• Dom
  •  > 
  • Facebook
  •  > 
  • Nađite površinu figure ograničene datim linijama online kalkulator. Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Nađite površinu figure ograničene datim linijama online kalkulator. Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure. Primena integrala za rešavanje primenjenih problema

Neka je funkcija nenegativna i kontinuirana na intervalu. Zatim, prema geometrijskom značenju određenog integrala, površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozgo grafikom ove funkcije, dolje osom, lijevo i desno pravim linijama i (vidi sliku 2) je izračunato po formuli

Primjer 9. Pronađite površinu figure ograničene linijom i osovina.

Rješenje. Funkcijski graf je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Hajde da ga izgradimo (slika 3). Da bismo odredili granice integracije, nalazimo tačke preseka prave (parabole) sa osom (pravom). Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina

Dobijamo: , gdje , ; dakle, , .

Rice. 3

Površinu figure pronalazimo pomoću formule (5):

Ako je funkcija nepozitivna i kontinuirana na segmentu , tada se površina krivolinijskog trapeza ograničenog odozdo grafom ove funkcije, iznad osi, lijevo i desno pravim linijama i , izračunava po formula

. (6)

Ako je funkcija kontinuirana na segmentu i mijenja predznak u konačnom broju tačaka, tada je površina osenčene figure (slika 4) jednaka algebarskom zbroju odgovarajućih definitivnih integrala:

Rice. 4

Primjer 10. Izračunajte površinu figure ograničenu osom i grafom funkcije na .

Rice. 5

Rješenje. Napravimo crtež (slika 5). Tražena površina je zbroj površina i . Hajde da pronađemo svako od ovih područja. Prvo određujemo granice integracije rješavanjem sistema Dobijamo , . dakle:

;

.

Dakle, površina zasjenjene figure je

(kv. jedinice).

Rice. 6

Konačno, neka krivolinijski trapez bude ograničen iznad i odozdo grafovima funkcija kontinuiranih na segmentu i ,
a lijevo i desno - prave linije i (slika 6). Tada se njegova površina izračunava po formuli



. (8)

Primjer 11. Pronađite površinu figure ograničenu linijama i.

Rješenje. Ova slika je prikazana na sl. 7. Izračunajmo njegovu površinu koristeći formulu (8). Rješavajući sistem jednačina nalazimo, ; dakle, , . Na segmentu imamo: . To znači da u formuli (8) uzimamo kao x, a po kvaliteti – . Dobijamo:

(kv. jedinice).

Složeniji problemi izračunavanja površina rješavaju se dijeljenjem figure na dijelove koji se ne preklapaju i izračunavanjem površine cijele figure kao zbroja površina ovih dijelova.

Rice. 7

Primjer 12. Pronađite površinu figure ograničenu linijama , , .

Rješenje. Napravimo crtež (slika 8). Ova figura se može smatrati krivolinijskim trapezom, omeđenom odozdo osom, lijevo i desno - pravim linijama i, odozgo - grafovima funkcija i. Budući da je figura odozgo ograničena grafovima dvije funkcije, da bismo izračunali njenu površinu, podijelimo ovu pravu liniju na dva dijela (1 je apscisa točke presjeka pravih i ). Površina svakog od ovih dijelova nalazi se pomoću formule (4):

(kv. jedinice); (kv. jedinice). dakle:

(kv. jedinice).

Rice. 8

X= j ( at)

Rice. 9

U zaključku, napominjemo da ako je krivolinijski trapez ograničen pravim linijama i , osi i kontinuiran na krivulji (slika 9), tada se njegova površina nalazi po formuli

Volumen tijela rotacije

Neka krivolinijski trapez, ograničen grafikom funkcije kontinuirane na segmentu, osom, pravim linijama i , rotira oko ose (slika 10). Tada se volumen rezultirajućeg tijela rotacije izračunava po formuli

. (9)

Primjer 13. Izračunajte volumen tijela koji se dobije rotacijom oko ose krivolinijskog trapeza ograničenog hiperbolom, ravnim linijama i osom.

Rješenje. Napravimo crtež (slika 11).

Iz uslova problema slijedi da je , . Iz formule (9) dobijamo

.

Rice. 10

Rice. jedanaest

Zapremina tijela dobijena rotacijom oko ose OU krivolinijski trapez omeđen pravim linijama y = c I y = d, osa OU i graf funkcije kontinuirane na segmentu (slika 12), određene formulom

. (10)

X= j ( at)

Rice. 12

Primjer 14. Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom oko ose OU krivolinijski trapez omeđen linijama X 2 = 4at, y = 4, x = 0 (Sl. 13).

Rješenje. U skladu sa uslovima problema nalazimo granice integracije: , . Koristeći formulu (10) dobijamo:

Rice. 13

Dužina luka ravne krive

Neka kriva data jednadžbom , gdje , leži u ravni (slika 14).

Rice. 14

Definicija. Pod dužinom luka se podrazumijeva granica do koje teži dužina izlomljene linije upisane u ovaj luk, kada broj karika izlomljene linije teži beskonačnosti, a dužina najveće karike teži nuli.

Ako su funkcija i njen izvod kontinuirani na segmentu, tada se dužina luka krive izračunava po formuli

. (11)

Primjer 15. Izračunajte dužinu luka krive zatvorene između tačaka za koje .

Rješenje. Iz problematičnih uslova koje imamo . Koristeći formulu (11) dobijamo:

.

4. Nepravilni integrali
sa beskonačnim granicama integracije

Prilikom uvođenja koncepta određenog integrala, pretpostavljalo se da su ispunjena sljedeća dva uvjeta:

a) granice integracije A i konačni su;

b) integrand je ograničen na interval.

Ako barem jedan od ovih uslova nije zadovoljen, tada se naziva integral ne svoju.

Razmotrimo prvo nepravilne integrale sa beskonačnim granicama integracije.

Definicija. Neka je funkcija tada definirana i kontinuirana na intervalu i neograničeno na desnoj strani (slika 15).

Ako nepravilni integral konvergira, onda je ovo područje konačno; ako nepravilni integral divergira, onda je ovo područje beskonačno.

Rice. 15

Nepravilan integral s beskonačnom donjom granicom integracije definira se slično:

. (13)

Ovaj integral konvergira ako granica na desnoj strani jednakosti (13) postoji i konačna je; inače se integral naziva divergentnim.

Nepravilan integral sa dve beskonačne granice integracije je definisan na sledeći način:

, (14)

gdje je s bilo koja tačka intervala. Integral konvergira samo ako se oba integrala na desnoj strani jednakosti (14) konvergiraju.

;

G) = [odaberite ceo kvadrat u nazivniku: ] = [zamjena:

] =

To znači da nepravilan integral konvergira i njegova vrijednost je jednaka .

Unesite funkciju za koju trebate pronaći integral

Kalkulator pruža DETALJNA rješenja za određene integrale.

Ovaj kalkulator pronalazi rješenje za definitivni integral funkcije f(x) sa datim gornjim i donjim granicama.

Primjeri

Koristeći diplomu
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadratni korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

Kockasti korijen

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Korištenje sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

arcsine

X*arcsin(x)

arc kosinus

X*arccos(x)

Primjena logaritma

X*log(x, 10)

Prirodni logaritam

Izlagač

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arkotangenta

X*arcctg(x)

Hiperbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolički tangent i kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolički arcsin i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Pravila za unos izraza i funkcija

Izrazi se mogu sastojati od funkcija (notacije su date abecednim redom): apsolutno (x) Apsolutna vrijednost x
(modul x ili |x|) arccos(x) Funkcija - arc kosinus od x arccosh(x) Arc kosinus hiperboličan iz x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arksinus hiperbolički iz x arktan(x) Funkcija - arktangens od x arctgh(x) Arktangent hiperbolični iz x e e broj koji je približno jednak 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent od x(kao e^x) log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam od x
(Za dobijanje log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", što je približno jednako 3,14 sin(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - kosinus od x sinh(x) Funkcija - Sinus hiperbolični iz x cosh(x) Funkcija - kosinus hiperbolični iz x sqrt(x) Funkcija - kvadratni korijen od x sqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat x preplanulost (x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Tangenta hiperbolička iz x cbrt(x) Funkcija - kubni korijen od x

Sljedeće operacije se mogu koristiti u izrazima: Realni brojevi unesite kao 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- divizija x^3- eksponencijaliranje x+7- dodatak x - 6- oduzimanje
Ostale karakteristike: sprat(x) Funkcija - zaokruživanje x prema dolje (primjer pod (4.5)==4.0) plafon(x) Funkcija - zaokruživanje x prema gore (primjer strop(4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Sign x erf(x) Funkcija greške (ili integral vjerovatnoće) laplace(x) Laplaceova funkcija

U ovom članku ćete naučiti kako pronaći površinu figure ograničenu linijama koristeći integralne proračune. Prvi put se susrećemo sa formulisanjem ovakvog problema u srednjoj školi, kada smo tek završili izučavanje određenih integrala i vreme je da počnemo sa geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

  • Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
  • Sposobnost rješavanja određenog integrala koristeći dobro poznatu Newton-Leibnizovu formulu;
  • Sposobnost da se "vidi" isplativija opcija rješenja - tj. razumjeti kako će u jednom ili drugom slučaju biti zgodnije izvršiti integraciju? Duž x-ose (OX) ili y-ose (OY)?
  • Pa, gdje bismo bili bez tačnih proračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke proračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Pravimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kockastom komadu papira, u velikom obimu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafikona. Potpisivanje grafikona se vrši isključivo radi pogodnosti daljih proračuna. Nakon što dobijete graf željene brojke, u većini slučajeva će odmah biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako problem rješavamo grafički. Međutim, dešava se da su vrijednosti granica razlomke ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne proračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno specificirane, tada nalazimo tačke preseka grafova među sobom i vidimo da li se naše grafičko rešenje poklapa sa analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su grafovi funkcija raspoređeni, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Šta je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i bilo koja kriva kontinuirana na intervalu od a prije b. Štaviše, ova brojka nije negativna i nalazi se ne ispod x-ose. U ovom slučaju, površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim linijama je lik ograničen? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad ose OH, nije negativan, jer sve tačke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, date prave linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno sa osom OU, su granične linije figure lijevo i desno. Pa y = 0, to je i x-osa, koja ograničava sliku odozdo. Dobivena figura je zasjenjena, kao što se može vidjeti sa slike s lijeve strane. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo pomoću Newton-Leibnizove formule.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-ose. Sada razmotrite slučaj kada su uslovi problema isti, osim što funkcija leži ispod x-ose. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja potiče od ose OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Evo y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 ovo su granice unutar kojih će se izračunati definitivni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti poklapa s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što data funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što se vidi sa slike, figura koja se nalazi unutar datih x ima isključivo “negativne” koordinate, što je ono što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo koristeći Newton-Leibniz formulu, samo sa znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Razmotrimo zakrivljeni trapez omeđen osom Ox, krivulju y=f(x) i dvije prave: x=a i x=b (slika 85). Uzmimo proizvoljnu vrijednost x (samo ne a i ne b). Dajmo mu prirast h = dx i razmotrimo traku omeđenu pravim linijama AB i CD, osom Ox i lukom BD koji pripada krivoj koja se razmatra. Ovu traku ćemo nazvati elementarnom trakom. Površina elementarne trake razlikuje se od površine pravougaonika ACQB za zakrivljeni trokut BQD, a površina potonjeg je manja od površine pravokutnika BQDM sa stranicama BQ = =h= dx) QD=Ay i površina jednaka hAy = Ay dx. Kako se strana h smanjuje, tako se smanjuje i strana Du i istovremeno sa h teži nuli. Prema tome, površina BQDM je beskonačno mala drugog reda. Površina elementarne trake je prirast površine, a površina pravokutnika ACQB, jednaka AB-AC ==/(x) dx> je diferencijal površine. Posljedično, nalazimo samo područje integracijom njegovog diferencijala. Unutar slike koja se razmatra, nezavisna varijabla l: mijenja se iz a u b, pa će tražena površina 5 biti jednaka 5= \f(x) dx. (I) Primjer 1. Izračunajmo površinu ograničenu parabolom y - 1 -x*, pravim X =--Fj-, x = 1 i osom O* (Sl. 86). na sl. 87. Fig. 86. 1 Ovdje f(x) = 1 - l?, granice integracije su a = - i £ = 1, dakle J [*-t]\- -fl -- G -1-±L_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primjer 2. Izračunajmo površinu ograničenu sinusoidom y = sinXy, osom Ox i pravom linijom (slika 87). Primjenom formule (I) dobijamo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Primjer 3. Izračunajte površinu ograničenu lukom sinusoide ^u = sin jc, priloženo između dve susedne presečne tačke sa Ox osom (na primer, između ishodišta i tačke sa apscisom i). Imajte na umu da je iz geometrijskih razmatranja jasno da će ovo područje biti dvostruko veće od površine prethodnog primjera. Međutim, hajde da uradimo proračune: I 5= | s\nxdx= [ - cosh)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Zaista, naša pretpostavka se pokazala tačnom. Primjer 4. Izračunajte površinu ograničenu sinusoidom i osom Ox u jednom periodu (slika 88). Preliminarni proračuni sugeriraju da će površina biti četiri puta veća nego u primjeru 2. Međutim, nakon proračuna dobijamo “i G,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ovaj rezultat zahtijeva pojašnjenje. Da bismo razjasnili suštinu stvari, izračunavamo i površinu ograničenu istom sinusoidom y = sin l: i osom Ox u rasponu od l do 2i. Primjenom formule (I), dobijamo 2l $2l sin xdx=[ - cosh]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Dakle, vidimo da je ova oblast ispala negativna. Upoređujući ga s površinom izračunatom u vježbi 3, nalazimo da su njihove apsolutne vrijednosti iste, ali su predznaci različiti. Ako primenimo svojstvo V (vidi Poglavlje XI, § 4), dobićemo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ono što se desilo u ovom primeru nije slučajno. Uvijek se površina koja se nalazi ispod ose Ox, pod uvjetom da se nezavisna varijabla mijenja s lijeva na desno, dobiva kada se izračuna pomoću integrala. U ovom kursu uvijek ćemo razmatrati područja bez znakova. Stoga će odgovor u primjeru koji je upravo razmatran biti: tražena površina je 2 + |-2| = 4. Primjer 5. Izračunajmo površinu BAB prikazane na sl. 89. Ova oblast je ograničena osom Ox, parabolom y = - xr i pravom linijom y - = -x+\. Područje krivolinijskog trapeza Potrebna površina OAB sastoji se od dva dijela: OAM i MAV. Pošto je tačka A presečna tačka parabole i prave, njene koordinate ćemo naći rešavanjem sistema jednačina 3 2 Y = mx. (treba nam samo pronaći apscisu tačke A). Rješavajući sistem, nalazimo l; = ~. Stoga se površina mora izračunati u dijelovima, prvi kvadrat. OAM, a zatim pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)