Системите с числа са в компютърните науки. Системи с номера. Основни понятия. Хомогенни позиционни системи
Калкулаторът ви позволява да превеждате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на числовата система не може да бъде по-малка от 2 и повече от 36 (10 цифри и 26 латински букви в края на краищата). Броят не трябва да надвишава 30 знака. За да въведете дробни числа, използвайте символа. или. За да прехвърлите номер от една система в друга, въведете оригиналния номер в първото поле, основата на оригиналната система с номера във второто и основата на системата с номера, в която искате да преведете номера в третото поле, след което щракнете върху бутона „Вземете запис“.
Първоначален номер записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 бройна система.
Искам да получа запис на броя 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 бройна система.
Вземете запис
Преводите завършени: 1804825
Може също да е интересно:
- Калкулатор на таблицата на истината PDNF. SKNF. Полином Жегалкин
Системи с номера
Системите с номера са разделени на два вида: позиционен и не позиционно, Ние използваме арабската система, тя е позиционна, а има и римската система - тя просто не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число определя еднозначно стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като разгледаме примера на число.
Пример 1, Вземете числото 5921 в десетични. Номерираме числото от дясно на ляво, започвайки от нула:
Числото 5921 може да бъде записано в следната форма: 5921 \u003d 5000 + 900 + 20 + 1 \u003d 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Числото 10 е характеристика, която определя числовата система. Стойностите на позицията на дадено число се приемат като градуси.
Пример 2, Помислете реалното десетично число 1234.567. Номерираме го, като започваме от нулевата позиция на числото от десетичната запетая отляво и отдясно:
Числото 1234.567 може да бъде записано по следния начин: 1234.567 \u003d 1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Превод на номера от една бройна система в друга
Най-лесният начин за преобразуване на число от една цифрова система в друга е да преведете първо числото в десетичната система от числа, а след това, получения резултат в желаната система от числа.
Преобразувайте числа от всяка система с цифри в десетична система с числа
За да преведете число от която и да е числова система в десетична, е достатъчно да се номерират цифрите му, започвайки от нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Намерете сумата от произведенията от цифрите на числото въз основа на системата от числа в степента на позицията на тази цифра:
1.
Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетичен.
решение: 10011.1101 2 \u003d 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 + 1 · 2 -1 + 1 · 2 -2 + 0 · 2 -3 + 1 · 2 - 4 \u003d 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 \u003d 19,8125 10
Отговорът е: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Конвертирайте E8F.2D 16 в десетична система от числа.
решение: E8F.2D 16 \u003d 14 · 16 2 + 8 · 16 1 + 15 · 16 0 + 2 · 16 -1 + 13 · 16 -2 \u003d 3584 + 128 + 15 + 0.125 + 0.05078125 \u003d 3727.17578125 10
Отговорът е: E8F.2D 16 \u003d 3727.17578125 10
Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга система с числа
За да преведете числата от десетичната бройна система в друга система с числа, целочислените и дробните части на числото трябва да бъдат преведени отделно.
Преобразувайте целочислената част на число от десетичната система с цифри в друга числова система
Цялочислената част се преобразува от десетичната бройна система в друга система с числа чрез последователно разделяне на целочислената част на числото на базата на числовата система, за да се получи целият остатък по-малък от основата на числовата система. Резултатът от трансфера ще бъде запис на баланси, като се започне с последното.
3.
Преобразувайте 273 10 в осмична бройна система.
решение: 273/8 \u003d 34, а останалите 1, 34/8 \u003d 4, а останалите 2, 4 са по-малки от 8, така че изчисленията са завършени. Записът на балансите ще бъде както следва: 421
инспекция: 4 · 8 2 + 2 · 8 1 + 1 · 8 0 \u003d 256 + 16 + 1 \u003d 273 \u003d 273, резултатът съвпадна. Така преводът е завършен правилно.
Отговорът е: 273 10 = 421 8
Помислете за преобразуването на редовни десетични дроби в различни системи с числа.
Преобразувайте дробната част на число от десетичната бройна система в друга числова система
Спомнете си, че се нарича редовен десетичен дроб реално число с нула цяло число, За да преведете такова число в числова система с база N, трябва да умножите последователно числото с N, докато дробната част се нулира на нула или се получи необходимия брой цифри. Ако при умножаването се получи число с цяло число, различно от нула, тогава целочислената част не се взема предвид допълнително, тъй като последователно се записва в резултата.
4.
Преобразувайте числото 0,125 10 в двоично.
решение: 0,125 · 2 \u003d 0,25 (0 е целочислената част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25 · 2 \u003d 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5 · 2 \u003d 1,0 (1 е третата цифра на резултата и тъй като дробната част е нула , след това преводът е завършен).
Отговорът е: 0.125 10 = 0.001 2
Система с номера - Това е метод за запис на число с помощта на определения набор от специални символи (цифри).
Система с номера:
- дава представяне на набора от числа (цяло число и / или реално);
- дава на всяко число уникално представяне (или поне стандартно представяне);
- показва алгебраичната и аритметичната структура на число.
Изписва се число в някаква система с числа номер код.
Извиква се една позиция в дисплея с номера категория, тогава номерът на позицията е номер на разреждане.
Броят битове в запис от числа се извиква битова дълбочина и съответства на дължината му.
Цифровите системи са разделени на позиционен и nonpositional. Системите с позиционни номера са разделени
за униформа и хибрид.
осмална бройна система, шестнадесетична бройна система и други системи с числа.
Превод на цифрови системи.Числата могат да бъдат преобразувани от една система на числа в друга.
Таблицата на съответствие на числата в различни системи с номера.
1. Поредният акаунт в различни системи с номера.
В съвременния живот използваме позиционни системи от числа, тоест системи, в които числото, обозначено с число, зависи от позицията на числото в записа на числата. Следователно в бъдеще ще говорим само за тях, пропускайки термина „позиционен“.
За да научим как да превеждаме числа от една система в друга, ще разберем как протича последователният запис на числата по примера на десетичната система.
Тъй като имаме система с десетични числа, имаме 10 знака (цифри) за конструиране на числа. Започваме порядковия брой: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числата са приключили. Увеличаваме капацитета на цифрата на числото и нулата най-малко значимата цифра: 10. След това отново увеличавайте малката цифра, докато всички цифри не свършат: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличете главната цифра с 1 и нулата на малката цифра: 20. Когато използваме всички цифри и за двете цифри (получаваме числото 99), отново увеличаваме капацитета на цифрата на числото и нула на съществуващите цифри: 100. И така нататък.
Нека се опитаме да направим същото във 2-ра, 3-та и 5-та системи (въвеждаме обозначението за 2-ра система, за 3-та и т.н.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ако числовата система има база по-голяма от 10, тогава ще трябва да въведем допълнителни знаци, обичайно е да въвеждаме буквите на латинската азбука. Например, за 12-десетична система, освен десет цифри, се нуждаем от две букви (и):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Преобразуване от десетична в друга.
За да преведете положително цяло число десетично число в числова система с различна база, трябва да разделите това число на база. Полученият коефициент отново се разделя на основи и по-нататък, докато коефициентът е по-малък от основния. В резултат на това напишете в един ред последния коефициент и всички останали, започвайки с последния.
Пример 1 Преобразувайте десетичното число 46 в двоично.
Пример 2 Ще преобразуваме десетичното число 672 в система с октално число.
Пример 3 Преобразувайте десетично число 934 в шестнадесетична система от числа.
3. Преобразуване от всяка система на числа в десетична.
За да научим как да превеждаме числата от всяка друга система в десетична, анализираме обичайното обозначение на десетичното число.
Например десетичното число 325 е 5 единици, 2 десетки и 3 стотици, т.е.
Ситуацията е същата и при другите системи с числа, само че няма да умножаваме по 10, 100 и т.н., а по степента на основа на числената система. Например вземете числото 1201 в тройната система за броене. Номерираме цифрите от дясно на ляво, започвайки от нула и представяме нашето число като сумата от произведенията на цифра по три в степента на цифра от число:
Това е десетичната нотация на нашето число, т.е.
Пример 4 Преобразувайте осмото число 511 в десетичната система.
Пример 5 Ще преведем шестнадесетичното число 1151 в десетичната система.
4. Прехвърляне от двоична система към система на базата на „мощност на двама“ (4, 8, 16 и т.н.).
За да преобразувате двоично число в число на базата на мощността на две, е необходимо двоичната последователност да се раздели на групи по броя на цифрите, равни на степента от дясно на ляво и да се замени всяка група със съответната цифра на новата система с числа.
Например, Преобразувайте двоичното число 1100001111010110 в осмалната система. За целта го разделяме на групи от 3 знака, започващи отдясно (тъй като), след което използваме таблицата за кореспонденция и заместваме всяка група с нова цифра:
Научихме се да създаваме таблица за кореспонденция в параграф 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.е.
Пример 6 Преобразувайте двоичното число 1100001111010110 в шестнадесетична система.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | А |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Прехвърлете от системата с базова „мощност на двама“ (4, 8, 16 и т.н.) към двоичен.
Този превод е подобен на предишния, извършен в обратна посока: заместваме всяка цифра с група цифри в двоичната система от таблицата за кореспонденция.
Пример 7 Превеждаме шестнадесетичното число C3A6 в двоична бройна система.
За да направите това, заменете всяка цифра от числото с група от 4 цифри (защото) от таблицата за кореспонденция, като добавите, ако е необходимо, групата с нули в началото:
Основни понятия
Система с номера - набор от правила за писане на числа чрез ограничен набор от знаци (числа).
Системите с номера са:
- непозиционни (в тези системи стойността на цифрата не зависи от нейната позиция - позицията в записа на числото);
- позиционна (стойността на фигурата зависи от позицията).
Непозиционни системи с номера
Примери: унар, римски, староруски и т.н.
Системи с позиционни номера
Основата на числовата система е броят на различните цифри, използвани в тази система. Тегло на изпускане - съотношението на количествения еквивалент на цифра в тази категория към количествения еквивалент на една и съща цифра в нулева категорияp i \u003d s i
Цифрите на числото са номерирани от дясно на ляво, като най-малко значимата цифра на целочислената част (стои пред разделителя - запетая или точка) има числото нула. Цифрите на дробната част имат отрицателни числа:
Десетична конверсия на нотации
Чрез определяне на теглото на разряда
p i \u003d s i
където i е номерът на изпускането, а s е основата на броената система.
След това, като означите цифрите на числото като i, всяко число, записано в позиционната система от числа, може да бъде представено като:
x \u003d a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...
Например за числовата система с база 4:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
След извършване на изчисленията получаваме стойността на оригиналното число, записано в десетичната система от числа (по-точно в тази, в която извършваме изчисленията). В този случай:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
По този начин, за да преобразувате число от която и да е числова система в десетична, трябва да:
- номерират цифрите на оригиналния номер;
- запишете сумата, чиито термини се получават като произведение на следващата цифра въз основа на числовата система, увеличена до мощността, равна на числото на категорията;
- извършват изчисления и записват резултата (посочвайки основата на новата система с числа - 10).
примери:
Десетична конверсия
Спомнете си пример за преобразуване от числова система с база от 4 в десетична:
1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
В противен случай може да се пише така:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4
Това показва, че при разделянето на 114 на 4, в останалата част трябва да останат 2 - това е най-малко значимата цифра, когато пишете в кватернерната система. Частните ще бъдат равни
(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0
Разделянето на 4 ще даде остатъка - следващата цифра (0) и коефициентът 1 ⋅ 4 + 3. Продължавайки действието, ще получим останалите цифри по същия начин.
В общия случай, за да прехвърлите целочислената част на число от десетична система с числа към друга с друга причина, е необходимо:
- Извършете последователно деление с останалата част първоначалното число и всеки получен коефициент въз основа на нова система с числа.
- Запишете изчислени остатъци, като започнете от последната (т.е. в обратен ред)
примери:
Системи с множество базови номера
При работа с компютри широко използваната система с двоични числа (тъй като се основава на представянето на информация в компютър), както и осмични и шестнадесетични, записването на които е по-компактно и удобно за хората. От друга страна, поради факта, че 8 и 16 са степени 2, преходът между писане в двоична и една от тези системи се извършва без изчисления.
Достатъчно е да замените всяка цифра от шестнадесетичната нотация с четири (16 \u003d 24) двоични цифри (и обратно) според таблицата.
| шестнадесетичен -\u003e двоичен | |||
| А | 3 | 2 | E |
| 1010 | 0011 | 0010 | 1110 |
| двоичен -\u003e шестнадесетичен | |||
| (00)10 | 1010 | 0111 | 1101 |
| 2 | А | 7 | D |
По същия начин се случва преводът между двоичната и осмовата система, само цифрата на октала съответства на три двоични цифри (8 \u003d 2 3)
| осмична -\u003e двоична | ||||
| 5 | 3 | 2 | 1 | |
| 101 | 011 | 010 | 001 | |
| двоичен -\u003e октален | ||||
| (0)10 | 101 | 001 | 111 | 101 |
| 2 | 5 | 1 | 7 | 5 |
аритметика
Аритметичните операции в позиционна система с всяка база се извършват по същите правила: събиране, изваждане и умножение "в колона" и деление - "ъгъл". Нека разгледаме пример за извършване на действия за събиране и изваждане в двоични, осмични и шестнадесетични системи от числа.
допълнение
Двойна система:
| (Прехвърляне) | ||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (битови числа) |
В нулевата цифра: 1 + 0 \u003d 0
В първата категория: 1 + 1 \u003d 2. 2 се прехвърля към старшата (2-ра) категория, като се обръща към единицата за трансфер. В първата категория остава 2 - 2 \u003d 0.
Във втората категория: 0 + 1 + 1 (трансфер) \u003d 2; Прехвърляме се на по-високо ниво,
Продължавайки изчисленията, получаваме:
10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2
Октална система:
| | (Прехвърляне) | ||||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| | 4 | 4 | 3 | 5 | |
| |
|||||
| 4 | 0 | 7 | 1 | 6 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (битови числа) |
Извършваме изчисленията подобно на бинарната система, но прехвърляме 8. Получаваме 8. Получаваме:
34261 8 + 4435 8 = 40716 8
Шестнадесетична система:
| | | (Прехвърляне) | |||
| | А | 3 | 9 | 1 | |
| | 8 | 5 | 3 | 4 | |
| |
|||||
| 1 | 2 | 8 | C | 5 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (битови числа) |
A391 16 + 8534 16 \u003d 128C5 16
изваждане
Двойна система:
| | | (Прехвърляне) | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (битови числа) |
Системата с двоични числа използва само две цифри 0 и 1. С други думи, двете са основата на двоичната бройна система. (По същия начин десетичната система има база от 10.)
За да научите как да разбирате числата в двоична бройна система, първо ще разгледаме как се формират числата в обичайната ни десетична система от числа.
В десетичната система имаме десет цифри-цифри (от 0 до 9). Когато броят достигне 9, се въвежда нова цифра (десетки) и единиците се нулират на нула и броенето започва отново. След 19 цифрата от десетки се увеличава с 1, а единиците отново се нулират. И така нататък. Когато десетки достигнат 9, тогава се появява третата категория - стотици.
Системата с двоични числа е подобна на десетичната, само че само двуцифрени знаци участват във формирането на числото: 0 и 1. Веднага след като цифрата достигне своята граница (т.е. единство), се появява нова цифра и старата се нулира.
Нека се опитаме да четем в двоичната система:
0 е нула
1 е едно (и това е границата на разреждане)
10 са две
11 е три (и отново това е границата)
100 е четири
101 - пет
110 - шест
111 - седем и т.н.
Преобразуване на числа от двоични в десетични
Не е трудно да се забележи, че в двоичната система дължината на числата бързо нараства с нарастваща стойност. Как да определите какво означава това: 10001001? Неуверен в тази форма на нотиране на числа, човешкият мозък обикновено не може да разбере колко е. Би било хубаво да можем да превеждаме двоични числа в десетични.
В десетичната система всяко число може да бъде представено под формата на сумата от единици, десетки, стотици и т.н. Например:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0
Погледнете внимателно този запис. Тук числата 1, 4, 7 и 6 са набор от числа, съставляващи числото 1476. Всички тези числа последователно се умножават по десет, повдигнати до една или друга степен. Десет е основата на десетичната бройна система. Степента, до която е повдигната дузина, е изпускането на цифра минус една.
По същия начин можете да разложите всяко двоично число. Само базата тук ще бъде 2:
10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Т.е. числото 10001001 в база 2 е равно на числото 137 в база 10. Може да се запише, както следва:
10001001 2 = 137 10
Защо бинарната нотация е толкова често срещана?
Факт е, че системата с двоични числа е език на компютърните технологии. Всяка фигура трябва по някакъв начин да бъде представена на физически носител. Ако това е десетична система, тогава ще трябва да създадете устройство, което може да бъде в десет състояния. Това е сложно. По-лесно е да се направи физически елемент, който може да бъде само в две състояния (например има ли ток или не). Това е една от основните причини, поради която на бинарната система се обръща толкова много внимание.
Десетична за двоична конверсия
Може да се наложи да преобразувате десетичната в двоична. Един от начините е разделянето на две и формирането на двоично число от останалите. Например, трябва да получите от двоично число 77 неговия двоичен запис:
77/2 \u003d 38 (1 остатък)
38/2 \u003d 19 (0 остатъка)
19/2 \u003d 9 (1 остатък)
9/2 \u003d 4 (1 остатък)
4/2 \u003d 2 (остатък от 0)
2/2 \u003d 1 (0 остатъка)
1/2 \u003d 0 (1 остатък)
Ние събираме остатъците заедно, започвайки от края: 1001101. Това е числото 77 в двоично представяне. Проверка:
1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77