Изтеглете презентация на числовата система. Представяне на "системата с числа". Двоична бройна система

Слайд 1

Системи с номера

Завърши: ученик от 10-Б клас Овчинникова Анастасия Проверена: Федорова Е.А., учител по компютърни науки

Слайд 2

Позиционна вавилонска шестнадесетична система Двойна система Шестнадесетична система Десетична система

Непозиционна единична (единна) система Римска система Древноегипетска десетична система Азбучни системи

Слайд 3

Позиционна система с номера

Най-съвършените са системите за позициониране на числа - системи за записване на числа, при които приносът на всяка цифра към стойността на числото зависи от позицията му в последователността на цифрите, представляващи числото.

Нашата позната десетична система е позиционна.

Слайд 4

Шестте десетични вавилонски системи

Шестцифровата вавилонска система е първата известна система от числа, базирана на позиционния принцип.Чери в тази бройна система са съставени от два вида знаци: прав клин е използван за обозначаване на единици, лежащ клин е използван за означаване на десетки.

Слайд 5

Двоична система

Системата с двоични числа се използва за кодиране на дискретен сигнал. В тази бройна система се използват две цифри за представяне на число - 0 и 1.

Слайд 6

Шестнадесетична система

Шестнадесетична бройна система се използва за кодиране на дискретен сигнал. Съдържанието на всеки файл е представено в тази форма. Символите, използвани за представяне на числото, са десетични цифри от 0 до 9, а буквите на латинската азбука са A, B, C, D, E, F.

Слайд 7

Десетична система

Системата с десетични числа се използва за кодиране на дискретен сигнал. Символите, използвани за представяне на число, са числа от 0 до 9.

Слайд 8

Системи без позициониране

Системите с числа, в които всяка цифра съответства на стойност, която не зависи от мястото й в записа на число, се наричат \u200b\u200bнепозиционни.

Системи с позиционни номера - резултат от дълго историческо развитие на непозиционните системи с числа.

Слайд 9

Единична система

Археолозите са открили "записи" при разкопки на културни пластове, датиращи от периода на палеолита (10-11 хиляди години пр. Н. Е.). Учените нарекоха този метод за записване на числата система с единични номера.

Слайд 10

Римска цифрова система

Римската система не се различава много от египетската система. В него за означаване на следните числа: 1, 5, 10, 50, 100, 500,1000, се използват главни латински букви: I, V, X, L, C, D, M, които са „цифрите“ на тази цифрова система.

Слайд 11

Древноегипетска десетична непозиционна система

В древноегипетската бройна система, възникнала през втората половина на третото хилядолетие пр.н.е. за обозначаване на числата 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 са използвани специални знаци (числа).

В основата на единичните и древноегипетските системи е бил простият принцип на добавяне, според който стойността на числото е равна на сумата от стойностите на цифрите, участващи в неговото записване.

Слайд 12

Азбучни системи

По-усъвършенствани системи за позициониране на не позиции бяха азбучни системи. Сред тези броени системи бяха: славянски; йонен (гръцки); Финикийски и др.

В азбучната славянска система за номериране 27 букви от кирилицата са използвани като „цифри“.

Слайд 13

Поява на нула

Съвременната десетична бройна система възниква около V в. А.Д. в Индия. Появата на тази система стана възможно след най-голямото отваряне на цифрата „0“, за да се посочи липсващата стойност. За да посочат нулевата стойност на заряда, гръцките астрономи започнаха да използват символа "0" (първата буква на гръцката дума Ouden е нищо). Този знак, очевидно, беше прототип на нашата нула.

Слайд 14

библиография

1. Гашков С.Б. Системи с номера и тяхното приложение. ICMMO, 2004 г. 2. Угринович Н.Т. Информатика и информационни технологии. Учебник за 10-11 клас. - М.: Лаборатория на основните знания. 2003. 3. Енциклопедия „Уикипедия“ [Електронен ресурс]: Режим на достъп: http://ru.wikipedia.org, безплатен

1 от 16

Описание на презентацията за отделни слайдове:

Слайд номер 1

Слайд номер 2

Малко история Историята се появи, когато човек трябваше да информира близките си за броя на намерените предмети, убитите и победените врагове. На различни места са измислени различни начини за предаване на числова информация: от никове в броя на предметите до гениални знаци - числа.

Слайд номер 3

„Брой“ на древните хора Първоначално концепцията за абстрактно число липсваше, числото беше „обвързано“ с онези конкретни предмети, които бяха преброени. Абстрактната концепция за естественото число се появи заедно с развитието на писането.

Слайд номер 4

Системи с цифри Системата с числа е набор от правила за обозначаване и именуване на числа. Системите с числа се делят на позиционни и непозиционни. Символите, използвани при писане на числа, се наричат \u200b\u200bчисла.

Слайд номер 5

Системи с позиционни номера Най-напредналите са системите с позиционни номера, т.е. системи за записване на числа, в които приносът на всяка цифра към стойността на число зависи от нейната позиция (позиция) в последователността на цифрите, представляващи числото. Например познатата ни десетична система е позиционна. От 34 числото 3 означава броя на десетките, а числото 4 означава броя на единиците. Броят на използваните цифри се нарича основата на позиционната система от числа. Предимства на системите с позиционни числа Простота на аритметичните операции. Ограничен брой знаци (цифри) за записване на произволни числа. ,

Слайд номер 6

Системи с позиции без позиции Система на единици Броят на обектите, като овцете, е изобразен чрез рисуване на тирета или серифи върху всяка твърда повърхност: камък, глина, дърво. Учените нарекли този метод за записване на числата единична ("пръчка") система от числа. В него за записване на числа е използван само един тип символи - "пръчката". Всяко число в такава бройна система е било обозначено чрез низ, съставен от пръчки, чийто брой е бил равен на определеното число. I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Недостатъците на такава система за записване на числа и ограниченията на използването й са очевидни: колкото по-голямо е числото, което трябва да се напише, толкова по-дълъг е низът от пръчките. А когато записвате голям брой, е лесно да направите грешка, като приложите допълнителен брой пръчки или, обратно, без да ги добавяте.

Слайд номер 7

Римската система Римската система ни е позната още от първия клас. В него за означаване на числата 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 се използват главни букви от латинската азбука I, V, X, L, C, D и M, съответно, които са числата на тази бройна система. Числото в системата на римските цифри се обозначава с набор от последователни цифри. Стойността на числото е равна на: сумата от стойностите на няколко еднакви цифри в един ред (нека ги наречем група от първи вид); разликата в стойностите на две цифри, ако вляво от по-голямата цифра има по-малка. В този случай стойността на по-малката цифра се изважда от стойността на по-голямата цифра (нека ги наречем група от втория тип) Пример 1. Числото 32 в римската цифрова система има формата XXXII \u003d (X + X + X) + (I + I) \u003d 30 + 2 (две групи от първи вид). Пример 2. Числото 444, което има 3 еднакви цифри в десетичната си нотация, ще бъде записано в римската цифрова система като CDXLIV \u003d (D-C) + (L-X) + (V-I) \u003d 400 + 40 + 4 (три групи от втория вид).

Слайд номер 8

Древноегипетска десетична система В древноегипетската бройна система, възникнала през втората половина на третото хилядолетие пр. Н. Е., За обозначаване на числата 1, 10, 100, 1000 и др. Се използват специални числа, като числата в египетската цифрова система са изписани като комбинации от тези числа, т.е. в който всеки от тях е повторен не повече от девет пъти. Пример. Числото 345 е написано от древните египтяни по следния начин: И дръжката, и древноегипетската система от числа се основаваха на принципа на простото прибавяне, според който стойността на числото е равна на сумата от числата, участващи в нотирането му. Учените приписват древноегипетската цифрова система на десетични позиции.

Слайд номер 9

Древните египтяни означават числата десетки стотици хиляди десетки хиляди и стотици хиляди милиони

Слайд номер 10

Вавилонската шестцифрена система Числата във вавилонската бройна система са съставени от два вида знаци: прав клин е бил използван за обозначаване на единици на лежащ клин - за означаване на десетки. За да се определи стойността на числото, беше необходимо изображението на числото да се раздели на цифри отдясно на ляво. Нова категория започна с появата на директен клин след легнал, ако вземем предвид числото от дясно на ляво. Например: Числото 32 е написано така:

Слайд номер 13

Славянска цифрова система Тази бройна система е азбучна вместо букви се използват букви от азбуката. Тази бройна система беше използвана от нашите предци и беше доста сложна, защото използва 27 букви като цифри.

Слайд номер 14

Математиците спорят с историците. Като се има предвид, че в славянската система за броене големи числа са имали следните имена: тъмнина 10 000 гарван 10 ^ 48 легион 100 000 палуба 10 ^ 50 леодро 1000 000, ние решаваме проблема с броя на войските на Бату по време на кампанията към Русия. Според летописите монголите са били „мрак на мрак“. Тоест 10 000 10 000 \u003d 100 000 000 души. Всъщност Бату имаше 11 подчинени командири на военачалници, всеки от които имаше „мрак“ от войници под своето командване, общо 11 10 000 \u003d 110 000, общо 110 хиляди души. Следователно 100 милиона души, за които историците говорят, дори не бяха споменати!

Слайд номер 15

Недостатъци на непозиционните системи с цифри Има постоянна необходимост от въвеждане на нови символи за писане на големи числа. Невъзможно е да се представят дробни и отрицателни числа. Трудно е да се извършват аритметични операции, тъй като няма алгоритми за тяхното изпълнение. До края на Средновековието няма универсална система за записване на числа. Едва с развитието на математиката, физиката, инженерството, търговията и икономиката възникна необходимостта от единна универсална система от числа.

"Нотация"

Почитаме всички с нули И единици от себе си. AS Пушкин

Аритметика от каменна ера

идентичност

Древногръцка номерация

През V век пр.н.е. се появи азбучна номерация.

  

500 2 30

 

500 30 2

  

2 500 30

Славянска кирилична номерация

Римска цифрова система

DC-XV \u003d DLXXXV

Египетска номерация

1 10 100 1000

10000 100000 1000000 10000000

Преди 5000 години

Системи с позиционни номера

Непозиционни системи с номера

В позиционен

позиционна система

Каква система от числа се използва навсякъде по наше време?

Колко цифри има десетични?

Какви са тези числа?

Защо мислите, че хората използват десетичната система, а не седемкратната?

Десетични десет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Десет пръста

Dvenaceric (броят на месеците в една година, броят часове, броят на зодиакалните знаци);
Седем (седем дни в седмицата, изобилие от поговорки и поговорки с числото седем);
Шестцислена десетична система (временна мярка)

В не-позиция

непозиционна система

I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)

Стойността на цифрата не зависи от местоположението й в числото

XXX \u003d 30

MCMXCVIII \u003d 1000+ (1000-100) + (100-10) + 5 + 1 + 1 + 1 \u003d 1998

Двоична бройна система (2-ри s / s)

Октална бройна система (8-ма s / s)

Десетична бройна система (10-та s / s)

Шестнадесетична бройна система (16-та s / s)

Двоичен - 0, 1 (базови s.s. - 2)

Десетични - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (базови s.s. - 10)

Октал - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (основни с.с. - 8)

Шестнадесетичен - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (основни s.s. - 16)

Системи за комуникационни номера

00 10

00 11

0 100

0 101

0 110

0 111

Правила за превод

От десетична нотация

в позиционни системи от числа

Делете десетичното число на базата на новата система с числа. Оказва се коефициентът и останалата част.
Остатъкът от делението се прехвърля в новата система с числа - това ще бъде най-малко значимата цифра от новото число.
Извършете разделянето, докато последният коефициент не стане по-малък от основата на новата система с числа.
Запишете последния коефициент и всички баланси в обратен ред. Полученото число ще бъде запис в новата система с числа.

Представете си числото 67, записано в десетичната бройна система в позиционните системи с числа:

67 10 \u003d A 2

67 10 \u003d A 8

67 10 \u003d A 16

Представете си числото 67 10

в двоична нотация:

Отговорът е: 67 10 = 1000011 2

Представете си числото 67 10

Отговорът е: 67 10 = 103 8

Представете си числото 67 10

Отговорът е: 67 10 = 43 16

Представете си 123 10

в шестнадесетична нотация:

Отговор: 123 10 \u003d 7V 16

Представете си числото 42, записано в десетичната бройна система в позиционните системи с цифри:

двоичен, осмичен, шестнадесетичен.

42 10 \u003d A 2

42 10 \u003d A 8

42 10 \u003d A 16

Правила за превод От която и да е система от позиционни числа до десетичната система с цифри:

Представете си числото 1000011 2

Отговорът е: 1000011 2 =67 10

Представете си 103 8

в десетична нотация:

Отговорът е: 103 8 =67 10

Представете си числото 7В 16

в десетична нотация:

Отговор: 7V 16 = 123 10

Правила за превод От двоичната бройна система до шестнадесетичната система от числа и обратно:

Представете си числото 1110001101 2 в шестнадесетична нотация:

0011 1000 1101 2  38 D 16

Представете си номера 368 16 в двоен

бройна система: 368 16 → 0011 0110 1000 2

Правила за превод От двоичната система за броене до осмичната бройна система и обратно:

Представете си числото 1011000110 2 в система с октално число:

001 011 000 110 2  1306 8

Представете си номера 361 4 в двоен

бройна система: 3614 8 → 011 110 001 100 2

Аритметични операции

в цифровите системи

Мислено измествайте един мач, така че да получим правилното равенство

а) VII - V \u003d XI

б) IX - V \u003d VI

в) VIII - III \u003d X

Аритметика на двоични числа

допълнение 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 +1 до висше ниво

3. Умножение

2. изваждане 0 - 0=0 0 - 1= 1 - 1 от висшето ниво 1 - 0=1 1 - 1=0

При добавяне на 2 числа във всяка категория, в съответствие с таблицата за добавяне, 2 цифри от термините или 2 от тези числа се добавят заедно и 1, ако има пренос от най-малко значимата цифра.

Резултатът е цифра на съответната цифра на сумата и, евентуално, прехвърляне към по-голямата цифра.

________________

При изваждане на 2-ри числа в тази категория, ако е необходимо, се заема 1 от най-високото ниво. Тази 1 е равна на 2 единици от тази категория.

Заемът се взема всеки път, когато цифрата в категорията на приспадаемата е повече от цифра в същата категория на приспадаемата.

________________

Умножението на 2-ри многоцифрени числа се осъществява чрез образуването на частични продукти и последващото им сумиране.

Според таблицата на двоичното умножение всеки частичен продукт е 0, ако съответната цифра на умножителя е 0.

по този начин операцията на умножение се свежда до операциите на изместване и събиране.

Урок по темата: Цели на урока: Да се \u200b\u200bусвои дефиницията на следните понятия: Система с числа, число, число, база на числовата система, ранг, азбука, непозиционна система от числа, позиционна система от числа, единична (неедна) система от числа. Научете се да записвате: десетично число в системата на римските цифри, всяко число в системата от позиционни числа в разширена форма Да бъде в състояние: да определите основата на системата с числа, дайте примери за числа от различни позиционни системи от числа, обяснете разликата между числото и броя на позиционната и непозиционна система от числа - Древногръцките философи, учениците на Питагор , подчертавайки важната роля на числата на практика. - Това е знакова система, в която числата се изписват според определени правила, като се използват знаци от някаква азбука, наречена числа. Система с числа - Това е набор от техники и правила, чрез които числата се записват и четат. позиционни системи от числа, които не са позиционирани Непозиционни се нарича система с числа, в която количествената стойност на цифрата не зависи от нейната позиция в числото. Примери за непозиционни системи за броене са: единична десетична древноегипетска азбучна система с цифри (римска) Единична цифрова система В древни времена, когато хората започнаха да броят, имаше нужда да се пишат числа. Първоначално броят на обектите се показваше с равен брой някои икони: резци, тирета, точки. + + \u003d Десетична система за номериране на древните Египет (Втора половина на третото хилядолетие) За идентифициране на ключови числа са използвани специални йероглифи: Азбучна система за записване на числата До края на XVII век са използвани следните букви на кирилица като числа, ако над тях е поставен специален знак - титло. Например: Римска цифрова система. Ние достигнахме системата за нотиране на римски цифри и се използва повече от 2500 години. Като числа се използват латински числа: I 1 V 5 X 10 LC 50 100 DM 500 1000 Например: CXXVIII \u003d 100 +10 +10 +5 +1 +1 + 1 \u003d 128 Системата с цифри се нарича позиционна, в която количествената стойност на цифрата зависи от нейната позиция на брой. Вавилонска бройна система Първата позиционна система от числа е изобретена в древен Вавилон, а вавилонската номерация е шестдесет десетична, т.е. в нея са използвани шестдесет цифри! Числата бяха съставени от два вида знаци: Единици - прав клин Десетки - лежащ клин Стотици 10 + 1 \u003d 11 Позиционни системи с числа, най-разпространените в момента са -децифрени-двоични-осмични-шестнадесетични позиционни системи от числа. Десетична цифрова система Всяко число, което можем да запишем с десет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ето защо нашата съвременна система за броене се нарича десетична. Известният руски математик Н. Н. Лузин го изказа така: „Предимствата на десетичната бройна система не са математически, а зоологически. Ако нямахме десет пръста на ръцете си, а осем, тогава човечеството щеше да използва осмалната бройна система. ”Десетична бройна система Въпреки че десетичната бройна система се нарича арабска, но тя произхожда от Индия, през V век. В Европа тази система е научена през 12 век от арабски научни трактати, които са преведени на латински. Това обяснява името "арабски цифри". Системата с десетични числа обаче се използва широко в науката и в ежедневието едва през 16 век. Тази система ви позволява лесно да извършвате всякакви аритметични изчисления, да записвате числа от всякакъв размер. Разпространението на арабската система даде мощен тласък на развитието на математиката. Арабската номерация преобладава при Петър I. Как използваните от арабите числа се променят, докато приемат съвременни форми: Измислена е много преди появата на компютрите. Официалното раждане на двоичната аритметика се свързва с името на Г. В. Лайбниц, който публикува статия през 1703 г., в която изследва правилата за извършване на аритметични операции върху двоични числа. Неговият недостатък е „дългата” нотация на числата. В момента - числовата система, която се използва най-много в компютърните науки, компютърната техника и свързаните с нея индустрии. Използва две цифри: 0 и 1 Пример: Свит формуляр за записване на число: 1012 2 1 0 Разширен формуляр: 101 \u003d 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 Всички числа в компютър са представени с нули и такива, т.е. в двоична система цифра. Система с позиционни номера Броят на използваните цифри се нарича основата на позиционната система с числа. За основата на системата за позициониране можете да вземете всяко естествено число, по-голямо от едно. Основата на системата, към която се отнася числото, се обозначава от индекса на това число. 1110010012 356418 43B8D16 Пример: основата на десетичната бройна система \u003d 10 Позицията на цифра в число се нарича цифра. Числото 555 е сведена до минимум форма. 2 1 0 555 \u003d 5 * 10 + 5 * 10 + 5 * 10 - разширената форма на числото. Азбуки на няколко системи Базова система Азбука n \u003d 2 Двоични 01 n \u003d 3 Троица 012 n \u003d 8 Октал 01234567 n \u003d 16 шестнадесетична 0123456789ABCDEF Самостоятелна работа 1. Прочетете внимателно алгоритъма за изпълнение на задачите; 2. Попълнете задачата в Бележник в карта № 1 и я предайте на учителя за проверка. 3. Прочетете внимателно всичко за задачата за римска цифрова система в Карта № 2. Изпълнете на същия формуляр номер 1 и номер 2, както и номер 3 (+), ако можете. Обменяйте задачи с формуляри на бюрото със съсед за взаимна проверка. 3. Прочетете внимателно всичко за позиционните номерационни системи в Карта № 3 и попълнете задачите на същия формуляр: № 1- попълнете таблица № 2- първата задача е задължителна. Със знак (+) - по желание, ако можете. Обменяйте задачи с партньора си на бюрото за взаимна проверка. Карта № 1: Запишете в тетрадката основните дефиниции на понятията, дадени изрично и неявно: 1. Системата с числа 2. Число 3. Число 4. Основата на числовата система 5. Ранг 6. Азбука 7. Непозиционна система от числа 8. Позиционна система с номера 9 Система с номера на единица (единична) Номер на карта 2: Запишете числата в римската цифрова система: 1. 9 \u003d 12 \u003d 2778 \u003d 2. Какви числа се пишат с римски цифри: LXV \u003d MCMLXXXVI \u003d __________________________ + (незадължително) Коригирайте грешните равенства чрез преместване от едно място на друго само една пръчка: VII –V \u003d XI IX - V \u003d VI карти точка номер 3: (изпълнява се на същия формуляр) Задача номер 1: Попълнете таблицата: Задача номер 2: Напишете в разширени форми числа: 5.1610 \u003d 1001.012 \u003d __________________________ + (незадължително) Помислете и опитайте да обясните как се различава системата за позиции мъртво смятане. Домашна работа: §4.1.1, задачи за самостоятелно изпълнение: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 Творческо задание: Съставете и попълнете в MS Word кръстословица на тема "Системи с числа"

Презентация на тема "Системи с цифри" по компютърни науки във формат powerpoint. Обемната презентация за ученици съдържа 41 слайда, където се разглеждат въпроси като това, което са позиционни и непозиционни системи с числа, алгоритъм за преобразуване на числа от една система на числа в друга и представянето на числа в компютър. Автор на презентацията: Иванова Галина Анатолевна.

Фрагменти от презентацията

Системи с номера

Система с номера - набор от правила за името и изображението на числата, използващи набор от знаци, наречени числа.

позиционен

Количествената стойност на всяка цифра от число зависи от това къде на място (позиция или категория) се записва една или друга цифра. 0,7 7 70

nonpositional

Количествената стойност на цифрата на число не зависи от това на кое място (позиция или категория) е записана една или друга цифра. XIX

Системи с позиционни номера

Първата позиционна система с числа е изобретена в Древен Вавилон, а вавилонската номерация е шестцифрена, т.е. използва шестдесет цифри!
През XIX век дуодециалната система с числа е доста широко разпространена.
Понастоящем най-често срещаните десетични, двоични, осмични и шестнадесетични системи от числа.

Базова система за номера

Броят на различни знаци, използвани за представяне на число в позиционните системи с числа, се нарича база на числовата система.
Позициите на числата се наричат \u200b\u200bцифри.
Основата на числовата система показва колко пъти се променя количествената стойност на цифрата, когато я премествате в съседна позиция
За основата на системата можете да вземете всяко естествено число от поне 2.

Оттогава компютрите използват двоичната система

прилагането му изисква технически устройства с две стабилни състояния,
представянето на информация, използвайки само две състояния, е надеждно и шумоустойчиво,
възможно е да се използва апаратът на булева алгебра за извършване на логически преобразувания,
двоичната аритметика е много по-проста от десетичната

Двоичната система, която е удобна за компютър, е неудобна за човек поради своята обемност и необичайни записи. За да се разбере думата компютър, са разработени октални и шестнадесетични числа системи. Числата в тези системи изискват 3/4 пъти по-малко битове, отколкото в двоичната система.

Десетична цялостна конверсия

Алгоритъм на превода:

Последователно разделете остатъка от това число и получените цели числа в основата на новата система с числа, докато коефициентът стане нула.
Получените баланси се изразяват в цифри от азбуката на новата система с числа
Запишете номера в новата система за нотация на получените салда, като се започне с последното.

Преобразуване на правилния десетичен дроб от десетичната бройна система

Алгоритъм на превода:

Умножете десетичната част и получените дробни части от произведенията въз основа на нова система с числа, докато дробната част е нула или се постигне необходимата точност на превода.
Получените цели части на произведенията се изразяват в азбучни цифри на новата система с числа.
Запишете дробната част на числото в новата система с числа, като започнете с целочислената част на първия продукт.
Превод на реални числа от десетичната система
Когато се превеждат смесени дроби, цялата и дробната част се превеждат отделно според техните правила, резултатите от превода се разделят със запетая.

Аритметични операции в позиционни системи от числа

Правилата за извършване на основни аритметични операции във всяка позиция с позиционни числа се подчиняват на същите закони, както в десетичната система.
При добавянето числата се обобщават чрез цифри и ако това причини преливане на разряда, тогава се извършва прехвърляне към по-голямата цифра. Препълването на разряда възниква, когато стойността на числото в него стане равна или по-голяма от основата на числовата система.
Когато изваждаме от по-малката цифра, по-високата в по-високата цифра се заема от единицата, която при преминаване към по-ниската цифра ще бъде равна на основата на числовата система
Ако при умножаването на едноцифрени цифри възникне препълване на разряда, тогава множествено число от основата на числовата система се прехвърля към старшата цифра. При умножаването на многоцифрени числа в различни позиционни системи се използва алгоритъмът за умножение на числата в колона, но резултатите от умножението и сумирането се записват, като се взема предвид основата на числовата система.
Разделянето във всяка позиционна система се извършва по същите правила като делението на ъглите в десетичната система, тоест се свежда до операциите на умножение и изваждане.

Представяне на числа в компютър

Числата в компютъра могат да се съхраняват във формат с фиксирана запетая - цели числа и във формат с плаваща запетая - реални числа.
Неподписаните цели числа заемат един или два байта в паметта.
Подписаните цели числа заемат един, два или четири байта в паметта на компютъра, докато най-лявата (най-високата) цифра съдържа информация за знака на числото
Използват се три форми на писане (кодиране) подписани цели числа: директен код, обратен код и допълнителен код.
Реалните числа се съхраняват и обработват на компютър във формат с плаваща запетая. Този формат се основава на експоненциална обозначение, в която всяко число може да бъде представено.