dobivamo da će se najveća vrijednost funkcije postići u točki s apscisom u desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj točki.

Na trećoj slici apscise točaka predstavljaju granične točke segmenta [- 3; 2]. Oni odgovaraju najvišoj i najnižoj vrijednosti zadane funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu sliku. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim točkama na otvorenom intervalu (- 6; 6).

Ako uzmemo interval [1; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj točki. Najveća vrijednost bit će nam nepoznata. Funkcija bi mogla poprimiti najveću vrijednost na x jednaku 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Upravo je ovaj slučaj prikazan na grafikonu 5.

Na grafikonu 6 ova funkcija dobiva najmanju vrijednost na desnoj granici intervala (- 3; 2], a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj točki s apscisom jednakom 1. Funkcija će dosegnuti svoju najmanju vrijednost na granici intervala s desne strane. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2; + ∞, tada ćemo vidjeti da zadana funkcija na sebi neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, budući da je ravna linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Upravo je ovaj slučaj prikazan na slici 8.

U ovom pododjeljku predstavljamo slijed radnji koje se moraju izvesti kako bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije na određenom segmentu.

Prvo, pronađimo domenu funkcije. Provjerimo je li segment naveden u uvjetu uključen u njega.
Sada izračunajmo točke sadržane u ovom segmentu, gdje prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument zapisan pod predznakom modula ili u funkcijama stepena čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
Zatim, otkrijmo koje stacionarne točke spadaju u zadani segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo stacionarne točke ili ne spadaju u zadani segment, prelazimo na sljedeći korak.
Određujemo koje će vrijednosti funkcija zauzeti u zadanim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim točkama u kojima prva derivacija ne postoji (ako postoji), ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
5. Dobili smo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje trebamo pronaći.

Pogledajmo kako ispravno primijeniti ovaj algoritam pri rješavanju problema.

Primjer 1

Stanje: dana je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odredite njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [1; 4] i [- 4; - 1 ] .

Riješenje:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu za razlikovanje razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Naučili smo da će derivacija funkcije postojati u svim točkama segmenata [1; 4] i [- 4; - 1 ] .

Sada moramo definirati stacionarne točke funkcije. To radimo pomoću jednadžbe x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan valjani korijen, a to je 2. To će biti stacionarna točka funkcije i spadati u prvi segment [1; 4 ] .

Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u danoj točki, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 postići će se pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - za x = 2.

Drugi segment ne uključuje nikakve stacionarne točke, tako da trebamo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima danog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Odgovor: Za segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, za segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

Pogledajte sliku:

Prije proučavanja ove metode, savjetujemo vam da ponovite kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i naučiti osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvršite sljedeće korake u nizu.

Prvo morate provjeriti hoće li navedeni interval biti podskup opsega ove funkcije.
Odredimo sve točke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima ne postoji prva derivacija. Obično se nalaze u funkcijama u kojima je argument zatvoren u znaku modula, te u funkcijama stepena s frakcijski racionalnim eksponentima. Ako te točke nema, možete prijeći na sljedeći korak.
Sada ćemo odrediti koje stacionarne točke spadaju u zadani interval. Prvo izjednačimo derivaciju s 0, riješimo jednadžbu i pronađemo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu točku ili ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Određeni su vrstom intervala.

Ako je interval oblika [a; b), tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u točki x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x).
Ako interval ima oblik (a; b], tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u točki x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
Ako interval ima oblik (a; b), tada trebamo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Ako je interval oblika [a; + ∞), tada je potrebno izračunati vrijednost u točki x = a i granicu na plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x).
Ako interval izgleda kao (- ∞; b], izračunajte vrijednost u točki x = b i granicu na minus beskonačno lim x → - ∞ f (x).
Ako je - ∞; b, tada pretpostavljamo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
Ako je - ∞; + ∞, tada razmatramo granice na minus i plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

Na kraju, morate donijeti zaključak na temelju dobivenih vrijednosti funkcije i ograničenja. Ovdje postoji mnogo mogućnosti. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, tada je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo analizirati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi pomoći će vam da shvatite što je što. Po potrebi se možete vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uvjet: zadana je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Izračunajte njegove najveće i najniže vrijednosti u intervalima - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Riješenje

Prvi korak je pronaći domenu funkcije. Nazivnik razlomka sadrži kvadratni trinom, koji ne bi trebao nestati:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dobili smo domenu funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posljedično, derivacije funkcije postoje u cijeloj domeni njezine definicije.

Prijeđimo na traženje stacionarnih točaka. Derivat funkcije nestaje na x = - 1 2. Ovo je stacionarna točka koja se nalazi u intervalima (- 3; 1] i (- 3; 2).

Izračunavamo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞; - 4], kao i granicu na minus beskonačno:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Budući da je 3 e 1 6 - 4> - 1, to znači da je maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dopušta da jednoznačno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje - 1 na dnu, budući da se upravo toj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačno.

Posebnost drugog intervala je u tome što u njemu nema niti jedne stacionarne točke niti jedne stroge granice. Stoga ne možemo izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Nakon što smo odredili granicu na minus beskonačno i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobit ćemo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; + ∞

Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njezinu vrijednost u stacionarnoj točki x = - 1 2, ako je x = 1. Također moramo znati jednostranu granicu za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Otkrili smo da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj točki maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. , Je li prisutnost ograničenja odozdo do - 4.

Za interval (- 3; 2) uzimamo rezultate prethodnog izračuna i još jednom izračunavamo koliko je jednostrana granica jednaka kada težimo 2 na lijevoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4.

Na temelju onoga što smo dobili u prethodna dva proračuna, možemo ustvrditi da na intervalu [1; 2) funkcija će poprimiti najveću vrijednost pri x = 1, a najmanju je nemoguće pronaći.

Na intervalu (2; + ∞) funkcija neće doseći ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Izračunavši kolika će biti vrijednost funkcije za x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, a zadana funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti liniji y = - 1.

Usporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu s grafom zadane funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanom linijom.

To je sve što smo vam htjeli reći o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne izračune što je brže i lakše moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo saznati u kojim će se intervalima funkcija smanjivati, a u kojim intervalima povećavati, nakon čega možete donijeti daljnje zaključke. Na taj način možete točnije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati dobivene rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

NASA će pokrenuti ekspediciju na Mars u srpnju 2020. Letjelica će na Mars isporučiti elektronički nosač s imenima svih registriranih članova ekspedicije.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do njega sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jedna od ovih varijanti koda mora se kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake ... Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na nadzornoj ploči svoje stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte u njega prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad i postavite widget bliže početak predloška (usput, to uopće nije potrebno jer se skripta MathJax učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste za ugradnju matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Još jedan doček Nove godine ... mrazno vrijeme i pahulje na prozoru ... Sve me to potaknulo da ponovno pišem o ... fraktalima, i što Wolfram Alpha zna o tome. O tome postoji zanimljiv članak koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati složenije primjere 3D fraktala.

Fraktal se može vizualizirati (opisati) kao geometrijski lik ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup točaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sam izvorni lik. Odnosno, radi se o samosličnoj strukturi, s obzirom na detalje o kojoj ćemo s povećanjem vidjeti isti oblik kao i bez povećanja. Dok u slučaju pravilnog geometrijskog oblika (ne fraktala), kada zumiramo, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od samog izvornog oblika. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment linije. To se ne događa s fraktalima: pri svakom povećanju, ponovno ćemo vidjeti isti složeni oblik, koji će se ponavljati uvijek iznova sa svakim povećanjem.

Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost za znanost: "Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima kao iu svom općem obliku. dio fraktala će se povećati na veličinu cjelina, izgledat će kao cjelina, ili točno, ili možda s malom deformacijom."

S praktične točke gledišta, najzanimljivija je uporaba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Koji je razlog tome? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim sferama života potrebno je riješiti problem optimizacije bilo kojih parametara. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže u nekom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene. Sam interval X može biti linijski segment, otvoreni interval , beskrajni interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno zadane funkcije jedne varijable y = f (x).

Navigacija po stranici.

Najviša i najniža vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Zadržimo se ukratko na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koje nejednakost je istinita.

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koje nejednakost je istinita.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost u razmatranom intervalu na apscisi.

Stacionarne točke Jesu li vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne točke pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatov teorem. Iz ovog teorema slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj točki, tada je ta točka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih točaka iz tog intervala.

Također, funkcija često može uzeti najveću i najmanju vrijednost u točkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odmah odgovorimo na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: „Je li uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije“? Ne ne uvijek. Ponekad se granice intervala X poklapaju s granicama područja definicije funkcije ili je interval X beskonačan. A neke funkcije u beskonačnosti i na granicama područja definicije mogu poprimiti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U tim se slučajevima ništa ne može reći o najvišoj i najnižoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće dat ćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar segmenta [-6; 6].

Razmotrimo slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u. U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj točki, a najveća - u točki s apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične točke segmenta [-3; 2] su apscise točaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6; 6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj točki s apscisom x = 1, a najmanju vrijednost (min y) postiže na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y = 3.

Na intervalu funkcija ne doseže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kada se teži x = 2 s desne strane, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (ravna linija x = 2 je okomita asimptota), a kada apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski pristupiti y = 3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućuje da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronađite domenu funkcije i provjerite sadrži li cijeli segment.
Pronalazimo sve točke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve točke nalaze u funkcijama s argumentom pod predznakom modula i u funkcijama stepena s razlomkom racionalnog eksponenta). Ako nema takvih točaka, prijeđite na sljedeću stavku.
Odrediti sve stacionarne točke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačimo ga s nulom, riješimo rezultirajuću jednadžbu i izaberemo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih točaka ili nijedna od njih ne pada u segment, prijeđite na sljedeću stavku.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim točkama (ako ih ima), u točkama gdje prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i za x = a i x = b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije odabiremo najveću i najmanju - to će biti željena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam prilikom rješavanja primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4; -1].

Riješenje.

Područje funkcije je cijeli skup realnih brojeva, s izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u područje definicije.

Pronađite derivaciju funkcije s obzirom na:

Očito, derivacija funkcije postoji u svim točkama segmenata i [-4; -1].

Stacionarne točke određuju se iz jednadžbe. Jedini valjani korijen je x = 2. Ova stacionarna točka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj točki, odnosno za x = 1, x = 2 i x = 4:

Stoga je najveća vrijednost funkcije se postiže pri x = 1, a najmanja vrijednost - za x = 2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4; -1] (budući da ne sadrži niti jednu stacionarnu točku):

Riješenje.

Počnimo s opsegom funkcije. Kvadratni trinom u nazivniku razlomka ne smije nestati:

Lako je provjeriti da svi intervali iz iskaza problema pripadaju domeni funkcije.

Razlikujemo funkciju:

Očito, derivacija postoji u cijeloj domeni funkcije.

Nađimo stacionarne točke. Izvod nestaje na. Ova stacionarna točka pada u intervalima (-3; 1] i (-3; 2).

A sada možete usporediti rezultate dobivene u svakoj točki s grafom funkcije. Asimptote su označene plavim isprekidanim linijama.

Ovdje možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije. Algoritmi o kojima se govori u ovom članku omogućuju vam da dobijete rezultate uz minimalan broj radnji. Međutim, ponekad je korisno prvo odrediti intervale povećanja i smanjenja funkcije i tek nakon toga donijeti zaključke o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije na bilo kojem intervalu. To daje jasniju sliku i snažno obrazloženje za rezultate.

U zadatku B14 s ispita iz matematike potrebno je pronaći najmanju ili najveću vrijednost funkcije jedne varijable. Riječ je o prilično trivijalnom problemu iz matematičke analize i iz tog razloga ga svaki maturant može i treba naučiti rješavati normalno. Analizirajmo nekoliko primjera koje su školarci rješavali tijekom dijagnostičkog rada iz matematike koji se održao u Moskvi 7. prosinca 2011.

Ovisno o intervalu u kojem želite pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije, za rješavanje ovog problema koristi se jedan od sljedećih standardnih algoritama.

I. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Pronađite derivaciju funkcije.
Odaberite između točaka sumnjivih za ekstrem, one koje pripadaju danom segmentu i domeni funkcije.
Izračunajte vrijednosti funkcije(ne izvedenica!) u ovim točkama.
Među dobivenim vrijednostima odaberite najveću ili najmanju, bit će ona željena.

Primjer 1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.

Riješenje: djelujemo prema algoritmu za pronalaženje najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Opseg funkcije nije ograničen: D (y) = R.
Derivat funkcije je: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Područje definicije derivacije funkcije također nije ograničeno: D (y ') = R.
Derivatne nule: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, dakle x 2 – 12x+ 27 = 0, odakle x= 3 i x= 9, naš interval uključuje samo x= 9 (jedan bod sumnjiv za ekstrem).
Pronađite vrijednost funkcije u točki sumnjivoj za ekstrem i na rubovima intervala. Radi praktičnosti izračuna, funkciju predstavljamo u obliku: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Dakle, od dobivenih vrijednosti najmanja je 23. Odgovor: 23.

II. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije:

Pronađite domenu funkcije.
Pronađite derivaciju funkcije.
Odrediti točke sumnjive za ekstrem (one točke u kojima derivacija funkcije nestaje, i točke u kojima nema dvostranog konačnog izvoda).
Označite te točke i područje funkcije na brojevnoj liniji i odredite predznake izvedenica(ne funkcije!) na rezultirajućim intervalima.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) u minimalnim točkama (onim točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz minusa u plus), najmanja od ovih vrijednosti bit će najmanja vrijednost funkcije. Ako nema minimalnih točaka, tada funkcija nema najmanju vrijednost.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) na maksimalnim točkama (onim točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus), najveća od ovih vrijednosti bit će najveća vrijednost funkcije. Ako nema maksimalnih točaka, tada funkcija nema maksimalnu vrijednost.

Primjer 2. Pronađite najveću vrijednost funkcije.