Pitagorine trojke prirodnih brojeva. Upotreba pitagorejskih trojki u rješavanju geometrijskih zadataka i trigonometrijskih zadataka ispita. Shustrov klasifikacija pitagorejskih trojki

Pitagorine trojke brojeva

Kreativni rad

učenik 8 "A" razred

MAOU "Gimnazija br. 1"

Okrug Oktjabrski u Saratovu

Panfilov Vladimir

Supervizor - učitelj matematike najviše kategorije

Grishina Irina Vladimirovna

Sadržaj

Uvod ………………………………………………………………………………… 3

Teorijski dio rada

Pronalaženje glavnog pitagorejskog trokuta

(drevne hinduističke formule) ……………………………………………………………… 4

Praktični dio rada

Kompilacija pitagorejskih trojki na razne načine ..................... 6

Važno svojstvo pitagorejskih trokuta …………………………………… ... 8

Zaključak …………………………………………………………………………… .... 9

Literatura ……………………………………………………………………… ... 10

Uvod

Ove smo akademske godine na satima matematike proučavali jedan od najpopularnijih teorema u geometriji - Pitagorin teorem. Pitagorin teorem primjenjuje se u geometriji na svakom koraku, našao je široku primjenu u praksi i svakodnevnom životu. No, osim samog teorema, proučavali smo i teorem suprotan Pitagorinom teoremu. U vezi s proučavanjem ovog teorema, upoznali smo se s pitagorejskim trojkama brojeva, t.j. sa skupovima od 3 prirodna brojaa , b ic , za koju vrijedi sljedeća relacija: = + ... Takvi skupovi uključuju, na primjer, sljedeće trojke:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Odmah sam imao pitanja: koliko se pitagorejskih trojki možete sjetiti? Kako ih sastavljate?

U našem udžbeniku geometrije, nakon izlaganja teorema obratnog Pitagorinom teoremu, izrečena je važna napomena: može se dokazati da nogeali ib i hipotenuzaiz pravokutni trokuti, čije su duljine stranica izražene prirodnim brojevima, mogu se pronaći po formulama:

ali = 2kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

gdjek , m , n - bilo koji prirodni broj im > n .

Prirodno se postavlja pitanje - kako dokazati ove formule? I da li se samo pomoću ovih formula mogu sastaviti pitagorejske trojke?

U svom radu pokušao sam odgovoriti na svoja pitanja.

Teorijski dio rada

Pronalaženje glavnog pitagorejskog trokuta (formule drevnih hindusa)

Prvo dokazujemo formule (1):

Označimo duljine nogu krozx ina , i duljina hipotenuze krozz ... Prema pitagorejskom teoremu imamo jednakost:+ = .(2)

Ova se jednadžba naziva Pitagorina jednadžba. Proučavanje pitagorejskih trokuta svodi se na rješavanje jednadžbe (2) u prirodnim brojevima.

Ako se svaka stranica nekog pitagorejskog trokuta poveća za isti broj puta, tada ćemo dobiti novi pravokutni trokut, sličan ovom sa stranicama izraženim u prirodnim brojevima, tj. opet pitagorejski trokut.

Među svim takvim trokutima postoji i najmanji, lako je pogoditi da će to biti trokut, čije su stranicex ina izraženo u relativnim prostim brojevima

(GCD (x, y )=1).

Takav pitagorejski trokut nazivamoglavni .

Pronalaženje glavnih pitagorejskih trokuta.

Neka je trokut (x , g , z ) - glavni pitagorejski trokut. Brojevix ina - međusobno su jednostavni, pa stoga oboje ne mogu biti parni. Dokažimo da ne mogu biti oboje i neobični. Da biste to učinili, zabilježite tokvadrat neparnog broja kada se podijeli s 8 daje ostatak 1. Doista, bilo koji neparni prirodni broj može se predstaviti kao2 k -1 gdjek pripadaN .

Stoga: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Brojevi( k -1) ik - uzastopno, jedan od njih je nužno paran. Zatim izrazk ( k -1) podjeljeno sa2 , 4 k ( k -1) je djeljivo sa 8, što znači da je broj dijeljenjem sa 8 daje ostatak od 1.

Zbroj kvadrata dva neparna broja daje, kada se podijeli sa 8, u ostatku 2, dakle zbroj kvadrata dva neparna broja je paran broj, ali ne i višekratnik 4, pa je prema tome taj brojne može biti kvadrat prirodnog broja.

Dakle, jednakost (2) ne može vrijediti akox ina oboje su čudni.

Dakle, ako je pitagorejski trokut (x, y, z ) je glavni, zatim među brojevimax ina jedan mora biti paran, a drugi neparan. Neka broj y bude paran. Brojevix iz neparan (neparanz proizlazi iz jednakosti (2)).

Iz jednadžbe+ = shvaćamo to= ( z + x )( z - x ) (3).

Brojeviz + x iz - x kao zbroj i razlika dva neparna broja - brojevi su parni, i stoga (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b gdjeali ib pripadatiN .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a + b , x = a - b. (5)

Iz ovih jednakosti proizlazi daa ib - usporedni brojevi.

Dokažimo to argumentujući kontradiktornošću.

Neka gcd (a , b )= d gdjed >1 .

Zatimd z ix , a time i brojeviz + x iz - x ... Zatim, na temelju jednakosti (3) bio bi djelitelj broja ... U ovom slučajud bio bi zajednički djelitelj brojevana ix već brojevina ix moraju biti međusobno jednostavni.

Brojna zna se da je dakle ujednačenoy = 2s gdjeiz - prirodni broj. Jednakost (3) koja se temelji na jednakosti (4) ima sljedeći oblik: = 2a * 2 b , ili = ab.

Iz aritmetike je poznato daako je umnožak dvaju zajedničkih brojeva kvadrat prirodnog broja, tada je svaki od tih brojeva ujedno i kvadrat prirodnog broja.

Sredstva,a = ib = gdjem in Jesu li međusobno prosti brojevi, budući da oni su djelitelji koprimnih brojevaali ib .

Na temelju jednakosti (5) imamo:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Zatimy = 2 mn .

Brojevim in od su koprim, ne mogu biti čak i istodobno. Ali oni ne mogu biti istovremeno čudni, jer u ovom slučajux = - bilo bi ujednačeno, što je nemoguće. Dakle, jedan od brojevam ilin je paran, a drugi je neparan. Očitoy = 2 mn je djeljivo sa 4. Stoga je u svakom osnovnom pitagorejskom trokutu barem jedan krak djeljiv sa 4. Iz toga slijedi da ne postoje pitagorejski trokuti, čije bi sve strane bili prosti brojevi.

Dobiveni rezultati mogu se izraziti sljedećim teoremom:

Svi osnovni trokuti u kojimana je paran broj, dobiven iz formule

x = - , g =2 mn , z = + ( m > n ), gdjem in - svi parovi koprimeranih brojeva, od kojih je jedan paran, a drugi neparan (nije važno koji). Svaka osnovna pitagorejska trojka (x, y, z ), gdjena - čak, - je jedinstveno određeno na ovaj način.

Brojevim in ne mogu biti oboje parni ili oboje neparni, jer u tim slučajevima

x = bilo bi ujednačeno, što je nemoguće. Dakle, jedan od brojevam ilin je paran, a drugi je neparan (g = 2 mn je višekratnik 4).

Praktični dio rada

Sastavljanje pitagorejskih trojki na razne načine

U formulama Indijanacam in - koprimeran, ali mogu biti brojevi proizvoljnog pariteta i prilično je teško iz njih sastaviti pitagorejske trojke. Stoga ćemo pokušati pronaći drugačiji pristup sastavljanju pitagorejskih trojki.

= - = ( z - g )( z + g ), gdjex - neparan,g - čak,z - neparan

v = z - g , u = z + g

= uv gdjeu - neparan,v - neparno (coprime)

Jer umnožak dva neparna istovjetna broja kvadrat je tada prirodnog brojau = , v = , gdjek il - koprimeran, neparan broj.

z - g = z + g = k 2 , odakle zbrajanjem jednakosti i oduzimanjem druge od jedne dobivamo:

2 z = + 2 g = - tj

z = y = x = kl

41 (snule)*(100…0 (snule) +1)+1 =200…0 (s-1nule) 200…0 (s-1nule) 1

Važno svojstvo pitagorejskih trokuta

Teorema

U glavnom pitagorejskom trokutu jedna od kateta nužno je djeljiva sa 4, jedna od kateta nužno je djeljiva s 3, a površina Pitagorinog trokuta nužno je višekratnik 6.

Dokaz

Kao što znamo, u bilo kojem pitagorejskom trokutu barem je jedna kateta djeljiva s 4.

Dokažimo da je jedna od noga također djeljiva sa 3.

Za dokaz, pretpostavimo da je u pitagorejskom trokutu (x , g , z x ilig višekratnik od 3.

Sada ćemo dokazati da je područje pitagorejskog trokuta djeljivo sa 6.

Svaki pitagorejski trokut ima površinu izraženu prirodnim brojem djeljivim sa 6. To proizlazi iz činjenice da je barem jedan krak djeljiv s 3, a najmanje jedan krak djeljiv s 4. Površina trokuta , određeno poluproizvodom nogu, treba izraziti kao višekratnik 6 ...

Zaključak

Na poslu

- provjerene formule drevnih hindusa

-provedeno istraživanje broja pitagorejskih trojki (ima ih beskrajno mnogo)

- naznačene su metode pronalaska pitagorejskih trojki

-učio neka svojstva pitagorejskih trokuta

Bila mi je to vrlo zanimljiva tema i pronalaženje odgovora na moja pitanja postalo je vrlo zanimljiva vježba. U budućnosti planiram razmotriti vezu pitagorejskih trojki s Fibonaccijevim nizom i Fermatovim teoremom i naučiti još mnoga svojstva pitagorejskih trokuta.

Književnost

L.S. Atanasyan "Geometrija. 7-9 razredi" M.: Obrazovanje, 2012 (monografija).

V. Serpinsky „Pitagorini trokuti“ M .: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014

Dalje ćemo razmotriti poznate metode za stvaranje učinkovitih pitagorejskih trojki. Učenici Pitagore prvi su izumili jednostavan način generiranja pitagorejskih trojki pomoću formule čiji dijelovi predstavljaju pitagorejski triplet:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Gdje m- nespareni, m> 2. Stvarno,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Sličnu formulu predložio je drevni grčki filozof Platon:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Gdje m- bilo koji broj. Za m= 2,3,4,5 generiraju se sljedeće trojke:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Kao što vidite, ove formule ne mogu dati sve moguće primitivne trojke.

Razmotrimo sljedeći polinom koji se razlaže na zbroj polinoma:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Stoga slijede formule za dobivanje primitivnih trojki:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Te formule generiraju trojke u kojima se prosjek razlikuje od najveće za točno jednu, odnosno ne generiraju se i sve moguće trojke. Ovdje su prva tri jednaka: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Da biste odredili kako generirati sve primitivne trojke, trebali biste istražiti njihova svojstva. Prvo, ako ( a, b, c) Je li to primitivni triplet a i b, b i c, ali i c- mora biti međusobno jednostavno. Neka bude a i b dijele se na d... Zatim a 2 + b 2 - također djeljivo sa d... Odnosno, c 2 i c treba podijeliti na d... Odnosno, to nije primitivna trojka.

Drugo, među brojevima a, b jedna mora biti uparena, a druga nesparena. Doista, ako a i b- uparen, dakle iz bit će upareni, a brojevi se mogu podijeliti s najmanje 2. Ako su obojica nespareni, mogu se predstaviti kao 2 k+1 i 2 l+1 gdje k,l- neki brojevi. Zatim a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, tj. iz 2 kao i a 2 + b 2, kada se podijeli sa 4, ima ostatak 2.

Neka bude iz- bilo koji broj, tj iz = 4k+i (i= 0, ..., 3). Zatim iz 2 = (4k+i) 2 ima ostatak 0 ili 1 i ne može imati ostatak 2. Dakle, a i b ne može biti uparen, tj a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 i ostatak iz 2 sa 4 mora biti 1, što znači da iz mora biti uparen.

Sljedeći brojevi zadovoljavaju takve zahtjeve za elemente pitagorejskog tripleta:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Gdje m i n- međusobno jednostavni s različitim uparivanjem. Po prvi puta su ove ovisnosti postale poznate iz djela Euklida koji je živio 2300 r. leđa.

Dokažimo valjanost ovisnosti (2). Neka bude ali- uparen, dakle b i c- nesparen. Zatim c + b i c − b- uparen. Mogu se predstaviti kao c + b = 2u i c − b = 2v gdje u,v- neke cijele brojeve. stoga

a 2 = iz 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv

I stoga ( a/2) 2 = uv.

Proturječnošću se može dokazati da u i v- međusobno jednostavno. Neka bude u i v- dijele se na d... Tada ( c + b) i ( c − b) dijele se na d... I stoga c i b treba podijeliti na d, a to je u suprotnosti s uvjetom za pitagorejski triplet.

Kao uv = (a/ 2) 2 i u i v Jesu li koprimski, onda je to lako dokazati u i v moraju biti kvadrati nekih brojeva.

Dakle, postoje pozitivne cijele brojke m i n takav da u = m 2 i v = n 2. Zatim

ali 2 = 4uv = 4m 2 n 2 tako da
ali = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Kao b> 0, onda m > n.

To ostaje pokazati m i n imaju drugačije uparivanje. Ako a m i n- uparen, dakle u i v moraju biti upareni, ali to je nemoguće, jer su međusobno jednostavni. Ako a m i n- nesparen, dakle b = m 2 − n 2 i c = m 2 + n 2 bio bi uparen, što je nemoguće, budući da c i b- međusobno jednostavno.

Dakle, bilo koja primitivna pitagorejska trojka mora udovoljavati uvjetima (2). Štoviše, brojevi m i n se zovu generiranje brojeva primitivne trojke. Na primjer, recimo da imamo primitivnu pitagorejsku trojku (120,119,169). U ovom slučaju

ali= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 - 25 i c = 144+25=169,

Gdje m = 12, n= 5 - generiranje brojeva, 12> 5; 12 i 5 međusobno su jednostavni i različiti parovi.

Može se dokazati suprotno, da su brojevi m, n formulama (2) daju primitivnu pitagorejsku trostruku (a, b, c). Stvarno,

ali 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Tj. ( a,b,c) Je li pitagorejski triplet. Dokažimo to u ovom slučaju a,b,c- međusobno prosti brojevi kontradikcijama. Neka ti brojevi budu djeljivi sa str> 1. Budući da m i n imajte drugačije uparivanje b i c- nesparen, tj str≠ 2. Budući da R dijeli b i c zatim R mora podijeliti 2 m 2 i 2 n 2, ali to je nemoguće, budući da str≠ 2. Stoga m, n- međusobno jednostavni i a,b,c- također su međusobno jednostavni.

Tablica 1 prikazuje sve primitivne pitagorejske trojke generirane formulama (2) za m≤10.

Tablica 1. Primitivne pitagorejske trojke za m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analiza ove tablice pokazuje prisutnost slijedeće serije uzoraka:

ili a, ili b djeljivo sa 3;
jedan od brojeva a,b,c je djeljivo sa 5;
broj ali je djeljivo sa 4;
sastav a· b je višekratnik 12.

Američki matematičari Teigan i Hedwin 1971. predložili su tako malo poznate parametre pravokutnog trokuta da bi generirali trojke kao njegovu visinu h = c- b i višak (uspjeh) e = a + b − c... Slika 1. ove su vrijednosti prikazane na određenom pravokutnom trokutu.

Slika 1. Pravokutni trokut i njegov rast i višak

Naziv "višak" izveden je iz činjenice da je to dodatna udaljenost koju moramo proći duž krakova trokuta od jednog vrha do suprotnog, ako ne ide duž njegove dijagonale.

Kroz višak i rast stranica pitagorejskog trokuta može se izraziti kao:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Nisu sve kombinacije h i e mogu odgovarati pitagorejskim trokutima. Za dato h moguće vrijednosti e Jesu li proizvodi određenog broja d... Ovaj broj d ima naziv prirasta i odnosi se na h na sljedeći način: d Je li najmanji pozitivni cijeli broj čiji je kvadrat djeljiv sa 2 h... Kao e višestruko d, tada je zapisano kao e = kd gdje k Je li pozitivan cijeli broj.

Korištenje parova ( k,h) možete generirati sve pitagorejske trokute, uključujući neprimitivne i generalizirane, kako slijedi:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Štoviše, trojka je primitivna ako k i h Jesu li međusobno jednostavni i ako h =± q 2 u q- nesparen.
Uz to, bit će upravo pitagorejska trojka ako k> √2 h/d i h > 0.

Pronaći k i h od ( a,b,c), izvršite sljedeće radnje:

h = c − b;
Zapiši h kao h = pq 2, gdje str> 0 i takvo da nije kvadrat;
d = 2pq ako a str- nespareni i d = pq ako je p uparen;
k = (a − h)/d.

Na primjer, za trostruki (8,15,17) imamo h= 17−15 = 2 1, dakle str= 2 i q = 1, d= 2 i k= (8 - 2) / 2 = 3. Dakle, ovaj triplet je dan kao ( k,h) = (3,2).

Za trostruku (459,1260,1341) imamo h= 1341 - 1260 = 81, dakle str = 1, q= 9 i d= 18, dakle k= (459 - 81) / 18 = 21, pa je kôd ove trojke jednak ( k,h) = (21, 81).

Postavljanje trojki pomoću h i k ima niz zanimljivih svojstava. Parametar k jednako

k = 4S/(dP), (5)

Gdje S = ab/ 2 je površina trokuta, a Str = a + b + c- njegov opseg. To proizlazi iz jednakosti eP = 4S, koji dolazi iz pitagorejskog teorema.

Za pravokutni trokut e jednak je promjeru kružnice upisane u trokut. To proizlazi iz činjenice da hipotenuza iz = (ali − r)+(b − r) = a + b − 2r gdje r Je li polumjer kruga. Odavde h = c − b = ali − 2r i e = a − h = 2r.

Za h> 0 i k > 0, k je redni broj trojki a-b-c u slijedu pitagorejskih trokuta s porastom h... Iz tablice 2, gdje je predstavljeno nekoliko varijanti trojki generiranih parovima h, k, vidi se da s porastom k povećavaju se stranice stranica trokuta. Dakle, za razliku od klasičnog numeriranja, numeriranje u parovima h, k ima viši red u sekvencama trojki.

Tablica 2. Pitagorine trojke generirane parovima h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Za h > 0, d zadovoljava nejednakost 2√ h ≤ d ≤ 2h, u kojem je donja granica postignuta na str= 1, a gornja - za q= 1. Dakle, vrijednost d u odnosu na 2√ h Je li mjera koliko iznosi h udaljena od kvadrata nekog broja.

»Uvaženi profesor matematike sa Sveučilišta Warwick, poznati popularizator znanosti Ian Stewart, posvećen ulozi brojeva u povijesti čovječanstva i važnosti njihovog proučavanja u naše vrijeme.

Pitagorina hipotenuza

Pitagorini trokuti imaju pravi kut i cjelobrojne stranice. Najjednostavniji od njih ima najdužu stranicu duljine 5, ostali - 3 i 4. Ukupno postoji 5 pravilnih poliedra. Jednadžba petog stupnja ne može se riješiti korijenjem petog stupnja - ili bilo kojim drugim korijenima. Rešetke na ravnini i u trodimenzionalnom prostoru nemaju petokraku simetriju rotacije, pa takve simetrije u kristalima nema. Međutim, mogu se naći u rešetkama u četverodimenzionalnom prostoru i u zanimljivim strukturama poznatim pod nazivom kvazikristali.

Hipotenuza najmanjeg pitagorejskog tripleta

Pitagorin teorem kaže da se najduža stranica pravokutnog trokuta (notorna hipotenuza) vrlo jednostavno i lijepo odnosi na ostale dvije stranice ovog trokuta: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice.

Tradicionalno ovaj teorem nazivamo imenom Pitagora, ali zapravo je njegova povijest prilično nejasna. Glinene ploče sugeriraju da su drevni Babilonci znali Pitagorin teorem mnogo prije samog Pitagore; slavu otkrivača donio mu je matematički kult pitagorejaca, čiji su pristaše vjerovali da se svemir temelji na numeričkim zakonima. Drevni autori pripisivali su pitagorejcima - a time i Pitagori - razne matematičke teoreme, ali zapravo nemamo pojma kakvu je matematiku sam Pitagora radio. Ne znamo ni jesu li pitagorejci mogli dokazati pitagorejski teorem ili su jednostavno vjerovali da je to istina. Ili su, najvjerojatnije, imali uvjerljive dokaze njegove istinitosti, koji unatoč tome ne bi bili dovoljni za ono što danas smatramo dokazom.

Dokazi Pitagore

Prvi poznati dokaz Pitagorinog teorema nalazimo u Euklidovim elementima. Ovo je prilično složen dokaz, koristeći crtež, na kojem bi viktorijanski školarci odmah prepoznali "pitagorejske hlače"; crtež zaista podsjeća na gaće koje se suše na užetu. Poznate su doslovno stotine drugih dokaza, od kojih većina čini argumentiranu tvrdnju očitijom.

// Sl. 33. Pitagorine hlače

Jedan od najjednostavnijih dokaza je svojevrsna matematička slagalica. Uzmite bilo koji pravokutni trokut, napravite četiri kopije i sakupite ih u kvadrat. S jednim slaganjem vidimo kvadrat na hipotenuzi; s druge strane, kvadratići na druge dvije stranice trokuta. Istodobno je jasno da su površine u oba slučaja jednake.

// Sl. 34. Lijevo: kvadrat na hipotenuzi (plus četiri trokuta). Desno: zbroj kvadrata s druge dvije stranice (plus ista četiri trokuta). Sada isključite trokute.

Perigalovo seciranje još je jedna zagonetka.

// Sl. 35. Seciranje Perigallea

Tu je i dokaz teorema koji koristi pakiranje kvadrata u ravnini. Možda su tako pitagorejci ili njihovi nepoznati prethodnici otkrili ovaj teorem. Ako pogledate kako se kosi kvadrat preklapa s druga dva kvadrata, možete vidjeti kako veliki kvadrat izrezati na komade, a zatim dva manja kvadrata preklopiti od njih. Također možete vidjeti pravokutne trokute, čije stranice daju dimenzije tri uključena kvadrata.

// Sl. 36. Dokaz o asfaltiranju

Postoje zanimljivi dokazi koji koriste slične trokute u trigonometriji. Poznato je najmanje pedeset različitih dokaza.

Pitagorejske trojke

U teoriji brojeva, pitagorejski je teorem postao izvor plodne ideje: pronaći cjelobrojna rješenja algebarskih jednadžbi. Pitagorina trojka je skup cijelih brojeva a, b i c takav da

Geometrijski takav triplet definira pravokutni trokut s cjelobrojnim stranicama.

Najmanja hipotenuza pitagorejskog tripleta je 5.

Ostale dvije stranice ovog trokuta su 3 i 4. Ovdje

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Sljedeća najveća hipotenuza je 10 jer

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Međutim, ovo je u osnovi isti trokut s udvostručenim stranicama. Sljedeća najveća i uistinu drugačija hipotenuza je 13, za nju

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid je znao da postoji beskonačan broj različitih inačica pitagorejskih trojki i dao je ono što se može nazvati formulom za pronalazak svih. Kasnije je Diofant Aleksandrijski predložio jednostavan recept koji se u osnovi podudarao s euklidskim.

Uzmite bilo koja dva prirodna broja i izračunajte:

njihov udvostručeni rad;

razlika između njihovih kvadrata;

zbroj njihovih kvadrata.

Tri dobivena broja bit će stranice pitagorejskog trokuta.

Uzmimo, na primjer, brojeve 2 i 1. Izračunajte:

dvostruki proizvod: 2 × 2 × 1 = 4;

razlika kvadrata: 22 - 12 = 3;

zbroj kvadrata: 22 + 12 = 5,

i dobili smo poznati trokut 3-4-5. Ako umjesto toga uzmemo brojeve 3 i 2, dobit ćemo:

dvostruki proizvod: 2 × 3 × 2 = 12;

razlika kvadrata: 32 - 22 = 5;

zbroj kvadrata: 32 + 22 = 13,

i dobivamo sljedeći najpoznatiji trokut 5 - 12 - 13. Pokušajmo uzeti brojeve 42 i 23 i dobiti:

dvostruki proizvod: 2 × 42 × 23 = 1932;

razlika kvadrata: 422 - 232 = 1235;

zbroj kvadrata: 422 + 232 = 2293,

nitko nikada nije čuo za trokut 1235-1932-2293.

Ali i ovi brojevi rade:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Postoji još jedna značajka u diofantskom pravilu, koja je već nagoviještena: primivši tri broja, možemo uzeti još jedan proizvoljan broj i sve ih pomnožiti. Dakle, trokut 3-4–5 može se pretvoriti u trokut 6–8–10 množenjem svih stranica s 2 ili u trokut 15–20–25 množenjem svega 5.

Ako prijeđemo na jezik algebre, pravilo poprima sljedeći oblik: neka su u, v i k prirodni brojevi. Zatim pravokutni trokut sa stranama

2kuv i k (u2 - v2) ima hipotenuzu

Postoje i drugi načini iznošenja glavne ideje, ali svi se svode na gore opisani. Ova metoda omogućuje vam dobivanje svih pitagorejskih trojki.

Pravilni poliedri

Postoji točno pet pravilnih poliedra. Pravilni poliedar (ili poliedar) trodimenzionalni je lik s konačnim brojem ravnih lica. Lica se konvergiraju na crtama koje se nazivaju rubovima; rubovi se susreću u točkama koje se nazivaju vrhovima.

Vrhunac euklidskih "početaka" dokaz je da može postojati samo pet pravilnih poliedara, odnosno poliedara u kojima je svako lice pravilni poligon (jednake stranice, jednaki kutovi), sva su lica identična i svi vrhovi su okruženi jednak broj jednako razmaknutih lica. Evo pet pravilnih poliedara:

tetraedar s četiri trokutaste stranice, četiri temena i šest bridova;

kocka ili heksaedar, sa 6 kvadratnih ploha, 8 vrhova i 12 bridova;

oktaedar s 8 trokutastih lica, 6 vrhova i 12 bridova;

dodekaedar s 12 peterokutnih ploha, 20 vrhova i 30 bridova;

ikosaedar s 20 trokutastih stranica, 12 vrhova i 30 bridova.

// Sl. 37. Pet pravilnih poliedra

U prirodi se mogu naći i redoviti poliedri. 1904. Ernst Haeckel objavio je crteže sićušnih organizama poznatih kao radiolarijanci; mnogi od njih oblikom podsjećaju na pet pravilnih poliedara. Možda je, međutim, malo ispravio prirodu, a crteži ne odražavaju u potpunosti oblik određenih živih bića. Prve tri strukture također se promatraju u kristalima. U kristalima nećete naći dodekaedar i ikosaedar, iako tamo ponekad nailaze nepravilni dodekaedri i ikosaedri. Pravi dodekaedri mogu nastati kao kvazikristali, koji su u svemu slični kristalima, osim što njihovi atomi ne čine periodičnu rešetku.

// Sl. 38. Haeckelovi crteži: radiolarijani u obliku pravilnih poliedra

// Sl. 39. Zamah pravilnih poliedra

Može biti zanimljivo izraditi modele pravilnih poliedra od papira tako što ćete unaprijed izrezati skup međusobno povezanih lica - to se naziva poliedar koji se rasklapa; razvrtač je presavijen uz rubove i odgovarajući rubovi su zalijepljeni. Korisno je dodati jedan dodatak ljepila na jedan od rubova svakog takvog para, kao što je prikazano na sl. 39. Ako takvog područja nema, možete upotrijebiti ljepljivu traku.

Jednadžba petog stupnja

Ne postoji algebarska formula za rješavanje jednadžbi 5. stupnja.

Općenito, jednadžba petog stupnja izgleda ovako:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problem je pronaći formulu za rješenja takve jednadžbe (može imati do pet rješenja). Iskustvo s kvadratnim i kubičnim jednadžbama, kao i s jednadžbama četvrtog stupnja, sugerira da bi takva formula trebala postojati i za jednadžbe petog stupnja i, u teoriji, korijene petog, trećeg i drugog stupnja trebao bi se pojaviti u njemu. Opet, možemo sa sigurnošću pretpostaviti da će se takva formula, ako postoji, pokazati vrlo, vrlo teškom.

Ta se pretpostavka na kraju pokazala pogrešnom. Zaista, takva formula ne postoji; barem ne postoji formula koeficijenata a, b, c, d, e i f, konstruirana pomoću zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja i vađenja korijena. Dakle, postoji nešto vrlo posebno u vezi s brojem 5. Razlozi za ovo neobično ponašanje petorice vrlo su duboki i trebalo je dugo vremena dok ih nismo shvatili.

Prvi znak problema bio je u tome što, koliko god su se matematičari trudili pronaći takvu formulu, bez obzira na to koliko su pametni, uvijek su propali. Neko su vrijeme svi vjerovali da se razlozi kriju u nevjerojatnoj složenosti formule. Vjerovalo se da nitko jednostavno ne može pravilno razumjeti ovu algebru. Međutim, s vremenom su neki matematičari počeli sumnjati da takva formula uopće postoji, a 1823. godine Niels Hendrik Abel uspio je dokazati suprotno. Ne postoji takva formula. Ubrzo nakon toga, Evariste Galois pronašao je način da utvrdi je li jednadžba jednog ili drugog stupnja - 5., 6., 7. općenito, bilo koja - rješiva pomoću ove vrste formule.

Iznošenje svega ovoga jednostavno je: broj 5 je poseban. Možete riješiti algebarske jednadžbe (koristeći n-ti korijen za različite vrijednosti n) za stupnjeve 1, 2, 3 i 4, ali ne i za 5. stupanj. Ovdje očiti obrazac završava.

Nikoga ne iznenađuje da se jednadžbe moći veće od 5 ponašaju još gore; s njima je posebno povezana ista poteškoća: ne postoje općenite formule za njihovo rješenje. To ne znači da jednadžbe nemaju rješenja; to također ne znači da je nemoguće pronaći vrlo precizne numeričke vrijednosti tih rješenja. Sve je u vezi s ograničenjima tradicionalnih alata algebre. To podsjeća na nemogućnost trisekcije kuta ravnalom i šestarom. Odgovor postoji, ali navedene metode su nedostatne i ne dopuštaju vam da utvrdite o čemu se radi.

Kristalografsko ograničenje

Kristali u dvije i tri dimenzije nemaju rotacijsku simetriju s 5 zraka.

Atomi u kristalu tvore rešetku, odnosno strukturu koja se povremeno ponavlja u nekoliko neovisnih pravaca. Na primjer, uzorak na tapeti ponavlja se duž duljine role; osim toga, obično se ponavlja vodoravno, ponekad s pomakom s jednog dijela pozadine na sljedeći. U osnovi, tapeta je dvodimenzionalni kristal.

Postoji 17 vrsta ravnih tapeta (vidi poglavlje 17). Razlikuju se po vrstama simetrije, odnosno po načinima krutog pomicanja crteža tako da točno leži na sebi u svom izvornom položaju. Tipovi simetrije uključuju, posebno, razne varijante simetrije rotacije, gdje bi sliku trebalo rotirati za određeni kut oko određene točke - središta simetrije.

Redoslijed simetrije rotacije je koliko se puta tijelo može zakrenuti u puni krug tako da se svi detalji na crtežu vrate u svoje prvobitne položaje. Na primjer, rotacija od 90 ° simetrija je rotacije 4. reda *. Popis mogućih tipova rotacijske simetrije u kristalnoj rešetki ponovno ukazuje na neobičnost broja 5: njega nema. Postoje opcije rotacijske simetrije 2, 3, 4 i 6. reda, ali nijedna pozadina nema rotacijsku simetriju 5. reda. Simetrija rotacije reda više od 6 u kristalima također ne postoji, ali prvo kršenje niza događa se ipak kod broja 5.

Ista se stvar događa s kristalografskim sustavima u trodimenzionalnom prostoru. Ovdje se mreža ponavlja u tri neovisna smjera. Postoji 219 različitih vrsta simetrije, odnosno 230, ako zrcalnu sliku crteža smatramo njegovom zasebnom verzijom - unatoč činjenici da u ovom slučaju ne postoji zrcalna simetrija. Opet se uočavaju simetrije rotacije redova 2, 3, 4 i 6, ali ne i 5. Ova činjenica naziva se kristalografsko ograničenje.

U četverodimenzionalnom prostoru postoje rešetke s simetrijom 5. reda; općenito, za rešetke dovoljno velike dimenzije moguć je bilo koji unaprijed određeni redoslijed simetrije rotacije.

// Sl. 40. Kristalna rešetka kuhinjske soli. Tamne kuglice predstavljaju atome natrija, svijetle - atome klora

Kvazikristali

Iako rotacijska simetrija 5. reda u 2D i 3D rešetkama nije moguća, ona može postojati u nešto manje pravilnim strukturama poznatim pod nazivom kvazikristali. Koristeći Keplerove skice, Roger Penrose otkrio je planarne sustave s općenitijim tipom peterostruke simetrije. Zovu se kvazikristali.

Kvazikristali postoje u prirodi. 1984. Daniel Shechtman otkrio je da legura aluminija i mangana može stvarati kvazikristale; u početku su kristalografi njegovu poruku dočekali s određenim skepticizmom, no kasnije je otkriće potvrđeno, a 2011. Shekhtmanu je dodijeljena Nobelova nagrada za kemiju. 2009. godine tim znanstvenika pod vodstvom Luke Bindija otkrio je kvazikristale u mineralu iz ruskog gorja Koryak - kombinaciji aluminija, bakra i željeza. Danas se taj mineral naziva ikozaedrit. Nakon što su masenim spektrometrom izmjerili sadržaj različitih izotopa kisika u mineralu, znanstvenici su pokazali da taj mineral nije podrijetlom sa Zemlje. Nastao je prije otprilike 4,5 milijardi godina, u vrijeme kada je Sunčev sustav tek nastajao, i provodio je većinu vremena u pojasu asteroida, kružeći oko Sunca, sve dok neki poremećaj nije promijenio svoju orbitu i na kraju ga odveo do Zemlje.

// Sl. 41. Lijevo: jedna od dvije kvazikristalne rešetke s točno peterostrukom simetrijom. Desno: atomski model ikosaedričnog kvazikristala aluminij-paladij-mangan

Svojstva

Budući da jednadžba x 2 + g 2 = z 2 homogen, pri množenju x , g i z za isti broj dobivate još jednu pitagorejsku trojku. Pitagorina trojka se naziva primitivno, ako se ne može dobiti na ovaj način, odnosno međusobno prosti brojevi.

Primjeri

Neke pitagorejske trojke (poredane u uzlaznom redoslijedu od maksimalnog broja, primitivno istaknute):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Na temelju svojstava Fibonaccijevih brojeva možete ih sastojati, na primjer, sljedeće pitagorejske trojke:

Povijest

Pitagorine trojke poznate su vrlo dugo. U arhitekturi drevnih mezopotamskih nadgrobnih spomenika postoji jednakokračni trokut sastavljen od dva pravokutna sa stranicama od 9, 12 i 15 lakata. Piramide faraona Snephrua (XXVII. Stoljeće prije Krista) građene su pomoću trokuta sa stranicama 20, 21 i 29, kao i 18, 24 i 30 desetaka egipatskih lakata.

vidi također

Veze

E. A. Gorin Moći prostih brojeva u pitagorejskim trojkama // Matematičko obrazovanje... - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što su "pitagorejski brojevi" u drugim rječnicima:

Trojke prirodnih brojeva, tako da je, na primjer, trokut čija su duljina stranica proporcionalna (ili jednaka) tim brojevima pravokutnik. tri broja: 3, 4, 5 ... Veliki enciklopedijski rječnik

Trojke takvih prirodnih brojeva da je trokut, čija su duljina stranica proporcionalna (ili jednaka) tim brojevima, pravokutan, na primjer, trostruki broj: 3, 4, 5. * * * PITAGORSKI BROJEVI PITAGORSKI BROJEVI , trojke takvih prirodnih brojeva koji ... ... enciklopedijski rječnik

Trojke prirodnih brojeva takve da je trokut čije su duljine stranica proporcionalne (ili jednake) tim brojevima pravokutni. Prema teoremu koji je u suprotnosti s Pitagorinim teoremom (vidi Pitagorin teorem), za to je dovoljno da oni ... ...

Trojke pozitivnih cijelih brojeva x, y, z, zadovoljavaju jednadžbu x2 + y 2 = z2. Sva rješenja ove jednadžbe, a samim tim i svi P. brojevi, izraženi su formulama x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, gdje su a, b proizvoljni pozitivni cijeli brojevi (a> b). P. h ... Enciklopedija matematike

Trojke prirodnih brojeva, tako da je trokut, duljina stranica proporcionalna (ili jednaka) tim brojevima, na primjer pravokutna. tri broja: 3, 4, 5 ... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

U matematici su pitagorejski brojevi (pitagorejski trojci) skup od tri cijele brojeve koji zadovoljavaju pitagorejsku relaciju: x2 + y2 = z2. Sadržaj 1 Svojstva 2 Primjeri ... Wikipedia

Slikovni brojevi su opći naziv za brojeve povezane s određenim geometrijskim likom. Ovaj povijesni koncept potječe iz pitagorejaca. Pretpostavlja se iz kovrčavih brojeva, nastao je izraz: "Kvadrirati broj ili kocku." Sadržaj ... ... Wikipedia

Slikovni brojevi su opći naziv za brojeve povezane s određenim geometrijskim likom. Ovaj povijesni koncept potječe iz pitagorejaca. Postoje sljedeće vrste kovrčavih brojeva: Linearni brojevi koji se ne rastavljaju na čimbenike, odnosno njihove ... ... Wikipedije

- "Pi paradoks" je šala na temu matematike, koja je bila u opticaju među studentima do 80-ih godina (zapravo, prije masovne raspodjele mikrokalkulatora) i bila je povezana s ograničenom točnošću izračuna trigonometrijskih funkcija i ... ... Wikipedija

- (grčka arithmetika, od arithmys number) znanost o brojevima, prvenstveno o prirodnim (pozitivnim cijelim brojevima) brojevima i (racionalnim) razlomcima, te djelovanje na njih. Posjedovanje dovoljno razvijenog koncepta prirodnog broja i sposobnosti ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Knjige

Arhimedovo ljeto ili Povijest Commonwealtha mladih matematičara. Binarni brojevni sustav, Bobrov Sergey Pavlovich. Binarni brojevni sustav, "Hanojska kula", viteški potez, magični kvadrati, aritmetički trokut, kovrčavi brojevi, kombinacije, koncept vjerojatnosti, Mobiusova traka i Kleinova boca ...

Belotelov V.A. Pitagorine trojke i njihov broj // Enciklopedija Nesterovih

Ovaj je članak odgovor jednom profesoru - dotjerivanje. Pogledajte, profesore, kako to rade u našem selu.

Regija Nižnjeg Novgoroda, Zavolzhye.

Potrebno je poznavanje algoritma za rješavanje diofantovih jednadžbi (ARDE) i poznavanje progresija polinoma.

AKO je prost broj.

Srednje područje je složeni broj.

Neka postoji neparan broj N. Za bilo koji neparan broj osim jednog možete napisati jednadžbu.

p 2 + N = q 2,

gdje je p + q = N, q - p = 1.

Na primjer, za brojeve 21 i 23 jednadžbe će biti, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Ako je N prost, ova je jednadžba jedinstvena. Ako je broj N složeni, tada možete napisati slične jednadžbe za broj parova čimbenika koji predstavljaju taj broj, uključujući 1 x N.

Uzmi broj N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Sanjao sam, ali bi li bilo moguće pronaći metodu za njihovo prepoznavanje držeći se ove razlike između pretvarača i srednjeg opsega.

Uvedimo oznaku;

Promijenimo donju jednadžbu, -

N = b 2 - a 2 = (b - a) (b + a).

Grupirajmo vrijednosti N prema atributu c - a, t j. napravimo stol.

Brojevi N dovedeni su u matricu, -

Za taj smo se zadatak morali nositi s progresijama polinoma i njihovim matricama. Pokazalo se da je sve bilo uzalud - obrana PCh-a drži se snažnom. Unesite stupac u tablicu 1, gdje je b - a = 1 (q - p = 1).

Ponovno. Tablica 2 dobivena je kao rezultat pokušaja rješavanja problema identificiranja pretvarača frekvencije i srednjeg opsega. Iz tablice proizlazi da za bilo koji broj N postoji onoliko jednadžbi oblika a 2 + N = u 2, u koliko parova čimbenika možemo podijeliti u broj N, uključujući faktor 1 x N. Uz to brojevima N = ℓ 2, gdje

ℓ - AKO. Za N = ℓ 2, gdje je the IF, postoji jedinstvena jednadžba p 2 + N = q 2. O kojem dodatnom dokazu možemo govoriti ako tablica nabroji manje čimbenike iz parova čimbenika koji tvore N, od jednog do ∞. Tablicu 2 stavit ćemo u škrinju, a škrinju sakriti u ormar.

Vratimo se temi navedenoj u naslovu članka.

Ovaj je članak odgovor jednom profesoru - dotjerivanje.

Zamolio sam za pomoć - trebao mi je niz brojeva koje nisam mogao pronaći na Internetu. Naletjela sam na pitanja poput "i za što?", "I pokaži mi metodu." Konkretno, postavilo se pitanje je li serija pitagorejskih trojki beskrajna, "ali kako to dokazati?" Nije mi pomogao. Pogledajte, profesore, kako to rade u našem selu.

Uzmimo formulu pitagorejskih trojki, -

x 2 = y 2 + z 2. (jedan)

Prođimo kroz ARDU.

Moguće su tri situacije:

I. x je neparan broj,

y je paran broj,

z je paran broj.

I postoji uvjet x> y> z.

II. x je neparan broj,

y je paran broj,

z je neparan broj.

x> z> y.

III.x - paran broj,

y je neparan broj,

z je neparan broj.

x> y> z.

Krenimo redom s I.

Uvedimo nove varijable

Zamjena u jednadžbi (1).

Smanjite varijablu 2γ za manje.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2.

Smanjite varijablu 2β - 2γ za manju varijablu uz istovremeno uvođenje novog parametra ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Tada je 2α - 2β = x - y - 1.

Jednadžba (2) ima oblik, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Kvadrirajmo, -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU daje kroz parametre odnos između starijih članova jednadžbe, pa smo dobili jednadžbu (3).

Nije čvrsto uključiti se u odabir rješenja. Ali, prvo, nema se kamo, a drugo, trebamo nekoliko rješenja i možemo vratiti beskonačan broj rješenja.

Za ƒ = 1, k = 1, imamo x - y = 1.

Za ƒ = 12, k = 16, imamo x - y = 9.

Za ƒ = 4, k = 32, imamo x - y = 25.

Možete pokupiti dugo vremena, ali na kraju će red dobiti oblik, -

x - y = 1, 9, 25, 49, 81,….

Razmotrite mogućnost II.

U jednadžbu (1) uvodimo nove varijable

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.

Smanjite varijablu 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k + 1) 2 + (2k) 2.

Smanjite varijablu 2α - 2β, -

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2. (četiri)

2α - 2γ = h - z i zamijeni ga u jednadžbu (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Za ƒ = 3, k = 4, imamo x - z = 2.

Za ƒ = 8, k = 14, imamo x - z = 8.

Za ƒ = 3, k = 24, imamo x - z = 18.

x - z = 2, 8, 18, 32, 50,….

Nacrtajmo trapez, -

Napišimo formulu.

gdje je n = 1, 2, ... ∞.

Nećemo opisivati slučaj III - tamo nema rješenja.

Za uvjet II, skup trojki bit će sljedeći:

Jednadžba (1) predstavljena je kao x 2 = z 2 + y 2 radi jasnoće.

Za uvjet I, skup trojki bit će sljedeći:

Ukupno postoji 9 stupaca trojki, po pet trojki. I svaki od predstavljenih stupaca može se zapisati do ∞.

Kao primjer uzmimo trojke posljednjeg stupca, gdje je x - y = 81.

Za vrijednosti x zapisujemo trapez, -

Napišimo formulu, -

Za veličine y napisat ćemo trapez, -

Napišimo formulu, -

Za vrijednosti z zapisujemo trapez, -

Napišimo formulu, -

Gdje je n = 1 ÷ ∞.

Kao što je i obećano, serija trojki za x - y = 81 leti do ∞.

Pokušalo se za slučajeve I i II konstruirati matrice za vrijednosti x, y, z.

Zapišimo vrijednosti x iz gornjih redova iz posljednjih pet stupaca i konstruirajmo trapez.

Nije uspjelo, ali obrazac bi trebao biti kvadratni. Da bi sve bilo u ažuru, pokazalo se da je potrebno kombinirati stupce I i II.

U slučaju II, količine y, z se ponovno izmjenjuju.

Bilo je moguće kombinirati iz jednog razloga - karte su se dobro uklapale u ovaj zadatak, - bilo je sreće.

Sada možemo zapisati matrice za x, y, z.

Uzmimo iz posljednjih pet stupaca vrijednosti x iz gornjih redaka i nacrtajmo trapez.

Sve je u redu, možete graditi matrice, a krenimo s matricom za z.

Otrčali smo do ormara po škrinju.

Ukupno: Uz jedan, svaki neparan broj numeričke osi sudjeluje u stvaranju pitagorejskih trojki jednak broju parova čimbenika koji tvore zadani broj N, uključujući faktor 1 x N.

Broj N = ℓ 2, gdje je the IF, tvori jednu pitagorejsku trostruku, ako je the srednje područje, tada trojka ne postoji na faktorima ℓhℓ.

Konstruirajmo matrice za vrijednosti x, y.

Počnimo raditi s matricom za x. Da bismo to učinili, povući ćemo koordinatnu mrežu iz problema identificiranja pretvarača frekvencije i srednjeg opsega.

Numeriranje okomitih redova normalizira se izrazom

Uklonimo prvi stupac, jer

Matrica će poprimiti oblik, -

Opišimo vertikalne redove, -

Opišimo koeficijente za "a", -

Opišimo besplatne članove, -

Sastavimo opću formulu za "x", -

Ako obavimo sličan posao za "y", dobit ćemo -

Ovom rezultatu možete pristupiti s druge strane.

Uzmi jednadžbu, -

a 2 + N = b 2.

Pretvaramo se malo, -

N = u 2 - a 2.

Kvadrirajmo, -

N 2 = b 4 - 2 b 2 a 2 + a 4.

S lijeve i desne strane jednadžbe dodajte vrijednosti 4b 2 a 2, -

N 2 + 4b 2 a 2 = b 4 + 2b 2 a 2 + a 4.

I konačno, -

(u 2 + a 2) 2 = (2va) 2 + N 2.

Pitagorine trojke sastavljene su kako slijedi:

Razmotrimo primjer s N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Okomiti stupci tablice 2 numerirani su pod - a, dok su vertikalni stupci tablice 3 brojevi x - y.

x - y = (b - a) 2,

x = y + (b - a) 2.

Napravimo tri jednadžbe.

(y + 1 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 = y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Čimbenici 3 i 39 nisu međusobno prosti brojevi, pa se dobiva jedna trojka s koeficijentom 9.

Prikažimo gore napisano općenitim simbolima, -

U ovom radu sve, uključujući primjer za izračunavanje pitagorejskih trojki s brojem

N = 117, vezano za manji faktor b - a. Eksplicitna diskriminacija u odnosu na faktor b + a. Ispravimo ovu nepravdu čineći tri jednadžbe s faktorom + a.

Vratimo se pitanju identifikacije pretvarača i srednje frekvencije.

Mnogo je postignuto u ovom smjeru, a danas je kroz moje ruke prošla sljedeća misao - identifikacijska jednadžba i ne postoji stvar koja bi odredila čimbenike.

Pretpostavimo da je pronađena relacija F = a u (N).

Postoji formula

Možete se riješiti b u formuli F i dobit ćete homogenu jednadžbu n-tog stupnja s obzirom na a, t.j. F = a (N).

Za bilo koji stupanj n ove jednadžbe postoji broj N s m parova faktora, za m> n.

I kao posljedica toga, homogena jednadžba stupnja n mora imati m korijena.

Da, ovo ne može biti.

U ovom su radu brojevi N uzeti u obzir za jednadžbu x 2 = y 2 + z 2 kada su u jednadžbi na mjestu z. Kada je N umjesto x, to je drugi problem.

Lijep pozdrav, V.A. Belotelov

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183