Geometrijski likovi. Romb. Romb kao geometrijski lik Kolika je visina romba

1. - ravno. Prema tome, rješenje nejednakosti
, je poluravnina koja leži ispod ili iznad ove linije.

2.
- hiperbola, jer odavde
. Ova hiperbola dijeli ravninu na 3 (!!!) regije, pa se u svakom od njih mora provjeriti znak nejednakosti.

3.
- "ležeća parabola", t.j. parabola zarotirana za 90 u smjeru kazaljke na satu. Dijeli ravninu na 2 dijela (unutar parabole i izvan nje.)

- kružnica sa središtem na ishodištu, polumjer R (gdje je R>0). Rješenje nejednakosti

je krug (tj. cijelo područje koje leži unutar kruga, zajedno s granicom), a nejednakosti

- područje izvan kruga.

5.
- za a > 0 - kvadrat s vrhovima u točkama (a; 0), (0; a), (-a; 0), (0; -a). Prema tome, rješenje nejednakosti
je površina unutar kvadrata i nejednakosti
- prostor izvan trga.

Transformacije grafa:
1 f(x-a; y-b)=0, prvo morate nacrtati jednadžbu f(x; y)=0, a zatim je pomaknuti za a jedinice duž osi Oh, i dalje b jedinice duž osi Oy.
2 . Za crtanje jednadžbe
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednadžbe f(x; y) = 0 u odnosu na os Oy (ne zaboravivši izbrisati dio originalnog grafa koji leži lijevo od osi Oy) .
3 . Za crtanje jednadžbe
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednadžbe f(x; y) = 0 u odnosu na os Ox (pritom ne zaboraviti izbrisati dio izvornog grafa koji leži ispod osi Ox).
4. Sukladno tome, za crtanje jednadžbe
, prvo morate nacrtati jednadžbu f(x; y)=0 (tj. ukloniti sve module) u prva četvrtina, a zatim izvršite simetriju ovog grafa oko svih osi.
Nejednakosti s dvije varijable.

Najčešće se za rješavanje koristi "metoda područja". To jest, prvo, u nejednadžbi, znak nejednakosti zamjenjuje se znakom "=" i rezultirajući graf se prikazuje na koordinatnoj ravnini. Zatim se pomoću “metode pokusne točke” provjerava znak nejednakosti u svakom od formiranih područja.

Osim toga, mogu se posebno razmotriti nejednakosti oblika
i
. Da bismo ih riješili, prvo gradimo graf funkcije
. Tada će rješenje prve nejednadžbe biti točke koje leže ispod ovog grafa, a rješenje druge će biti točke koje leže iznad.

Također se mogu izdvojiti nejednakosti oblika
. (Znak nejednakosti može biti drugačiji.) Da biste ga riješili, morate nacrtati graf punom linijom jednadžbe
i točkasta linija - graf jednadžbe
i provjerite predznak nejednakosti u svakoj rezultirajućoj regiji (odabirom bilo koje točke iz svake regije).

Primjer 1

№ 9,20 (g)

Slika Rješenje nejednakosti
i odrediti sve vrijednosti a za koje zadana nejednadžba ima barem jedno rješenje.

Odluka.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem:
.

Da bismo to učinili, prvo konstruiramo graf jednadžbe

a) Zauzvrat, da bismo konstruirali ovaj graf, koristit ćemo pravilo 4 transformacije grafa. Ovdje je f(x; a) = 5x + 2a. Graf ove jednadžbe je ravna crta koja siječe koordinatne osi u točkama (2, 0) i (0, 5). Jer razmatramo slučaj bez modula (tj. x
i y), tada uzimamo samo dio ove linije koji leži u prvom kvadrantu.

b) da bismo izgradili graf jednadžbe , izvodimo simetriju rezultirajućeg segmenta s obzirom na sve koordinatne osi i ishodište. Dobivamo romb s "centrom" u ishodištu.

b) Sada pomaknimo ovaj grafikon za 3 jedinice udesno i 1 jedinicu prema dolje.

Dobili smo graf jednadžbe

Vidimo da je koordinatna ravnina podijeljena na 2 područja, unutar romba i izvan njega. Vidimo da, na primjer, točka (3,-1) pripada unutarnjem području. Zamijenite njegove koordinate u nejednakost. Osiguravamo da je nejednakost u ovom trenutku zadovoljena. Dakle, sve točke ove regije zadovoljavaju nejednakost. Za provjeru, također zamjenjujemo točku iz vanjskog područja u nejednakost. Na primjer, ovo je točka (0, 8). Za zadane vrijednosti varijabli, nejednakost se pretvara u netočnu brojčanu nejednakost, što znači da nijedna točka iz vanjskog područja ne zadovoljava nejednakost. Konačno, dobivamo da je rješenje nejednadžbe "unutarnja strana" romba. To pokazujemo sjenčanjem.

Odgovor: ova nejednakost ima rješenje za

Primjer 2. Nacrtajte na koordinatnu ravninu skup točaka koje zadovoljavaju nejednakost
.

Odluka

1. Izgradimo linije koje graniče graf nejednakosti. To će biti pravci koji su slika skupova onih točaka u kojima se brojnik i nazivnik okreću u 0. Tj. nacrtajte grafove jednadžbi

(ALI)

i
(B)

A) Graf ove jednadžbe je kružnica sa središtem u točki (2, -3) i polumjerom jednakim 4 - prikazan je kao puna linija, jer nejednakost nije stroga.

B) Graf ove jednadžbe - "ležeća parabola", spuštena za 1 jedinicu prema dolje - prikazan je isprekidanom linijom zbog domene nejednakosti.

2. Neka ,

. Tada naša nejednakost postaje

Krug i parabola dijele koordinatnu ravninu na 4 područja.

Imajte na umu da površina unutar kruga odgovara nejednakosti

, tj.

. Područje izvan kruga - nejednakost

, tj.

Slično, površina "unutar" ili desno od parabole odgovara nejednakosti
ili
, a područje “izvan”, ili lijevo od parabole, na nejednakost
ili
.

I, konačno, u regiji IV i , t.j. razlomak nije pozitivan i nejednakost nije zadovoljena.

Dakle, rješenje nejednakosti je unija regija I i III.

s jednakim stranama. Romb s pravim kutovima je kvadrat .

Romb se smatra nekom vrstom paralelograma, s dvije susjedne jednake stranice, bilo s međusobno okomitim dijagonalama, bilo s dijagonalama koje dijele kut na 2 jednaka dijela.

Svojstva romba.

1. Romb je paralelogram, pa su suprotne strane iste duljine i paralelne u parovima, AB || CD, AD || Sunce.

2. Kut presjeka dijagonala romb je ravan (AC⊥ BD) i točku sjecišta dijele na dva identična dijela. To jest, dijagonale dijele romb na 4 trokuta - pravokutna.

3. Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ CBD itd. ).

4. Zbroj kvadrata dijagonala jednak je kvadratu stranice pomnoženom s četiri (izvedeno iz identiteta paralelograma).

Rombovi znakovi.

Paralelogram ABCD nazvat će se romb samo ako je ispunjen barem jedan od sljedećih uvjeta:

1. 2 njegove susjedne stranice su iste duljine (tj. sve strane romba su jednake, AB=BC=CD=AD).

2. Kut presjeka dijagonala ravne ( AC⊥ BD).

3. 1-on dijagonala prepolovi kutove koji ga sadrže.

Pretpostavimo da ne znamo unaprijed da je četverokut paralelogram, ali je poznato da su mu sve stranice jednake. Dakle, ovaj četverokut je romb.

Rombova simetrija.

Romb je simetričan u odnosu na sve svoje dijagonale, često se koristi u ukrasima i parketima.

Opseg romba.

Opseg geometrijskog lika- ukupna duljina granica ravnog geometrijskog lika. Opseg ima istu dimenziju kao i duljina.

I opet se postavlja pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima i (sjetite se našeg znaka 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima suprotne kutove jednake, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Svojstva romba

Pogledaj sliku:

Kao i u slučaju pravokutnika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od tih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet obratite pozornost: ne bi trebao postojati samo četverokut s okomitim dijagonalama, već i paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala kutova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, točka presjeka na pola, dakle - NIJE paralelogram, a time ni romb.

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala kuta A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

SREDNJA RAZINA

Svojstva četverokuta. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tamo je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.

Teorem o svojstvima paralelograma.

U bilo kojem paralelogramu:

Da vidimo zašto je to istina, drugim riječima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Budući da je paralelogram, onda:

poput ležanja poprijeko
kao ležeći poprijeko.

Dakle, (na osnovu II: i - općenito.)

Pa, jednom, onda - to je to! - dokazao.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali uostalom (pogledajte sliku), odnosno, jer.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

A sada to vidimo - prema II znaku (kut i stranica "između" njih).

Provjerena svojstva! Prijeđimo na znakove.

Značajke paralelograma

Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je lik paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto – dosta je. ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 istinit.

Pa to je još lakše! Opet nacrtajmo dijagonalu.

Što znači:

I također je lako. Ali… drugačije!

Sredstva, . Vau! Ali također - unutarnje jednostrano na sekanti!

Stoga činjenica da to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda su one unutarnje jednostrane na sekanti! I stoga.

Vidite kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obratiti pažnju: ako ste našli barem jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti svatko svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četverokuta. Pravokutnik.

Svojstva pravokutnika:

Točka 1) sasvim je očita - uostalom, znak 3 () jednostavno je ispunjen

I točka 2) - jako važno. Pa dokažimo to

Dakle, na dvije noge (i - općenito).

Pa, budući da su trokuti jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazao to!

I zamislite, jednakost dijagonala je razlikovno svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, sljedeća je tvrdnja istinita

Da vidimo zašto?

Dakle, (što znači kutove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.

Sredstva, . I, naravno, iz ovoga proizlazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!

Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo točno pravokutnik.

Ali! Obratiti pažnju! Ovdje se radi o paralelograma! Ne bilo koječetverokut s jednakim dijagonalama je pravokutnik, i samo paralelogram!

Svojstva četverokuta. Romb

I opet se postavlja pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim desnim - paralelogram, jer ima i (Sjetite se našeg znaka 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima suprotne kutove jednake, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

Ali postoje i posebna svojstva. Formuliramo.

Svojstva romba

Zašto? Pa, budući da je romb paralelogram, tada su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.

Kao i u slučaju pravokutnika, ova svojstva su osebujan, svaki od njih je i znak romba.

Rombovi znakovi.

Zašto je to? I pogledaj

Dakle, i oba ti su trokuti jednakokračni.

Da bi bio romb, četverokut mora prvo "postati" paralelogram, a zatim već pokazati značajku 1 ili značajku 2.

Svojstva četverokuta. Kvadrat

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala kuta, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

Zašto? Pa, samo primijeni Pitagorin teorem na.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Svojstva paralelograma:

Suprotne strane su jednake: , .
Suprotni kutovi su: , .
Zbroj kutova na jednoj strani iznosi: , .
Dijagonale su podijeljene točkom presjeka na pola: .

Svojstva pravokutnika:

Dijagonale pravokutnika su: .
Pravokutnik je paralelogram (za pravokutnik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

Dijagonale romba su okomite: .
Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova: ; ; ; .
Romb je paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva kvadrata:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravokutnik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.

sažetak ostalih prezentacija

"Zadaci za znakove sličnosti trokuta" - Sličnost trokuta. Određivanje visine predmeta pomoću zrcala. Određivanje visine predmeta iz lokve. Rješenje praktičnih problema. Sjena štapa. Određivanje visine objekta. Mjerenje visine velikih objekata. Moto lekcije. Rješenje problema prema gotovim crtežima. Samostalan rad. Gimnastika za oči. Talesova metoda. Individualna kartica. Određivanje visine piramide. Imenujte slične trokute.

"Svojstva četverokuta" - Nazivi četverokuta. Svi kutovi su pravi. Svojstva četverokuta. Trapez. Kvadrat je pravokutnik u kojem su sve strane jednake. Elementi paralelograma. Dijagonale dijele kutove. Četverokut. Diktat. dijagonala. suprotnim kutovima. Pomozite Dunnou popraviti dvojku. Povijesni podaci. Četverokuti i njihova svojstva. Dijagonale. Romb. suprotne strane. Zabave.

"Rombus" - Znakovi. Perimetar. Izgled romba. Priča o rombu. Romb. Romb s dijagonalama. Što je romb. Formula površine. Zanimljivosti. Svojstva romba. Romb u životu.

"Rješenje Pitagorinog teorema" - Dokaz dekompozicijom. Kvadratno područje. Najjednostavniji dokaz. Dokaz za Perigal. pitagorejci. dijagonala. Dokaz iz 9. stoljeća CE sljedbenici. Visina. Promjer. Potpuni dokaz. Motiv. Šesterokuti. Dokaz oduzimanjem. Kvadrat. Pravokutnik. Mogućnosti primjene teorema. Gutheilov dokaz. Primjena teorema. Problem s lotosom. Povijest teorema.

"Površina pravokutnika" razreda 8 "- Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. Kvadrat. Pronađite površinu i opseg kvadrata. Jedinice površine. Poligon se sastoji od nekoliko poligona. Nađi površinu trokuta. Stranice svakog od pravokutnika. Jedinice. Pronađite površinu kvadrata. ABCD i DSMK su kvadrati. Površina romba je polovica umnožaka njegovih dijagonala. Na strani AB nacrtan je paralelogram. Pronađite površinu šesterokuta.

"Trapez" Stupanj 8 "- Trapezni mišići obje strane leđa zajedno imaju oblik trapeza. Zadaci za usmeni rad. Jesu li četverokuti trapezi. Svojstva jednakokračnog trapeza. Znakovi jednakokračnog trapeza. Vrste trapeza. Područje trapeza. Trapezni elementi. Definicija. Srednja linija trapeza. Trapez. Geometrijski lik je tako nazvan zbog svoje sličnosti s malim stolom.

Romb jedan je od najjednostavnijih geometrijskih oblika. Toliko se često susrećemo s rombom u geometrijskim problemima da nam se riječi "fantastično" i "romb" čine nespojivim pojmovima. U međuvremenu, nevjerojatna je, kako kažu, u blizini ... u Britaniji. Ali prvo, sjetimo se što je "romb", njegove znakove i svojstva.

Izraz "romb" u prijevodu s starogrčkog znači "tambura". I to nije slučajno. I evo u čemu je stvar. Tambura bar jednom u životu, ali svi su je vidjeli. I svi znaju da je okrugla. No, davno su se tambure izrađivale samo u obliku kvadrata ili romba. Štoviše, ime dijamantnog odijela također je povezano s ovom činjenicom.

Iz geometrije zamišljamo kako izgleda romb. Ovo je četverokut, koji je prikazan kao nagnuti kvadrat. Ali ni u kojem slučaju ne smijete brkati romb i kvadrat. Ispravnije je reći da je romb poseban slučaj paralelograma. Jedina razlika je u tome što su sve strane romba jednake. Da biste brzo i ispravno riješili probleme u geometriji, morate zapamtiti svojstva romba. Inače, romb ima sva svojstva paralelograma. Tako:

Svojstva romba:

suprotne strane su jednake;
suprotni kutovi su jednaki;
dijagonale romba sijeku se pod ravnom crtom i dijele se na pola u točki presjeka;
zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180°;
zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana;
dijagonale su simetrale njegovih kutova.

Znakovi romba:

ako su dijagonale paralelograma okomite, onda je paralelogram romb;
ako je dijagonala paralelograma simetrala njegova kuta, onda je paralelogram romb.

I još jedna važna točka, bez čijeg znanja nije moguće uspješno riješiti problem - formule. Ispod su formule za pronalaženje površine bilo kojeg romba, koje se koriste ovisno o poznatim podacima: visina, dijagonala, stranica, polumjer upisane kružnice. U sljedećim formulama koriste se simboli: a - strana romba, h a - visina povučena na stranu a, a- kut između stranica, d 1 d 2 - dijagonale romba.

Osnovne formule:

S = 2 grijeha a

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r2 / sin a

Postoji još jedna formula koja se ne koristi tako često, ali je korisna:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 ili je zbroj kvadrata dijagonala jednak kvadratu stranice puta 4.

A sada je vrijeme da se vratimo na sam početak. Što je tako nevjerojatno možda u ovoj figurici? Ispada da je u 19. stoljeću tijekom arheoloških istraživanja pronađen romb. Da, ne jednostavno, već zlatno, i to u pravom smislu riječi! Ovaj nalaz s britanskog humka Bash pronađen je na području Wilsforda, nedaleko od poznatog Stonehengea. Tajanstveni romb je polirana ploča na kojoj su ugravirani neobični uzorci. Veličina mu je 15,2 x 17,8 cm (romb s malom zadrškom). Osim ruba, ploča ima još tri manja uzorka u obliku romba, koji su navodno ugniježđeni jedan u drugi. Istodobno, u sredini potonjeg ugravirana je rombična mreža. Uz rubove romba nalazi se uzorak ševrona - devet znakova sa svake strane romba. Ukupno je trideset i šest takvih trokuta.

Naravno, ovaj proizvod je vrlo skup, ali je također očito da je stvaranje takvog romba težilo određenom cilju. Upravo to, znanstvenici dugo nisu mogli shvatiti.

Jedna od vjerojatnijih i prihvatljivijih verzija odnosi se izravno na Stonehenge. Poznato je da su se građevine Stonehengea podizale postupno, tijekom nekoliko stoljeća. Vjeruje se da je gradnja započela oko 3000. pr. Valja napomenuti da je zlato u Britaniji postalo poznato već negdje od 2800. pr. Iz ovoga se može pretpostaviti da je zlatni romb mogao biti svećenički alat. Osobito vezir. Na takvu je hipotezu u posljednjoj četvrtini 20. stoljeća suvremenim znanstvenicima skrenuo pozornost profesor A. Tom, poznati istraživač Stonehengea.

Ne može svatko zamisliti da su drevni graditelji mogli točno odrediti kutove na tlu. Ipak, engleski istraživač D. Furlong predložio je metodu koju bi, prema njegovom mišljenju, mogli koristiti stari Egipćani. Furlong je vjerovao da su naši preci koristili unaprijed odabrane omjere u pravokutnim trokutima. Uostalom, odavno je poznato da su Egipćani naširoko koristili trokut sa stranicama od tri, četiri i pet dimenzionalnih jedinica. Očito su i drevni stanovnici Britanskih otoka znali mnoge takve trikove.

Pa, čak i ako zamislite da su ljudi koji su izgradili Stonehenge bili izvrsni geodeti, kako bi im zlatni dijamant mogao pomoći u tome? Teško da će neki moderni geodet moći odgovoriti na ovo pitanje. Najvjerojatnije, činjenica da je Furlong bio geometar po struci, dala mu je priliku da riješi ovu zagonetku. Nakon pažljivog proučavanja, istraživač je došao do zaključka da je polirani zlatni romb s oznakama izvrstan za korištenje kao reflektor sunčeve svjetlosti, drugim riječima, posebno dimenzionalno zrcalo.

Dokazano je da je za brzo određivanje azimuta na tlu s prilično malim pogreškama potrebno koristiti dva slična zrcala. Shema je bila sljedeća: jedan svećenik, na primjer, stajao je na vrhu jednog brda, a drugi u susjednoj dolini. Također je bilo potrebno unaprijed odrediti udaljenost između svećenika. To se može učiniti sa samo nekoliko koraka. Iako su obično koristili mjerni štap, budući da su rezultati bili pouzdaniji. Dva metalna zrcala u obliku dijamanta pružaju pravi kut. A onda je lako izmjeriti gotovo sve potrebne kutove. D. Furlong je čak dao tablicu takvih parova cijelih brojeva, što vam omogućuje da postavite bilo koji kut s pogreškom od jednog stupnja. Najvjerojatnije su svećenici iz doba Stonehengea koristili ovu metodu. Naravno, da bismo potvrdili ovu hipotezu, bilo bi potrebno pronaći drugi, upareni zlatni romb, ali, očito, to se ne isplati. Uostalom, dokazi su sasvim jasni. Osim izračunavanja azimuta na tlu, otkrivena je još jedna sposobnost nevjerojatnog zlatnog romba. Ova nevjerojatna sitnica može izračunati trenutke zimskog i ljetnog solsticija, proljetnih i jesenskih ekvinocija. To je bila nezamjenjiva kvaliteta za život starih Egipćana, koji su tada prvenstveno štovali Sunce.

Vjerojatno je impozantan izgled romba bio ne samo nezamjenjiv alat za svećenike, već je bio i spektakularan ukras za njegovog vlasnika. Općenito govoreći, velika većina na prvi pogled nađenog nakita, danas skupog, su, kasnije se ispostavilo, mjerni instrumenti.

Dakle, ljude je uvijek privlačilo nepoznato. A, sudeći po činjenici da je u našem svijetu još toliko toga tajanstvenog i nedokazanog, osoba će još dugo pokušavati pronaći tragove antike. I jako je cool! Uostalom, možemo puno naučiti od naših predaka. Da biste to učinili, morate puno znati, moći učiti i učiti. Ali nemoguće je postati tako visokokvalificirani stručnjak bez osnovnog znanja. Uostalom, svaki veliki arheolog, otkrivač jednom je išao u školu!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.