Pitagorine trojke. Moderne visoke tehnologije. Pogledajte što su "pitagorine trojke" u drugim rječnicima

Važan primjer Diofantove jednadžbe daje Pitagorin teorem, koji povezuje duljine x i y kateta pravokutnog trokuta s duljinom z njegove hipotenuze:

Vi ste, naravno, naišli na jedno od prekrasnih rješenja ove jednadžbe u prirodnim brojevima, naime pitagorinu trojku brojeva x = 3, y = 4, z = 5. Ima li još takvih trojki?

Ispada da postoji beskonačno mnogo pitagorejskih trojki, a sve su davno pronađene. Mogu se dobiti pomoću dobro poznatih formula, o kojima ćete naučiti iz ovog odlomka.

Ako su Diofantove jednadžbe prvog i drugog stupnja već riješene, onda je pitanje rješavanja jednadžbi viših stupnjeva još uvijek otvoreno, unatoč naporima najvećih matematičara. Trenutno, na primjer, poznata Fermatova hipoteza da za bilo koju cjelobrojnu vrijednost n2 jednadžba

u cijelim brojevima nema rješenja.

Za rješavanje nekih vrsta Diofantovih jednadžbi, tzv kompleksni brojevi.Što je? Neka slovo i označava objekt koji zadovoljava uvjet i 2 = -1(jasno je da nijedan realan broj ne zadovoljava ovaj uvjet). Razmotrite izraze oblika α + iβ, gdje su α i β realni brojevi. Takvi će se izrazi zvati kompleksni brojevi, s definiranim operacijama zbrajanja i množenja nad njima, kao i nad binomima, ali s jedinom razlikom što izraz ja 2 svugdje ćemo zamijeniti brojem -1:

7.1. Mnogo ih je od tri

Dokaži da ako x 0, y 0, z 0- Pitagorina trojka, pa trojke y 0, x 0, z 0 i x 0 k, y 0 k, z 0 k za bilo koju vrijednost prirodnog parametra k su također pitagorejski.

7.2. Privatne formule

Provjerite to na bilo koje prirodne vrijednosti m> n tip trostruki

je pitagorejski. Je li svaka pitagorejska trojka x, y, z može se predstaviti u ovom obliku, ako dopustimo zamjenu brojeva x i y u trojci?

7.3. Nesvodljive trojke

Pitagorina trojka brojeva koji nemaju zajednički djelitelj veći od 1 nazivat će se nesvodljivim. Dokažite da je Pitagorina trojka nesvodiva samo ako su bilo koja dva broja u trojci kopraprosta.

7.4. Svojstvo nesvodljivih trojki

Dokažite da su u bilo kojoj nereducibilnoj Pitagorinoj trojci x, y, z broj z i točno jedan od brojeva x ili y neparni.

7.5. Sve nesvodljive trojke

Dokažite da je trojka brojeva x, y, z nesvodiva Pitagorina trojka ako i samo ako se poklapa s trojkom do reda prva dva broja 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, gdje m> n- koprimarni prirodni brojevi različite parnosti.

7.6. Opće formule

Dokažite da su sva rješenja jednadžbe

u prirodnim brojevima specificirani su do reda nepoznanica x i y formulama

gdje su m> n i k prirodni parametri (kako bi se isključilo dupliciranje bilo koje trojke, dovoljno je odabrati brojeve tipa koprimenih i, štoviše, različitog pariteta).

7.7. Prvih 10 trojki

Pronađite sve Pitagorine trojke x, y, z, zadovoljavanje uvjeta x

7.8. Svojstva pitagorejskih trojki

Dokažite to za bilo koju pitagorinu trojku x, y, z sljedeće izjave su istinite:

a) barem jedan od brojeva x ili y je višekratnik broja 3;

b) barem jedan od brojeva x ili y je višekratnik broja 4;

c) barem jedan od brojeva x, y ili z je višekratnik broja 5.

7.9. Korištenje kompleksnih brojeva

Po modulu kompleksnog broja α + iβ je nenegativan broj

Provjerite to za sve kompleksne brojeve α + iβ i γ + iδ imovina se izvršava

Koristeći svojstva kompleksnih brojeva i njihovih modula, dokazati da svaka dva cijela broja m i n zadovoljavaju jednakost

tj. daju rješenje jednadžbe

cijelih brojeva (usporedi sa zadatkom 7.5).

7.10. Nepitagorejske trojke

Koristeći svojstva kompleksnih brojeva i njihovih modula (vidi problem 7.9), pronađite formule za bilo koja cjelobrojna rješenja jednadžbe:

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Rješenja

7.1. Ako x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, zatim y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, i za bilo koju prirodnu vrijednost k imamo

Q.E.D.

7.2. Od jednakosti

zaključujemo da trojka navedena u zadatku zadovoljava jednadžbu x 2 + y 2 = z 2 u prirodnim brojevima. Međutim, nije svaka pitagorejska trojka x, y, z može se predstaviti u ovom obliku; na primjer, trojka 9, 12, 15 je pitagorejska, ali broj 15 se ne može predstaviti kao zbroj kvadrata bilo koja dva prirodna broja m i n.

7.3. Ako bilo koja dva broja iz pitagorejske tri x, y, z imaju zajednički djelitelj d, tada će to biti i djelitelj trećeg broja (npr. u slučaju x = x 1 d, y = y 1 d imamo z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2) d 2, odakle je z 2 djeljiv s d 2, a z djeljiv s d). Stoga, za nesvodljivost Pitagorine trojke, potrebno je da bilo koja dva broja u tripletu budu koprosta,

7.4. Imajte na umu da jedan od brojeva x ili y, recimo x, nesvodivog Pitagorinog trojca x, y, z je neparan, jer inače brojevi x i y ne bi bili međusobno prosti (vidi problem 7.3). Ako je u ovom slučaju još jedan broj y također neparan, tada su oba broja

dati ostatak od 1 kada se podijeli s 4, i broj z 2 = x 2 + y 2 daje ostatak od 2 kada se podijeli sa 4, odnosno djeljiv je s 2, ali nije djeljiv sa 4, što ne može biti. Dakle, broj y mora biti paran, a broj z mora biti neparan.

7.5. Neka se pitagorejski utrostruči x, y, z je nesvodljiv i, radi određenosti, broj x je paran, a brojevi y i z su neparni (vidi problem 7.4). Zatim

gdje su brojevi su cijeli. Dokažimo da su brojevi a i b međusobno prosti. Doista, ako bi imali zajednički djelitelj veći od 1, tada bi brojevi imali isti djelitelj z = a + b, y = a - b, odnosno trojka ne bi bila nesvodljiva (vidi problem 7.3). Sada, proširujući brojeve a i b u produkte prostih faktora, primjećujemo da svaki prosti faktor mora biti uključen u proizvod 4ab = x 2 samo do parnog stupnja, a ako je uključen u dekompoziciju broja a, onda nije uključen u dekompoziciju broja b i obrnuto. Stoga je svaki prosti faktor uključen u dekompoziciju broja a ili b pojedinačno samo na paran stepen, što znači da su sami ti brojevi kvadrati cijelih brojeva. Stavljamo tada dobivamo jednakosti

štoviše, prirodni parametri m> n su međusobno prosti (zbog međusobne jednostavnosti brojeva a i b) i imaju različitu parnost (zbog neparnog broja z = m 2 + n 2).

Neka su sada prirodni brojevi m> n različite parnosti međusobno prosti. Zatim trostruko x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, prema iskazu problema 7.2, je pitagorejski. Dokažimo da je nesvodiv. Za to je dovoljno provjeriti da brojevi y i z nemaju zajedničkih djelitelja (vidi zadatak 7.3). Doista, oba ova broja su neparna, budući da brojevi tipa imaju različit paritet. Ako brojevi y i z imaju neki prosti zajednički djelitelj (onda je to svakako neparno), onda svaki od brojeva ima isti djelitelj, a s njima i svaki od brojeva m i n, što je u suprotnosti s njihovom međusobnom jednostavnošću.

7.6. Na temelju tvrdnji formuliranih u zadacima 7.1, 7.2, ove formule definiraju samo pitagorine trojke. S druge strane, bilo koja pitagorejska trojka x, y, z nakon što se može poništiti najvećim zajedničkim djeliteljem k, par brojeva x i y postaje nesvodljiv (vidi problem 7.3) i stoga se može prikazati do reda brojeva x i y u obliku opisanom u zadatku 7.5 . Stoga je bilo koja pitagorina trojka data naznačenim formulama za neke vrijednosti parametara.

7.7. Iz nejednakosti z i formulama zadatka 7.6, dobivamo procjenu m 2 tj. m≤5... Uz pretpostavku m = 2, n = 1 i k = 1, 2, 3, 4, 5, dobivamo trojke 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Uz pretpostavku m = 3, n = 2 i k = 1, 2, dobivamo trojke 5, 12, 13; 10, 24, 26. Uz pretpostavku m = 4, n = 1, 3 i k = 1, dobivamo trojke 8, 15, 17; 7, 24, 25. Konačno, pod pretpostavkom m = 5, n = 2 i k = 1, dobivamo trojku 20, 21, 29.

Zatim ćemo razmotriti poznate metode za generiranje učinkovitih Pitagorinih trojki. Pitagorini studenti prvi su izmislili jednostavan način generiranja pitagorinih trojki koristeći formulu čiji dijelovi predstavljaju pitagorinu trojku:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Gdje m- neupareno, m> 2. Stvarno,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Sličnu formulu predložio je starogrčki filozof Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Gdje m- bilo koji broj. Za m= 2,3,4,5 generiraju se sljedeće trojke:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kao što vidite, ove formule ne mogu dati sve moguće primitivne trojke.

Razmotrimo sljedeći polinom, koji se razlaže u zbroj polinoma:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Odatle slijede sljedeće formule za dobivanje primitivnih trojki:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ove formule generiraju trojke u kojima se prosjek razlikuje od najvećeg za točno jedan, odnosno nisu također generirane sve moguće trojke. Ovdje su prva tri jednaka: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Da biste utvrdili kako generirati sve primitivne trojke, trebali biste istražiti njihova svojstva. Prvo, ako ( a, b, c) Je li dakle primitivna trojka a i b, b i c, a i c- moraju biti međusobno jednostavni. Neka bude a i b dijele se na d... Zatim a 2 + b 2 - također djeljiv sa d... Odnosno, c 2 i c treba podijeliti na d... Odnosno, nije primitivna trojka.

Drugo, među brojevima a, b jedan mora biti uparen, a drugi nesparen. Doista, ako a i b- onda u paru s bit će upareni, a brojevi se mogu podijeliti s najmanje 2. Ako su oba nesparena, tada se mogu predstaviti kao 2 k+1 i 2 l+1, gdje k,l- neki brojevi. Zatim a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tj. s 2 kao i a 2 + b 2, kada se podijeli sa 4, ima ostatak od 2.

Neka bude s- bilo koji broj, tj s = 4k+i (i= 0, ..., 3). Zatim s 2 = (4k+i) 2 ima ostatak od 0 ili 1 i ne može imati ostatak od 2. Dakle, a i b ne može biti neuparen, tj a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 i ostatak s 2 sa 4 mora biti 1, što znači da s mora biti neuparen.

Sljedeći brojevi zadovoljavaju takve zahtjeve za elemente Pitagorine trojke:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Gdje m i n- međusobno jednostavno s različitim uparivanje. Po prvi put su ove ovisnosti postale poznate iz Euklidovih djela, koji je živio 2300 r. leđa.

Dokažimo valjanost ovisnosti (2). Neka bude a- onda u paru b i c- nesparen. Zatim c + b i c − b- upareno. Mogu se predstaviti kao c + b = 2u i c − b = 2v, gdje u,v- neki cijeli brojevi. Zato

a 2 = s 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv

I stoga ( a/2) 2 = uv.

Može se dokazati kontradikcijom da u i v- obostrano jednostavno. Neka bude u i v- dijele se na d... Zatim ( c + b) i ( c − b) dijele se na d... I stoga c i b treba podijeliti na d, a to je u suprotnosti s uvjetom za Pitagorinu trojku.

Jer uv = (a/ 2) 2 i u i v Ako su međusobno prosti, onda je to lako dokazati u i v moraju biti kvadrati nekih brojeva.

Dakle, postoje pozitivni cijeli brojevi m i n takav da u = m 2 i v = n 2. Zatim

a 2 = 4uv = 4m 2 n 2 tako da
a = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Jer b> 0, dakle m > n.

Ostaje to pokazati m i n imaju drugačije uparivanje. Ako m i n- onda u paru u i v moraju biti upareni, ali to je nemoguće, jer su međusobno jednostavni. Ako m i n- nesparen, dakle b = m 2 − n 2 i c = m 2 + n 2 bi bilo upareno, što je nemoguće, budući da c i b- obostrano jednostavno.

Dakle, svaka primitivna pitagorina trojka mora zadovoljiti uvjete (2). Štoviše, brojke m i n se zovu generiranje brojeva primitivne trojke. Na primjer, recimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku (120,119,169). U ovom slučaju

a= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 - 25, i c = 144+25=169,

Gdje m = 12, n= 5 - generiranje brojeva, 12> 5; 12 i 5 su međusobno jednostavni i različiti parovi.

Može se dokazati suprotno, da su brojevi m, n formulama (2) dati primitivnu Pitagorinu trojku (a, b, c). Stvarno,

a 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

To je ( a,b,c) Pitagorina je trojka. Dokažimo to u ovom slučaju a,b,c- međusobno prosti brojevi kontradiktorno. Neka su ti brojevi djeljivi sa str> 1. Budući da m i n onda imati drugačije uparivanje b i c- nesparen, tj str≠ 2. Budući da R dijeli b i c, onda R treba podijeliti 2 m 2 i 2 n 2, ali to je nemoguće, budući da str≠ 2. Stoga m, n- međusobno jednostavno i a,b,c- također su međusobno jednostavni.

Tablica 1 prikazuje sve primitivne Pitagorine trojke generirane formulama (2) za m≤10.

Tablica 1. Primitivne pitagorejske trojke za m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analiza ove tablice pokazuje prisutnost sljedećeg niza obrazaca:

ili a, ili b djeljivo s 3;
jedan od brojeva a,b,c je djeljiv sa 5;
broj a je djeljiv sa 4;
raditi a· b je višekratnik od 12.

Godine 1971. američki matematičari Teigan i Hedwin predložili su tako malo poznate parametre pravokutnog trokuta za generiranje trojki kao što je njegova visina h = c- b i višak (uspjeh) e = a + b − c... Slika 1. ove vrijednosti su prikazane na određenom pravokutnom trokutu.

Slika 1. Pravokutni trokut i njegov rast i višak

Naziv "višak" proizlazi iz činjenice da je to dodatna udaljenost koju se mora prijeći duž krakova trokuta od jednog vrha do suprotnog, ako ne ide duž njegove dijagonale.

Preko viška i rasta stranica Pitagorinog trokuta, može se izraziti kao:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nisu sve kombinacije h i e može odgovarati pitagorinim trokutima. Za dano h moguće vrijednosti e Jesu li proizvodi određenog broja d... Ovaj broj d ima naziv prirasta i odnosi se na h na sljedeći način: d To je najmanji pozitivan cijeli broj čiji je kvadrat djeljiv s 2 h... Jer e višestruko d, tada se piše kao e = kd, gdje k Je pozitivna cjelina.

Korištenje parova ( k,h) možete generirati sve pitagorejske trokute, uključujući one neprimitivne i generalizirane, kako slijedi:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Štoviše, trojka je primitivna ako k i h Jesu li međusobno jednostavni i ako h =± q 2 u q- nesparen.
Osim toga, to će biti upravo pitagorina trojka ako k> √2 h/d i h > 0.

Pronaći k i h od ( a,b,c), izvršite sljedeće radnje:

h = c − b;
Zapiši h kako h = pq 2, gdje str> 0 i takav da nije kvadrat;
d = 2pq ako str- nespareni i d = pq ako je p uparen;
k = (a − h)/d.

Na primjer, za trojku (8,15,17) imamo h= 17−15 = 2 1, dakle str= 2 i q = 1, d= 2, i k= (8 - 2) / 2 = 3. Dakle, ova trojka je data kao ( k,h) = (3,2).

Za trojku (459,1260,1341) imamo h= 1341 - 1260 = 81, dakle str = 1, q= 9 i d= 18, dakle k= (459 - 81) / 18 = 21, pa je kod ove trojke jednak ( k,h) = (21, 81).

Postavljanje trojki pomoću h i k ima niz zanimljivih svojstava. Parametar k jednaki

k = 4S/(dP), (5)

Gdje S = ab/ 2 je površina trokuta, i P = a + b + c- njegov perimetar. To proizlazi iz jednakosti eP = 4S, što dolazi iz Pitagorinog teorema.

Za pravokutni trokut e jednak je promjeru kružnice upisane u trokut. To proizlazi iz činjenice da je hipotenuza s = (a − r)+(b − r) = a + b − 2r, gdje r Je polumjer kružnice. Odavde h = c − b = a − 2r i e = a − h = 2r.

Za h> 0 i k > 0, k je redni broj trojki a-b-c u slijedu Pitagorinih trokuta s povećanjem h... Iz tablice 2, gdje je prikazano nekoliko varijanti trojki generiranih po parovima h, k, vidi se da s porastom k povećavaju se veličine stranica trokuta. Dakle, za razliku od klasičnog numeriranja, numeriranje u paru h, k ima viši red u nizovima trojki.

Tablica 2. Pitagorine trojke generirane parovima h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Za h > 0, d zadovoljava nejednakost 2√ h ≤ d ≤ 2h, u kojem se donja granica postiže na str= 1, a gornji - za q= 1. Dakle, vrijednost d u odnosu na 2√ h Je mjera koliko je broj h udaljen od kvadrata nekog broja.

Vitalij crv

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Natječaj znanstvenih projekata za školarce

U okviru regionalnog znanstveno-praktičnog skupa "Eureka"

Mala akademija znanosti za studente Kubana

Proučavanje pitagorejskih brojeva

Sekcija matematika.

Worm Vitaly Gennadievich, 9. razred

MOBU SOSH №14

Korenovsky okrug

Umjetnost. Žuravskaja

Nadglednik:

Manko Galina Vasiljevna

Učiteljica matematike

MOBU SOSH №14

Korenovsk 2011

Wormyak Vitalij Gennadievich

Pitagorini brojevi

Napomena.

Tema istraživanja:Pitagorini brojevi

Ciljevi istraživanja:

Identifikacija i razvoj matematičkih sposobnosti;
Proširenje matematičkog prikaza na zadanu temu;
Formiranje održivog interesa za predmet;
Razvoj komunikacijskih i općeobrazovnih vještina samostalnog rada, sposobnost vođenja rasprave, rasuđivanja itd.;
Formiranje i razvoj analitičkog i logičkog mišljenja;

Metode istraživanja:

Korištenje internetskih resursa;
Pozivanje na referentnu literaturu;
Provođenje eksperimenta;

Izlaz:

Ovaj rad se može koristiti na satu geometrije kao dodatni materijal, za izvođenje izbornih predmeta ili izbornih predmeta iz matematike, kao i u izvannastavnom radu iz matematike;

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Uvod ……………………………………………………………………………… 3
Glavni dio

2.1 Povijesna stranica …………………………………………………………… 4

2.2 Dokaz parnih i neparnih krakova ... ... ... ................................... 5-6

2.3 Izvođenje obrazaca za pronalaženje

Pitagorini brojevi ……………………………………………………………………… 7

2.4 Svojstva pitagorejskih brojeva ……………………………………………… 8

3. Zaključak ………………………………………………………………………………… 9

4.Popis korištenih izvora i literature …………………… 10

Prijave ................................................. ................................................................ ......jedanaest

Dodatak I ………………………………………………………………………………… 11

Dodatak II ………………………………………………………………………… ..13

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Uvod

O Pitagori i njegovom životu čuo sam u petom razredu na satu matematike, a zanimala me izjava „Pitagorine hlače jednake su na sve strane“. Dok sam proučavao Pitagorin teorem, zanimali su me pitagorini brojevi.svrha studije: Saznajte više o Pitagorinom teoremu i "Pitagorinim brojevima".

Relevantnost teme... Vrijednost Pitagorinog teorema i pitagorinih trojki već stoljećima dokazuju mnogi svjetski znanstvenici. Problem koji će biti obrađen u mom radu izgleda prilično jednostavno jer se temelji na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinom teoremu: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbroju izgrađenih kvadrata na nogama. Sada trojke prirodnih brojeva x, y, z, za koje x 2 + y 2 = z 2 , uobičajeno je zvatiPitagorine trojke... Ispada da su pitagorejske trojke već bile poznate u Babilonu. Postupno su ih pronašli i grčki matematičari.

Svrha ovog rada

Istražite Pitagorine brojeve;
Razumjeti kako se dobivaju Pitagorini brojevi;
Saznajte koja svojstva imaju pitagorini brojevi;
Eksperimentalno konstruirajte okomite ravne crte na tlu koristeći Pitagorine brojeve;

U skladu sa svrhom rada, niz od sljedećeg zadaci:

1. Dublje proučiti povijest Pitagorinog teorema;

2. Analiza univerzalnih svojstava Pitagorinih trojki.

3. Analiza praktične primjene Pitagorinih trojki.

Predmet proučavanja: Pitagorine trojke.

Predmet studija: matematika .

Metode istraživanja: - Korištenje internetskih resursa; -Referenca na referentnu literaturu; -Provođenje eksperimenta;

Teorijski značaj:uloga koju je odigralo otkriće pitagorejskih trojki u znanosti; praktična primjena Pitagorinog otkrića u ljudskom životu.

Primijenjena vrijednostistraživanje se sastoji u analizi književnih izvora i sistematizaciji činjenica.

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Iz povijesti pitagorejskih brojeva.

Stara Kina:

Chu-peijeva knjiga matematike:[ 2]

"Ako se pravi kut razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja spaja krajeve njegovih stranica biti 5 kada je baza 3, a visina 4".

Stari Egipat: [2]

Cantor (najveći njemački povjesničar matematike) smatra da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² bio poznat Egipćanima već oko 2300. pr. e. u vrijeme kralja Amenemkhet (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Kantoru harpedonapti, ili "zatezači užeta", izgrađeni pod pravim kutovima pomoću pravokutnih trokuta sa stranicama 3; 4 i 5.

Babilonija: [3]

“Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije otkriće matematike, nego njezino sistematiziranje i potkrijepljenje. U njihovim su rukama računalni recepti zasnovani na nejasnim predodžbama postali egzaktna znanost."

Povijest Pitagorinog teorema:,

Iako je ovaj teorem povezan s Pitagorinim imenom, bio je poznat mnogo prije njega.

U babilonskim tekstovima nalazi se 1200 godina prije Pitagore.

Očigledno, on je prvi pronašao dokaz za to. S tim u vezi napravljen je sljedeći zapis: "... kada je otkrio da u pravokutnom trokutu hipotenuza odgovara nogama, žrtvovao je bika napravljenog od pšeničnog tijesta."

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Proučavanje pitagorejskih brojeva.

Svaki trokut, stranice su povezane kao 3: 4: 5, prema poznatom Pitagorinom teoremu, - pravokutni, jer

3 2 + 4 2 = 5 2.

Osim brojeva 3,4 i 5, postoji, kao što je poznato, beskonačan skup cijelih pozitivnih brojeva a, b i c koji zadovoljava relaciju
A 2 + b 2 = c 2.
Ovi brojevi se zovuPitagorini brojevi

Pitagorine trojke poznate su jako dugo. U arhitekturi drevnih sopotamskih nadgrobnih spomenika nalazi se jednakokraki trokut sastavljen od dva pravokutna sa stranicama od 9, 12 i 15 lakata. Piramide faraona Sneferua (XXVII st. pr. Kr.) izgrađene su pomoću trokuta sa stranicama 20, 21 i 29, kao i od 18, 24 i 30 desetaka egipatskih lakata.[ 1 ]

Pravokutni trokut s katetama 3, 4 i hipotenuzom 5 naziva se egipatski trokut. Površina ovog trokuta jednaka je savršenom broju 6. Opseg je jednak 12 - broj koji se smatrao simbolom sreće i blagostanja.

Koristeći uže podijeljeno čvorovima na 12 jednakih dijelova, stari Egipćani su izgradili pravokutni trokut i pravi kut. Zgodna i vrlo točna metoda koju koriste geodeti za crtanje okomitih linija na tlu. Potrebno je uzeti vrpcu i tri klina, uzica je postavljena u trokut tako da se jedna strana sastoji od 3 dijela, druga od 4 dijela, a zadnja od pet takvih dionica. Kabel će se nalaziti u trokutu s pravim kutom.

Ova drevna metoda, koju su očito prije tisućama godina koristili graditelji egipatskih piramida, temelji se na činjenici da je svaki trokut, čije su stranice povezane kao 3: 4: 5, prema Pitagorinom teoremu, pravokutan.

Euklid, Pitagora, Diofant i mnogi drugi bavili su se pronalaskom pitagorinih trojki.[ 1]

Jasno je da ako (x, y, z ) Je Pitagorina trojka, onda za bilo koju prirodnu k trostruko (kx, ky, kz) također će biti pitagorejska trojka. Konkretno, (6, 8, 10), (9, 12, 15) itd. su pitagorejske trojke.

Kako se broj povećava, pitagorine trojke su sve rjeđe i sve ih je teže pronaći. Pitagorejci su izmislili metodu pronalaženja

takvih trojki i koristeći ih dokazao da postoji beskonačno mnogo pitagorinih trojki.

Trojke koje nemaju zajednički djelitelj veći od 1 nazivaju se najjednostavnijim.

Razmotrimo neka svojstva pitagorinih trojki.[ 1]

Prema Pitagorinom teoremu, ti brojevi mogu poslužiti kao duljine nekog pravokutnog trokuta; stoga se a i b nazivaju "noge", a c - "hipotenuza".
Jasno je da ako su a, b, c trojka pitagorinih brojeva, onda su pa, pb, pc, gdje je p cjelobrojni faktor, pitagorini brojevi.
Obratno je također istina!
Stoga ćemo prvo istražiti samo trojke koprostih Pitagorinih brojeva (ostale se iz njih dobivaju množenjem s cjelobrojnim faktorom p).

Pokažimo da u svakoj od ovih trojki a, b, c jedan od "katera" mora biti paran, a drugi neparan. Raspravljat ćemo "protuslovno". Ako su obje "krake" a i b parne, tada će broj a biti paran 2 + u 2 , pa stoga i "hipotenuza". No, to je u suprotnosti s činjenicom da brojevi a, b i c nemaju zajedničke faktore, budući da tri parna broja imaju zajednički faktor 2. Dakle, barem je jedan od "noga" a i b neparan.

Ostaje još jedna mogućnost: obje "noge" su neparne, a "hipotenuza" je parna. Lako je dokazati da to ne može biti, jer ako su "noge" oblika 2 x + 1 i 2y + 1, tada je zbroj njihovih kvadrata

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, tj. je broj koji, kada se podijeli s 4, daje ostatak od 2. U međuvremenu, kvadrat bilo kojeg parnog broja mora biti djeljiv s 4 bez ostatka.

To znači da zbroj kvadrata dvaju neparnih brojeva ne može biti kvadrat parnog broja; drugim riječima, naša tri broja nisu pitagorejska.

IZLAZ:

Dakle, iz "noga" a, u jednu parnu, a drugu neparnu. Dakle, broj a 2 + u 2 je neparan, što znači da je "hipotenuza" s također neparna.

Pitagora je pronašao formule koje se u modernom simbolizmu mogu napisati na sljedeći način: a = 2n + 1, b = 2n (n + 1), c = 2 n 2 + 2n + 1, gdje je n cijeli broj.

Ovi brojevi su pitagorine trojke.

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Izvođenje obrazaca za pronalaženje pitagorinih brojeva.

Ovdje su sljedeće pitagorejske trojke:

3, 4, 5; 9+16=25.
5, 12, 13; 25+144=225.
7, 24, 25; 49+576=625.
8, 15, 17; 64+225=289.
9, 40, 41; 81+1600=1681.
12, 35, 37; 144+1225=1369.
20, 21, 29; 400+441=881

Lako je vidjeti da množenjem svakog broja Pitagorine trojke s 2, 3, 4, 5 itd. dobivamo sljedeće trojke.

6, 8, 10;
9,12,15.
12, 16, 20;
15, 20, 25;
10, 24, 26;
18, 24, 30;
16, 30, 34;
21, 28, 35;
15, 36, 39;
24, 32, 40;
14, 48, 50;
30, 40, 50 itd.

Oni su također pitagorejski brojevi /

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Svojstva pitagorejskih brojeva.

Gledajući Pitagorine brojeve, vidio sam niz svojstava:
1) Jedan od pitagorejskih brojeva mora biti višekratnik tri;
2) Drugi od njih mora biti višekratnik četiri;
3) I treći od pitagorejskih brojeva mora biti višekratnik pet;

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Zaključak.

Geometrija je, kao i druge znanosti, nastala iz potreba prakse. Sama riječ "geometrija" je grčka, a u prijevodu znači "premjeravanje".

Ljudi su se vrlo rano suočili s potrebom mjerenja zemljišta. Već 3-4 tisuće godina pr. svaki komadić plodne zemlje u dolinama Nila, Eufrata i Tigrisa, rijeka Kine bio je važan za živote ljudi. To je zahtijevalo određenu količinu geometrijskog i aritmetičkog znanja.

Postupno su ljudi počeli mjeriti i proučavati svojstva složenijih geometrijskih oblika.

I u Egiptu i u Babilonu izgrađeni su kolosalni hramovi, čija se izgradnja mogla izvesti samo na temelju preliminarnih proračuna. Izgrađeni su i vodovodi. Sve je to zahtijevalo crteže i izračune. U to vrijeme, posebni slučajevi Pitagorinog teorema bili su dobro poznati, već su znali da ako uzmemo trokute sa stranicama x, y, z, gdje su x, y, z cijeli brojevi takvi da x 2 + y 2 = z 2 , tada će ti trokuti biti pravokutni.

Sva ta znanja izravno su primijenjena u mnogim sferama ljudskog života.

Tako do sada veliko otkriće znanstvenika i filozofa antike Pitagore nalazi izravnu primjenu u našem životu.

Izgradnja kuća, cesta, svemirskih brodova, automobila, alatnih strojeva, naftovoda, aviona, tunela, podzemnih željeznica i još mnogo, puno više. Pitagorine trojke nalaze izravnu primjenu u dizajnu mnogih stvari koje nas okružuju u svakodnevnom životu.

I umovi znanstvenika nastavljaju tražiti nove verzije dokaza Pitagorinog teorema.

V Kao rezultat svog rada uspio sam:
1. Saznajte više o Pitagori, njegovom životu, bratstvu Pitagorejaca.
2. Upoznati povijest Pitagorinog teorema.
3. Upoznajte Pitagorine brojeve, njihova svojstva, naučite ih pronaći i primijeniti u praksi.

Wormyak Vitalij Gennadievich

Krasnodarski teritorij, selo Žuravskaja, MOBU srednja škola br. 14, 9. razred

Pitagorini brojevi

Znanstveni savjetnik: Manko Galina Vasilievna, učiteljica matematike MOBU srednja škola №14

Književnost.

Zanimljiva algebra. JA I. Perelman (str. 117-120)
www.garshin.ru
image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Pogled na matematiku i nešto iz nje. - M .: MTsNMO, 2003.

5. Dječja enciklopedija. - M .: Izdavačka kuća Akademije pedagoških nauka RSFSR-a, 1959.

6. Stepanova L.L. Odabrana poglavlja osnovne teorije brojeva. - M .: Prometej, 2001.

7. V. Serpinsky Pitagorini trokuti. - M .: Učpedgiz, 1959. S. 111

Napredak istraživanja Povijesna stranica; Pitagorin poučak; Dokažite da jedan od "noga" mora biti paran, a drugi neparan; Izvođenje obrazaca za pronalaženje Pitagorinih brojeva; Otkriti svojstva pitagorejskih brojeva;

Uvod O Pitagori i njegovom životu čuo sam u petom razredu na satu matematike, a zanimala me izjava "Pitagorine hlače jednake su na sve strane". Dok sam proučavao Pitagorin teorem, zanimali su me pitagorini brojevi. Postavio sam cilj istraživanja: naučiti više o Pitagorinom teoremu i "Pitagorinim brojevima".

Istina neka je vječna, kako će je slab čovjek spoznati! A sada teorem Pitagore Vernea, kao u njegovom dalekom stoljeću

Iz povijesti pitagorejskih brojeva. Matematička knjiga drevne Kine Chu-pei: "Ako se pravi kut razloži na sastavne dijelove, tada će linija koja spaja krajeve njegovih stranica biti 5 kada je baza 3, a visina 4".

Pitagorejski brojevi među starim Egipćanima Cantor (najveći njemački povjesničar matematike) vjeruje da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. Kr., za vrijeme kralja Amenemhata (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapts, ili "zatezači užeta", gradili su prave kutove koristeći pravokutne trokute sa stranicama 3; 4 i 5.

Pitagorin teorem u Babiloniji “Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije bila otkriće matematike, nego njezino sistematiziranje i potkrijepljenje. U njihovim su rukama računalni recepti zasnovani na nejasnim predodžbama postali egzaktna znanost."

Svaki trokut, stranice su povezane kao 3: 4: 5, prema poznatom Pitagorinom teoremu, - pravokutni, budući da je 3 2 + 4 2 = 5 2. Osim brojeva 3,4 i 5, postoji , kao što znate, beskonačan skup pozitivnih cijelih brojeva a , v i s, koji zadovoljavaju odnos A 2 + v 2 = s 2. Ovi brojevi se nazivaju Pitagorini brojevi

Prema Pitagorinom teoremu, ti brojevi mogu poslužiti kao duljine nekog pravokutnog trokuta; stoga se a i b nazivaju "noge", a c - "hipotenuza". Jasno je da ako su a, b, c trojka pitagorinih brojeva, onda su pa, pb, pc, gdje je p cjelobrojni faktor, pitagorini brojevi. Obratno je također istina! Stoga ćemo prvo istražiti samo trojke koprimenih Pitagorinih brojeva (ostale se iz njih dobivaju množenjem cijelim faktorom p)

Izlaz! Dakle, od brojeva a i do jedan je paran, a drugi je neparan, što znači da je i treći broj neparan.

Ovdje su sljedeće pitagorejske trojke: 3, 4, 5; 9 + 16 = 25. 5, 12, 13; 25 + 144 = 169. 7, 24, 25; 49 + 576 = 625. 8, 15, 17; 64 + 225 = 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 = 841

Lako je vidjeti da množenjem svakog broja Pitagorine trojke s 2, 3, 4, 5 itd. dobivamo sljedeće trojke. 6, 8, 10; 9.12.15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 itd. Oni su također pitagorejski brojevi.

Svojstva pitagorinih brojeva Razmatrajući pitagorine brojeve, vidio sam niz svojstava: 1) Jedan od pitagorinih brojeva mora biti višekratnik tri; 2) jedan od njih mora biti višekratnik četiri; 3) I drugi od pitagorejskih brojeva mora biti višekratnik pet;

Praktična primjena Pitagorinih brojeva

Zaključak: Kao rezultat svog rada uspio sam 1. Saznajte više o Pitagori, njegovom životu, bratstvu Pitagorejaca. 2. Upoznati povijest Pitagorinog teorema. 3. Naučite o pitagorinim brojevima, njihovim svojstvima, naučite ih pronaći. Empirijski - eksperimentalno odgoditi pravi kut pomoću pitagorinih brojeva.

Svojstva

Budući da je jednadžba x 2 + y 2 = z 2 homogena, pri množenju x , y i z za isti broj dobijete još jednu pitagorinu trojku. Pitagorina trojka se zove primitivni, ako se ne može dobiti na ovaj način, odnosno - koprosti brojevi.

Primjeri za

Neke pitagorejske trojke (poređane uzlaznim redoslijedom maksimalnog broja, primitivno istaknuto):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Na temelju svojstava Fibonaccijevih brojeva, od njih možete sastaviti, na primjer, sljedeće pitagorejske trojke:

Povijest

Pitagorine trojke poznate su jako dugo. U arhitekturi drevnih mezopotamskih nadgrobnih spomenika nalazi se jednakokraki trokut sastavljen od dva pravokutna sa stranicama od 9, 12 i 15 lakata. Piramide faraona Snefrua (XXVII st. pr. Kr.) izgrađene su pomoću trokuta sa stranicama 20, 21 i 29, kao i od 18, 24 i 30 desetaka egipatskih lakata.

vidi također

Linkovi

E. A. Gorin Potencije prostih brojeva u pitagorejskim trojkama // Matematičko obrazovanje... - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što su "pitagorini brojevi" u drugim rječnicima:

Na primjer, trokuti prirodnih brojeva tako da je trokut čije su stranice proporcionalne (ili jednake) pravokutnim. tri broja: 3, 4, 5... Veliki enciklopedijski rječnik

Trokuta takvih prirodnih brojeva da je trokut, čije su stranice proporcionalne (ili jednake) tim brojevima, pravokutan, na primjer, trokuta brojeva: 3, 4, 5. * * * PITAGORSKI BROJEVI PITAGORSKI BROJEVI , trostruki takvih prirodnih brojeva da ... ... enciklopedijski rječnik

Trojke prirodnih brojeva tako da je trokut čije su stranice proporcionalne (ili jednake) tim brojevima pravokutan. Prema teoremu obrnutoj Pitagorinom teoremu (vidi Pitagorin teorem), za to je dovoljno da oni ... ...

Trojke pozitivnih cijelih brojeva x, y, z, koji zadovoljavaju jednadžbu x2 + y 2 = z2. Sva rješenja ove jednadžbe, a time i svi P. brojevi, izraženi su formulama x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, gdje su a, b proizvoljni pozitivni cijeli brojevi (a> b). p. h ... Enciklopedija matematike

Na primjer, trokuti prirodnih brojeva tako da je trokut, čija su duljina stranica proporcionalna (ili jednaka) tim brojevima, pravokutna. tri broja: 3, 4, 5... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

U matematici, Pitagorini brojevi (pitagorine trojke) su skup od tri cijela broja koji zadovoljavaju Pitagorinu relaciju: x2 + y2 = z2. Sadržaj 1 Svojstva 2 Primjeri ... Wikipedia

Brojčani brojevi su opći naziv za brojeve povezane s određenim geometrijskim likom. Ovaj povijesni koncept potječe još od Pitagorejaca. Vjerojatno je iz kovrčavih brojeva nastao izraz: "Na kvadrat na broj ili na kocku." Sadržaj ... ... Wikipedia

Brojčani brojevi su opći naziv za brojeve povezane s određenim geometrijskim likom. Ovaj povijesni koncept potječe još od Pitagorejaca. Postoje sljedeće vrste kovrčavih brojeva: Linearni brojevi brojevi koji se ne razlažu na faktore, odnosno njihove ... ... Wikipedia

- "Pi paradoks" je šala na temu matematike koja je bila u optjecaju među studentima sve do 80-ih (zapravo, prije masovne distribucije mikrokalkulatora) i povezivala se s ograničenom točnošću izračuna trigonometrijskih funkcija i ... . .. Wikipedia

- (grč. arithmetika, od arithmys broj) znanost o brojevima, prvenstveno o prirodnim (pozitivnim cijelim) brojevima i (racionalnim) razlomcima, te radnjama na njih. Posjedovanje dovoljno razvijenog koncepta prirodnog broja i sposobnosti ... ... Velika sovjetska enciklopedija

knjige

Arhimedovo ljeto, ili Povijest Commonwealtha mladih matematičara. Binarni brojevni sustav, Bobrov Sergej Pavlovič. Binarni brojevni sustav, "Hanojska kula", potez viteza, magični kvadrati, aritmetički trokut, kovrčavi brojevi, kombinacije, koncept vjerojatnosti, Mobiusova traka i Kleinova boca...

Beskrovny I.M. 1

1 OAO "Angstrem-M"

Cilj rada je razviti metode i algoritame za izračunavanje Pitagorinih trojki oblika a2 + b2 = c2. Proces analize proveden je u skladu s načelima sistemskog pristupa. Uz matematičke modele, koriste se grafički modeli koji svaki član Pitagorine trojke prikazuju u obliku složenih kvadrata od kojih se svaki sastoji od skupa jediničnih kvadrata. Utvrđeno je da beskonačan skup Pitagorinih trojki sadrži beskonačan broj podskupova koji se razlikuju prema razlici između vrijednosti b – c. Predlaže se algoritam za formiranje pitagorinih trojki s bilo kojom unaprijed određenom vrijednošću ove razlike. Pokazano je da Pitagorine trojke postoje za bilo koju vrijednost 3≤a

Pitagorine trojke

analiza sustava

matematički model

grafički model

1. Anosov D.N. Pogled na matematiku i nešto iz nje. - M .: MTsNMO, 2003. - 24 str.: ilustr.

2. Ayerland K., Rosen M. Klasični uvod u modernu teoriju brojeva. - M .: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analiza sustava i informacijska tehnologija u organizacijama: Udžbenik. - M .: RUDN, 2012 .-- 392 str.

4. Simon Singh. Fermatov posljednji teorem.

5. Fermat P. Studije teorije brojeva i diofantske analize. - M .: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Dostupno na: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pitagorine trojke su kohorta od tri cijela broja koji zadovoljavaju Pitagorinu relaciju x2 + y2 = z2. Općenito govoreći, ovo je poseban slučaj Diofantovih jednadžbi, odnosno sustava jednadžbi u kojima je broj nepoznanica veći od broja jednadžbi. Poznati su odavno, još od vremena Babilona, odnosno mnogo prije Pitagore. A ime su dobili nakon što je Pitagora na njihovoj osnovi dokazao svoj poznati teorem. Međutim, kao što proizlazi iz analize brojnih izvora, u kojima se pitanje pitagorejskih trojki dotiče na ovaj ili onaj način, pitanje postojećih klasa tih trojki i mogućih načina njihova nastanka još nije u potpunosti razotkriveno.

Tako se u knjizi Simona Singha kaže: - "Pitagorini učenici i sljedbenici... ispričali su svijetu tajnu pronalaska takozvanog pitagorejskog tri k." Međutim, nakon ovoga čitamo: - “Pitagorejci su sanjali da pronađu druge pitagorejske trojke, druge kvadrate, od kojih bi se mogao presavijati treći veliki kvadrat. ... Kako se broj povećava, pitagorine trojke su sve rjeđe i sve ih je teže pronaći. Pitagorejci su izmislili metodu za pronalaženje takvih trojki i koristeći je dokazali da postoji beskonačno mnogo pitagorejskih trojki."

U gornjem citatu istaknute su riječi koje izazivaju zabunu. Zašto su "pitagorejci sanjali da pronađu..." ako su "izmislili metodu pronalaženja takvih trojki..." i zašto za velike brojeve "sve teže ih je pronaći...".

U djelu poznatog matematičara D.V. Anosov, čini se da je željeni odgovor dat. - “Postoje trojke prirodnih (tj. pozitivnih cijelih brojeva) brojeva x, y, z tako da

x2 + y2 = z2. (1)

… Je li moguće pronaći sva rješenja jednadžbe x2 + y2 = z2 u prirodnim brojevima? …Da. Odgovor je sljedeći: svako takvo rješenje može se predstaviti u obliku

x = l (m2-n2), y = 2lmn, z = l (m2 + n2), (2),

gdje su l, m, n prirodni brojevi, s m> n, ili u sličnom obliku, u kojem su x i y izmijenjeni. Može se reći malo kraće da su x, y, z iz (2) sa svim mogućim prirodnim brojevima l i m> n sva moguća rješenja za (1) sve do permutacije x i y. Na primjer, trojka (3, 4, 5) se dobiva kada je l = 1, m = 2, n = 1. ... Navodno su Babilonci znali ovaj odgovor, ali kako su došli do njega nije poznato."

Matematičari su obično poznati po svojoj zahtjevnosti u svojim formulacijama. Ali, u ovom citatu takva se strogost ne opaža. Pa što točno: pronaći ili zamisliti? Očito su to potpuno različite stvari. Ispod je red "svježe pečenih" trojki (dobivenih dolje opisanom metodom):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Nema sumnje da se svaki od ovih trojki može predstaviti u obliku relacije (2) i nakon toga se mogu izračunati vrijednosti l, m, n. Ali, to je nakon što su pronađene sve vrijednosti trojki. Ali što s prije toga?

Ne može se isključiti da su odgovori na ova pitanja odavno poznati. Ali iz nekog razloga još nisu pronađeni. Dakle, svrha ovog rada je sustavna analiza skupa poznatih primjera pitagorejskih trojki, potraga za sustavotvornim odnosima u različitim skupinama trojki i identifikacija sistemskih obilježja karakterističnih za te skupine, a zatim - razvoj jednostavni učinkoviti algoritmi za izračun trojki s unaprijed određenom konfiguracijom. Pod konfiguracijom podrazumijevamo odnos između veličina koje čine triplet.

Kao alat koristit će se matematički aparat na razini koja ne izlazi iz okvira matematike koja se uči u srednjoj školi, te analiza sustava na temelju metoda opisanih u.

Izgradnja modela

Sa stajališta analize sustava, bilo koja pitagorina trojka je sustav koji čine objekti, a to su tri broja i njihova svojstva. Njihov agregat, u kojem se objekti postavljaju u određene relacije i tvore sustav s novim svojstvima koja nisu svojstvena niti pojedinačnim objektima niti bilo kojem drugom skupu, gdje se objekti postavljaju u druge odnose.

U jednadžbi (1) objekti sustava su prirodni brojevi povezani jednostavnim algebarskim odnosima: lijevo od znaka jednakosti je zbroj dvaju brojeva podignutih na stepen 2, desno je treći broj, također podignut na stepen 2. Odvojeni brojevi, lijevo od jednakosti, podignuti na stepen 2, ne nameću nikakva ograničenja operaciji njihovog zbrajanja - rezultirajući zbroj može biti bilo što. No, znak jednakosti, postavljen nakon operacije zbrajanja, nameće ograničenje sustava na vrijednost ove sume: zbroj mora biti toliki broj da rezultat operacije vađenja kvadratnog korijena bude prirodan broj. I ovaj uvjet nije ispunjen ni za jedan broj koji je zamijenjen u lijevu stranu jednakosti. Dakle, znak jednakosti, postavljen između dva člana jednadžbe i trećeg, pretvara tri člana u sustav. Nova značajka ovog sustava je uvođenje ograničenja na vrijednosti početnih brojeva.

Na temelju oblika zapisa, Pitagorina trojka se može smatrati matematičkim modelom geometrijskog sustava koji se sastoji od tri kvadrata povezana relacijama zbrajanja i jednakosti, kao što je prikazano na Sl. 1. sl. 1 je grafički model sustava koji se razmatra, a njegov verbalni model je izjava:

Površina kvadrata duljine stranice c može se bez ostatka podijeliti na dva kvadrata sa stranicama a i b, tako da je zbroj njihovih površina jednak površini izvornog kvadrata, tj. tri veličine a, b i c povezane su omjerom

Grafički model dekompozicije kvadrata

U okviru kanona analize sustava poznato je da ako matematički model na odgovarajući način odražava svojstva određenog geometrijskog sustava, onda analiza svojstava samog tog sustava omogućuje razjašnjavanje svojstava njegovog matematičkog modela, dublje ih upoznati, razjasniti i po potrebi poboljšati. Mi ćemo se držati ovog puta.

Pojasnimo da se prema principima analize sustava operacije zbrajanja i oduzimanja mogu izvoditi samo na složenim objektima, odnosno objektima koji se sastoje od skupa elementarnih objekata. Stoga ćemo svaki kvadrat percipirati kao lik sastavljen od skupa elementarnih ili jediničnih kvadrata. Tada je uvjet za dobivanje rješenja u prirodnim brojevima ekvivalentan prihvaćanju uvjeta da je jedinični kvadrat nedjeljiv.

Jedinični kvadrat je kvadrat u kojemu je duljina svake strane jednaka jedan. To jest, kada je površina jediničnog kvadrata određena sljedećim izrazom.

Kvantitativni parametar kvadrata je njegova površina, određena brojem jediničnih kvadrata koji se mogu postaviti na određeno područje. Za kvadrat s proizvoljnom x vrijednošću, izraz x2 definira površinu kvadrata koju čine segmenti jedinice x duljine. X2 jedinični kvadrati mogu se postaviti na površinu ovog kvadrata.

Gore navedene definicije mogu se uzeti kao trivijalne i očite, ali nisu. D.N. Anosov definira pojam površine na drugačiji način: - „... površina figure jednaka je zbroju površina njegovih dijelova. Zašto smo sigurni da je to tako? ... Zamišljamo lik napravljen od neke vrste homogenog materijala, tada je njegova površina proporcionalna količini tvari koja se u njemu nalazi - njegovoj masi. Nadalje se podrazumijeva da kada tijelo podijelimo na nekoliko dijelova, zbroj njihovih masa jednak je masi izvornog tijela. To je razumljivo, jer se sve sastoji od atoma i molekula, a budući da se njihov broj nije promijenio, nije se promijenila ni njihova ukupna masa... Doista, zapravo, masa komada homogenog materijala proporcionalna je njegovom volumenu; stoga morate znati da je volumen "lima" koji ima oblik dane figure proporcionalan njegovoj površini. Jednom riječju, ... da je površina figure jednaka zbroju površina njegovih dijelova, u geometriji je to potrebno dokazati. ... U Kiseljevom udžbeniku postojanje područja koje ima upravo ono svojstvo o kojem sada govorimo iskreno je postulirano kao svojevrsna pretpostavka i rečeno je da je to zapravo istina, ali mi to nećemo dokazivati. Dakle, Pitagorin teorem, ako se dokaže s područjima, u čisto logičkom smislu neće ostati potpuno dokazan."

Čini nam se da gore uvedene definicije jediničnog kvadrata uklanjaju ono što je naznačio D.N. Anosovska neizvjesnost. Doista, ako je veličina površine kvadrata i pravokutnika određena zbrojem jediničnih kvadrata koji ih ispunjavaju, tada kada se pravokutnik podijeli na proizvoljne, susjedne dijelove, površina pravokutnika je prirodno jednak zbroju svih njegovih dijelova.

Štoviše, uvedene definicije otklanjaju dvosmislenost upotrebe pojmova “podijeli” i “dodaj” u odnosu na apstraktne geometrijske figure. Doista, što znači podijeliti pravokutnik ili bilo koji drugi ravni oblik na dijelove? Ako je to komad papira, možete ga rezati škarama. Ako je zemljište - stavite ogradu. Soba - stavite pregradu. Što ako je to nacrtani kvadrat? Nacrtati razdjelnu crtu i izjaviti da je kvadrat podijeljen? No, nakon svega, D.I. Mendeljejev: "... Možete sve proglasiti, ali vi - idite i demonstrirajte!"

A kada koristite predložene definicije, "Podijelite lik" znači podijeliti broj jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ovu figuru na dva (ili više) dijelova. Broj jediničnih kvadrata u svakom od ovih dijelova određuje njegovu površinu. Ovim dijelovima možete dati bilo koju konfiguraciju, ali zbroj njihovih površina uvijek će biti jednak površini izvorne figure. Možda će matematičari ove argumente smatrati netočnima, onda ćemo ih prihvatiti kao pretpostavku. Ako su takve pretpostavke prihvatljive u Kiselevovu udžbeniku, onda bi nam bio grijeh ne koristiti takvu tehniku.

Prva faza analize sustava je identificiranje problemske situacije. Na početku ove faze ispitano je nekoliko stotina pitagorejskih trojki pronađenih u raznim izvorima. Istodobno je skrenuta pozornost na činjenicu da se cijeli skup pitagorejskih trojki koji se spominju u publikacijama može podijeliti u nekoliko skupina koje se razlikuju po konfiguraciji. Razlika u duljinama stranica izvornog i oduzetog kvadrata, odnosno vrijednost c-b, smatrat će se znakom specifične konfiguracije. Na primjer, publikacije vrlo često pokazuju trojke koje zadovoljavaju uvjet c-b = 1 kao primjer. Pretpostavimo da cijeli skup takvih Pitagorinih trojki tvori skup koji ćemo nazvati "Klasa c-1" i analizirati svojstva ove klase.

Razmotrimo tri kvadrata prikazana na slici, gdje je c duljina stranice reduciranog kvadrata, b duljina stranice kvadrata koji treba oduzeti, a a duljina stranice kvadrata formiranog od njihove razlike. Na sl. 1 da kada se od površine reduciranog kvadrata oduzme površina kvadrata za oduzimanje, u ostatku ostaju dvije trake jediničnih kvadrata:

Da bi ovaj ostatak mogao oblikovati kvadrat, uvjet

Ovi omjeri omogućuju određivanje vrijednosti svih članova trojke za jedan zadani broj c. Najmanji broj c koji zadovoljava relaciju (6) je broj c = 5. Dakle, određene su duljine sve tri strane kvadrata koji zadovoljavaju relaciju (1). Podsjetimo da je b vrijednost stranice srednjeg kvadrata

je odabran kada smo odlučili oblikovati srednji kvadrat smanjenjem stranice izvornog kvadrata za jedan. Zatim iz relacija (5), (6). (7) dobivamo sljedeću relaciju:

iz čega slijedi da odabrana vrijednost c = 5 jedinstveno postavlja vrijednosti b = 4, a = 3.

Kao rezultat toga, dobiveni su odnosi koji omogućuju predstavljanje bilo koje pitagorejske trojke klase "c - 1" u takvom obliku, gdje su vrijednosti sva tri pojma određene jednim specificiranim parametrom - vrijednošću c:

Dodajmo da se broj 5 u gornjem primjeru pojavio kao minimum od svih mogućih vrijednosti c za koje jednadžba (6) ima rješenje u prirodnim brojevima. Sljedeći broj koji ima isto svojstvo je 13, zatim 25, zatim 41, 61, 85 itd. Kao što vidite, u ovom nizu brojeva intervali između susjednih brojeva se intenzivno povećavaju. Tako, na primjer, nakon dopuštene vrijednosti slijedi sljedeća dopuštena vrijednost, a nakon sljedeće dopuštena vrijednost, odnosno dopuštena vrijednost je više od pedeset milijuna udaljena od prethodne!

Sada je jasno otkud ova fraza u knjizi: - "Kako se brojevi povećavaju, pitagorine trojke su sve rjeđe i sve ih je teže pronaći...". Međutim, ova izjava nije točna. Treba samo pogledati pitagorejske trojke koje odgovaraju gornjim parovima susjednih vrijednosti c, jer jedna karakteristika odmah upada u oči - u oba para, u kojima su vrijednosti c razmaknute tako velikim razmacima, vrijednosti a ispadaju susjedni neparni brojevi. Doista, za prvi par koji imamo

a za drugi par

Dakle, nisu same trojke one koje su "sve rjeđe", već se intervali između susjednih vrijednosti c povećavaju. Same pitagorejske trojke, kao što će biti prikazano u nastavku, postoje za bilo koji prirodni broj.

Sada razmotrimo trojke sljedeće klase - "Klasa c-2". Kako se vidi iz sl. 1, kada se od kvadrata sa stranicom c oduzme kvadrat sa stranicom (c - 2), formira se ostatak u obliku zbroja dviju jediničnih traka. Vrijednost ovog zbroja određena je jednadžbom:

Iz jednadžbe (10) dobivamo relacije koje definiraju bilo koji od beskonačnog skupa trojki klase "c-2":

Uvjet za postojanje rješenja jednadžbe (11) u prirodnim brojevima je svaka takva vrijednost c za koju je a prirodan broj. Minimalna vrijednost c za koju postoji rješenje je c = 5. Tada je "početni" triplet za ovu klasu trojki određen skupom a = 4, b = 3, c = 5. To je, opet, klasični triplet Formira se 3, 4, 5, samo što je sada površina kvadrata za oduzimanje manja od površine ostatka.

I na kraju, analizirajmo trojke razreda C-8. Za ovu klasu trojki, oduzimanjem površine kvadrata od površine c2 izvornog kvadrata, dobivamo:

Zatim, iz jednadžbe (12) slijedi:

Minimalna vrijednost c pri kojoj rješenje postoji je c = 13. Pitagorina trojka s ovom vrijednošću imat će oblik 12, 5, 13. U ovom slučaju, opet, površina kvadrata za oduzimanje je manja od površina ostatka. A preuređivanjem oznaka na mjestima, dobivamo trojku 5, 12, 13, koja po svojoj konfiguraciji pripada klasi "c - 1". Čini se da daljnja analiza drugih mogućih konfiguracija neće otkriti ništa bitno novo.

Izvođenje projektnih omjera

U prethodnom odjeljku, logika analize je razvijena u skladu sa zahtjevima analize sustava u četiri od njezinih pet glavnih faza: analiza problemske situacije, formiranje ciljeva, formiranje funkcija i formiranje strukture. Sada je vrijeme da se prijeđe na završnu, petu fazu – provjeru izvedivosti, odnosno provjeru u kojoj su mjeri ostvareni zacrtani ciljevi. ...

Tablica 1 prikazana je u nastavku. 1, koji prikazuje vrijednosti pitagorinih trojki koje pripadaju klasi "c - 1". Većina trojki nalazi se u raznim publikacijama, ali trojke za vrijednosti jednake 999, 1001 nisu se susrele u poznatim publikacijama.

stol 1

Pitagorine trojke klase "s-1"

Može se provjeriti da sve trojke zadovoljavaju relaciju (3). Time je jedan od zacrtanih ciljeva ostvaren. Relacije (9), (11), (13) dobivene u prethodnom odjeljku omogućuju formiranje beskonačnog skupa trojki, specificirajući jedini parametar c - stranu reduciranog kvadrata. Ovo je, naravno, konstruktivnija opcija od relacije (2), za čiju upotrebu treba proizvoljno postaviti tri broja l, m, n koji imaju bilo koju vrijednost, a zatim tražiti rješenje, znajući samo da je rezultat a Pitagorina trojka će se sigurno dobiti, a koja je unaprijed nepoznata. U našem slučaju, konfiguracija formirane trojke je unaprijed poznata i potrebno je postaviti samo jedan parametar. Ali, nažalost, nema rješenja za svaku vrijednost ovog parametra. I morate unaprijed znati njegove dopuštene vrijednosti. Dakle, rezultat je dobar, ali daleko od idealnog. Poželjno je dobiti takvo rješenje kako bi se pitagorine trojke mogle izračunati za bilo koji proizvoljno zadan prirodni broj. U tu svrhu vratimo se na četvrtu fazu - formiranje strukture dobivenih matematičkih odnosa.

Budući da se izbor c kao osnovnog parametra za određivanje preostalih članova trojke pokazao nezgodnim, trebalo bi isprobati drugu opciju. Kao što možete vidjeti iz tablice. 1, izbor parametra a kao osnovnog čini se poželjnijim, budući da su vrijednosti ovog parametra u nizu u nizu neparnih prirodnih brojeva. Nakon jednostavnih transformacija odnose (9) dovodimo u konstruktivniji oblik:

Relacije (14) omogućuju nam da pronađemo Pitagorinu trojku za bilo koju unaprijed određenu neparnu vrijednost a. Međutim, jednostavnost izraza za b omogućuje izvođenje izračuna čak i bez kalkulatora. Doista, odabirom, na primjer, broja 13, dobivamo:

A za broj 99, odnosno, dobivamo:

Relacije (15) omogućuju dobivanje vrijednosti sva tri člana Pitagorinog niza za bilo koji zadani n, počevši od n = 1.

Sada razmotrimo pitagorejske trojke klase "c - 2". Stol Slika 2 prikazuje deset takvih trojki kao primjer. Štoviše, u poznatim publikacijama pronađena su samo tri para trojki - 8, 15, 23; 12, 35, 36; i 16, 63, 65. Pokazalo se da je to bilo dovoljno za određivanje obrazaca po kojima se oni formiraju. Preostalih sedam pronađeno je iz prethodno izvedenih relacija (11). Radi lakšeg izračunavanja, ovi omjeri su transformirani tako da su svi parametri izraženi u terminima a. Iz (11) jasno proizlazi da sve trojke za klasu "c - 2" zadovoljavaju sljedeće odnose:

tablica 2

Pitagorine trojke klase "c-2"

Kao što možete vidjeti iz tablice. 2, cijeli beskonačni skup trojki klase "c - 2" može se podijeliti u dvije podklase. Za trojke u kojima je vrijednost a djeljiva sa 4 bez ostatka, vrijednosti b i c su neparne. Takve trojke s GCD = 1 nazivamo primitivnim. Za trojke za koje a nije djeljivo s 4 u cijelim brojevima, sva tri člana trojke a, b, c su parna.

Sada prijeđimo na razmatranje rezultata analize treće istaknute klase - klase "c - 8". Izračunati omjeri za ovu klasu, dobiveni iz (13), imaju oblik:

Relacije (20), (21) su u biti identične. Jedina razlika je u izboru slijeda radnji. Ili, u skladu s (20), odabire se željena vrijednost a (u ovom slučaju potrebno je da ta vrijednost bude djeljiva s 4), zatim se određuju vrijednosti b i c. Ili, bira se proizvoljan broj, a zatim se iz relacija (21) određuju sva tri člana Pitagorine trojke. Stol 3 prikazuje broj Pitagorinih trojki izračunatih na ovaj način. Međutim, izračunavanje vrijednosti pitagorinih trojki može biti još lakše. Ako je barem jedna vrijednost poznata, tada se sve sljedeće vrijednosti vrlo jednostavno određuju sljedećim relacijama:

Tablica 3

Valjanost relacije (22) za sve može se provjeriti i trojkama iz tablice. 2 i drugi izvori. Kao primjer, u tablici. 4, kurzivom ispisane trojke iz opširne tablice Pitagorinih trojki (10 000 trojki), izračunate na temelju računalnog programa prema relaciji (2), a podebljane - trojke izračunate prema relaciji (20). Ove vrijednosti su bile odsutne u navedenoj tablici.

Tablica 4

Pitagorejske trojke klase "c-8"

Sukladno tome, za trojke oblika mogu se koristiti sljedeći omjeri:

I za trojke poput<>, imamo omjer:

Treba naglasiti da gore navedene klase trojki "c - 1", "c - 2", "c - 8" čine više od 90% prvih tisuću trojki, prema tablici koja je navedena. To daje razlog da se ove klase percipiraju kao osnovne. Dodajmo da pri izvođenju relacija (22), (23), (24) nisu korištena nikakva posebna svojstva brojeva koji se proučavaju u teoriji brojeva (prosti, koprosti, itd.). Otkriveni obrasci formiranja pitagorinih trojki posljedica su samo sistemskih svojstava geometrijskih figura opisanih ovim trojkama - kvadrata koji se sastoje od skupa jediničnih kvadrata.

Zaključak

Sada, kao što je Andrew Wiles rekao 1993., "Mislim da bih tu trebao stati." Zacrtani cilj je u potpunosti ostvaren. Pokazalo se da je analiza svojstava matematičkih modela čija je struktura povezana s geometrijskim likovima uvelike pojednostavljena ako se u procesu analize, uz čisto matematičke proračune, uzmu i geometrijska svojstva proučavanih modela. u račun. Pojednostavljenje se postiže, posebice, zbog činjenice da istraživač "vidi" željene rezultate bez provođenja matematičkih transformacija.

Na primjer, jednakost

postaje očito bez transformacija na lijevoj strani, treba samo pogledati sl. 1, koji prikazuje grafički model ove jednakosti.

Kao rezultat toga, na temelju provedene analize pokazuje se da se za svaki kvadrat sa stranicom mogu pronaći kvadrati sa stranicama b i c, tako da je za njih zadovoljena jednakost i dobiveni su odnosi koji daju rezultate s minimalnim količina izračuna:

za neparne vrijednosti a,

i - za parne vrijednosti.

Bibliografska referenca

Beskrovny I.M. ANALIZA SUSTAVA SVOJSTVA PITAGOROVA DRVETA // Suvremene znanstveno-intenzivne tehnologije. - 2013. - Broj 11. - Str. 135-142;
URL: http: // site / ru / article / view? Id = 33537 (datum pristupa: 20.03.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje "Akademija prirodnih znanosti"

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183