Grafik rastuće i opadajuće funkcije. Povećanje i smanjenje funkcije na intervalu, ekstremi
"Povećavajuće i opadajuće funkcije"
Ciljevi lekcije:
1. Naučiti pronaći intervale monotonije.
2. Razvijanje misaonih sposobnosti koje omogućavaju analizu situacije i razvijanje adekvatnih metoda djelovanja (analiza, sinteza, poređenje).
3. Formiranje interesovanja za predmet.
Tokom nastaveDanas nastavljamo sa proučavanjem primjene derivata i razmatramo pitanje njegove primjene na proučavanje funkcija. Frontalni rad
Sada dajmo neke definicije svojstava funkcije "Brainstorm".
1. Šta se zove funkcija?
2. Kako se zove varijabla X?
3. Kako se zove varijabla Y?
4. Šta se naziva opseg funkcije?
5. Što se naziva skupom vrijednosti funkcije?
6. Koja funkcija se zove parna?
7. Koja funkcija se zove neparna?
8. Šta je sa grafom parne funkcije?
9. Šta je sa grafom neparne funkcije?
10. Koja se funkcija naziva uzlaznom?
11. Koja se funkcija naziva opadajućom?
12. Koja se funkcija naziva periodičnom?
Matematika proučava matematičke modele. Jedan od najvažnijih matematičkih modela je funkcija. Postoji Različiti putevi opisi funkcija. Šta je najopisniji?
- Grafika.
- Kako napraviti grafikon?
- Po bodovima.
Ova metoda je prikladna ako unaprijed znate kako otprilike izgleda graf. Na primjer, koji je graf kvadratne funkcije, linearne funkcije, inverzne proporcije, y = sinx funkcije? (Demonstrirane su odgovarajuće formule; učenici imenuju krive koje su grafikoni.)
Što ako želite nacrtati funkciju ili još složeniju? Možete pronaći više tačaka, ali kako se funkcija ponaša između ovih tačaka?
Stavite dvije tačke na ploču, zamolite učenike da pokažu kako bi graf „između“ mogao izgledati:
Izvod pomaže da se shvati kako se funkcija ponaša.
Otvorite sveske, zapišite broj, odličan posao.
Svrha lekcije: naučite kako je graf funkcije povezan s grafom njene derivacije i naučite kako riješiti probleme dva tipa:
1. Koristeći graf derivacije, pronaći intervale povećanja i smanjenja same funkcije, kao i tačke ekstrema funkcije;
2. Nađite intervale povećanja i smanjenja same funkcije, kao i tačke ekstrema funkcije, koristeći shemu predznaka izvoda na intervalima.
Slični zadaci nedostaju u našim udžbenicima, ali se nalaze u testovima jedinstvenog državnog ispita (dio A i B).
Danas ćemo u lekciji razmotriti mali element rada druge faze proučavanja procesa, proučavanje jednog od svojstava funkcije - određivanje intervala monotonije
Da bismo riješili ovaj problem, moramo se sjetiti nekih pitanja o kojima smo ranije govorili.
Dakle, zapišimo temu današnje lekcije: Znakovi rastućih i opadajućih funkcija.
Znakovi rastuće i opadajuće funkcije:
Ako je derivacija ove funkcije pozitivna za sve vrijednosti x u intervalu (a; b), odnosno f "(x)> 0, tada funkcija raste u ovom intervalu.
Ako je derivacija ove funkcije negativna za sve vrijednosti x u intervalu (a; b), tj. f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает
Redoslijed pronalaženja intervala monotonije:
Pronađite domenu funkcije.
1. Pronađite prvi izvod funkcije.
2. odlučite sami na odboru
Pronađite kritične tačke, istražite predznak prvog izvoda u intervalima na koje pronađene kritične tačke dijele domen funkcije. Pronađite intervale monotonosti funkcija:
a) obim,
b) pronađite prvi izvod :,
c) pronaći kritične tačke:; , i
3. Istražimo predznak derivacije u dobijenim intervalima i predstavimo rješenje u obliku tabele.
tačka do ekstremnih tačaka
Pogledajmo neke primjere rastućih i opadajućih funkcija.
Dovoljan uslov za postojanje maksimuma sastoji se u promeni predznaka derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku sa "+" na "-", a za minimum sa "-" na "+". Ako derivacija ne promijeni predznak kada prolazi kroz kritičnu tačku, tada u ovoj tački nema ekstrema.
1. Pronađite D (f).
2. Pronađite f "(x).
3. Pronađite stacionarne tačke, tj. tačka u kojoj f "(x) = 0 ili f" (x) ne postoji.
(Izvod je 0 na nulama brojila, izvod ne postoji na nulama nazivnika)
4. Stavite D (f) i ove tačke na koordinatnu liniju.
5. Odrediti predznake izvoda na svakom od intervala
6. Primijenite znakove.
7. Zapišite svoj odgovor.
Osiguravanje novog materijala.
Učenici rade u parovima, zapisuju rješenje u sveske.
a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;
b) y = 3 x² - 5x + 4.
Dvoje rade za tablom.
a) y = 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40
b) y = x4-2 x³
3. Sažetak lekcije
Domaća zadaća: test (diferencirani)
Funkcija y = f (x) smanjuje se u intervalu X ako za bilo koji i 
važi nejednakost 
... Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je manja vrijednost funkcije.
| 17) Funkcija y = x n, gdje je n - prirodni broj, naziva se funkcija stepena s prirodnim eksponentom. Za n = 1 dobijamo funkciju y = x. Za n = 2 dobijamo funkciju y = x 2. Imajte na umu da za prirodne n eksponencijalna funkcija je definirana duž cijele brojevne ose. Za proizvoljno realno n ovo je nemoguće, stoga je funkcija stepena sa realnim eksponentom definirana samo za pozitivno x... Funkcija y = x 2. Nabrojimo svojstva funkcije y = x 2. 1) Domen funkcije je cijela brojevna prava. 2) y = x 2 je parna funkcija (f (- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)). 3) Na intervalu se funkcija smanjuje (ako je x 1< x 2 ≤ 0, то х 1 2 >x 2 2, a to znači smanjenje funkcije). Grafikon funkcije y = x 2 je parabola (vidi sliku). |
 |
| kada je n = 3 dobijamo funkciju y = x 3. Funkcija y = x 3. Nabrojimo svojstva funkcije y = x 3. 1) Domen funkcije je cijela brojevna prava. 2) y = x 3 je neparna funkcija (f (- x) = (- x) 3 = - x 3 = - f (x)) 3) Funkcija y = x 3 raste na cijeloj brojevnoj pravoj. Grafikon funkcije y = x 3 prikazan je na slici. Zove se kubna parabola. |
 17) Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf · Funkcija oblika y = a x, gdje je a> 0, a ≠ 1, x bilo koji broj, naziva se eksponencijalna funkcija. · Domen eksponencijalne funkcije: D (y) = R - skup svih realnih brojeva. · Raspon vrijednosti eksponencijalne funkcije: E (y) = R + - skup svih pozitivnih brojeva. · Eksponencijalna funkcija y = a x raste za a> 1. Eksponencijalna funkcija y = a x opada na 0   |
18) Funkcija oblika y = log a (x), gdje je a svaki pozitivan broj koji nije jednak jedinici naziva se logaritamska funkcija s bazom a... U nastavku, da označimo logaritam, koristićemo sljedeću notaciju: log a (b) - ova notacija će označavati logaritam od b prema bazi a.
Glavna svojstva logaritamske funkcije:
1. Područje definicije logaritamske funkcije bit će cijeli skup pozitivnih realnih brojeva. Radi kratkoće, takođe je označeno R +... Očigledno svojstvo, budući da svaki pozitivan broj ima logaritam bazi a.
2. Domen logaritamske funkcije će biti cijeli skup realnih brojeva.
3. Ako je baza logaritamske funkcije a> 1, tada se povećava u cijelom domenu funkcije. Ako osnova logaritamske funkcije zadovoljava sljedeću nejednakost 0 4. Graf logaritamske funkcije uvijek prolazi kroz tačku (1; 0). 5. Rastuća logaritamska funkcija će biti pozitivna za x> 1, a negativna za 0<х<1. Sljedeća slika prikazuje graf opadajuće logaritamske funkcije - (0 7. Funkcija nije parna ili neparna. Logaritamska funkcija je opća funkcija. 8. Funkcija nema maksimum i minimum bodova. Sinusna funkcija Kosinusna funkcija Tangentna funkcija Skup vrijednosti funkcije- cela brojevna prava, tj. tangenta - funkcija neograničeno. Funkcija je neparna: tg (−x) = - tg x Periodična funkcija sa najmanjim pozitivnim periodom π
, tj. tg (x + π·
k) = tg x, k ∈ Z za sve x iz domene. Kotangens funkcija Skup vrijednosti funkcije- cela brojevna prava, tj. kotangens - funkcija neograničeno. Funkcija je neparna: ctg (−x) = - ctg x za sve x iz domene. Periodična funkcija sa najmanjim pozitivnim periodom π
, tj. ctg (x + π·
k) = ctg x, k ∈ Z za sve x iz domene. 21)) Skup brojeva, od kojih je svaki opremljen svojim brojem P
(P
= 1, 2, 3, ...) naziva se numerički niz. Pojedinačni brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju na sljedeći način: prvi član a
1, drugo a
2 , .... P
th član a
n i tako dalje Čitav numerički niz je označen sa a 1 , a
2 , a
3 , ... , a
n, ... ili ( a
n}. 22) Aritmetička progresija. Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodan konstantnim brojem za ovaj niz d se zove aritmetička progresija... Broj d pozvao razlika u progresiji... Svaki član aritmetičke progresije izračunava se po formuli: a n = a 1 + d (n - 1) .
Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunato kao: Geometrijska progresija. Numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen brojevnom konstantom za ovaj niz q se zove geometrijski progresija... Broj q pozvao imenilac progresije... Svaki član geometrijske progresije izračunava se po formuli: b n = b 1 q n - 1 .
Zbir prvih n članova geometrijske progresije izračunato kao: Beskonačna geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji nazivnik zadovoljava uslov. Uz neograničeno povećanje, iznos ) Derivat funkcije f (x), f ′ (x), sama je funkcija. Dakle, možemo pronaći njen izvod. Nazovimo f ′ (x) derivacijom funkcije f (x) prvog reda. Derivat izvoda funkcije f (x) nazivamo derivacijom drugog reda ( ili drugi derivat). Geometrijsko značenje izvedenice. Izvod u tački x 0 jednak je nagibu tangente na graf funkcije y = f(x) na ovom mjestu. Jednadžba tangente na graf funkcije: y = f (a) + f "(a) (x - a) y = f (a) + f" (a) (x - a) Fizičko značenje izvedenice. Ako se tačka kreće duž x-ose i njena koordinata se menja prema zakonu x (t), tada je trenutna brzina tačke: 24)) Derivat zbira (razlike) funkcija Izvod algebarskog zbira funkcija izražava se sljedećom teoremom. Derivat sume (razlika) dvije diferencibilne funkcije jednaka je zbroju (razlici) derivacija ovih funkcija: Izvod konačnog algebarskog zbira diferencijabilnih funkcija jednak je istom algebarskom zbiru izvoda članova. Na primjer, Povećajuće i opadajuće funkcije funkcija y = f(x) naziva se rastućim na segmentu [ a, b], ako je za bilo koji par tačaka X i X", a ≤ h nejednakost f(x) ≤
f (x "), i striktno rastući - ako je nejednakost f (x) f(x "). Smanjenje i strogo smanjenje funkcije definiraju se slično. Na primjer, funkcija at = X 2 (pirinač.
, a) striktno raste na segmentu, i (pirinač.
, b) striktno opada na ovom segmentu. Označavaju se rastuće funkcije f (x), i opadajuće f (x) ↓. Da bi diferencijabilna funkcija f (x) je u porastu na segmentu [ a, b], potrebno je i dovoljno da njegov derivat f"(x) nije bio negativan na [ a, b]. Uz povećanje i smanjenje funkcije na segmentu, razmatra se povećanje i smanjenje funkcije u tački. Funkcija at = f (x) se naziva rastućim u tački x 0 ako postoji interval (α, β) koji sadrži tačku x 0, što za bilo koju tačku X iz (α, β), x> x 0, nejednakost f (x 0) ≤
f (x), i za bilo koju tačku X iz (α, β), h 0, nejednakost f (x) ≤ f (x 0). Strogo povećanje funkcije u tački x 0. Ako f"(x 0) >
0, zatim funkcija f(x) striktno raste u tački x 0. Ako f (x) raste u svakoj tački intervala ( a, b), tada se povećava u ovom intervalu. S. B. Stechkin. Velika sovjetska enciklopedija. - M .: Sovjetska enciklopedija.
1969-1978
.
Koncepti matematičke analize. Funkcija f (x) naziva se odnos porasta broja različitih starosnih grupa stanovništva na segmentu STAROSNA STRUKTURA STANOVNIŠTVA. Zavisi od nivoa plodnosti i mortaliteta, očekivanog životnog vijeka ljudi... Veliki enciklopedijski rječnik Koncepti matematičke analize. Funkcija f (x) naziva se rastućom na segmentu ako je za bilo koji par tačaka x1 i x2, a≤x1 ... enciklopedijski rječnik Koncepti mat. analiza. Poziva se funkcija f (x). raste na segmentu [a, b] ako je za bilo koji par tačaka x1 i x2, i<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1) Grana matematike koja proučava derivacije i diferencijale funkcija i njihove primjene na proučavanje funkcija. D. dizajn i. u nezavisnu matematičku disciplinu povezanu s imenima I. Newtona i G. Leibniza (druga polovina 17 ... Velika sovjetska enciklopedija Grana matematike u kojoj se proučavaju pojmovi derivacije i diferencijala i načini njihove primjene na proučavanje funkcija. D. razvoj i. usko povezan sa razvojem integralnog računa. Njihov sadržaj je takođe neodvojiv. Zajedno čine osnovu ... ... Enciklopedija matematike Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte funkciju. Zahtjev "Prikaži" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia Aristotel i peripatetika- Aristotelovo pitanje Život Aristotela Aristotel je rođen 384/383. BC e. u Stagiri, na granici sa Makedonijom. Njegov otac po imenu Nikomah bio je lekar u službi makedonskog kralja Aminte, Filipovog oca. Zajedno sa svojom porodicom, mladi Aristotel ... ... Zapadna filozofija od početaka do danas - (QCD), kvantna teorija polja snažnog efekta kvarkova i gluona, izgrađena po slici kvanta. elektrodinamika (QED) zasnovana na simetriji merača "boje". Za razliku od QED-a, fermioni u QCD-u imaju komplement. kvantni stepen slobode. broj,… … Fizička enciklopedija I Srce Srce (lat. cor, grč. cardia) je šuplji fibro-mišićni organ koji, funkcionirajući kao pumpa, osigurava kretanje krvi u krvožilnom sistemu. Anatomija Srce se nalazi u prednjem medijastinumu (Mediastinum) u perikardu između ... ... Medicinska enciklopedija Život biljke, kao i svakog drugog živog organizma, složen je skup međusobno povezanih procesa; najbitniji od njih, kao što je poznato, je metabolizam sa okolinom. Životna sredina je izvor odakle ... ... Biološka enciklopedija Da biste razumjeli ovu temu, razmotrite funkciju prikazanu na grafu // Hajde da pokažemo kako vam graf funkcije omogućava da odredite njena svojstva. Domena funkcije yavl. interval [3,5; 5.5]. Raspon vrijednosti funkcije yavl. interval [1; 3]. 1. Za x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, vrijednost funkcije je jednaka nuli. Vrijednost argumenta kod koje je vrijednost funkcije nula naziva se funkcija nula. //these. za ovu funkciju brojevi -3;-1;1.5; 4,5 su nule. 2. U intervalima [4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5] graf funkcije f nalazi se iznad ose apscise, a u intervalima (-3; -1) i (1.5; 4.5) ispod ose apscise, ovaj objašnjava se na sljedeći način - na intervalima [4.5; 3) i (1; 1.5) i (4.5; 5.5] funkcija poprima pozitivne vrijednosti, a na intervalima (-3; -1) i (1.5; 4.5) negativne. Svaki od naznačenih intervala (gdje funkcija uzima vrijednosti istog predznaka) naziva se interval konstantnog znaka funkcije f.//t.t. na primjer, ako uzmemo interval (0; 3), onda to nije interval konstantnosti ove funkcije. U matematici je uobičajeno označavati intervale maksimalne dužine kada se traže intervali konstantnog predznaka funkcije. //One. interval (2; 3) je interval konstantnosti funkcija f, ali odgovor bi trebao uključivati interval [4,5; 3) koji sadrži interval (2; 3). 3. Ako se pomaknete po osi apscise od 4,5 do 2, primijetit ćete da se graf funkcije spušta, odnosno da se vrijednosti funkcije smanjuju. // U matematici je uobičajeno reći da je u intervalu [4,5; 2] funkcija se smanjuje. Kako se x povećava sa 2 na 0, grafik funkcije se povećava, tj. vrijednosti funkcije se povećavaju. // U matematici je uobičajeno reći da na intervalu [2; 0] funkcija se povećava. Funkcija f se poziva ako za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala, tako da je x2> x1, vrijedi nejednakost f (x2)> f (x1). // ili se poziva funkcija povećavajući u nekom intervalu ako za bilo koju vrijednost argumenta iz ovog intervala, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. // tj. što je više x, to je više y. Poziva se funkcija f smanjujući u nekom intervalu ako je za bilo koje dvije vrijednosti argumenta x1 i x2 iz ovog intervala, tako da je x2> x1, zadovoljena nejednakost f (x2), koja se smanjuje na nekom intervalu, ako za bilo koju vrijednost argumenta iz ovog intervala, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. //these. što je više x, manje je y. Ako se funkcija povećava u cijeloj domeni definicije, onda se ona poziva povećanje. Ako funkcija opada u cijeloj domeni definicije, tada se poziva smanjivanje. Primjer 1. graf rastućih i opadajućih funkcija, respektivno. Primjer 2. Odredite Yavl. da li se linearna funkcija f (x) = 3x + 5 povećava ili smanjuje? Dokaz. Koristimo se definicijama. Neka su x1 i x2 proizvoljne vrijednosti argumenta, a x1< x2., например х1=1, х2=7 Završni rad u obliku Jedinstvenog državnog ispita za učenike 11. razreda obavezno sadrži zadatke za izračunavanje granica, intervala opadanja i povećanja derivacije funkcije, traženje tačaka ekstrema i građenje grafova. Dobro poznavanje ove teme omogućava vam da tačno odgovorite na nekoliko ispitnih pitanja i da ne budete imali poteškoća u daljem stručnom usavršavanju. Osnove diferencijalnog računa jedna je od glavnih tema matematike moderne škole. Ona proučava upotrebu izvoda za proučavanje zavisnosti varijabli - pomoću izvoda se povećanje i smanjenje funkcije može analizirati bez pozivanja na crtež. Sveobuhvatna priprema diplomaca za USE na obrazovnom portalu Shkolkovo pomoći će da se duboko razumiju principi diferencijacije - da se detaljno razumije teorija, prouče primjeri rješavanja tipičnih problema i okušaju se u samostalnom radu. Pomoći ćemo vam da popunite praznine u znanju - da razjasnimo razumijevanje leksičkih pojmova teme i zavisnosti količina. Učenici će moći da ponove kako da pronađu intervale monotonije, što znači porast ili pad derivacije funkcije na određenom segmentu, kada su granične tačke uključene, a ne uključene u pronađene intervale. Prije nego što započnete direktno rješavanje tematskih problema, preporučujemo da prvo odete u odjeljak "Teorijska referenca" i ponovite definicije pojmova, pravila i tabelarnih formula. Ovdje također možete pročitati kako pronaći i zabilježiti svaki interval rastućih i opadajućih funkcija na grafu derivacije. Sve ponuđene informacije predstavljene su u najpristupačnijem obliku za razumijevanje praktično "od nule". Stranica pruža materijale za percepciju i asimilaciju u nekoliko različitih oblika - čitanje, gledanje videa i direktna obuka pod vodstvom iskusnih nastavnika. Stručni edukatori će vam detaljno reći kako analitičkim i grafičkim metodama pronaći intervale povećanja i smanjenja derivacije funkcije. Tokom webinara biće moguće postaviti bilo koje pitanje koje vas zanima, kako u teoriji tako iu rješavanju konkretnih problema. Sjetivši se glavnih točaka teme, pogledajte primjere rastuće derivacije funkcije, slično zadacima ispitnih opcija. Da biste konsolidirali naučeno, pogledajte u "Katalogu" - ovdje ćete pronaći praktične vježbe za samostalan rad. Zadaci u sekciji se biraju na različitim nivoima težine, uzimajući u obzir razvoj vještina. Za svaki od njih, na primjer, algoritmi odlučivanja i tačni odgovori nisu priloženi. Odabirom rubrike „Konstruktor“ studenti će moći vježbati proučavanje povećanja i smanjenja derivacije funkcije na stvarnim verzijama Jedinstvenog državnog ispita, koji se stalno ažurira uzimajući u obzir najnovije promjene i inovacije.
6. Opadajuća logaritamska funkcija će biti negativna na x> 1, a pozitivna na 0 
Domen funkcije je skup R svih realnih brojeva. Skup vrijednosti funkcije je segment [-1; 1], tj sinusna funkcija je ograničena. Funkcija je neparna: sin (−x) = - sin x za sve x ∈ R. Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Periodična funkcija 2 π
: sin (x + 2 π·
k) = sin x, gdje je k ∈ Z za sve x ∈ R. sin x = 0 za x = π k, k ∈ Z. sin x> 0 (pozitivno) za sve x ∈ ( 2π k, π + 2π k), k ∈ Z. sin x< 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π + 2π k, 2π + 2π k), k ∈ Z.
Domen funkcije je skup R svih realnih brojeva. Skup vrijednosti funkcije je segment [-1; 1], tj kosinusna funkcija je ograničena. Funkcija je parna: cos (−x) = cos x za sve h ∈ R. Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom 2 π
: cos (x + 2 π·
k) = cos x, gdje k∈ Z za sve x ∈ R.
cos x = 0 at
cos x> 0 za sve
cos x< 0для всех
Funkcija raste od −1 do 1 u intervalima:
Funkcija se smanjuje sa −1 na 1 u intervalima:
Najveća vrijednost funkcije sin x = 1 u tačkama:
Najmanja vrijednost funkcije sin x = −1 u tačkama:
Funkcijski graf je simetričan u odnosu na OY os.
Funkcijski graf je simetričan u odnosu na OY os.20) Opšti pogled na funkciju Transformacije
y = f(x - b)
Paralelni prijenos grafa duž ose apscise pomoću | b | jedinice
y = f(x + b)
y = f(x) + m
Paralelni prijenos grafikona duž ordinatne ose za | m | jedinice
Odraz grafa
y = f(- x)
ordinate.
y = - f(x)
Okrenite graf simetrično oko ose apscisa.
Smanjenje i rastezanje grafa
y = f(kx)
y = kf(x)
Transformacije grafa sa modulom
y = | f(x) |
y = f(| x |)
prvih članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije teži broju tzv zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
Pogledajte šta je "Povećanje i smanjenje funkcije" u drugim rječnicima:
Analiziramo svojstva funkcije koristeći primjer
