Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Приложение интеграла к решению прикладных задач

Введите функцию, для которой надо найти интеграл

Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

Cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосинус

X*arccos(x)

Применение логарифма

X*log(x, 10)

Натуральный логарифм

Экспонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция - экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число - "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание
Другие функции: floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S (G) = ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неположительной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f (x) или x = g (y) .

Теорема

Пусть функции y = f 1 (x) и y = f 2 (x) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 (x) ≤ f 2 (x) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 (x) и y = f 2 (x) будет иметь вид S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 (y) и x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Следовательно,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f (x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f (x) и x = g (y) .

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = - x 2 + 6 x - 5 и прямыми линиями y = - 1 3 x - 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = - x 2 + 6 x - 5 расположен выше прямой y = - 1 3 x - 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S (G) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке (2 ; 2) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и - x 2 + 4 x - 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = - x 2 + 4 x - 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Разделив выражение - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двучлен x - 1 , получаем: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ответ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = - log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = - log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке (0 ; 0) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения - log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = - log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке (2 ; 0) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = - log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = - log 2 x + 1 пересекаются в точке (1 ; 1) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = - log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = - log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и - log 2 x + 1 относительно x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получим искомую площадь:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Ответ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = - 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x - 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П р о в е р к а: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = - 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П р о в е р к а: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ (9 ; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S (G) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями

Оборудование : маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор

Тип урока : урок-лекция

Цели урока :

воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
образовательные : сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Ход урока

В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.

Криволинейная трапеция (слайд 1 )

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м. ), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс

Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)

Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая

Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)

Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f

И на отрезке [a; b ] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:

Задание 1:

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х 2 и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

Решение: (по алгоритму слайд 3 )

Начертим график функции и прямые

Найдём одну из первообразных функции f(x) = х 2 :

Самопроверка по слайду

Интеграл

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b ]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5) . Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b ], тем точнее вычислим площадь.

Запишем эти рассуждения в виде формул.

Разделим отрезок [a; b ] на n частей точками х 0 =а, х1,… ,хn = b. Длину k- го обозначим через хk = xk – xk-1 . Составим сумму

Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м .)

Суммы вида называются интегральными суммами для функции f . (щ.м.)

Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b ] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,

Определение:

Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм

= (щ.м.)

Формула Ньютона- Лейбница.

Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:

Sк.т. =(щ.м.)

С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S к. т.(щ.м.)

Сравнивая эти формулы, получим:

= (щ.м.)

Это равенство называется формулой Ньютона- Лейбница.

Для удобства вычислений формулу записывают в виде:

= = (щ.м.)

Задания: (щ.м.)

1. Вычислить интеграл по формуле Ньютона- Лейбница: (проверяем по слайду 5 )

2. Составить интегралы по чертежу (проверяем по слайду 6 )

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 3 , у = 0, х = 1, х = 2. (Слайд 7 )

Нахождение площадей плоских фигур (слайд 8 )

Как найти площадь фигур, которые не являются криволинейными трапециями?

Пусть даны две функции, графики которых вы видите на слайде. (щ.м.) Необходимо найти площадь закрашенной фигуры. (щ.м.) . Фигура, о которой идёт речь, является криволинейной трапецией? А как можно найти её площадь, пользуясь свойством аддитивности площади? Рассмотреть две криволинейные трапеции и из площади одной из них вычесть площадь другой (щ.м.)

Составим алгоритм нахождения площади по анимации на слайде:

Построить графики функций
Спроецировать точки пересечения графиков на ось абсцисс
Заштриховать фигуру, полученную при пересечении графиков
Найти криволинейные трапеции, пересечение или объединение которых есть данная фигура.
Вычислить площадь каждой из них
Найти разность или сумму площадей

Устное задание: Как получить площадь заштрихованной фигуры (рассказать при помощи анимации, слайд 8 и 9)

Домашнее задание: Проработать конспект, №353 (а), № 364 (а).

Список литературы

Алгебра и начала анализа: учебник для 9-11 классов вечерней (сменной) школы/ под ред. Г.Д. Глейзера. - М: Просвещение, 1983.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования/ М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
Островский С.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ C.Л. Островский. – М.: Первое сентября, 2010.

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вверх на одну единицу (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O y вниз на одну единицу (рисунок 2).

Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x 1 = 2, x 2 = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M 1 N M 2), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О y формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О х.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

Рисунок 4. График функции y =

Искомый объём равен

Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O y .

Решение. Имеем:

Вопросы для повторения

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур , которые называются криволинейными трапециями .

Примеры таких фигур - на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу - ось абсцисс (Ox ), а слева и справа - некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

Определённый интеграл от функции, задающей кривую , которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу . Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус .
Пределы интегрирования a и b , которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a , x = b , где a и b - числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах .

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f (x ) .

Значения "икса" должны принадлежать отрезку [a , b ] . То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки . Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Если же f (x ) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f (x ) и y = φ (x ) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

. (3)

Решаем задачи вместе

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс (Ox ).

Решение. Результат применения формулы (1):

Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т.д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox ) и прямой x = 4 .

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A , а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A ) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D ). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс (Ox ).

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,