Zadatke B14 rješavamo sa ispita. Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu Najmanja vrijednost funkcije fx

Slike ispod pokazuju gdje funkcija može dostići svoju najmanju i najveću vrijednost. Na lijevoj slici, najmanja i najveća vrijednost fiksirane su u točkama lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Na desnoj slici - na krajevima segmenta linije.

Ako je funkcija y = f(x) je kontinuiran na segmentu [ a, b], zatim dopire do ovog segmenta najmanji i najviše vrijednosti ... To se, kao što je već spomenuto, može dogoditi bilo u ekstremne tačke, ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanji i maksimalne vrijednosti funkcije kontinuirano na segmentu [ a, b], potrebno je izračunati njegove vrijednosti u svemu kritične tačke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b]. Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

Kritična tačka naziva se tačka u kojoj definirana funkcija, i ona derivat je ili nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije na kritičnim tačkama. I, na kraju, treba uporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b)). Najveći od ovih brojeva će biti najveća vrijednost funkcije na segmentu [a, b] .

Problemi nalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Zajedno tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju sa nulom () i dobijemo dvije kritične tačke: i. Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, dovoljno je izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u tački, jer tačka ne pripada segmentu [-1, 2]. Vrijednosti ove funkcije su sljedeće:,,. Iz toga slijedi najmanja vrijednost funkcije(na grafikonu ispod je označeno crvenom bojom), jednako -7, dostiže se na desnom kraju segmenta - u tački, i najveći(takođe crveno na grafikonu), jednako 9, - u kritičnoj tački.

Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu i ovaj interval nije segment (ali je, na primjer, interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, a granica tačke segmenta su uključene u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako, na primjer, funkcija prikazana na donjoj slici je kontinuirana na] -∞, + ∞ [i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan), sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija vrijedi.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator izvedenica .

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Rješenje. Izvod ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

Derivat izjednačavamo sa nulom, što nam daje jednu kritičnu tačku:. Pripada segmentu [-1, 3]. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Upoređujemo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u tački i najveća vrijednost jednako 1 u tački.

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima nastavnika koji na temu pronalaženja najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije ne daju učenicima da rješavaju složenije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ali nećemo se ograničavati na takve primjere, jer među nastavnicima ima i onih koji vole natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tabela izvedenica). Stoga će se koristiti logaritamska i trigonometrijska funkcija.

Primjer 8. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite derivaciju ove funkcije kao derivativni rad :

Derivat izjednačavamo sa nulom, što daje jednu kritičnu tačku:. Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

Rezultat svih radnji: funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost jednako 0 u tački i u tački i najveća vrijednost jednak e², u tački.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator izvedenica .

Primjer 9. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Rješenje. Pronađite izvod ove funkcije:

Izjednačavanje derivacije sa nulom:

Jedina kritična tačka pripada segmentu linije. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na datom segmentu, nalazimo njene vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj tački:

zaključak: funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost jednako u tački i najveća vrijednost, jednako, u tački.

U primijenjenim ekstremnim problemima, pronalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije, u pravilu se svodi na pronalaženje minimuma (maksimuma). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već one vrijednosti argumenta na kojima se oni dostižu. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju fenomen ili proces koji se razmatra.

Primjer 10. Rezervoar kapaciteta 4, koji ima oblik paralelepipeda sa kvadratnom osnovom i otvoren na vrhu, mora biti izvučen limom. Koliki bi rezervoar trebao biti da pokrije najmanju količinu materijala?

Rješenje. Neka x- strana baze, h- visina rezervoara, S- njegovu površinu bez poklopca, V- njen volumen. Površina rezervoara se izražava formulom, tj. je funkcija dvije varijable. Da izrazim S kao funkciju jedne varijable, koristićemo šta, odakle. Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Hajde da ispitamo ovu funkciju za ekstrem. Definiran je i diferencibilan svuda u] 0, + ∞ [, i

Izjednačite derivaciju sa nulom () i pronađite kritičnu tačku. Osim toga, za izvod ne postoji, ali ova vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti tačka ekstrema. Dakle, ovo je jedina kritična tačka. Provjerimo prisustvo ekstrema koristeći drugi dovoljan kriterij. Nađimo drugi izvod. Kada je drugi izvod veći od nule (). Dakle, na, funkcija doseže minimum ... Od ovoga minimum je jedini ekstrem ove funkcije, to je ujedno i njena najmanja vrijednost... Dakle, strana osnove rezervoara treba da bude jednaka 2 m, a njegova visina.

Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti

U praksi je prilično uobičajeno koristiti derivat kako bi se izračunala najveća i najmanja vrijednost funkcije. Ovu radnju izvodimo kada shvatimo kako minimizirati troškove, povećati profit, izračunati optimalno opterećenje proizvodnje itd., odnosno u onim slučajevima kada je potrebno odrediti optimalnu vrijednost bilo kojeg parametra. Da biste ispravno riješili takve probleme, morate dobro razumjeti koje su najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Ove vrijednosti obično definiramo unutar određenog intervala x, koji zauzvrat može odgovarati cijeloj domeni funkcije ili njenom dijelu. Može biti kao segment [a; b] i otvoreni interval (a; b), (a; b], [a; b), beskonačan interval (a; b), (a; b], [a; b) ili beskonačan interval - ∞ ; a, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

U ovom članku ćemo vam reći kako se izračunavaju najveća i najmanja vrijednost eksplicitno zadane funkcije s jednom promjenljivom y = f (x) y = f (x).

Osnovne definicije

Počnimo, kao i uvijek, sa formulacijom osnovnih definicija.

Definicija 1

Najveća vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost maxy = f (x 0) x ∈ X, što za bilo koju vrijednost xx ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (x) ≤ f (x 0).

Definicija 2

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je vrijednost minx ∈ X y = f (x 0), koja za bilo koju vrijednost x ∈ X, x ≠ x 0 čini nejednakost f (X f ( x) ≥ f (x 0).

Ove definicije su prilično očigledne. Još je lakše reći ovo: najveća vrijednost funkcije je njena najveća vrijednost na poznatom intervalu na apscisi x 0, a najmanja je najmanja prihvaćena vrijednost u istom intervalu na x 0.

Definicija 3

Stacionarne točke su one vrijednosti argumenta funkcije u kojima njena derivacija nestaje.

Zašto moramo znati šta su stacionarne tačke? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo se prisjetiti Fermatove teoreme. Iz toga slijedi da je stacionarna tačka tačka u kojoj se nalazi ekstrem diferencijabilne funkcije (tj. njen lokalni minimum ili maksimum). Posljedično, funkcija će uzeti najmanju ili najveću vrijednost u određenom intervalu tačno u jednoj od stacionarnih tačaka.

Druga funkcija može uzeti najveću ili najmanju vrijednost u onim tačkama u kojima je sama funkcija određena, a njen prvi izvod ne postoji.

Prvo pitanje koje se nameće prilikom proučavanja ove teme: možemo li u svim slučajevima odrediti najveću ili najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu? Ne, ne možemo to učiniti kada se granice datog intervala poklapaju sa granicama domene definicije, ili ako imamo posla sa beskonačnim intervalom. Takođe se dešava da će funkcija u datom segmentu ili na beskonačnosti uzeti beskonačno male ili beskonačno velike vrednosti. U tim slučajevima nije moguće odrediti najveću i/ili najnižu vrijednost.

Ove tačke će postati jasnije nakon što budu prikazane na grafikonima:

Prva slika nam prikazuje funkciju koja uzima najveću i najmanju vrijednost (m a x y i m i n y) u stacionarnim tačkama koje se nalaze na segmentu [- 6; 6].

Hajde da detaljno ispitamo slučaj prikazan u drugom grafikonu. Promijenimo vrijednost segmenta u [1; 6] i dobijamo da će se najveća vrijednost funkcije postići u tački sa apscisom u desnoj granici intervala, a najmanja - u stacionarnoj tački.

Na trećoj slici, apscise tačaka predstavljaju granične tačke segmenta [- 3; 2]. Oni odgovaraju najvišoj i najnižoj vrijednosti date funkcije.

Pogledajmo sada četvrtu figuru. U njemu funkcija uzima m a x y (najveća vrijednost) i m i n y (najmanja vrijednost) u stacionarnim tačkama na otvorenom intervalu (- 6; 6).

Ako uzmemo interval [1; 6), tada možemo reći da će se najmanja vrijednost funkcije na njemu postići u stacionarnoj tački. Najveća vrijednost će nam biti nepoznata. Funkcija bi mogla poprimiti najveću vrijednost na x jednako 6 ako je x = 6 pripadalo intervalu. Upravo je ovaj slučaj prikazan na grafikonu 5.

Na grafikonu 6, ova funkcija dobija najmanju vrijednost na desnoj granici intervala (- 3; 2], a ne možemo izvući definitivne zaključke o najvećoj vrijednosti.

Na slici 7 vidimo da će funkcija imati m a x y u stacionarnoj tački sa apscisom jednakom 1. Funkcija će dostići svoju najmanju vrijednost na granici intervala na desnoj strani. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti y = 3.

Ako uzmemo interval x ∈ 2; + ∞, tada ćemo vidjeti da data funkcija neće uzeti ni najmanju ni najveću vrijednost na njoj. Ako x teži 2, tada će vrijednosti funkcije težiti minus beskonačnosti, jer je prava linija x = 2 vertikalna asimptota. Ako apscisa teži plus beskonačnosti, tada će se vrijednosti funkcije asimptotski približiti y = 3. Upravo je ovaj slučaj prikazan na slici 8.

U ovom pododjeljku predstavljamo niz radnji koje se moraju izvršiti da bi se pronašla najveća ili najmanja vrijednost funkcije na određenom segmentu.

Prvo, pronađimo domenu funkcije. Provjerimo da li je segment naveden u uvjetu uključen u njega.
Sada izračunajmo tačke sadržane u ovom segmentu, gdje prvi izvod ne postoji. Najčešće se mogu naći u funkcijama čiji je argument napisan pod predznakom modula ili u funkcijama stepena čiji je eksponent razlomački racionalan broj.
Zatim, hajde da saznamo koje stacionarne tačke spadaju u dati segment. Da biste to učinili, morate izračunati derivaciju funkcije, zatim je izjednačiti sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu, a zatim odabrati odgovarajuće korijene. Ako ne dobijemo stacionarne tačke ili ne spadaju u dati segment, onda prelazimo na sljedeći korak.
Određujemo koje će vrijednosti funkcija zauzeti u datim stacionarnim točkama (ako ih ima), ili u onim tačkama gdje prvi izvod ne postoji (ako postoji), ili izračunavamo vrijednosti za x = a i x = b.
5. Dobili smo niz vrijednosti funkcije, od kojih sada trebamo odabrati najveću i najmanju. To će biti najveće i najmanje vrijednosti funkcije koje trebamo pronaći.

Pogledajmo kako pravilno primijeniti ovaj algoritam prilikom rješavanja problema.

Primjer 1

Stanje: data je funkcija y = x 3 + 4 x 2. Odrediti njegovu najveću i najmanju vrijednost na segmentima [1; 4] i [- 4; - jedan] .

Rješenje:

Počnimo s pronalaženjem domene ove funkcije. U ovom slučaju, to će biti skup svih realnih brojeva osim 0. Drugim riječima, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Oba segmenta navedena u uvjetu bit će unutar područja definicije.

Sada izračunavamo derivaciju funkcije prema pravilu za diferenciranje razlomka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3

Saznali smo da će derivacija funkcije postojati u svim tačkama segmenata [1; 4] i [- 4; - jedan] .

Sada moramo definirati stacionarne točke funkcije. To radimo pomoću jednačine x 3 - 8 x 3 = 0. Ima samo jedan važeći korijen, a to je 2. To će biti stacionarna tačka funkcije i pasti u prvi segment [1; 4 ] .

Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima prvog segmenta i u datoj tački, tj. za x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Dobili smo da je najveća vrijednost funkcije m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 će se postići pri x = 1, a najmanji m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - za x = 2.

Drugi segment ne uključuje nijednu stacionarnu tačku, tako da trebamo izračunati vrijednosti funkcije samo na krajevima datog segmenta:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dakle, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

odgovor: Za segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, za segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.

pogledajte sliku:

Prije proučavanja ove metode savjetujemo vam da ponovite kako pravilno izračunati jednostranu granicu i granicu u beskonačnosti, kao i da naučite osnovne metode za njihovo pronalaženje. Da biste pronašli najveću i/ili najmanju vrijednost funkcije na otvorenom ili beskonačnom intervalu, izvršite sljedeće korake u nizu.

Prvo morate provjeriti da li će navedeni interval biti podskup opsega ove funkcije.
Odredimo sve tačke koje se nalaze u traženom intervalu i u kojima ne postoji prvi izvod. Obično se nalaze u funkcijama u kojima je argument zatvoren u znaku modula i u funkcijama stepena s razlomno racionalnim eksponentima. Ako ove tačke nedostaju, možete preći na sljedeći korak.
Sada ćemo odrediti koje stacionarne tačke spadaju u dati interval. Prvo, izjednačimo izvod sa 0, riješimo jednačinu i pronađemo odgovarajuće korijene. Ako nemamo niti jednu stacionarnu tačku ili ne spadaju u navedeni interval, odmah prelazimo na daljnje radnje. Oni su određeni tipom intervala.

Ako je interval u obliku [a; b), tada trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = a i jednostranoj granici lim x → b - 0 f (x).
Ako interval ima oblik (a; b], onda trebamo izračunati vrijednost funkcije u tački x = b i jednostranoj granici lim x → a + 0 f (x).
Ako interval ima oblik (a; b), onda moramo izračunati jednostrane granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Ako je interval u obliku [a; + ∞), tada je potrebno izračunati vrijednost u tački x = a i granicu u plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x).
Ako interval izgleda kao (- ∞; b], izračunajte vrijednost u tački x = b i granicu na minus beskonačno lim x → - ∞ f (x).
Ako je - ∞; b, tada pretpostavljamo jednostranu granicu lim x → b - 0 f (x) i granicu na minus beskonačnost lim x → - ∞ f (x)
Ako je - ∞; + ∞, onda razmatramo granice na minus i plus beskonačnosti lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

Na kraju, morate izvući zaključak na osnovu dobivenih vrijednosti funkcije i ograničenja. Ovdje postoje mnoge mogućnosti. Dakle, ako je jednostrana granica jednaka minus beskonačnosti ili plus beskonačnosti, onda je odmah jasno da se ništa ne može reći o najmanjoj i najvećoj vrijednosti funkcije. U nastavku ćemo analizirati jedan tipičan primjer. Detaljni opisi će vam pomoći da shvatite šta je šta. Ako je potrebno, možete se vratiti na slike 4 - 8 u prvom dijelu materijala.

Primjer 2

Uslov: data je funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4. Izračunajte njegove najveće i najniže vrijednosti u intervalima - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Rješenje

Prvi korak je pronaći domenu funkcije. Imenilac razlomka sadrži kvadratni trinom, koji ne bi trebao nestati:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dobili smo domenu funkcije kojoj pripadaju svi intervali navedeni u uvjetu.

Sada ćemo razlikovati funkciju i dobiti:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Posljedično, derivati funkcije postoje u cijelom domenu njene definicije.

Pređimo na pronalaženje stacionarnih tačaka. Izvod funkcije nestaje na x = - 1 2. Ovo je stacionarna tačka koja se nalazi u intervalima (- 3; 1] i (- 3; 2).

Izračunavamo vrijednost funkcije na x = - 4 za interval (- ∞; - 4], kao i granicu na minus beskonačno:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Budući da je 3 e 1 6 - 4> - 1, to znači da je maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. To nam ne dozvoljava da nedvosmisleno odredimo najmanju vrijednost Možemo samo zaključiti da postoji ograničenje - 1 na dnu, jer se upravo ovoj vrijednosti funkcija približava asimptotski na minus beskonačno.

Posebnost drugog intervala je u tome što u njemu ne postoji niti jedna stacionarna tačka, niti jedna stroga granica. Stoga ne možemo izračunati ni najveću ni najmanju vrijednost funkcije. Odredivši granicu na minus beskonačnost i kako argument teži - 3 na lijevoj strani, dobićemo samo raspon vrijednosti:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

To znači da će se vrijednosti funkcije nalaziti u intervalu - 1; + ∞

Da bismo pronašli najveću vrijednost funkcije u trećem intervalu, odredimo njenu vrijednost u stacionarnoj tački x = - 1 2, ako je x = 1. Također moramo znati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument teži - 3 na desnoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Otkrili smo da će funkcija poprimiti najveću vrijednost u stacionarnoj tački maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Što se tiče najmanje vrijednosti, ne možemo je odrediti. , Je li prisustvo ograničenja odozdo do - 4.

Za interval (- 3; 2) uzimamo rezultate prethodnog izračunavanja i još jednom izračunavamo čemu je jednaka jednostrana granica kada težimo 2 na lijevoj strani:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dakle, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmanja vrijednost se ne može odrediti, a vrijednosti funkcije su ograničene odozdo brojem - 4.

Na osnovu onoga što smo dobili u prethodna dva proračuna, možemo tvrditi da na intervalu [1; 2) funkcija će poprimiti najveću vrijednost pri x = 1, a najmanju je nemoguće pronaći.

Na intervalu (2; + ∞) funkcija neće dostići ni najveću ni najmanju vrijednost, tj. uzimat će vrijednosti iz intervala - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nakon što smo izračunali kolika će biti vrijednost funkcije za x = 4, saznajemo da je m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, a data funkcija na plus beskonačno će se asimptotski približiti pravoj y = - 1.

Uporedimo ono što smo dobili u svakom proračunu sa grafikom date funkcije. Na slici su asimptote prikazane isprekidanom linijom.

To je sve što smo htjeli da vam kažemo o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Slijedovi radnji koje smo dali pomoći će vam da izvršite potrebne proračune što je brže i lakše moguće. Ali zapamtite da je često korisno prvo saznati u kojim intervalima će se funkcija smanjivati, a u kojim intervalima povećavati, nakon čega možete izvući daljnje zaključke. Na taj način možete preciznije odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije i opravdati dobivene rezultate.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

NASA će pokrenuti ekspediciju na Mars u julu 2020. Letelica će na Mars isporučiti elektronski nosač sa imenima svih registrovanih članova ekspedicije.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jedna od ovih varijanti koda mora biti kopirana i zalijepljena u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake ... Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način da povežete MathJax je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj tabli vaše stranice dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže početak šablona (usput, to uopće nije potrebno jer se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u web stranice svoje web stranice.

Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozoru... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Postoji zanimljiv članak o tome, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati složenije primjere 3D fraktala.

Fraktal se može vizualizirati (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, radi se o samosličnoj strukturi, s obzirom na detalje o kojoj ćemo s povećanjem vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju pravilnog geometrijskog oblika (ne fraktala), kada zumiramo, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od samog originalnog oblika. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment linije. To se ne događa kod fraktala: pri svakom povećanju, opet ćemo vidjeti isti složeni oblik, koji će se ponavljati iznova i iznova sa svakim povećanjem.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, napisao je u svom članku Fraktali i umjetnost za nauku: "Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima kao iu svom općem obliku. dio fraktala će se povećati na veličinu cjelina, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda sa malom deformacijom."

S praktične tačke gledišta, najzanimljivija je upotreba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije. Šta je razlog tome? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim sferama života treba riješiti problem optimizacije bilo kojeg parametra. A to su zadaci pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže u nekom intervalu X, koji je ili cijela domena funkcije ili dio domene. Interval X sam po sebi može biti segment linije, otvoreni interval , beskrajni interval.

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno zadane funkcije jedne varijable y = f (x).

Navigacija po stranici.

Najviša i najniža vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Hajde da se ukratko zadržimo na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije to za bilo koje nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y = f (x) na intervalu X naziva se takva vrijednost to za bilo koje nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) prihvaćena vrijednost u razmatranom intervalu na apscisi.

Stacionarne tačke Jesu li vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju najveću (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može uzeti najveću i najmanju vrijednost u tačkama u kojima prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene definicije funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije na beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu uzeti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvišoj i najnižoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće daćemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike i mnogo toga će vam biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednosti u stacionarnim tačkama koje se nalaze unutar segmenta [-6; 6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u. U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća - u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici 3, granične točke segmenta [-3; 2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom intervalu

Na četvrtoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama koje se nalaze unutar otvorenog intervala (-6; 6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y) u stacionarnoj tački sa apscisom x = 1, a najmanju vrijednost (min y) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y = 3.

Na intervalu funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kada se teži x = 2 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x = 2 je vertikalna asimptota), a kada apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski pristupiti y = 3. Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Napišimo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronađite domenu funkcije i provjerite sadrži li cijeli segment.
Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke nalaze u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačnim racionalnim eksponentom). Ako nema takvih tačaka, idite na sljedeću stavku.
Odrediti sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo je sa nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i biramo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, idite na sljedeću stavku.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i za x = a i x = b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti željena najveća i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam prilikom rješavanja primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na segmentu [-4; -1].

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, sa izuzetkom nule, tj. Oba segmenta spadaju u područje definicije.

Pronađite izvod funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4; -1].

Stacionarne tačke se određuju iz jednačine. Jedini važeći korijen je x = 2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački, odnosno za x = 1, x = 2 i x = 4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže pri x = 1, a najmanja vrijednost - za x = 2.

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4; -1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

Rješenje.

Počnimo s opsegom funkcije. Kvadratni trinom u nazivniku razlomka ne smije nestati:

Lako je provjeriti da svi intervali iz iskaza problema pripadaju domeni funkcije.

Hajde da razlikujemo funkciju:

Očigledno, derivacija postoji u cijelom domenu funkcije.

Nađimo stacionarne tačke. Izvod nestaje na. Ova stacionarna tačka pada u intervalima (-3; 1] i (-3; 2).

I sada možete uporediti rezultate dobijene u svakoj tački sa grafom funkcije. Asimptote su označene plavim isprekidanim linijama.

Ovdje možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije. Algoritmi o kojima se govori u ovom članku omogućavaju vam da dobijete rezultate uz minimum radnji. Međutim, ponekad je korisno prvo odrediti intervale povećanja i smanjenja funkcije i tek nakon toga donijeti zaključke o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije na bilo kojem intervalu. Ovo daje jasniju sliku i snažno obrazloženje za rezultate.

U zadatku B14 sa ispita iz matematike potrebno je pronaći najmanju ili najveću vrijednost funkcije jedne varijable. Ovo je prilično trivijalan problem iz matematičke analize i iz tog razloga svaki maturant može i treba naučiti da ga normalno rješava. Analizirajmo nekoliko primjera koje su učenici rješavali tokom dijagnostičkog rada iz matematike koji je održan u Moskvi 7. decembra 2011. godine.

Ovisno o intervalu u kojem želite pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost funkcije, za rješavanje ovog problema koristi se jedan od sljedećih standardnih algoritama.

I. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Pronađite izvod funkcije.
Izaberite između tačaka sumnjivih za ekstrem, one koje pripadaju datom segmentu i domenu funkcije.
Izračunajte vrijednosti funkcije(ne derivat!) u ovim tačkama.
Među dobivenim vrijednostima odaberite najveću ili najmanju, ona će biti željena.

Primjer 1. Pronađite najmanju vrijednost funkcije
y = x 3 – 18x 2 + 81x+ 23 na segmentu.

Rješenje: postupamo prema algoritmu za pronalaženje najmanje vrijednosti funkcije na segmentu:

Opseg funkcije nije ograničen: D (y) = R.
Derivat funkcije je: y ' = 3x 2 – 36x+ 81. Područje definicije derivacije funkcije također nije ograničeno: D (y ') = R.
Derivatne nule: y ' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, dakle x 2 – 12x+ 27 = 0, odakle x= 3 i x= 9, naš interval uključuje samo x= 9 (jedan bod sumnjiv za ekstrem).
Pronađite vrijednost funkcije u tački sumnjivoj za ekstrem i na rubovima intervala. Radi lakšeg izračunavanja, funkciju predstavljamo u obliku: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Dakle, od dobijenih vrijednosti najmanja je 23. Odgovor: 23.

II. Algoritam za pronalaženje najveće ili najmanje vrijednosti funkcije:

Pronađite domenu funkcije.
Pronađite izvod funkcije.
Odrediti tačke sumnjive za ekstrem (one tačke u kojima derivacija funkcije nestaje, i tačke u kojima ne postoji dvostrani konačni izvod).
Označite ove tačke i domen funkcije na brojevnoj pravoj i odredite predznake derivat(ne funkcije!) na rezultujućim intervalima.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) u minimalnim tačkama (onim tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz minusa u plus), najmanja od ovih vrijednosti bit će najmanja vrijednost funkcije. Ako nema minimalnih tačaka, onda funkcija nema najmanju vrijednost.
Definirajte vrijednosti funkcije(ne derivacija!) na maksimalnim tačkama (onim tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus), najveća od ovih vrijednosti će biti najveća vrijednost funkcije. Ako nema maksimalnih bodova, onda funkcija nema maksimalnu vrijednost.

Primjer 2. Pronađite najveću vrijednost funkcije.