Gdje žive afričari u Africi. Pleme Pygmy - ljudi ekvatorijalne Afrike: fotografija, video, film o životu afričkih pigmeja. Stanovi, pjesme, rast. Još u ropstvu

"Ne možete podijeliti s nulom!" - Većina školaraca ovo pravilo pamti bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju što je "nemoguće" i što će se dogoditi ako, kao odgovor na to pitanje, upita: "Zašto?" Ali u stvari je vrlo zanimljivo i važno znati zašto ne.

Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari prepoznaju samo njih dvoje kao punopravno - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje su izgrađene na ovaj ili onaj način iz ove dvije.

Razmotrimo, primjerice, oduzimanje. Što to znači? 5 – 3 ? Učenik će vam na to odgovoriti jednostavno: trebate uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju na potpuno drugačiji način. Nema oduzimanja, postoji samo zbrajanje. Stoga snimite 5 – 3 znači broj koji se dodaje kad je broj 3 dat će broj 5 , To je 5 – 3 je samo skraćenica za jednadžbu: x + 3 \u003d 5, U ovoj jednadžbi nema oduzimanja. Postoji samo jedan zadatak - pronaći pravi broj.

Upravo je to slučaj s množenjem i dijeljenjem. rekord 8: 4 može se shvatiti kao rezultat dijeljenja osam objekata u četiri jednaka hrpa. Ali u stvarnosti to je samo skraćeni oblik 4x \u003d 8.

Ovdje postaje jasno zašto je nemoguće (ili radije nemoguće) podijeliti s nulom. rekord 5: 0 je kratica za 0x \u003d 5, To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će se, pomnoženo s 0 dat će 5 , Ali to znamo kad se množi sa 0 uvijek se ispostavi 0 , To je integralno svojstvo nula, strogo govoreći, dio njegove definicije.

Takav broj, koji se množi s 0 dat će nešto drugo osim nule, jednostavno ne postoji. Odnosno, naš zadatak nema rješenja. (Da, to se događa, nema svaki problem rješenje.) Dakle, zapisi 5: 0 ne odgovara nijednom konkretnom broju, a to jednostavno ništa ne znači i zato nema smisla. Ukratko je izražena besmislenost ovog unosa, rekavši da je nemoguće podijeliti na nulu.

Najpozorniji čitatelji na ovom mjestu zasigurno će se zapitati: je li moguće podijeliti nulu na nulu? Doista, jednadžba 0x \u003d 0 sigurno riješen. Na primjer, možete uzeti x \u003d 0, a onda stižemo 0 · 0 \u003d 0, Ispada 0: 0=0 ? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x \u003d 1, Dobivamo 01 \u003d 0, Zar ne? dakle, 0: 0 = 1 ? Ali možete uzeti bilo koji broj na ovaj način i dobiti 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 i t. d.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati jedan od njih. To je, ne možemo reći kojem broju odgovara zapis. 0: 0 , I ako je tako, onda smo primorani priznati da i ovaj unos nema smisla. Ispada da se čak i nula ne može podijeliti s nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se, zahvaljujući dodatnim uvjetima problema, može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0x \u003d 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "otkrivanju nesigurnosti", ali u aritmetici se takvi slučajevi ne javljaju.)

Ovdje je značajka rada podjele. Preciznije, operacija množenja i nula povezana s njom.

Pa, većina detaljanih, čitajući do ove točke, može se zapitati: zašto to ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? Na neki način, upravo iz ovog pitanja polazi prava matematika. Na to možete odgovoriti samo upoznavanjem formalnih matematičkih definicija numeričkih skupova i operacija na njima. Nije tako teško, ali iz nekog razloga se to ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na sveučilištu, prije svega, podučit ćete upravo to.

Zašto se ne može podijeliti s nulom? Tko je zabranio? Škola nam tvrdoglavo zabranjuje da se dijelimo s nulom, ali vrijedi prijeći prag sveučilišta - primanje je primljeno. Ono što se u školi smatralo zabranom sada je moguće. Možete se podijeliti na nulu i dobiti beskonačnost. Viša matematika ... Pa, gotovo.

Povijest i filozofija nule

U stvari, priča o podjeli na nuli proganjala je svoje izumitelje (a). Ali Indijci su filozofi navikli na apstraktne zadatke. Što znači podijeliti se na ništa? Za Europljane tog vremena takvo pitanje uopće nije postojalo, jer nisu znali za nula ili negativne brojeve (koji su lijevo od nule na skali).

U Indiji, oduzimanje manjeg od većeg i dobivanje negativnog broja nije problem. Uostalom, što znači 3-5 \u003d -2 u običnom životu? To znači da je netko ostao dužan nekome 2. Pozvani su negativni brojevi dugovi.

Sada se samo pozabavimo pitanjem podjele na nulu. Još u 598. godini (samo razmislite o tome koliko je davno, prije više od 1400 godina!), Matematičar Brahmagupta rođen je u Indiji, koji se također pitao o podjeli na nulu.

Predložio je da ako uzmete limun i počnete ga dijeliti na dijelove, prije ili kasnije doći ćemo do zaključka da će kriške biti vrlo male. U mašti možemo otići toliko daleko da kriške postanu jednake nuli. Dakle, pitanje je ako limun podijelite ne na 2, 4 ili 10 dijelova, već na broj dijelova koji teže beskonačnosti - koje veličine kriške dobivate? Nabavite beskonačan broj "nula kriški". Sve je prilično jednostavno, limun narežemo vrlo sitno, dobijemo puding s neograničenim brojem dijelova - limunovim sokom.

Dovoljno je da se zapitate:

Ako podjela prema beskonačnosti daje nulu, onda bi podjela prema nuli trebala dati beskonačnost.

x / ∞ \u003d 0 znači x / 0 \u003d ∞

Ali ako se uzmete za matematiku, ispadaće nekako nelogično:

a * 0 \u003d 0? A ako je b * 0 \u003d 0? Dakle: a * 0 \u003d b * 0

I odatle: a \u003d b

Odnosno, bilo koji broj jednak je bilo kojem broju. Prva pogrešna podjela prema nuli, idi dalje. U matematici dijeljenje se smatra obratnim množenjem. To znači da ako podijelimo 4 na 2, trebamo pronaći broj koji će, kada množimo s 2, dati 4.

Podijelite 4 s nulom - trebate pronaći broj koji će, pomnožen s nulom, dati 4. To jest, x * 0 \u003d 4? Ali x * 0 \u003d 0! Opet loša sreća. Ispada da pitamo: "Koliko nula trebate da biste dobili 4?"Beskonačnost? Beskonačni broj nula i dalje će dati nulu.

A dijeljenje 0 na 0 općenito daje nesigurnost, jer je 0 * x \u003d 0, gdje je x općenito ništa. To je bezbroj rješenja.

Nedosljednost i apstraktnost operacija s nulom nije dopuštena u uskom okviru algebre, točnije, to je operacija na neodređeno vrijeme. Za nju je potreban ozbiljniji aparat - viša matematika. Na neki način to je nemoguće podijeliti na nulu, ali ako to stvarno želite, možete podijeliti s nulom, ali morate biti spremni razumjeti takve stvari kao što je deltova funkcija Delca i ostale teško razumljive stvari. Podijelite na zdravlje.

Jednostavno objašnjenje iz života

Evo stvarne životne zagonetke. Pretpostavimo da želimo izračunati koliko dugo možemo prijeći 10 kilometara. Dakle, brzina * vrijeme \u003d udaljenost (S \u003d Vt). Da biste saznali vrijeme, razdijelite udaljenost prema brzini (t \u003d S / V). A što će se dogoditi ako imamo brzinu 0? t \u003d 10/0. Bit će beskonačnost!

Mi stojimo mirno, brzina je nula, a ovom brzinom ćemo uvijek doći do oznake od 10 km. Dakle, vrijeme će biti ... t \u003d ∞. Tako smo dobili beskonačnost!

A u ovom se primjeru možete podijeliti s nulom, životno iskustvo omogućava. Šteta je što učitelji u školi ne mogu tako lako objasniti takve stvari.

Kažu da možete podijeliti s nulom ako utvrdite rezultat dijeljenja na nulu. Trebate samo proširiti algebru. Čudnom slučajnošću, pronaći barem neke, i bolje razumljive i jednostavne, primjer takvog proširenja nije moguć. Da biste popravili Internet, potrebna vam je demonstracija jednog od načina takvog proširenja ili opis razloga zašto to nije moguće.

Članak je napisan u nastavku trenda:

odricanje

Svrha ovog članka je objasniti na "ljudskom jeziku" kako temeljni temelji matematike djeluju, strukturiraju znanje i obnavljaju izgubljene uzročno-posljedične veze između odjeljaka matematike. Svako zaključivanje je filozofsko, u smislu da se presude razlikuju od općeprihvaćenog (dakle, ne pretendiraju na matematičku strogost). Članak je dizajniran za razinu čitatelja "prošla je toranj prije mnogo godina".

Poželjno je razumijevanje principa aritmetičke, elementarne, opće i linearne algebre, matematičke i nestandardne analize, teorije skupova, opće topologije, projektivne i afine geometrije, ali nije neophodno.

Tijekom eksperimenata nije naštećena niti jedna beskonačnost.

prolog

Prekoračiti je prirodni proces traženja novog znanja. Ali ne svaka pretraga donosi novo znanje, a samim tim i koristi.

1. Zapravo, sve je već podijeljeno na nama!

1.1 Affine proširenje brojčane linije

Za početak, vjerojatno, svi avanturisti počinju dijeljenjem na nulu. Podsjetite grafikon funkcije

S lijeve i desne strane nula, funkcija ide u različitim smjerovima "ne-bića". U nuli je vrtlog i ništa se ne vidi.

Umjesto da glavom požurite u „bazen“, da vidimo što se u nju ulijeva i što izlazi iz nje. Da bismo to učinili, koristimo granicu - glavni alat matematičke analize. Glavni "trik" je da vam ograničenje omogućava prijeći na određenu točku što je bliže moguće, ali ne i "korak na nju". Takva "ograda" ispred "bazena".

Izvornik

Pa, set "ograda". Nije više tako zastrašujuće. Imamo dva puta do "bazena". Idemo lijevo - strmi spust, s desne strane - strmi uspon. Koliko ih ne ide do "ograde", ne približava se. Prelazak donje i gornje "nepostojanja" ne izlazi. Postoje sumnje, možda idemo u krug? Iako ne, brojke se mijenjaju, pa ne u krug. Još rugamo u prsima alatima za matematičku analizu. Osim ograničenja s "ogradom" u kompletu je pozitivna i negativna beskonačnost. Vrijednosti su potpuno apstraktne (nisu brojevi), dobro formalizirane i spremne za upotrebu! Odgovara nam. Dopunjavamo svoje "biće" (skup stvarnih brojeva) s dvije beskonačnosti sa znakom.

Matematički jezik:

To proširenje vam omogućuje da uzmete limit s argumentom koji teži beskonačnosti i dobijete beskonačnost kao rezultat preuzimanja ograničenja.
Postoje dva odjeljka matematike koja opisuju istu stvar koristeći različitu terminologiju.
Da sumiram:

U suhom ostatku. Stari pristupi su prestali raditi. Složenost sustava, u obliku gomile "ako", "za sve osim", itd. Povećala se. Imali smo samo dvije nesigurnosti 1/0 i 0/0 (nismo vodili računa o operacijama napajanja), bilo ih je pet. Otkrivanje jedne nesigurnosti stvorilo je još više neizvjesnosti.
1.2 Kotač
Na uvođenju nepotpisane beskonačnosti sve se nije zaustavilo. Da biste se izvukli iz neizvjesnosti potreban vam je drugi vjetar.
Dakle, imamo mnogo stvarnih brojeva i dvije nesigurnosti 1/0 i 0/0. Da bismo eliminirali prvu, izvršili smo projektivno proširenje brojevne linije (to jest, uveli smo nespisanu beskonačnost). Pokušajmo se pozabaviti drugom neizvjesnošću forme 0/0. Učinit ćemo isto. Dopunite skup brojeva novim elementom koji predstavlja drugu nesigurnost.

Definicija operacije podjele temelji se na množenju. To nam ne odgovara. Povezujemo operacije međusobno, ali zadržavamo uobičajeno ponašanje za stvarne brojeve. Definiramo operaciju unarne podjele, označenu znakom "/".

Definiramo operacije.

Ova se struktura naziva Kotač. Izraz je uzet zbog sličnosti s topološkom slikom projektivnog proširenja brojčane crte i točke 0/0.

Čini se da sve izgleda dobro, ali vrag je u detaljima:

Da biste popravili sve značajke, uz proširenje skupa elemenata, primjenjuje se bonus u obliku ne jednog, već dva identiteta koji opisuju zakon distribucije.

Matematički jezik:
Sa stajališta opće algebre, djelovali smo na terenu. A na terenu su, kao što znate, definirane samo dvije operacije (zbrajanje i množenje). Koncept podjele izveden je putem inverznih, a ako je još i dublji, onda jediničnih elemenata. Učinjene promjene pretvaraju naš algebrični sustav u monoid i u operaciji sabiranja (s nulom kao neutralnim elementom) i u operaciji množenja (s jedinstvom kao neutralnim elementom).
Otkrivači ne koriste uvijek simbole ∞ i ⊥. Umjesto toga, možete pronaći unos u obrascu / 0 i 0/0.

Svijet više nije tako lijep, zar ne? Ipak, ne žurite. Provjerite mogu li se novi identiteti zakona o distribuciji nositi s našim proširenim skupom .

Ovaj put rezultat je puno bolji.
Da sumiram:

U suhom ostatku. Algebra djeluje sjajno. Međutim, kao osnova je uzet koncept „nije definirano“, što su počeli smatrati nečim postojećim i djelovati na njemu. Jednog dana netko će reći da je sve loše i da tu "neoznačenu" trebate razvrstati na još nekoliko "nije definirano", ali manje. Opća algebra će reći: "Nema problema, brate!"
Nešto poput ove postulirane dodatne (j i k) imaginarne jedinice u kvarterionima Dodaj oznake

Moja trogodišnja kćer Sophia često je spominjala "nulu", na primjer, u ovom kontekstu:

"Sonya, čini se da u početku nisi poslušala, a onda poslušala što se događa? ..
- Pa ... nula!

tj osjećaj negativnih brojeva i neutralnosti nula već ima, o tome kako. Uskoro će se zapitati: zašto je nemoguće podijeliti na nulu?
I tako sam odlučio jednostavnim riječima zapisati sve čega se još sjećam podjele na nulu i sve to.

Podjelu je općenito bolje vidjeti jednom nego čuti stotinu puta.
Pa, ili onaj podijeljen s X puta da biste vidjeli ...

Odmah je vidljivo da je nula centar života, svemira i svega toga. Neka je odgovor na glavno pitanje o svemu tome 42, ali središte je svejedno 0. Nema ni znaka, ni plus (poslušno), ni minus (nije poslušao), stvarno je nula. A o svinjama se puno zna.

Jer ako se bilo koji prasad pomnoži s nulom, prasić se usisava u ovu okruglu crnu rupu i opet ispada nula. Ova nula nije tako neutralna, kada je riječ o sabiranju i oduzimanju dolazi do množenja, da ne spominjemo podjelu ... Eto, ako je nula s vrha "0 / x", onda je to opet crna rupa. Sve jede na nulu. Ali ako tijekom podjele, pa čak i odozdo - "x / 0", onda počinje ... slijedite bijelog zeca, Sonya!

U školi će vam reći "ne možete podijeliti s nulom" i nemojte blještati. Kao dokaz, pokucati će na kalkulator "1/0 \u003d", a uobičajeni kalkulator, također ne bljesak, napisat će "E", "Pogreška", a oni kažu, "to je nemoguće - nemoguće je". Iako će se ono što tamo imate smatrati običnim kalkulantom - još jedno pitanje. Meni se upravo u 2014. standardni kalkulator na Android telefonu piše nešto sasvim drugo:

Wow beskonačnost. Baci pogled na sebe, reži krugove. Ovdje ne možete Ispada da možete. Ako pažljivo. Budući da nije oprezan, moj Android se također ne slaže: "0/0 \u003d Pogreška", to je opet nemoguće. Pokušajmo još jednom: "-1/0 \u003d -∞", o tome kako. Zanimljivo mišljenje, ali ne slažem se s njim. Ne slažem se s "0/0 \u003d greška".

Usput, JavaScript koji pokreće trenutne web stranice također se ne slaže s android kalkulatorom: idite na konzolu preglednika (još jedan F12?) I tamo napišite: "0/0" (ulaz). JS će vam odgovoriti: "NaN". Ovo nije greška. Ovo je "Nije broj" - tj. neku vrstu stvari, ali ne broj. Unatoč činjenici da "1/0" JS također razumije kao "Beskonačnost". Ovo je bliže. Ali zasad samo toplo ...

Na sveučilištu - viša matematika. Postoje ograničenja, motke i drugi šamanizam. I sve se zakomplicira, komplicira, tuku se oko grma, ali samo da ne krše kristalne zakone matematike. Ali ako u ovim postojećim zakonima ne pokušate unijeti podjelu prema nuli, tada možete to osjetiti - na prste.

Da biste to učinili, pogledajte ponovo podjelu:

Slijedite desnu liniju, s desna na lijevo. Što se bliži x nuli, jača se podjela podijeljena s x. A negdje u oblacima, plus beskonačnost. Uvijek je dalje, poput horizonta, ne možete ga uhvatiti.

Sada slijedi lijevu liniju, s lijeva na desno. Ista priča, samo što sada podijeljeni beskrajno leti dolje, u „minus beskonačnosti“. Otuda proizlazi mišljenje da je "1/0 \u003d + ∞", a "-1/0 \u003d 1 / -0 \u003d -∞".

Ali trik je u tome što "0 \u003d -0", nema znaka na nuli, ako ga ne komplicirate granicama. I tako, ako podijelite jedinicu na tako "jednostavnu" nepotpisanu nulu, nije li logično pretpostaviti da će se beskonačnost ispostaviti - "samo" beskonačnost, bez znaka, poput nule. Gdje je - iznad ili ispod? Posvuda je - beskonačno daleko od nule u svim smjerovima. Ovo je nula okrenuta iznutra. Nula - nema ništa. Beskonačnost je sve. I pozitivno i negativno. To je sve. I to odmah. Apsolut.

Ali postojalo je nešto u vezi s "0/0", nešto drugo, ne beskonačno ... Napravimo ovaj trik: "2 * 0 \u003d 0", da, učitelj u školi će reći. Također: "3 * 0 \u003d 0" - opet, da. I pljuneći malo o "nemoguće je podijeliti s nulom", kažu, cijeli se svijet već polako dijeli, dobivamo: "2 \u003d 0/0" i "3 \u003d 0/0". U koju klasu ide, samo bez nule, naravno.

Čekaj malo, ispada da "2 \u003d 0/0 \u003d 3", "2 \u003d 3" ?! Zato se boje, i to je "nemoguće". Još je lošiji "1/0" samo "0/0", čega se boji čak i android kalkulator.

A ne bojimo se! Jer imamo moć matematike mašte. Možemo sebe zamisliti kao beskonačni Apsolut negdje u zvijezdama, gledati odatle griješni svijet konačnih brojeva i ljudi i razumjeti da su s tog stajališta svi isti. I „2“ sa „3“, pa čak i „-1“, a možda i učitelj u školi.

Dakle, skromno pretpostavljam da je 0/0 cijeli konačni svijet, ili bolje rečeno, sve što nije beskonačno i nije prazno.

To je ono što nula podijeljena s x izgleda u mojim maštarijama daleko od službene matematike. Zapravo slično 1 / x, samo što savijanje nije u jedinstvu, nego na nuli. Usput, 2 / x ima nagib u dva, a u 0,5 / x - u 0,5.

Ispada da 0 / x za x \u003d 0 uzima sve konačne vrijednosti - ne beskonačnost, ne void. Na grafu se nalazi rupa na nuli, osi su vidljive.

Može se, naravno, tvrditi da "0 * 0 \u003d 0", što znači da nula (praznina) također spada u kategoriju 0/0. Malo trčanje naprijed - bit će stupnjeva nula i ovaj će prigovor razbiti se na fragmente.

Ups, jedinica u beskonačnosti također se može napisati kao 0/0, dobivate (0/0) / 0 - beskonačnost. Sada red, sve se može izraziti omjerom nula.

Na primjer, ako dodate konačnost u beskonačnost, tada beskonačnost proguta konačnost, ostaje beskonačnost:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

A ako se beskonačnost pomnoži s prazninom, oni se međusobno upijaju i dobivamo konačni svijet:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Ali ovo je samo prva razina snova. Možete kopati dublje.

Ako već znate koncept "stupanj broja" i onaj "1 / x \u003d x ^ -1", tada, razmišljajući, možete prijeći iz svih ovih podjela i zagrada (poput (0/0) / 0) samo do stupnjeva:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Savjet.
Ovdje je s beskonačnošću i prazninom sve jednostavno, kao u školi. A konačni svijet ide do stupnjeva poput ovog:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Uh!

Ispada da su pozitivni nulta stupnjeva nula, negativni stupnjevi nula su beskonačnosti, a nulti stupanj nula konačni svijet.

Tako se ispostavlja univerzalni objekt "0 ^ x". Takvi predmeti lijepo djeluju jedan s drugim, opet se pokoravaju mnogim zakonima, ljepoti uopće.

Moje skromno znanje matematike bilo je dovoljno da iz njih izvučem abelovsku skupinu koja je, izolirana u vakuumu ("samo apstraktni predmeti, ovaj oblik notacije, poput eksponenta"), čak položila test najslađeg učitelja matana s presudom "zanimljivo, ali ništa neće uspjeti ”. Volio bih da postoji nit, to je tabu tema - podjela prema nuli. Općenito, ne opterećujte.

Pokušajmo samo pomnožiti beskonačnost s konačnim brojem:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Opet je beskonačnost apsorbirala konačni broj na isti način kao što njegova nula antipoda apsorbira konačne brojeve, istu crnu rupu:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

Ispostavilo se i da su stupnjevi poput snage. tj nula drugog stupnja jača je od nule običnog (prvi stupanj, 0 ^ 1). A beskonačnost minus drugi stupanj je jača od uobičajene beskonačnosti (0 ^ -1).

A kad se praznina sudara s apsolutom, mjere se silom - onaj tko ima više dobit će:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Ako su jednake snage, onda se uništavaju i konačni svijet ostaje:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Usput, službena matematika je već u blizini. Njeni predstavnici znaju za „stupove“ i da su motke različitih snaga (poredak), kao i o „nultom redu k“. Ali svi oni stoje na čvrstoj površini "pored" i boje se skočiti u crnu rupu u rupi.

I zadnja za mene je treća razina snova. Na primjer, sve su to 0 ^ -1 i 0 ^ -2 - beskonačnosti različitih jačina. Ili 0 ^ 1, 0 ^ 2 - nula različite jačine. Ali uostalom, "-1" i "-2" i "+1" i "+2" - to je sve - 0/0, što je jednako 0 ^ 0, već su prošli. Ispada da je s ove razine snova sve općenito isto što su to nule, beskonačnosti, pa čak i konačni svijet tamo stiže s nekim prosvjetljenjem. U jednom trenutku. U jednoj kategoriji. Ta se sreća zove - singularnost.

Mora se priznati da izvan stanja prosvjetljenja ne opažam jednu točku, već je jedna kategorija - unija "0 ^ 0 U 0 ^ (0 ^ 0)".

Što od svega toga može biti korisno? Uostalom, čak i malo manje ludi "imaginarni brojevi", koji također puknu kalkulatore u Error \u003d √-1, i oni bi mogli postati službena matematika i sada pojednostaviti izračune izrade čelika.

Kao lišće na drveću izdaleka, izgledaju isto, ali ako ih pažljivo pogledate, svi su različiti. A ako razmislite, onda opet isto. I nisu se puno razlikovali od tebe ili mene. Umjesto toga, oni se nimalo ne razlikuju, ako dobro razmislite.

Prednost je u tome što se možemo usredotočiti na razlike i apstraktno. To je vrlo korisno i na poslu i u životu, pa čak i u vezi sa smrću.

Ovo su putovanja do zečje rupe, Sonya!