U nekim slučajevima je potrebna projekcija na tri ravni projekcije, ako je, na primjer, geometrijski objekt složenog dizajna.

Uvedimo u sistem dvije ravni projekcija treću ravninu projekcija - profilnu ravninu W (slika 1.4). Geometrijski objekt u sistemu od tri projekcijske ravni projecira se na H, V i W ravni i dobijaju se tri projekcije jedne tačke - horizontalne, frontalne i profilne.

Ako se sve tri projekcijske ravnine nastave u geometrijskom prostoru u svim smjerovima, tada će biti podijeljene s tri ravni u osam dijelova, nazvanih oktanti (slika 1.5). Oktante karakterišu različiti znakovi koordinata duž osi 0X, 0Y i 0Z.

Slika 1.3 - Projektiranje tačke na dvije ravni

Znakovi koordinata tačke u različitim oktantima predstavljeni su u tablici.

Znakovi koordinata u oktantima

Slika 1.6 prikazuje transformaciju prostornog modela prvog oktanta zajedno sa projekcijama tačke na dijagramima:

a) Uklonite geometrijski objekt, ali zadržite njegove projekcije zajedno s komunikacijskim linijama (vidi sliku 1.6b);

b) Mentalno "isecite" oktant duž 0Y ose i rasklopite H i W ravni kao što je prikazano na slici 1.6c;

c) Dobije se planarni sistem od tri projekcijske ravni sa osama, komunikacijskim linijama i tačkastim projekcijama (vidi sliku 1.6d);

d) Projekcijske ravnine se uklanjaju i zadržavaju se samo osi. Kao rezultat transformacija dobija se složeni crtež tačke ili Mongeovih crta na tri projekcijske ravni (slika 1.6e). Treba napomenuti da su na dijagramu formirane dvije osi 0Y: jedna os pripada ravni H, a druga, označena zvjezdicom *, pripada ravnini W.

Crtanje tačke u tri projekcije osnova je za opisnu geometriju i tehničko crtanje. Razmotrimo svojstva Mongeove crteža koja slijede iz prostornog crtanja pravokutne projekcije na tri projekcijske ravni i crteža:

1) Horizontalna projekcija tačke A određena je koordinatama X i Y, a za njenu konstrukciju koordinata Y se crta duž vertikalne osi 0Y;

2) frontalna projekcija tačke A određena je koordinatama X i Z;

3) Projekcija profila tačke A određena je koordinatama Z i Y,

osim toga, koordinata Y položena je duž vodoravne osi 0Y *;

4) Horizontalna i frontalna projekcija tačke nalaze se na istoj komunikacionoj liniji, okomito na 0X osu;

5) Prednja i profilna tačka tačke nalaze se na istoj komunikacijskoj liniji okomito na 0Z osu;

6) Segmenti na komunikacijskim linijama AhA / \u003d AzA /// jednaki su istoj koordinati Y. Isti zaključak slijedi iz razmatranja prostornog rasporeda;

7) Iz prethodnog svojstva slijedi osnovno svojstvo Mongeove parcele - iz dvije projekcije točke možete konstruirati treću.

Gore spomenuto odnosi se na točku koja se nalazi u oktantu u općem položaju. Međutim, točka može pripadati ravninama ili osi projekcije. Ovakav položaj tačke naziva se određenim položajem.

Slika 1.7 pokazuje da ako tačka pripada bilo kojoj ravnini projekcije, tada će dvije njezine projekcije biti na osi (slika 1.7a, b). Ako tačka pripada bilo kojoj projekcijskoj osi, tada će se dvije njezine projekcije nalaziti na osi, a treća projekcija bit će u točki 0 (slika 1.7c).

Aparati za projekciju

Projekcijski uređaj (slika 1) uključuje tri projekcijske ravnine:

π 1 -vodoravna ravnina projekcija;

π 2 -frontalna ravnina projekcije;

π 3 - profilna ravnina izbočina .

Ravne projekcije smještene su međusobno okomito ( π 1^ π 2^ π 3), a njihove presečne linije čine ose:

Presek aviona π 1i π 2čine os 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Presek aviona π 1i π 3čine os 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Presek aviona π 2i π 3čine os 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Tačka presjeka osi (OHJOY∩OZ \u003d 0) smatra se ishodištem (tačka 0).

Budući da su ravnine i osi međusobno okomite, takav je uređaj sličan kartezijanskom koordinatnom sustavu.

Ravne projekcije podijeljene su u osam oktanata (na slici 1. označene su rimskim brojevima). Projekcijske ravnine smatraju se neprozirnima, a gledalac je uvijek unutra Ja-ti oktant.

Ortogonalna projekcija sa projekcijskim centrima S 1, S 2 i S 3 odnosno za horizontalnu, frontalnu i profilnu ravninu projekcije.

A.

Iz centara projekcije S 1, S 2 i S 3 izlaze projekcijske grede l 1, l 2 i l 3 A

- A 1 A;

- A 2 - frontalna projekcija tačke A;

- A 3 - projekcija tačkastog profila A.

Tačku u prostoru karakteriziraju koordinate A(x, y, z). Poeni Sjekira, A y i A z odnosno na osi 0X, 0Y i 0Z pokazati koordinate x, yi z bodova A... Na sl. 1 daje sve potrebne oznake i prikazuje veze između točke A prostor, njegove projekcije i koordinate.

Tačkaste parcele

Da biste dobili zaplet točke A (Slika 2), u uređaju za projekciju (slika 1) ravni π 1 A 1 0X π 2... Zatim avion π 3 sa tačkastom projekcijom A 3, rotirajte u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko osi 0Z, prije nego što ga poravnate s ravninom π 2... Pravac rotacije ravni π 2 i π 3 prikazano na sl. 1 sa strelicama. Štaviše, direktno A 1 A x i A 2 A x 0X okomito A 1 A 2i ravno A 2 A x i A 3 A x će se nalaziti na zajedničkoj osi 0Z okomito A 2 A 3... U nastavku će se nazvati ovi redovi. vertikalno i horizontalno veze.

Treba napomenuti da tijekom prelaska s projekcijskog aparata na dijagram projicirani objekt nestaje, ali se čuvaju sve informacije o njegovom obliku, geometrijskim dimenzijama i položaju u prostoru.

A(x A, y A, z A x A, y Ai z A u slijedećem slijedu (slika 2). Ova sekvenca naziva se tehnika crtanja tačke.

1. Sjekire su nacrtane pravokutno OX, OYi OZ.

2. Na osi OX x A bodova A i dobiti položaj točke Sjekira.

3. Kroz tačku Sjekira okomita na os OX

Sjekiraduž osi OYnumerička vrijednost koordinate se odgađa y A bodova A A 1 na parceli.

Sjekira duž osi OZnumerička vrijednost koordinate se odgađa z Abodova A A 2 na parceli.

6. Kroz tačku A 2 paralelno s osom OX povlači se vodoravna komunikacijska linija. Presek ove linije i ose OZ dat će položaj tačke A z.

7. Na vodoravnoj komunikacijskoj liniji od točke A zduž osi OYnumerička vrijednost koordinate se odgađa y A bodova A i određuje se položaj projekcije profila tačke A 3 na parceli.

Karakteristike tačaka

Sve točke u prostoru podijeljene su u točke posebnih i općih odredbi.

Bodovi na privatnoj poziciji. Tačke koje pripadaju uređaju za projekciju nazivaju se tačkama određenog položaja. Uključuju tačke koje pripadaju ravninama projekcije, osi, ishodištu i projekcijskim centrima. Karakteristične karakteristike točaka određenog položaja su:

Metamatematički - jedna, dvije ili sve numeričke vrijednosti koordinata jednake su nuli i (ili) beskonačnosti;

Na crtežu - dvije ili sve projekcije točke nalaze se na osi i (ili) se nalaze u beskonačnosti.

Tačke opšteg stava. Tačke općeg položaja su točke koje ne pripadaju uređaju za projiciranje. Na primjer, točka A na sl. 1 i 2.

Općenito, numeričke vrijednosti koordinata točke karakteriziraju njezinu udaljenost od ravnine projekcije: koordinata xiz aviona π 3; koordinirati giz aviona π 2; koordinirati ziz aviona π 1... Treba napomenuti da znakovi na numeričkim vrijednostima koordinata pokazuju smjer točke koja se odmiče od ravnina projekcije. Ovisno o kombinaciji znakova na numeričkim vrijednostima koordinata točke, ovisi o tome u kojem se oktanu nalazi.

Metoda s dvije slike

U praksi se pored metode pune projekcije koristi i metoda dvije slike. Razlikuje se po tome što ovaj metod isključuje treću projekciju objekta. Da bi se dobio projekcijski aparat metodom dviju slika, profilna ravnina projekcija sa svojim projekcijskim centrom isključena je iz aparata pune projekcije (slika 3). Pored toga, na osi 0X podrijetlo se dodjeljuje (točka 0 ) i od njega okomito na osu 0X u projekcijskim ravninama π 1i π 2 povucite osi 0Y i 0Z respektivno.

U ovom je aparatu čitav prostor podijeljen u četiri kvadranta. Na sl. 3 označeni su rimskim brojevima.

Projekcijske ravnine smatraju se neprozirnima, a gledalac je uvijek unutra Jath kvadrant.

Razmotrimo rad uređaja na primjeru projekcije točke A.

Iz centara projekcije S 1 i S 2 izlaze projekcijske grede l 1 i l 2... Ti zraci prolaze kroz tačku A i sijekući se sa projekcijskim ravninama čine njegove projekcije:

- A 1 - horizontalna projekcija tačke A;

- A 2 - frontalna projekcija tačke A.

Da biste dobili zaplet točke A (slika 4), u projekcionom uređaju (slika 3) ravni π 1 sa dobijenom projekcijom tačke A 1 rotirati u smjeru kazaljke na satu oko osi 0X, prije nego što ga poravnate s ravninom π 2... Smjer rotacije ravnine π 1 prikazano na sl. 3 strelice. U ovom slučaju, na crtežu tačke dobijene metodom dvije slike ostaje samo jedna vertikalno komunikaciona linija A 1 A 2.

U praksi, crtanje tačke A(x A, y A, z A) provodi se numeričkim vrijednostima njegovih koordinata x A, y Ai z A u slijedećem slijedu (slika 4).

1. Nacrtana je os OXi podrijetlo se dodjeljuje (točka 0 ).

2. Na osi OX numerička vrijednost koordinate se odgađa x A bodova A i dobiti položaj točke Sjekira.

3. Kroz tačku Sjekira okomita na os OX crta se vertikalna linija komunikacije.

4. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke Sjekiraduž osi OYnumerička vrijednost koordinate se odgađa y A bodova A i određuje se položaj vodoravne projekcije tačke A 1 OYnije ucrtana, ali se pretpostavlja da su njegove pozitivne vrijednosti smještene ispod osi OXa negativne su veće.

5. Na vertikalnoj komunikacijskoj liniji od točke Sjekira duž osi OZnumerička vrijednost koordinate se odgađa z Abodova A i određuje se položaj frontalne projekcije tačke A 2 na parceli. Treba napomenuti da je na dijagramu os OZnije ucrtano, ali pretpostavlja se da su njegove pozitivne vrijednosti smještene iznad osi OXa negativni su niži.

Konkurentske tačke

Tačke na jednom projekcionom zraku nazivaju se konkurentske tačke. Imaju zajedničku projekciju u pravcu projekcionog zraka, tj. njihove se projekcije identično podudaraju. Karakteristična karakteristika konkurentskih tačaka na radnji je identična podudarnost njihovih istoimenih projekcija. Konkurencija leži u vidljivosti ovih projekcija u odnosu na posmatrača. Drugim riječima, u prostoru za posmatrača jedna od točaka je vidljiva, a druga nije. I, shodno tome, na crtežu: jedna od projekcija konkurentskih točaka je vidljiva, a projekcija druge tačke je nevidljiva.

Na modelu prostorne projekcije (slika 5) dvije konkurentske točke A i IN tačka vidljiva A iz dva komplementarna osnova. Sudeći po lancu S 1 → A → B dot A bliže posmatraču nego tačka IN... I, shodno tome, dalje od ravnine projekcije π 1 (one. z A > z A).

Slika: Slika 6

Ako je tačka vidljiva A, tada je vidljiva i njegova projekcija A 1... S obzirom na projekciju koja se podudara s njom B 1... Radi jasnoće i, ako je potrebno, na dijagramu, nevidljive projekcije točaka obično su zatvorene u zagrade.

Uklonimo točke na modelu A i IN... Na avionu će ostati njihove podudarne projekcije π 1 i odvojene projekcije - na π 2... Ostavimo uslovno frontalnu projekciju promatrača (⇩) koja se nalazi u središtu projekcije S 1... Zatim duž lanca slika ⇩ → A 2 → B 2 to će biti moguće prosuditi z A > z B i da je tačka sama po sebi vidljiva A i njegova projekcija A 1.

Slično razmotrite i konkurentske tačke OD i Dočigledno u odnosu na ravninu π 2. Budući da je zajednička projekcijska zraka ovih točaka l 2paralelno s osom 0Y, zatim znak vidljivosti konkurentskih bodova OD i D definirana je nejednakošću y C\u003e y D... Stoga, poanta D zatvorena tačka OD i, shodno tome, projekcija tačke D 2 će biti pokrivena projekcijom tačke C 2 na površini π 2.

Razmotrite kako se određuje vidljivost konkurentskih točaka na kompozitnom crtežu (slika 6).

Na osnovu slučajnih projekcija A 1≡IN 1 sami bodovi A i IN nalaze se na jednom projekcionom zraku paralelnom osi 0Z... To znači da se koordinate trebaju upoređivati z A i z B ove tačke. Za ovo koristimo ravninu frontalne projekcije sa odvojenim tačkastim slikama. U ovom slučaju z A > z B... Iz ovoga proizlazi da je vidljiva projekcija A 1.

Poeni C i D u razmatranom složenom crtežu (slika 6) takođe se nalaze na jednom izbočenom zraku, ali samo paralelno sa osi 0Y... Prema tome, iz poređenja y C\u003e y D zaključujemo da je projekcija C 2 vidljiva.

Opšte pravilo. Vidljivost za slučajne projekcije konkurentskih tačaka određuje se upoređivanjem koordinata tih tačaka u pravcu zajedničkog projekcionog zraka. Vidljiva je projekcija točke u kojoj je ta koordinata veća. U ovom slučaju, poređenje koordinata vrši se na ravni projekcije sa odvojenim slikama tačaka.

Razmotrimo projekciju tačaka na dvije ravni, za koje uzmemo dvije okomite ravni (slika 4), koje ćemo nazvati vodoravnom frontalnom i ravninama. Linija presjeka ovih ravni naziva se projekcijska os. Projektiramo jednu tačku A na razmatrane ravni pomoću projekcije ravni. Da biste to učinili, potrebno je spustiti okomice Aa i A s ove točke na razmatrane ravni.

Pozvana je projekcija na vodoravnu ravninu horizontalna projekcija bodova Ai projekcija a? na frontalnoj ravni se naziva frontalna projekcija.

Tačke koje treba projicirati obično se označavaju u opisnoj geometriji velikim latiničnim slovima A, B, C... Mala slova koriste se za označavanje vodoravnih projekcija točaka. a, b, c... Frontalne projekcije označene su malim slovima s potezom na vrhu a?, b?, c?…

Oznaka točaka koristi se i rimskim brojevima I, II, ..., a za njihove projekcije - arapskim brojevima 1, 2 ... i 1?, 2? ...

Kada horizontalnu ravninu okrenete za 90 °, možete dobiti crtež na kojem su obje ravnine u istoj ravni (slika 5). Ova slika se zove point plot.

Kroz okomite linije Aa i A? nacrtati ravan (slika 4). Rezultirajuća ravnina je okomita na frontalnu i horizontalnu ravninu, jer sadrži okomice na ove ravni. Stoga je ova ravnina okomita na liniju presjeka ravnina. Rezultirajuća ravna linija presijeca vodoravnu ravninu u pravoj liniji aa x, a frontalna ravnina - u pravoj liniji huh x. Ravno aah i huh x su okomite na os presjeka ravni. Tj Aaah? je pravougaonik.

Kada se kombinuju horizontalna i frontalna ravnina projekcije a i a? ležati će na istoj okomici na osu presjeka ravnina, jer kada se vodoravna ravnina okreće, okomitost segmenata aa x i huh x neće biti prekršen.

To dobivamo na dijagramu projekcije a i a? neki trenutak A uvijek lezite na istoj okomici na osu presijecanja ravni.

Dvije projekcije a i a? neka tačka A može jedinstveno odrediti svoj položaj u svemiru (slika 4). To potvrđuje činjenica da će prilikom konstrukcije okomice od projekcije a do vodoravne ravni proći kroz točku A. Na isti način, okomica od projekcije a? do frontalne ravni proći će kroz tačku A, tj. točka A nalazi se istovremeno na dvije određene linije. Tačka A je njihova tačka preseka, odnosno definitivna je.

Razmotrimo pravougaonik Aaa x a? (Slika 5), \u200b\u200bza koju su tačni sljedeći navodi:

1) Udaljenost tačke A od frontalne ravni jednak je udaljenosti njegove vodoravne projekcije a od osi presjeka ravni, tj.

A? = aa x;

2) tačka udaljenost A od vodoravne ravnine projekcije jednaka je udaljenosti njene frontalne projekcije a? od osi presijecanja ravni, tj.

Aa = huh x.

Drugim riječima, čak i bez same točke na crtežu, koristeći samo dvije njezine projekcije, možete saznati na kojoj je udaljenosti od svake projekcijske ravnine data točka.

Sjecište dviju ravnina projekcije dijeli prostor na četiri dijela, koja se nazivaju četvrtine (slika 6).

Os presijecanja ravni dijeli horizontalnu ravninu na dvije četvrtine - prednju i stražnju, a frontalnu ravninu - na gornju i donju četvrtinu. Vrh frontalne ravni i prednja strana vodoravne ravni smatraju se granicama prve četvrtine.

Kada se primi dijagram, vodoravna ravnina se okreće i poravnava sa frontalnom ravninom (slika 7). U tom će se slučaju prednji dio vodoravne ravni poklapati s donjim dijelom frontalne ravnine, a stražnji dio vodoravne ravnine - s gornjim dijelom frontalne ravnine.

Slike 8-11 prikazuju tačke A, B, C, D smještene u različitim četvrtinama prostora. Tačka A nalazi se u prvoj četvrtini, tačka B u drugoj, tačka C u trećoj i tačka D u četvrtoj.

Kada se bodovi nalaze u prvoj ili četvrtoj četvrtini, njihova horizontalne projekcije nalaze se na prednjoj strani vodoravne ravni, a na plohi će ležati ispod osi presjeka ravni. Kada se tačka nalazi u drugoj ili trećoj četvrtini, njena horizontalna projekcija ležat će na stražnjoj strani vodoravne ravnine, a na crti će biti iznad osi presijecanja ravni.

Prednja projekcija tačke koje se nalaze u prvoj ili drugoj četvrtini ležat će na gornjem dijelu frontalne ravnine, a na plohi će biti iznad osi presijecanja ravni. Kada se tačka nalazi u trećoj ili četvrtoj četvrtini, njena frontalna projekcija je ispod osi preseka ravni.

Najčešće se u stvarnim konstrukcijama figura postavlja u prvu četvrtinu prostora.

U nekim posebnim slučajevima, poanta ( E) mogu ležati na vodoravnoj ravni (slika 12). U ovom slučaju, njegova vodoravna projekcija e i sama tačka će se podudarati. Frontalna projekcija takve tačke bit će smještena na osi presijecanja ravni.

U slučaju kada je poanta TO leži na frontalnoj ravni (slika 13), njegova vodoravna projekcija k leži na osi presijecanja ravni i frontalno k? pokazuje stvarnu lokaciju ove tačke.

Za takve točke znak da leži na jednoj od projekcijskih ravni je da je jedna od njegovih projekcija na osi presijecanja ravni.

Ako tačka leži na osi presjeka ravnina projekcije, ona i obje projekcije se podudaraju.

Kada točka ne leži na ravninama projekcije, ona se zove općenito... U daljnjem tekstu, ako nema posebnih oznaka, razmatrana tačka je općenita pozicija.

2. Nedostatak projekcijske osi

Da bismo pojasnili primanje projekcija točke na modelu okomito na ravnine projekcije (slika 4), potrebno je uzeti komad debelog papira u obliku izduženog pravokutnika. Treba ga savijati između projekcija. Linija nabora predstavljat će osu presijecanja ravni. Ako se nakon toga presavijeni papir ponovo ispravi, dobit ćemo dijagram sličan onome prikazanom na slici.

Kombinacijom dvije projekcijske ravnine s ravninom crtanja ne možete prikazati liniju pregiba, odnosno ne nacrtati osu presijecanja ravni na crtežu.

Prilikom gradnje na parceli, projekcije uvijek treba postaviti a i a? tačka A na jednoj vertikalnoj liniji (slika 14), koja je okomita na osu preseka ravni. Stoga, čak i ako položaj osi presijecanja ravnina ostaje nedefiniran, ali je njegov smjer određen, os presijecanja ravni može biti na crti samo okomito na ravnu liniju ah?.

Ako na crtežu točke nema projekcijske osi, kao na prvoj slici 14a, možete predstaviti položaj ove točke u prostoru. Da biste to učinili, nacrtajte bilo gdje okomito na ravnu liniju ah? os projekcije, kao na drugoj slici (slika 14), i savijte crtež duž ove osi. Ako vratimo okomice u točkama a i a? prije nego što se presijeku, možete dobiti poen A... Pri promjeni položaja projekcijske osi dobivaju se različiti položaji točke u odnosu na ravnine projekcije, ali nesigurnost u položaju projekcijske osi ne utječe na relativni položaj nekoliko točaka ili figura u prostoru.

3. Projekcije tačke na tri projekcijske ravni

Razmotrimo profilnu ravninu izbočina. Izboci na dvije okomite ravni obično određuju položaj lika i omogućuju otkrivanje njegove stvarne veličine i oblika. Ali postoje trenuci kada dvije projekcije nisu dovoljne. Tada se primjenjuje konstrukcija treće projekcije.

Treća projekciona ravnina nacrtana je tako da je istovremeno okomita na obje projekcijske ravni (slika 15). Obično se naziva treća ravan profil.

U takvim konstrukcijama naziva se zajednička ravna linija horizontalne i frontalne ravni osa x , zajednička ravna linija vodoravnih i profilnih ravni - osa u , a zajednička ravna linija frontalne i profilne ravni je osa z ... Tačka Ošto pripada sve tri ravni naziva se ishodište.

Slika 15a prikazuje poantu A i njegove tri projekcije. Projekcija na ravninu profila ( a ??) su pozvani projekcija profilai označavaju a ??.

Da se dobije grafikon tačke A koji se sastoji od tri projekcije a, a a, potrebno je presjeći trokut koji čine sve ravni duž ose y (slika 15b) i kombinirati sve te ravni sa frontalnom ravninom projekcije. Vodoravna ravnina mora se okretati oko osi x, a ravnina profila je oko osi z u smjeru označenom strelicom na slici 15.

Slika 16 prikazuje položaj izbočina ha? i a ?? bodova A, dobijen poravnavanjem sve tri ravni sa ravninom crteža.

Kao rezultat reza, osa y javlja se na plohi na dva različita mjesta. Na vodoravnoj ravni (slika 16) zauzima vertikalni položaj (okomit na os x), a na ravni profila - vodoravno (okomito na os z).

Slika 16 prikazuje tri projekcije ha? i a ?? tačke A imaju strogo definiran položaj na dijagramu i podliježu jednoznačnim uvjetima:

a i a? uvijek treba biti smješten na jednoj vertikalnoj liniji okomitoj na os x;

a? i a ?? mora uvijek biti na istoj vodoravnoj liniji okomitoj na os z;

3) pri crtanju kroz vodoravnu projekciju i vodoravnu liniju, te kroz profilnu projekciju a ??- vertikalna ravna linija, konstruirane ravne linije moraju se nužno presijecati na simetrali ugla između osovina projekcije, jer slika Oa u a 0 a n - kvadrat.

Kada gradite tri projekcije točke, trebate provjeriti ispunjavanje sva tri uvjeta za svaku točku.

4. Koordinate tačaka

Položaj točke u prostoru može se odrediti pomoću tri broja koja se nazivaju njenim koordinate... Svaka koordinata odgovara udaljenosti tačke od neke projekcijske ravni.

Definisana tačka udaljenost A na ravninu profila je koordinata x, pri čemu x = ha? (Slika 15), udaljenost do frontalne ravni je koordinata y, a y \u003d ha?, a udaljenost do vodoravne ravni je koordinata z, pri čemu z = aa.

Na slici 15, točka A zauzima širinu pravokutnog paralelepipeda, a mjere tog paralelepipeda odgovaraju koordinatama ove točke, tj. Svaka od koordinata prikazana je na slici 15 četiri puta, tj .:

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z \u003d aA \u003d Oa z \u003d a x a? \u003d a y a?

Na dijagramu (slika 16), koordinate x i z javljaju se tri puta:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z \u003d a x a? \u003d Oa z \u003d a y a?.

Svi segmenti koji odgovaraju koordinati x (ili z) paralelne su jedna drugoj. Koordinirati u dva puta predstavljena vertikalnom osi:

y \u003d Oa y \u003d a x a

i dva puta - smješteno vodoravno:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Ova razlika pojavila se zbog činjenice da je osa y prisutna na crtežu u dva različita položaja.

Treba napomenuti da se položaj svake projekcije na dijagramu određuje sa samo dvije koordinate, i to:

1) horizontalne - koordinate x i u,

2) frontalni - koordinate x i z,

3) profil - koordinate u i z.

Koristeći koordinate x, y i z, možete izgraditi projekcije točke na crtežu.

Ako je tačka A navedena koordinatama, njihov zapis određuje se na sljedeći način: A ( x; y; z).

Prilikom izrade projekcija, tačaka A trebate provjeriti ispunjavanje sljedećih uslova:

1) horizontalna i frontalna projekcija a i a? x x;

2) frontalna i profilna projekcija a? i a? moraju se nalaziti na istoj okomici na os zbudući da imaju zajedničku koordinatu z;

3) horizontalna projekcija i takođe uklonjena sa ose xpoput projekcije profila a uklonjen sa osi zod projekcije, a? a ha? imaju zajedničku koordinatu u.

Ako se točka nalazi u bilo kojoj ravnini projekcije, tada je jedna od njenih koordinata nula.

Kada točka leži na osi projekcije, dvije koordinate su joj nula.

Ako tačka leži u ishodištu, sve tri koordinate su joj nula.

Mnogo je detalja, čiji se oblik ne može prenijeti pomoću dvije projekcije crteža (slika 75).

Da bi informacije o složenom obliku dijela bile predstavljene u dovoljnoj mjeri, koristi se projekcija na tri međusobno okomite ravnine projekcije: frontalna - V, horizontalna - H i profil - W (čita se "dvostruko ve").

Sistem projekcionih ravni je trostrani ugao sa vrhom u tački O. Preseci ravni ravni trostranog ugla čine ravne linije - ose projekcije (OX, OY, OZ) (slika 76).

Predmet se postavlja u trokutasti ugao tako da su njegovo lice koje stvara oblik i paralelno paralelne sa frontalnom i horizontalnom ravninom projekcije. Zatim se kroz sve točke objekta provlače projekcijske grede, okomite na sve tri ravnine projekcije, na kojima se dobivaju frontalne, vodoravne i profilne projekcije objekta. Nakon projekcije, objekt se uklanja iz trostranog kuta, a zatim se vodoravna i profilna ravnina izbočina zakreću za 90 *, oko osi OX i OZ, dok se ne poravnaju sa frontalnom ravninom projekcije, te se dobiva crtež dijela koji sadrži tri projekcije.

Slika: 75. Projekcija na dvije projekcijske ravni ne daje uvijek
potpuno razumijevanje oblika predmeta

Slika: 76. Projeciranje na tri međusobno okomita
projekcijske ravni

Tri projekcije crteža međusobno su povezane. Frontalne i horizontalne projekcije zadržavaju odnos projekcije slika, odnosno uspostavljaju se projekcijske veze između frontalnih i horizontalnih, frontalnih i profila, kao i horizontalne i profilne projekcije (vidi sliku 76). Linije projekcionih veza definiraju mjesto svake projekcije u polju za crtanje.

U drugim zemljama svijeta usvojen je drugi sistem pravougaone projekcije na tri međusobno okomite ravnine projekcije, koji se konvencionalno naziva „američki“ (vidi Dodatak 3). Njegova glavna razlika je u tome što se na drugačiji način, u odnosu na projicirani objekt, trokutni kut nalazi u prostoru, a ravnine projekcije odvijaju se u drugim smjerovima. Prema tome, vodoravna projekcija je iznad frontalne projekcije, a projekcija profila je desno od frontalne projekcije.

Oblik većine predmeta kombinacija je različitih geometrijskih tijela ili njihovih dijelova. Slijedom toga, da biste čitali i izvršavali crteže, morate znati kako su geometrijska tijela prikazana u sistemu od tri projekcije u proizvodnji (Tabela 7). (Crteži koji sadrže tri projekcije nazivaju se složenim crtežima.)

7. Sveobuhvatni i proizvodni crteži jednostavnih geometrijskih dijelova

Napomene: 1. Ovisno o karakteristikama proizvodnog procesa, na crtežu je prikazan određeni broj izbočina. 2. Na crtežima je uobičajeno davati najmanji, ali dovoljan broj slika da bi se utvrdio oblik predmeta. Broj crteža slika može se smanjiti pomoću simbola s, l ,? što već znate.

PROJEKTIRANJE TAČKE NA DVIJE PROJEKCIONE PLANINE

Formiranje segmenta ravne linije AA 1 može se predstaviti kao rezultat pomeranja tačke A u bilo kojoj ravni H (slika 84, a), a formiranje ravni - kao kretanje segmenta ravne linije AB (slika 84, b).

Tačka je glavni geometrijski element linije i površine, stoga proučavanje pravokutne projekcije objekta započinje konstrukcijom pravokutnih projekcija tačke.

U prostor dvostranog ugla koji čine dvije okomite ravnine - frontalna (vertikalna) ravnina projekcije V i vodoravna ravnina projekcije H, postavljamo tačku A (slika 85, a).

Linija presjeka ravnina projekcije ravna je linija koja se naziva osom projekcije i označava se slovom x.

Ravnina V ovdje je prikazana kao pravougaonik, a ravnina H paralelogram. Kosa strana ovog paralelograma obično se crta pod uglom od 45 ° u odnosu na njegovu vodoravnu stranu. Dužina nagnute stranice uzima se jednaka 0,5 stvarne dužine.

Okomice se spuštaju iz točke A na ravninu V i H. Tačke a "i presjek okomica s ravninama projekcije V i H pravokutne su projekcije točke A. Slika Aaa x a" u prostoru je pravokutnik. Bočna os ovog pravougaonika smanjena je za 2 puta na vizuelnoj slici.

Poravnajte H ravninu s V ravninom okretanjem V oko presjeka x ravnina. Rezultat je složeni crtež tačke A (slika 85, b)

Da bi se pojednostavio složeni crtež, granice projekcionih ravni V i H nisu naznačene (slika 85, c).

Okomice povučene iz točke A na ravnine projekcije nazivaju se projekcijskim linijama, a osnove tih linija projekcije - tačke a i a "- nazivaju se projekcije točke A: a" je frontalna projekcija točke A, a vodoravna projekcija točke A.

Pravac a "a naziva se vertikalnom linijom projekcione veze.

Lokacija projekcije točke na složenom crtežu ovisi o položaju te točke u prostoru.

Ako točka A leži na vodoravnoj ravni projekcija H (slika 86, a), tada se njena vodoravna projekcija a poklapa s danom točkom, a frontalna projekcija a "nalazi se na osi. Kada se točka B nalazi na frontalnoj ravni projekcija V, njena frontalna projekcija se poklapa s ovom tačka, a vodoravna projekcija leži na x-osi. Horizontalna i frontalna projekcija dane tačke C, koja leži na x-osi, poklapaju se s ovom tačkom. Složeni crtež tačaka A, B i C prikazan je na slici 86, b.

PROJEKTIRANJE TAČKE NA TRI PROJEKCIONE PLANINE

U onim slučajevima kada je nemoguće zamisliti oblik predmeta iz dvije projekcije, on se projicira na tri projekcijske ravni. U ovom slučaju uvodi se profilna ravnina projekcija W, koja je okomita na ravni V i H. Vizuelni prikaz sistema od tri projekcijske ravni dat je na sl. 87, a.

Rubovi trokutastog ugla (presjek ravnina projekcije) nazivaju se projekcijskim osima i označavaju se s x, y i z. Sjecište osovina projekcije naziva se početkom osi projiciranja i označava se slovom O. Spustimo okomicu iz točke A na ravninu projekcije W i, označivši osnovu okomice slovom a ", dobivamo profilnu projekciju točke A.

Da bi se dobio složeni crtež, tačke A ravni H i W poravnaju se sa ravninom V, rotirajući ih oko osi Ox i Oz. Sveobuhvatan crtež tačke A prikazan je na sl. 87, b i c.

Presjeci linija projekcije od točke A do ravnina projekcije nazivaju se koordinate točke A i označavaju se: x A, y A i z A.

Na primjer, koordinata z A tačke A, jednaka odsječku a "a x (slike 88, a i b), udaljenost je od točke A do vodoravne ravni projekcije H. Koordinata u točki A, jednaka odsječku aa x, je udaljenost od točke A na frontalnu ravninu projekcija V. Koordinata x A, jednaka odsječku aa y, udaljenost je od točke A do profilne ravnine projekcija W.

Dakle, udaljenost između projekcije točke i osi projekcije određuje koordinate točke i ključ je za čitanje njenog složenog crteža. Iz dvije projekcije točke mogu se odrediti sve tri koordinate točke.

Ako su date koordinate točke A (na primjer, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm i z A \u003d 25 mm), tada se mogu izgraditi tri projekcije ove točke.

Da biste to učinili, od ishodišta koordinata O u smjeru osi Oz postavlja se koordinata z A i polaže koordinata y A. S krajeva odgođenih segmenata - tačaka az i a y (slika 88, a), povlače se ravne crte paralelne s osi Ox i postavljaju se segmenti jednaki x koordinati A. Dobivene točke a "i a su frontalna i horizontalna projekcija točke A.

Na dvije projekcije a "i tački A možete projekciju njegovog profila izgraditi na tri načina:

1) iz ishodišta koordinata O nacrtati pomoćni luk polumjera Oa y jednak koordinati (slike 87, b i c), iz dobivene točke a y1 povući pravu crtu paralelnu s osom Oz i odložiti segment jednak z A;

2) pomoćna ravna crta povučena je od tačke a y pod uglom od 45 ° prema osi Oy (slika 88, a), dobija se tačka a y1 i tako dalje;

3) od ishodišta koordinata O povlači se pomoćna ravna crta pod uglom od 45 ° prema osi Oy (slika 88, b), dobija se tačka a y1 itd.