Geometrijske figure. Rhombus. Romb kao geometrijska figura Kolika je visina romba

1. - ravno. Prema tome, rješenje nejednakosti
, je poluravnina koja leži ispod ili iznad ove prave.

2.
- hiperbola, jer odavde
. Ova hiperbola dijeli ravan na 3 (!!!) regije, tako da se u svakom od njih mora provjeriti znak nejednakosti.

3.
- "ležeća parabola", tj. parabola rotirana za 90 u smjeru kazaljke na satu. Deli ravan na 2 dela (unutar parabole i izvan nje.)

- kružnica sa centrom na početku, poluprečnik R (gdje je R>0). Rješenje nejednakosti

je krug (tj. cijela površina koja leži unutar kruga, zajedno sa granicom), a nejednačine

- područje izvan kruga.

5.
- za a > 0 - kvadrat sa vrhovima u tačkama (a; 0), (0; a), (-a; 0), (0; -a). Prema tome, rješenje nejednakosti
je površina unutar kvadrata i nejednakosti
- prostor izvan trga.

Transformacije grafa:
1 f(x-a; y-b)=0, prvo morate nacrtati jednačinu f(x; y)=0, a zatim je pomaknuti za a jedinice duž ose Oh, i dalje b jedinice duž ose Oy.
2 . Za crtanje jednačine
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednadžbe f(x; y) = 0 u odnosu na osu Oy (ne zaboravivši izbrisati dio originalnog grafa koji leži lijevo od ose Oy) .
3 . Za crtanje jednačine
, potrebno je ispuniti simetriju grafa jednačine f(x; y) = 0 u odnosu na osu Ox (ne zaboravivši izbrisati dio originalnog grafa koji leži ispod ose Ox).
4. U skladu s tim, nacrtati jednačinu
, prvo morate nacrtati jednačinu f(x; y)=0 (tj. ukloniti sve module) u prva četvrtina, a zatim izvršite simetriju ovog grafa oko svih osa.
Nejednakosti sa dvije varijable.

Najčešće se za rješavanje koristi “metoda površine”. Odnosno, prvo, u nejednakosti, znak nejednakosti se zamjenjuje znakom “=” i rezultirajući graf se prikazuje na koordinatnoj ravni. Zatim se metodom „probne tačke“ provjerava znak nejednakosti u svakoj od formiranih područja.

Osim toga, mogu se posebno razmotriti nejednakosti oblika
i
. Da bismo ih riješili, prvo gradimo graf funkcije
. Tada će rješenje prve nejednakosti biti tačke koje leže ispod ovog grafika, a rješenje druge će biti tačke koje leže iznad.

Mogu se izdvojiti i nejednakosti oblika
. (Znak nejednakosti može biti drugačiji.) Da biste to riješili, morate nacrtati graf sa punom linijom jednačine
i isprekidana linija - grafikon jednačine
i provjerite znak nejednakosti u svakoj rezultujućoj regiji (odabirom bilo koje tačke iz svake regije).

Primjer 1

№ 9,20 (g)

Slika Rješenje nejednakosti
i odrediti sve vrijednosti a za koje data nejednakost ima barem jedno rješenje.

Odluka.

Ova nejednakost je ekvivalentna sljedećem:
.

Da bismo to učinili, prvo konstruiramo graf jednadžbe

a) Zauzvrat, da bismo konstruisali ovaj graf, koristićemo pravilo 4 transformacije grafa. Ovdje je f(x; a) = 5x + 2a. Grafikon ove jednačine je prava linija koja seče koordinatne ose u tačkama (2, 0) i (0, 5). Jer razmatramo slučaj bez modula (tj. x
i y), tada uzimamo samo dio ove linije koji leži u prvom kvadrantu.

b) da bismo izgradili graf jednačine , vršimo simetriju rezultujućeg segmenta u odnosu na sve koordinatne ose i ishodište. Dobijamo romb sa "centrom" na početku.

b) Sada pomjerimo ovaj grafikon za 3 jedinice udesno i 1 jedinicu naniže.

Dobili smo graf jednačine

Vidimo da je koordinatna ravan podijeljena na 2 područja, unutar romba i izvan njega. Vidimo da, na primjer, tačka (3,-1) pripada unutrašnjoj oblasti. Zamijenite njegove koordinate u nejednakost. Osiguravamo da je nejednakost u ovoj tački zadovoljena. Dakle, sve tačke ovog regiona zadovoljavaju nejednakost. Da bismo provjerili, također zamjenjujemo tačku iz vanjskog područja u nejednakost. Na primjer, ovo je tačka (0, 8). Za date vrijednosti varijabli, nejednakost se pretvara u netačnu numeričku nejednakost, što znači da nijedna točka iz vanjskog područja ne zadovoljava nejednakost. Konačno, dobijamo da je rješenje nejednačine „unutrašnja strana“ romba. Ovo pokazujemo senčenjem.

odgovor: ova nejednakost ima rješenje za

Primjer 2. Nacrtajte na koordinatnoj ravni skup tačaka koje zadovoljavaju nejednakost
.

Odluka

1. Izgradimo linije koje ograničavaju graf nejednakosti. To će biti prave koje su slika skupova onih tačaka u kojima se brojilac i imenilac pretvaraju u 0. Tj. nacrtajte grafikone jednadžbi

(ALI)

i
(B)

A) Grafikon ove jednačine je kružnica sa centrom u tački (2, -3) i poluprečnikom jednakim 4 - prikazan je kao puna linija, jer nejednakost nije stroga.

B) Grafikon ove jednačine - "ležeća parabola", spuštena za 1 jedinicu naniže - prikazan je isprekidanom linijom zbog domena nejednakosti.

2. Neka ,

. Tada naša nejednakost postaje

Krug i parabola dijele koordinatnu ravan na 4 područja.

Imajte na umu da površina unutar kruga odgovara nejednakosti

, tj.

. Područje izvan kruga - nejednakost

, tj.

Slično, površina "unutar" ili desno od parabole odgovara nejednakosti
ili
, a područje “izvan”, ili lijevo od parabole, na nejednakost
ili
.

I, konačno, u regionu IV i , tj. razlomak nije pozitivan i nejednakost nije zadovoljena.

Dakle, rješenje nejednakosti je unija regija I i III.

sa jednakim stranama. Romb sa pravim uglovima je kvadrat .

Romb se smatra nekom vrstom paralelograma, sa dve susedne jednake stranice, bilo sa međusobno okomitim dijagonalama, ili sa dijagonalama koje dele ugao na 2 jednaka dela.

Svojstva romba.

1. Rhombus je paralelogram, pa su suprotne strane iste dužine i paralelne u parovima, AB || CD, AD || Ned.

2. Ugao presjeka dijagonala romb je ravan (AC⊥ BD) i tačka preseka su podeljene na dva identična dela. To jest, dijagonale dijele romb na 4 trokuta - pravokutna.

3. Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova (∠ DCA=∠ bca,∠ ABD=∠ CBD itd. ).

4. Zbir kvadrata dijagonala jednak je kvadratu stranice pomnoženoj sa četiri (izvedeno iz identiteta paralelograma).

Rombovi znakovi.

Paralelogram A B C D zvaće se romb samo ako je ispunjen barem jedan od sljedećih uslova:

1. 2 njegove susjedne stranice su iste dužine (odnosno, sve strane romba su jednake, AB=BC=CD=AD).

2. Ugao preseka dijagonala prave linije ( AC⊥ BD).

3. 1-on dijagonala prepolovi uglove koji ga sadrže.

Pretpostavimo da ne znamo unaprijed da je četverokut paralelogram, ali je poznato da su mu sve stranice jednake. Dakle, ovaj četvorougao je romb.

Rombova simetrija.

Romb je simetričan U odnosu na sve svoje dijagonale, često se koristi u ukrasima i parketima.

Perimetar romba.

Perimetar geometrijske figure- ukupna dužina granica ravne geometrijske figure. Perimetar ima istu dimenziju kao i dužina.

I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (zapamtite naš znak 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene popola tačkom presjeka.

Rhombus Properties

Pogledaj sliku:

Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet obratite pažnju: ne bi trebao postojati samo četverougao s okomitim dijagonalama, već i paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno da ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala uglova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, sjecište na pola, dakle - NIJE paralelogram, a time ni romb.

Odnosno, kvadrat je istovremeno pravougaonik i romb. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala ugla A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

SREDNJI NIVO

Svojstva četvorouglova. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tu je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.

Teorema o svojstvima paralelograma.

U bilo kom paralelogramu:

Da vidimo zašto je to istina, drugim riječima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Pošto je paralelogram, onda:

kao ležanje popreko
kao ležeći popreko.

Dakle, (po II osnovi: i - općenito.)

Pa, jednom, onda - to je to! - dokazano.

Ali usput! Takođe smo dokazali 2)!

Zašto? Ali uostalom (pogledajte sliku), odnosno, jer.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema II znaku (ugao i stranica "između" njih).

Provjerena svojstva! Pređimo na znakove.

Karakteristike paralelograma

Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je figura paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto - dosta je. ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 tačan.

Pa, to je još lakše! Povucimo ponovo dijagonalu.

Što znači:

I je takođe lako. Ali… drugačije!

Znači,. Vau! Ali isto tako - unutrašnje jednostrano na sekanti!

Dakle, činjenica da to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda su one unutrašnje jednostrane na sekanti! I zbog toga.

Vidite kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obrati pažnju: ako ste našli najmanje jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate upravo paralelogram i možete koristiti svima svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četvorouglova. Pravougaonik.

Svojstva pravougaonika:

Tačka 1) je sasvim očigledna - na kraju krajeva, znak 3 () je jednostavno ispunjen

I tačka 2) - veoma važno. Pa hajde da dokažemo to

Dakle, na dvije noge (i - generalno).

Pa, pošto su trouglovi jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazao to!

I zamislite, jednakost dijagonala je karakteristično svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, tačna je sljedeća izjava

Da vidimo zašto?

Dakle, (što znači uglove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.

Znači,. I, naravno, iz ovoga proizilazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!

Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo tačno pravougaonik.

Ali! Obrati pažnju! Ovo je otprilike paralelograma! Ne bilo kojičetverougao s jednakim dijagonalama je pravougaonik, i samo paralelogram!

Svojstva četvorougla. Rhombus

I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (Zapamtite naš znak 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene popola tačkom presjeka.

Ali postoje i posebna svojstva. Mi formulišemo.

Rhombus Properties

Zašto? Pa, pošto je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.

Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su prepoznatljiv, svaki od njih je ujedno i znak romba.

Rombovi znakovi.

Žašto je to? I pogledaj

Dakle, i oboje ovi trouglovi su jednakokraki.

Da bi bio romb, četverougao prvo mora "postati" paralelogram, a zatim već pokazati osobinu 1 ili osobinu 2.

Svojstva četvorouglova. Square

Odnosno, kvadrat je istovremeno pravougaonik i romb. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala ugla, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

Zašto? Pa, samo primijenite Pitagorinu teoremu na.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Svojstva paralelograma:

Suprotne strane su jednake: , .
Suprotni uglovi su: , .
Uglovi na jednoj strani su: , .
Dijagonale su podijeljene presječnom točkom na pola: .

Svojstva pravougaonika:

Dijagonale pravougaonika su: .
Pravougaonik je paralelogram (za pravougaonik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

Dijagonale romba su okomite: .
Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova: ; ; ; .
Romb je paralelogram (sva svojstva paralelograma su ispunjena za romb).

Kvadratna svojstva:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravougaonik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.

sažetak ostalih prezentacija

"Zadaci za znake sličnosti trouglova" - Sličnost trouglova. Određivanje visine objekta pomoću ogledala. Određivanje visine objekta iz lokve. Rješenje praktičnih problema. Senka štapa. Određivanje visine objekta. Mjerenje visine velikih objekata. Moto lekcije. Rješavanje problema prema gotovim crtežima. Samostalan rad. Gimnastika za oči. Talesova metoda. Individualna kartica. Određivanje visine piramide. Imenujte slične trouglove.

"Svojstva četvorougla" - Nazivi četvorouglova. Svi uglovi su pravi. Svojstva četvorouglova. Trapez. Kvadrat je pravougaonik u kojem su sve strane jednake. Elementi paralelograma. Dijagonale dijele uglove. Četvorougao. Diktat. Dijagonala. suprotnim uglovima. Pomozite Dunnou da popravi dvojku. Istorijski podaci. Četvorouglovi i njihova svojstva. Dijagonale. Rhombus. suprotne strane. Zabave.

"Rombus" - Znakovi. Perimetar. Izgled romba. Rhombus story. Rhombus. Romb sa dijagonalama. Šta je romb. Formula površine. Zanimljivosti. Svojstva romba. Romb u životu.

"Rješenje Pitagorine teoreme" - Dokaz dekompozicijom. Kvadratna površina. Najjednostavniji dokaz. Dokaz za Perigal. Pitagorejci. Dijagonala. Dokaz iz 9. veka nove ere sljedbenici. Visina. Prečnik. Potpuni dokaz. Motiv. Hexagons. Dokaz oduzimanjem. Square. Pravougaonik. Mogućnosti primjene teoreme. Gutheilov dokaz. Primjena teoreme. Lotus problem. Istorija teoreme.

"Površina pravokutnika" ocjena 8 "- Površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. Square. Pronađite površinu i obim kvadrata. Jedinice površine. Poligon se sastoji od nekoliko poligona. Pronađite površinu trokuta. Stranice svakog od pravougaonika. Jedinice. Pronađite površinu kvadrata. ABCD i DSMK su kvadrati. Površina romba je polovina proizvoda njegovih dijagonala. Na strani AB nacrtan je paralelogram. Pronađite površinu šesterokuta.

"Trapez" Razred 8 "- Trapezni mišići obje strane leđa zajedno imaju oblik trapeza. Zadaci za usmeni rad. Da li su četvorouglovi trapezi. Svojstva jednakokrakog trapeza. Znakovi jednakokrakog trapeza. Vrste trapeza. Područje trapeza. Trapezni elementi. Definicija. Srednja linija trapeza. Trapez. Geometrijska figura je tako nazvana zbog svoje sličnosti sa malim stolom.

Rhombus je jedan od najjednostavnijih geometrijskih oblika. Toliko se često susrećemo s rombom u geometrijskim problemima da nam se riječi "fantastično" i "romb" čine nespojivim pojmovima. U međuvremenu, neverovatno je, kako kažu, u blizini ... u Britaniji. Ali prvo, sjetimo se šta je "romb", njegovih znakova i svojstava.

Izraz "romb" u prijevodu sa starogrčkog znači "tambura". I to nije slučajnost. I evo u čemu je stvar. Tambura bar jednom u životu, ali svi su je vidjeli. I svi znaju da je okrugla. Ali davno su se tambure pravile samo u obliku kvadrata ili romba. Štaviše, ime dijamantskog odijela također je povezano s ovom činjenicom.

Iz geometrije zamišljamo kako izgleda romb. Ovo je četverougao, koji je prikazan kao nagnuti kvadrat. Ali ni u kom slučaju ne smijete brkati romb i kvadrat. Ispravnije je reći da je romb poseban slučaj paralelograma. Jedina razlika je u tome što su sve strane romba jednake. Da biste brzo i ispravno riješili probleme u geometriji, morate zapamtiti svojstva romba. Inače, romb ima sva svojstva paralelograma. dakle:

Svojstva romba:

suprotne strane su jednake;
suprotni uglovi su jednaki;
dijagonale romba se sijeku ispod prave linije i dijele se na pola u mjestu sjecišta;
zbir uglova susednih jednoj strani je 180°;
zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata svih strana;
dijagonale su simetrale njegovih uglova.

Znakovi romba:

ako su dijagonale paralelograma okomite, onda je paralelogram romb;
ako je dijagonala paralelograma simetrala njegovog ugla, onda je paralelogram romb.

I još jedna važna stvar, bez čijeg znanja nije moguće uspješno riješiti problem - formule. Ispod su formule za pronalaženje površine bilo kojeg romba, koje se koriste ovisno o poznatim podacima: visina, dijagonala, stranica, polumjer upisane kružnice. U sljedećim formulama koriste se simboli: a - strana romba, h a - visina povučena na stranu a, a- ugao između stranica, d 1 d 2 - dijagonale romba.

Osnovne formule:

S = a 2 sin a

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r2 / sin a

Postoji još jedna formula koja se ne koristi tako često, ali je korisna:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 ili je zbir kvadrata dijagonala jednak kvadratu stranice puta 4.

A sada je vrijeme da se vratimo na sam početak. Šta je tako neverovatno mozda u ovoj figurici? Ispostavilo se da je u 19. veku, tokom arheoloških iskopavanja, pronađen romb. Da, ne jednostavno, već zlatno, i to u pravom smislu te riječi! Ovaj nalaz iz britanske humke Bash pronađen je u oblasti Wilsford, nedaleko od čuvenog Stounhendža. Tajanstveni romb je uglačana ploča na kojoj su ugravirani neobični uzorci. Njegova veličina je 15,2 x 17,8 cm (romb sa samo malom rezervom). Osim ivica, ploča ima još tri manja šara u obliku dijamanta, koji su navodno ugniježđeni jedan u drugi. Istovremeno, u sredini potonjeg je ugravirana rombična mreža. Duž rubova romba je ševronski uzorak - devet znakova sa svake strane romba. Ukupno ima trideset i šest takvih trouglova.

Naravno, ovaj proizvod je vrlo skup, ali je također očigledno da je stvaranje takvog romba težilo određenom cilju. Upravo to, naučnici dugo nisu mogli da otkriju.

Jedna od uvjerljivijih i prihvatljivijih verzija tiče se direktno Stonehengea. Poznato je da su konstrukcije Stonehengea podizane postepeno, tokom nekoliko vekova. Vjeruje se da je gradnja počela oko 3000. godine prije Krista. Treba napomenuti da je zlato u Britaniji postalo poznato već negdje od 2800. godine prije Krista. Iz ovoga se može pretpostaviti da je zlatni romb mogao biti sveštenički alat. Posebno, vezir. Na takvu hipotezu savremenim naučnicima je skrenuo pažnju profesor A. Tom, poznati istraživač Stounhendža, u poslednjoj četvrtini 20. veka.

Ne mogu svi zamisliti da su drevni graditelji mogli precizno odrediti uglove na tlu. Ipak, engleski istraživač D. Furlong predložio je metodu koju bi, po njegovom mišljenju, mogli koristiti stari Egipćani. Furlong je vjerovao da su naši preci koristili unaprijed odabrane omjere u pravokutnim trokutima. Uostalom, odavno je poznato da su Egipćani naširoko koristili trokut sa stranicama od trodimenzionalnih jedinica, četiri i pet. Očigledno su i drevni stanovnici Britanskih ostrva znali mnoge takve trikove.

Pa, čak i ako zamislite da su ljudi koji su izgradili Stonehenge bili odlični geodeti, kako bi im zlatni dijamant mogao pomoći u tome? Teško da će neki savremeni geodet moći odgovoriti na ovo pitanje. Najvjerovatnije, činjenica da je Furlong bio geometar po profesiji, dala mu je priliku da riješi ovu zagonetku. Nakon pažljivog proučavanja, istraživač je došao do zaključka da je uglačani zlatni romb sa oznakama odličan za korištenje kao reflektor sunčeve svjetlosti, drugim riječima, ogledalo posebne dimenzije.

Dokazano je da je za brzo određivanje azimuta na tlu sa prilično malim greškama bilo potrebno koristiti dva slična ogledala. Shema je bila sljedeća: jedan svećenik je, na primjer, stajao na vrhu jednog brda, a drugi u susjednoj dolini. Također je bilo potrebno unaprijed odrediti razmak između svećenika. To se može učiniti u samo nekoliko koraka. Iako su obično koristili mjerni štap, jer su rezultati bili pouzdaniji. Dva metalna ogledala u obliku dijamanta pružaju pravi ugao. A onda je lako izmjeriti gotovo sve potrebne uglove. D. Furlong je čak dao tablicu takvih parova cijelih brojeva, koja vam omogućava da postavite bilo koji ugao s greškom od jednog stepena. Najvjerovatnije je da su svećenici iz doba Stonehengea koristili ovu metodu. Naravno, da bismo potvrdili ovu hipotezu, bilo bi potrebno pronaći drugi, upareni zlatni romb, ali, očigledno, to se ne isplati. Uostalom, dokazi su sasvim jasni. Osim izračunavanja azimuta na tlu, otkrivena je još jedna sposobnost nevjerovatnog zlatnog romba. Ova nevjerovatna stvarčica je dozvoljena da izračuna trenutke zimskog i ljetnog solsticija, proljetne i jesenje ravnodnevice. To je bila neophodna kvaliteta za život starih Egipćana, koji su tada obožavali prvenstveno Sunce.

Vjerovatno je da je impozantan izgled romba bio ne samo nezamjenjiv alat za svećenike, već je bio i spektakularan ukras za njegovog vlasnika. Uopšteno govoreći, velika većina danas na prvi pogled skupog nakita su, kako se kasnije ispostavi, mjerni instrumenti.

Dakle, ljude je oduvijek privlačilo nepoznato. A, sudeći po tome što je toliko toga u našem svijetu ostalo misteriozno i nedokazano, čovjek će još dugo pokušavati pronaći tragove antike. I to je jako cool! Na kraju krajeva, možemo mnogo naučiti od naših predaka. Da biste to učinili, morate znati mnogo, moći učiti i učiti. Ali nemoguće je postati tako visokokvalificiran stručnjak bez osnovnog znanja. Uostalom, svaki veliki arheolog, otkrivač jednom je išao u školu!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.