Транскрипт

1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Уральский государственный технический университет УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ Печатается по решению редакционно-издательского совета УГТУ УПИ от г. Екатеринбург УГТУ УПИ 009

3 УДК (075.8) Составители: Г.С. Новикова Научный редактор доцент, канд. физ.-мат. наук Дружинина Т.В. Динамика материальной точки. Криволинейное движение: сборник заданий для самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика»/ сост. Г.С. Новикова. Екатеринбург: УГТУ УПИ, с. Сборник предназначен для выдачи домашних заданий, расчетнографических и контрольных работ для студентов всех специальностей и всех форм обучения. Рис. 30 Подготовлено кафедрой теоретической механики Уральский государственный технический университет УПИ, 009

4 ВВЕДЕНИЕ Сборник содержит 30 задач по теме «Динамика материальной точки. Криволинейное движение». Предполагается, что он будет использоваться студентами при выполнении индивидуальных расчетных заданий, предусмотренных типовой программой курса «Теоретическая механика». В задачах заданные силы предполагаются линейными функциями координат точки, её абсолютной или относительной скорости. Поэтому дифференциальные уравнения будут линейными и имеют аналитическое решение. При решении возможно использование вычислительной техники как для численного интегрирования уравнений движения, так и для построения графиков движения и траектории при аналитическом решении систем уравнений. Указания к выполнению заданий При работе над задачей необходимо построить расчетную механическую модель, заменив заданное тело материальной точкой, показать на рисунке для произвольного положения M (x, y) действующие силы и записать в векторной форме уравнение движения. Действующие упругие силы и силы сопротивления выразить через радиус-вектор r (x, y) и абсолютную скорость точки ν r (x, y). Затем составить дифференциальные уравнения движения в проекциях на выбранные оси координат. Проинтегрировав уравнения аналитически или численно, получаем решения x (t), y(t). В большинстве задач решение имеет характер затухающих колебаний. Найти период Т и декремент D этих колебаний. Построение графиков движения x (t), y(t) провести по точкам на участке одного периода (если периоды для решений различные, то взять наибольший) с шагом, например, T / 4. Для численного интегрирования принять шаг h = T / 40. Для продолжения построения на весь период переходного режима на установившееся движение можно использовать Т и D. Время переходного режима можно оценить примерно по формуле 3 τ = 3 / n, где n = μ / m. При «ус-

5 ложнении» задач рекомендуется силы сопротивления считать пропорциональными квадрату скорости 0 R = μν ν, где ν = ν / ν 0 единичный вектор, ν и \ν вектор и модуль скорости. В вариантах 4, 5, 10, 14, 3, 5, 7 силу сопротивления принять в виде 1 x μ y R = μ V i V j. Пример решения задачи Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна m, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию до этого центра. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна μ m ; в момент t = 0: M O = x = a x& = 0; y = 0; y& 0, 0 0 ; = причем ось y направлена по вертикали вниз (см. рисунок). Согласно второму закону Ньютона m a = P + F, где F = μ m OM. В проекциях на оси координат получим m & x = μ m OM sin α ; где x = OM sin α, y = OM cosα. m & y = mg μ m OM cosα, Тогда m& x = μ mx, m& y = mg μ my. Окончательно дифференциальные уравнения движения будут иметь вид 4

6 && x = μ x, && y = g μ y. Решение первого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка & x& + μ x = 0 ищем в зависимости от вида корней характеристического уравнения, для чего в уравнении подставляем x = e и получаем характеристическое уравнение λt λ + μ = 0, откуда λ = ± i.. 1, μ Так как корни характеристического уравнения мнимые и различные, решением уравнения будет x = c1 coskt + c sin kt. Для определения постоянных интегрирования c 1 и c определим скорость x & = c1k sin kt + ck coskt. Решение второго неоднородного дифференциального уравнения с постоянной правой частью & y μ y = g = будет складываться из общего решения однородного уравнения & y& + μ y 0 и g частного решения неоднородного & y + μ y =, то есть y = A & y 0, тогда μ A = g, A = g. μ Полное решение y = y 1 + y: y = c 1 coskt + c g sin kt + μ., = Скорость y & = c1k sin kt + ck coskt. Согласно начальным условиям: y =, y& 0 из этих уравнений получим c g = 1 = ; c = μ 0. 5

7 Тогда закон движения точки в проекции на ось у будет g y = (1 coskt). μ Окончательно закон движения материальной точки в проекциях на оси координат будет x = acoskt, g y = (1 coskt). μ Исключив из этих уравнений время t, получим траекторию точки: отрезок прямой g x g y = 1 ; a x a; 0 y. μ a μ 6

8 Задача 1. Вагонетка подвесной дороги массы m поднимается заданной силой Q. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной поперечной деформации скорости AM. Сопротивление среды пропорционально. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: µ = 1,4 10³ Н c/м; α = 30 ; Q = 7 10³ Н; = 1,8 м/c; m = 1,3 10³ кг; c = 1 10³ Н/м. Задача. Аэростат, имеющий массу m, буксируется с постоянной скоростью V A. Разность архимедовой силы и веса его направлена вертикально вверх и равна 0,1mg. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной расстоянию AM, AM. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость аэростата вертикальна, точка А находилась в начале координат. Принять AM = 0. Найти уравнения движения аэростата. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,8 10³ кг; = 0,9 м/c. O V A = 5 м/с; с = 1,1 10³ Н/м; µ = 0,8 10³ Н c/м; 7

9 Задача 3. Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо О; к свободному концу её прикреплен шарик М, масса которого m. Длина невытянутой нити l = АО. Коэффициент жесткости нити с. Вытянув нить по вертикали вдвое, сообщили шарику начальную горизонтальную скорость. При движении на шарик действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения шарика. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0, кг; с = 0 Н/м; µ = 0,8 Н c/м; = 0 м/c; l = 1м. Задача 4. Платформа массы m на воздушной подушке разгоняется постоянной силой Q. Упругие силы реализуется силами системы воздушной подушки. Считать эквивалентную упругую силу, пропорциональной вертикальному отклонении AM. Прямая OA соответствует уровню, где F = 0. Силы вязкого сопротивления в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, коэффициенты пропорциональности равны µ 1 и µ. Начальная скорость платформы указана на рисунке. Найти уравнения движения платформы. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; Q = 4, Н; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; = 0,7 м/c. 8

10 Задача 5. Груз М массы m буксируется с заданной постоянной скоростью V A. Трос упругий, силу упругости его считать пропорциональной продольной деформации F1 = c1 AM. Амортизаторы создают упругую силу, пропорциональную вертикальному отклонению от недеформированного состояния BM. Силы сопротивления среды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ, начальная скорость вертикальна. Найти уравнения движения. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4, м/c; с 1 = 3, Н/м; с = 1, 10 5 Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = Н c/м; V м (О) = 1,6 м/c; B 0 M 0 = 1,5 м; OB 0 = 0; OA 0 = 0,4 м. Задача 6. К концу горизонтально натянутой упругой нити AM, закрепленной в точке A и проходящей через неподвижное гладкое кольцо O, привязан груз М массы m. В начальный момент нить растянута на величину OM 0 и груз отпущен без начальной скорости. Сила упругости пропорциональна удлинению. Коэффициент пропорциональности равен с. Длина недеформированной нити l = AO. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 0,6 кг; с = 15 Н/м; µ =,4 Н c/м; l = 1 м; OM 0 = 0,8 м. 9

11 Задача 7. Груз массы m подвешен на упругом тросе, сила упругости которого пропорциональна продольной деформации = c OM. На него действует постоянная сила Q, направленная под углом α к горизонту. Сила вязкого сопротивления движению пропорциональна скорости F. Найти уравнения движения груза, если в начальный момент его скорость горизонтальна, трос был вертикальным, OM 0 начальная деформация троса. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1,5 10 кг; с = 1, Н/м; µ =,6 10 Н c/м; α = 30 ; Q =,8 10 Н; =, м/c; OM 0 = 0,8 м. Задача 8. Понтон массы m, находящийся в потоке жидкости, удерживается упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 AM. Скорость потока U указана на рисунке. Архимедова сила пропорциональна величине погружения BM, Сила вязкого сопротивления пропорциональна относительной скорости отн. Найти уравнения движения понтона, если начальная скорость его вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с 1 = Н/м; с = 4, Н/м; µ = 4, Н c/м; U =,6 м/c; = 0,3 м/c; AM 0 = 1 м; BM 0 = 0. 10

12 Задача 9. Вагонетка подвесной дороги массы m свободно опускается по тросу. Трос упругий, силу упругости считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сопротивление среды пропорционально скорости. Прямая OO 1 определяет точки, где поперечная деформация троса равна нулю. Движение вагонетки началось из точки O, начальная скорость указана на рисунке. Найти уравнения движения вагонетки. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5 10 кг; с = 6, Н/м; µ = 4,3 10 Н c/м; α = 10 ; = 1,8 м/c. Задача 10. Дирижабль массы m находится в воздушном потоке, скорость которого U. Трос, который удерживает дирижабль у причальной мачты, упругий, сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. Разность архимедо-вой силы и веса направлена вертикально вверх, и равна 0,mg. Силы вязкого сопротивления в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости. Коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент скорость дирижабля. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; с = 1, Н/м; µ 1 = 5, Н c/м; µ = 1, Н c/м; U = 5 м/c; = 1,7 м/c; OM 0= 0,5 м; OM 0 U. 11

13 Задача 11. Катер массы m разгоняется горизонтальной постоянной силой. При этом, имея начальную скорость погружения в воду, он совершает колебания под действием архимедовой силы, пропорциональной глубине погружаемой части катера AM. На катер действует сила сопротивления воды, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, кг; с = 4, Н/м; µ = 1, Н c/м; Q = 3, Н; = 1,3 м/c; точка A проекция центра масс катера на поверхность воды. Задача 1. Подводный аппарат массы m буксируется с заданной скоростью V. Буксировочный трос упругий, сила упругости A AM продольная деформация. Разность архимедовой силы и веса аппарата равна 0,3mg и направлена вертикально вниз. Сила сопротивления среды. Найти уравнения движения аппарата, если его F = c AM, где начальная скорость вертикальна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 5, кг; V A = м/c; с = Н/м; µ = 5, Н c/м; = 0,6 м/c; при t = 0 аппарат находится под буксиром на глубине 0,5 м. 1

14 Задача 13. Висящий на тросе груз массы m с боковыми амортизаторами совершает свободные колебания под действием силы упругости троса F1 = c1 OM (OM продольная деформация) и сил упругости амортизаторов, равнодействующую которых можно считать горизонтальной и пропорциональной горизонтальному отклонению от недеформированного состояния пружин: F x = c x. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости. Найти уравнения движения груза, если начальная скорость его горизонтальна, трос OM 0 вертикален. Построить графики движения и траекторию. Дано: m =, кг; с 1 = Н/м; с = Н/м; BM 0 = 0,0 м; µ = 8, Н c/м; = 0,9 м/c; OM 0 = 0, м. Задача 14. Буер массы m разгоняется ветром, скорость которого U постоянна. Ледовую поверхность, по которой скользит буер, считать упругой. Сила упругости пропорциональна поперечной деформаций AM. Силы вязкого трения в вертикальном и горизонтальном направлениях пропорциональны составляющим относительной скорости буера по этим направлениям, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. Прямая OO 1 указывает положения буера, где F = 0. Начальная скорость буера направлена вертикально вниз. Найти уравнения движения буера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 3,5 10 кг; с = 7, Н/м; µ 1 = Н c/м; µ =,1 10 Н c/м; = 1,4 м/c; U = 5 м/c. 13

15 Задача 15. Висящий на упругом тросе груз массы m находится в потоке жидкости, движущейся с постоянной скоростью U. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации OM. Разность веса груза и архимедовой силы направлена вертикально вниз и равна Q = 0, 8mg. Сила вязкого трения пропорциональна относительной скорости груза R μv = отн. В начальный момент груз был в равновесном положении и получил начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = 8 м/c; с = 1, Н/м; µ = 1, Н c/м; α = 30 ; = 1, м/c. Задача 16. Баржа массы m буксируется с заданной горизонтальной скоростью V A в потоке жидкости, имеющем скорость U. Выталкивающая сила со стороны воды пропорциональна глубине погружения, коэффициент пропорциональности c 1. Сила упругости троса пропорциональна его продольной деформации AM. Сила сопротив-ления воды пропорциональна относительной скорости отн. Начальная скорость указана на рисунке. За начало координат принять начальное положение точки А, считать AM 0 = 0. Найти уравнения движения баржи. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4 м/c; U = 3 м/c; с 1 =, Н/м; с = 6, 10 5 Н/м; µ = Н c/м; α = 30 ; = 0,7 м/c. А 14

16 Задача 17. Тело массы m, брошенное с начальной скоростью под углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости. Найти уравнения движения тела, наибольшую высоту подъема, расстояние по горизонтали, когда эта высота будет достигнута, дальность полета. Построить графики движения и траекторию тела. Дано: m = 5 кг; = 0 м/c; α = 60 ; µ = 0,3 Н c/м. Задача 18. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, поднимается краном с постоянной скоростью V A. Сила упругости троса пропорциональна продоль-ной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости груза. Начальная скорость горизонтальна, трос был вертикален, A0M 0 начальная деформация. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = м/c; с = 6, 10 4 Н/м; µ = 4, Н c/м; = 1,3 м/c; A 0M = 0,5 м. 0 15

17 Задача 19. Альпинист массы m спускается по упругому канату, который в ненагруженном состоянии совпадает с прямой OO 1, составляющей угол α с горизонтом. Силу упругости каната считать пропорциональной поперечной деформации AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. Начальная скорость показана на рисунке. Найти уравнения движения альпиниста. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 80 кг; α = 15 ; с = 6,5 10 = 1,5 м/c. Н/м; AM 0 = 0; µ = 75 Н c/м; Задача 0. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается краном с постоянной горизонтальной скоростью пропорциональна продольной его деформации V. Сила упругости троса A AM. Движение происходит в среде, движущейся с постоянной скоростью U. Сила сопротивления среды пропорциональна относительной скорости груза = отн. В начальный момент времени скорость груза R μv была горизонтальна, трос вертикален, A 0M 0 =1 м. Начальное положение точки А принять за начало координат. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A =,5 м/c; с = 5, Н/м; U = 3,3 м/c; µ = 6, Н c/м; = 1,4 м/c. 16

18 Задача 1. Буй массы m удерживается в жидкости упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации OM. На буй действует постоянная по модулю сила Q, направленная под углом α к горизонту. Разность архимедовой силы и веса буя равна 0,5mg и направлена вертикально вверх (положительная плавучесть). При движении буя на него действует сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости. Найти уравнения движения буя, если в начальный момент его скорость вертикальна и направлена вверх, трос был вертикальным и OM 0 = 0, 1 м. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 1, 10 кг; c = 6, 10 3 Н/м; = 0,7 м/c; Q = 4, 10 ; α = 40 ; µ = 3,8 10 Н c/м. Задача. В лодку массы m 1, привязанную к берегу упругим тросом, запрыгивает человек массы m, при этом лодка получает начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Начальная деформация троса равна нулю. Коэффициент жесткости троса с 1. Архимедова сила, действующая на лодку при ее колебаниях, пропорциональна глубине погружения. Коэффициент пропорциональности с. Сила вязкого сопротивления зависит от скорости по линейному закону. Найти уравнения движения лодки с человеком. Построить графики движения и траекторию. Дано: m 1 = 60 кг; m = 80 кг; = 5 м/c; α = 15 ; с 1 = 500 Н/м; с = Н/м; µ = 1,8 10 Н c/м. 17

19 Задача 3. Судно массы m свободно дрейфует в потоке, скорость которого постоянна и равна U. Действующую на судно архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения с коэффициентом пропорциональности c. Силы вязкого сопротивления движению в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим относительной скорости, коэффициенты пропорциональности равны μ 1 и μ. В начальный момент судно имело скорость. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U =,5 м/c; c = 6, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, 10 5 Н c/м; =,3 м/c. Задача 4. Груз массы m скользит по упругой ленте транспортера. ненагруженном состоянии лента занимает положение OO 1, составляющее угол α с горизонтом. В некоторый момент времени груз падает на ленту (в точке О) со скоростью, перпендикулярной ленте. Силу трения груза о ленту считать В пропорциональной его скорости. Сила поперечной упругости ленты пропорциональна её прогибу AM. На груз действует также постоянная сила Q, параллельная OO 1 и тормозящая движение. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 60 кг; α = 15 ; = 1,5 м/c; µ = 80 Н c/м; c = 7, 10 Н/м; Q = 45 Н. 18

20 Задача 5. Дирижабль массы m буксируется с заданной скоростью Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации V A. AM, Разность архимедовой силы и веса дирижабля равна 0,15 mg и направлена вертикально вверх. Силы сопротивления воздуха в горизонтальном и вертикальном направлениях считать пропорциональными соответствующим составляющим скорости дирижабля. Коэффициенты пропорциональности равны μ и 1 μ. В начале буксировки дирижабль получил начальную скорость и AM 0. Начальное положение точки A 0 = принять за начало координат. Найти уравнения движения дирижабля. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 3 м/c; c = Н/м; µ 1 = 1, Н c/м; µ = 8, 10 4 Н c/м; = 0,9 м/c. Задача 6. На дне резервуара находится груз массы m, привязанный эластичным шнуром, коэффициент жесткости которого c. В некоторый момент времени груз подцепили и стали вытаскивать с постоянной силой Q под углом α к горизонту. Отрицательная плавучесть (разница между весом и архимедовой силой) направлена вниз и равна N = 0, 5G, где G вес груза. Вязкое трение воды пропорционально скорости груза и определяется по формуле В момент зацепления груз касался блока О, шнур был не деформирован, а груз получил начальную горизонтальную скорость. Найти уравнения движения груза.. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; c = 00 Н/м; µ = 100 Н c/м; Q = 100 Н; α = 30 ; = 8 м/c. 19

21 Задача 7. Судно массы m буксируется с постоянной горизонтальной скоростью V A. Буксировочный трос упругий, силу упругости считать пропорциональной продольной деформации F = c1 AM. В начальный момент судно касалось буксира, трос не имел деформации, и начальная скорость была направлена вертикально вниз. Архимедову силу считать пропорциональной глубине погружения судна, коэффициент пропорциональности равен с. Силы сопротивления воды в горизонтальном и вертикальном направлениях пропорциональны соответствующим составляющим скорости, μ 1 и μ коэффициенты пропорциональности. Найти уравнения движения судна. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; V A = 4,5 м/c; c 1 = 0, Н/м; c = 1, Н/м; µ 1 = 0, Н c/м; µ = 1, Н c/м; =,3 м/c. Задача 8. Катер массы m движется против течения при отключенных двигателях, имея начальную скорость, направленную под углом α к горизонту. Скорость течения U постоянна. Архимедова сила пропорциональна высоте погружения, коэффициент пропорциональности равен c. Со стороны воды катер испытывает сопротивление, пропорциональное относительной скорости отн. Найти уравнения движения катера. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 50 кг; α = 10 ; = 3 м/c; µ = 1,7 10 Н c/м; c =, Н/м; U = 5 м/c. 0

22 Задача 9. Груз массы m, подвешенный на упругом тросе, перемещается подъемным краном с постоянной скоростью V A направленной под углом α к горизонту. Сила упругости троса пропорциональна продольной деформации F = c AM. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости. В начальный момент времени скорость груза горизонтальна, трос был вертикален, A 0M 0 начальная деформация троса. Начало координат взять в начальном положении точки A. Найти уравнения движения груза. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = 500 кг; V A = 3 м/c; α = 30 ; с = 8, Н/м; = 1,8 м/c; µ = 9 10 Н c/м; A 0 M 0 = 0, м. Задача 30. Понтон массы m удерживается в потоке, скорость которого U, упругим тросом. Сила упругости пропорциональна продольной деформации F1 = c1 OM. Архимедова сила пропорциональна глубине погружения понтона, коэффициент пропорциональности с. Cо стороны жидкости на понтон действует сила вязкого сопротивления, пропорциональная относительной скорости отн. В начальный момент времени понтон касался блока (OM 0 = 0) и имел скорость, направленную по вертикали. Найти уравнения движения понтона. Построить графики движения и траекторию. Дано: m = кг; U = м/c; c 1 = 8, µ = 3, Н c/м; =,1 м/c. Н/м; c = 9, 10 4 Н/м; 1

23 Динамика материальной точки. Криволинейное движение Редактор О.С. Смирнова Компьютерная верстка И.И. Иванов Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ Редакционно-издательский отдел УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19 Ризография НИЧ УГТУ УПИ 6006, Екатеринбург, ул. Мира, 19

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Мехатроника» Г. В. Васильева В. С. Тарасян ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ СВОБОДНЫЕ

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) Г.Б. Потапова, К.В. Худяков СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Условия и решения задач II олимпиады Мордовского государственного университета по теоретической механике (2013 2014 учебный год) 1. Груз втягивают вверх по шероховатой поверхности, наклоненной под углом

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Алтайский государственный технический университет

ЗАДАНИЕ Д-I Тема: Вторая основная задача динамики точки и метод кинетостатики (принцип Германа-Эйлера- Даламбера). ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. К задаче 1-ой: а) расставить силы, действующие на материальную точку

Тесты по теоретической механике 1: Какое или какие из нижеприведенных утверждений не справедливы? I. Система отсчета включает в себя тело отсчета и связанную с ним систему координат и выбранный способ

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Работа Мощность Кинетическая энергия Рассмотрим частицу которая под действием постоянной силы F r совершает перемещение l r Работой силы F r на перемещении l

Объяснение явлений 1. На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным

Объяснение явлений 1. На рисунке представлен схематичный вид графика изменения кинетической энергии тела с течением времени. Выберите два верных утверждения, описывающих движение в соответствии с данным

3 Законы сохранения в механике Основные законы и формулы Второй закон Ньютона ma = F может быть представлен в виде: m υ = F t, те изменение импульса тела (p = m υ = mυ mυ) равняется импульсу n равнодействующей

Физика. 9 класс. Тренинг «Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике» 1 Инерция. Законы Ньютона. Силы в механике Вариант 1 1 Металлический брусок подвешен к пружине и целиком погружён в сосуд с водой, находясь

Задания А5 по физике 1. Тело втаскивают вверх по шероховатой наклонной плоскости. Какая из изображенных на рисунке сил совершает положительную работу? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 2. На рисунке показан график зависимости

Лекция 1. Сергей Евгеньевич Муравьев кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической ядерной физики НИЯУ МИФИ Мы начинаем! 1. Победители и призеры олимпиад должны набрать 75 баллов ЕГЭ!.

Методические материалы по теме «Механические явления»- 9 класс Часть 1 1. Автомобиль начинает движение по прямой из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с 2. За какое время он приобретёт скорость 20 м/с?

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» К О

«ОСНОВЫ ДИНАМИКИ» Законы Ньютона: Первый: Существуют системы отсчета называемые инерциальными, относительно которых поступательно движущееся тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного

Занятие 11 Итоговый 2. Механика. Задача 1 На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Определите интервал времени после начала движения, когда велосипедист двигался со

Дифференциальное уравнение движения точки Задача D2.1. 1 Тормозной путь автомобиля на горизонтальной дороге при скорости v 0 составляет S. Чему равен тормозной путь этого автомобиля при той же скорости

00-0 уч. год., кл. Физика. Основные законы механики.. Динамика В динамике механическое движение изучается в связи с причинами, вызывающими тот или иной его характер. В инерциальных системах отсчёта этими

Примеры заданий из базы заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом», 11 класс База заданий дистанционного отборочного тура олимпиады «Росатом» (который проводится только для школьников

Установление соответствия, часть 2 1. русок, находящийся на шероховатой горизонтальной поверхности, начинает двигаться равноускоренно под действием силы В системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью,

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 1 7 класс 1. (30 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А. Скорость одного

Уральский федеральный университет имени первого Президента России БН Ельцина Специализированный учебно-научный центр ЛЕТНЯЯ ШКОЛА 07 года ФИЗИКА РАЗБОР ЗАДАНИЙ Локомотив (3 балла) Определите, пользуясь

Дистанционная подготовка bituru ФИЗИКА Статья 8 Механические колебательные системы Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим методы решения задач на колебательное движение тел Колебательным движением

Динамика 1. Брусок массой движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом к горизонту. Модуль этой силы Коэффициент трения между бруском и плоскостью

ТЕМА Лекция 3 Работа, мощность, энергия. Закон сохранения и изменения механической энергии. Матрончик Алексей Юрьевич кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей физики НИЯУ МИФИ, эксперт

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке,

Занятие 3. Основные принципы динамики. Силы: тяжести, реакции, упругости Вариант 3... На тело массой 0 кг действуют несколько сил, равнодействующая которых постоянна и равна 5 Н. Относительно инерциальной

С1.1. Два одинаковых бруска, связанные легкой пружиной, покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. В момент t = 0 правый брусок начинают двигать так, что за время х он набирает конечную скорость

Дистанционная подготовка Abituru ФИЗИКА Статья Законы Ньютона Теоретический материал В этой статье мы рассмотрим задачи на применение законов Ньютона Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает о том,

Зачет 1 по теме: «Кинематика. Динамика. Законы сохранения» 10 класс Вопросы к зачету 1 1. Что называется механическим движением? 2. Что называется телом отсчета? 3..Какими способами можно задать положение

Банк заданий по физике 1 класс МЕХАНИКА Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение 1 На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при его прямолинейном движении по оси x.

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Физика МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ВВЕДЕНИЕ Условие каждого задания расчетно-графической работы сопровождается десятью рисунками и двумя таблицами числовых значений заданных величин. Выбор вариантов совершается согласно с шифром студента.

Зачет 1 по темам «Кинематика. Динамика». Вопросы к зачету: 1. Что изучает кинематика? 2. Основные понятия кинематики: механическое движение, материальная точка, система отсчета, траектория, пройденный

Обучающие задания на тему «ДИНАМИКА» 1(А) Автобус движется прямолинейно с постоянной скоростью. Выберете правильное утверждение. 1) На автобус действует только сила тяжести.) Равнодействующая всех приложенных

Задачник школьника izprtalru 6 Динамика прямолинейного движения Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона) для тела постоянной массы в инерциальных системах отсчета имеет вид

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Методические указания по

Примеры решения задач Пример 1 Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок (рис1а) перекинута невесомая нерастяжимая нить к концам которой привязаны грузы 1 и Найдите силу давления X N F блока на

Решение задач на движение тел с использованием блоков Задача Через блок перекинута нерастяжимая нить, к которой прикреплены два тела массами и (причём) Определить ускорения, с которыми будут двигаться

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант РЕШЕНИЯ Внимание: квант оценки равен 5 (можно ставить только 5, 10, 15 и т. д. баллов)! Общая рекомендация: При проверке, даже

1.2.1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея 28(С1).1. Пассажир автобуса на остановке привязал к ручке сиденья за нитку легкий воздушный шарик, заполненный

РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ, ДАВЛЕНИЕ 008 1. Стальная деталь (ρс = 7800кг/м) объемом 4 дм находится на высоте м. Ее потенциальная энергия равна А) 9600 Дж В) 960 Дж С) 96000 Дж D) 96 Дж Е) 9,6 Дж. Определите

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 017-018 Физика, I тур, вариант 1 РЕШЕНИЯ 7 класс 1. (40 баллов) Два автомобиля одновременно выезжают навстречу друг другу из разных пунктов и едут со скоростями,

ИТТ- 10.3.2 Вариант 2 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 1. Как называется физическая величина, равная произведению массы тела на вектор его мгновенной скорости? 2. Как называется физическая величина, равная половине произведения

Варианты домашнего задания ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Вариант 1. 1. На рисунке а приведен график колебательного движения. Уравнение колебаний x = Asin(ωt + α o). Определить начальную фазу. x О t

Величина, её определение Обозначение Единица измерения «МЕХАНИКА» Формула Величины в формуле ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ I. Равномерное прямолинейное движение-это движение, при котором тело за любые равные промежутки

Минимум по физике для учащихся 10-х классов за 1 полугодие. Учитель физики - Турова Мария Васильевна e-mail: [email protected] Список литературы: 1. Учебник физики 10 класс. Авторы: Г.Я.Мякишев, Б.Б.

Лекция 4 Тема: Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Силы в механике. Сила упругости (закон

Вопросы для зачета по курсу «Теоретическая механика», раздел «Динамика» 1. Основные аксиомы классической механики.. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. 3. Моменты инерции системы точек

Тематическая диагностическая работа по подготовке к ЕГЭ по ФИЗИКЕ по теме «Механика» 18 декабря 2014 года 10 класс Вариант ФИ00103 (90 минут) Район. Город (населённый пункт). Школа Класс Фамилия. Имя.

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра физики ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ

Демонстрационный вариант_10 класс(профиль) Задание 1 1. Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся

Нурушева Марина Борисовна старший преподаватель кафедры физики 3 НИЯУ МИФИ Механические колебания Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Законы Ньютона Задача 1. Ракета стартует с поверхности Земли и движется вертикально вверх, разгоняясь с ускорением 5g. Найдите вес космонавта массой m, находящегося

ОЛИМПИАДА БУДУЩИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛИ БУДУЩЕЕ НАУКИ 2018-2019 Физика, I тур, вариант 2 7 класс 1 (40 баллов) Два автомобиля выехали одновременно: один из пункта А в пункт Б, другой из Б в А Скорость одного автомобиля

006-007 уч. год., 9 кл. Физика. Динамика. 5. Силы Запись второго закона Ньютона в виде формулы () нельзя трактовать, как равенство двух сил F и ma. Эта запись представляет собой лишь выражение равнодействующей

Законы сохранения Импульс тела (материальной точки) - физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость. p = m υ [p] = кг м/с p υ Импульс силы векторная физическая величина,

Для описания движения в механике используются математические модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.

Материальной точкой называется обладающее массой тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи (размеры тела минимум в 10 раз меньше расстояния, которое проходит тело). Например, при вычислении траектории, по которой Земля движется вокруг Солнца, Землю можно рассматривать как материальную точку, так как ее радиус в 24 000 раз меньше радиуса ее орбиты. При рассмотрении движения тел по поверхности Земли она должна рассматриваться как протяженный объект.

Любое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Если деформация тела при его взаимодействии с другими телами в рассматриваемом процессе пренебрежимо мала, то можно пользоваться моделью абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого в условиях данной задачи можно считать постоянным, т.е. это тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении.

Тела могут двигаться поступательно и вращательно. Рассмотрим поступательное движение.

Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела движутся одинаковым образом. Поэтому достаточно рассмотреть движение одной точки тела, например, центра тяжести, чтобы говорить о движении тела в целом.

Для определения положения тела в пространстве нужно использовать систему отсчета. Системой отсчета называется совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, по отношению к которому изучается движение.

Существует два способа описания движения тела (точки): векторный способ и координатный.

1) векторный - задается радиус-вектор . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку;

2) координатный - задаются три координаты - x,y,z (рис. 1.1).

Если i, j, k – единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то радиус-вектор запишется следующим образом:

r = xi + yj + zk .

При движении материальной точки М ее координаты x, y, z и r меняются со временем. Поэтому для задания закона движения необходимо знать либо уравнения зависимости координат точки от времени:

x = x(t) y = y(t) z = z(t) либо уравнение r = r (t).

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключив из уравнения время, получим уравнение траектории.

Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве сама точка при ее движении. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если все участки траектории лежат в одной плоскости, то движение называется плоским .

Длиной пути S материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

z s ∆r r 0 r y x рис. 1.2

Перемещением ∆r материальной точки называется вектор, проведенный из начального положения точки в конечное (рис.1.2):

∆r = r – r 0

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Так как перемещение – вектор, то имеет место закон независимости движений:

Если точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых точкой за одно и тоже время в каждом из движений отдельно.

Полное описание движения материальной точки с помощью только вектора перемещения невозможно. Необходимо знать быстроту изменения перемещения.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время Δt:

Величину, характеризующую быстроту изменения положения точки, определяют отношением: , где – средняя скорость движения. Вектор совпадает по направлению с . Если в выражении для средней скорости перейти к пределу при ∆t → 0, то получим выражение мгновенной скорости , т.е. скорости в данный момент времени:

Это значит, что в данный момент времени равен производной и направлен по касательной к траектории в данной точке (как и ) в сторону движения точки.

Из математики известно, что модуль малого приращения равен длине ds соответствующей ему дуги траектории, т.е.

Из последнего следует понятие путевой скорости:

Для нахождения пути, пройденного телом за промежуток времени Δt, надо найти интеграл:

Поскольку мгновенная скорость – векторная величина, то ее можно разложить на три составляющие по осям координат:

v = v x i + v y j + v z k .

Используя выражение для мгновенной скорости, получим:

Отсюда проекции вектора скорости на оси координат:

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Скорость материальной точки не зависит от времени (равномерное движение). Для определения перемещения используется уравнение:

для определения пути

2. Скорость материальной точки является функцией времени (неравномерное движение).

для пути аналогично.

Скорость механического движения в большинстве случаев не остается постоянной, а меняется со временем либо по величине, либо по направлению, либо по величине и направлению одновременно.

A В	Пусть тело двигалось из точки А в точку В. Перенеся вектор в точку А находим приращение скорости : – среднее ускорение - вектор, равный производной от вектора скорости по времени и совпадающий по направлению с вектором изменения скорости ∆v за малый интервал времени ∆t.

Используя предыдущие рассуждения, получим:

– мгновенное ускорение.

Ускорение – физическая величина характеризующая быстроту изменения скорости.

Так как ускорение – это вектор, то: a = a x i + a y j + a z k

Легко показать, что:

а для модуля вектора ускорения получим:

Криволинейное движение .

В общем случае криволинейного неравномерного движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение, которым обладает движущаяся точка, определяет оба вида изменения скорости. Для рассмотрения движения удобно использовать скользящую систему координат – систему, которая изменяет свое положение в пространстве вместе с движением материальной точки. За начало отсчета принимают саму движущуюся точку. Одна ось направлена по касательной к траектории движения материальной точки в данный момент времени (тангенциальная ось τ ), другая направлена перпендикулярно (нормальная ось n ). Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории.

М τ 1 v 1

n 1 N

n 2 τ 2

v 2

Вектор скорости направлен всегда по касательной к траектории. В скользящей системе координат скорость материальной точки можно представить как v = vτ

Учитывая, что, имеем

Таким образом, ускорение материальной точки представляет собой сумму двух векторов, первый их которых показывает быстроту изменения модуля скорости (тангенциальное ускорение), второй – быстроту изменения направления скорости (нормальное ускорение):

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно тангенциальной оси и направлено по нормальной оси скользящей системы координат.

Для определения физического смысла нормального ускорения рассматривают равномерное движение точки по окружности, из которого следует, что

Плис В. О динамике криволинейного движения // Квант. -·2005. - №2. - С. 30-31, 34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Из школьного курса физики известно, что равномерное движение по окружности - так называют движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью - есть движение с ускорением.

Это ускорение обусловлено равномерным изменением с течением времени направления скорости точки. В любой момент времени вектор ускорения направлен к центру окружности, а его величина постоянна и равна

где υ - линейная скорость точки, R - радиус окружности, ω - угловая скорость радиуса-вектора точки, T - период обращения. В этом случае ускорение называют центростремительным, или нормальным, или радиальным.

Очевидно, что возможно криволинейное движение не только по окружности и не обязательно равномерное. Поговорим немного о кинематике произвольного криволинейного движения. Тем более что в прошлом году в программу вступительных экзаменов по физике, например в МГУ им. М.В.Ломоносова, включили вопрос об ускорении материальной точки при произвольном движении по криволинейной траектории.

Рассмотрим сначала неравномерное движение материальной точки по окружности. При таком движении изменяется со временем не только направление вектора скорости , но и его величина. В этом случае приращение вектора скорости за малое время от t до t + Δt удобно представить в виде суммы: (рис. 1). Здесь - касательная тангенциальная составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости и обусловленная приращением величины вектора скорости на , а - нормальная составляющая, обусловленная (как и в случае равномерного движения по окружности) вращением вектора скорости. Тогда естественно и ускорение представить в виде суммы касательной (тангенциальной) и нормальной составляющих:

Для проекций вектора ускорения на касательное и нормальное направления справедливы соотношения

Отметим, что касательная составляющая a τ ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости, а нормальная составляющая а n характеризует быстроту изменения направления скорости. По теореме Пифагора,

В случае движения по произвольной криволинейной траектории все указанные соотношения также справедливы, при этом в формуле для нормального ускорения а n под величиной R надо понимать радиус такой окружности, с элементарной дужкой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности того места, где находится движущаяся материальная точка. Величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач на криволинейное движение, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах и олимпиадах по физике в ведущих вузах страны.

Задача 1 . Камень брошен со скоростью υ 0 под углом α к горизонту. Найдите радиус R кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения g известно.

Для ответа на вопрос задачи воспользуемся соотношением для нормального ускорения:

В малой окрестности точки старта υ = υ 0 (рис. 2). Нормальное ускорение а n есть проекция ускорения свободного падения g на нормаль к траектории: а n = g· cos α. Это дает

Задача 2 . Определите вес P тела массой m на географической широте φ. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно g . Землю считайте однородным шаром радиусом R .

Напомним, что вес тела - это сила, обусловленная тяготением, с которой тело действует на опору или подвес. Допустим, что тело лежит на поверхности вращающейся Земли. На него действуют сила тяжести , направленная к центру Земли, и сила реакции опоры (рис.3). По третьему закону Ньютона, . Поэтому для определения веса тела найдем силу реакции .

В инерциальной системе отсчета, центр которой находится в центре Земли, тело равномерно движется по окружности радиусом r = R· cos φ с периодом одни сутки, т.е. T = 86400 с, и циклической частотой

7,3·10 –5 с –1 .

Ускорение тела по величине равно

а n = ω 2 ·r = ω 2 ·R· cos φ

и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции опоры тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда при 0 < φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠ φ. По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на радиальное направление:

и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит движение:

Исключая α из двух последних соотношений, находим вес тела, покоящегося на вращающейся Земле:

Задача 3 . Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно L = 2,62·10 5 а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом T = 80 лет и достигает наибольшего значения φ = 0,85·10 –5 рад. Определите суммарную массу М звезд. Постоянная всемирного тяготения G = 6,67·10 –11 (Н·м 2 /кг 2), 1 а.е = 1,5·10 11 м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Под действием гравитационных сил

звезды движутся равномерно с периодом T по окружностям радиусов r 1 и r 2 вокруг центра масс системы со скоростями υ 1 и υ 2 соответственно (рис. 4).

По второму закону Ньютона,

Сложив эти равенства (после сокращения на m 1 и m 2 соответственно), получим

Отсюда с учетом соотношений

приходим к ответу

= 3,5 10 27 кг.

Задача 4 . На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис. 5). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ , наклоненный к горизонту под углом α. Однородный шарик радиусом R может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика ρ 0 , плотность воды ρ, ρ 0 < ρ. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии L от этого конца. С какой по величине силой F шарик действует на стержень? Какова угловая скорость ω вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости ω min шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Обозначим объем шарика V . На шарик будут действовать три силы: сила тяжести ρ 0 ·V ·g , сила нормальной реакции N со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда F A . Найдем архимедову силу.

Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом r в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение а n = ω 2 ·r. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:

F A z = ρ·V ·g ,

а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение а n = ω 2 ·L ·cos α и по величине равна

F A n = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α.

Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом L ·cos α в горизонтальной плоскости (рис. 6).

По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим

ρ·V ·g – ρ 0 ·V ·g – N ·cos α = 0.

Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем

ρ 0 ·V ·ω 2 ·L ·cos α = ρ·V ·ω 2 ·L ·cos α – N ·sin α.

Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:

и угловую скорость:

Как видим, с ростом угловой скорости ω расстояние L уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, , при этом

Задача 5 . Однородную цепочку длиной L R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением a t будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки ρ. Ускорение свободного падения g .

Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной ΔL = R ·Δφ (рис. 7). Его масса равна Δm = ρ·ΔL . Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем

Перепишем полученное соотношение в виде

Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:

Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. , что ускорение a τ одинаково у всех элементарных фрагментов, , и получим

Задача 6 . Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии R /2 от оси, где R - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость υ 1 паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге μ = 0,4, радиус колеса R = 0,8 м, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 .

Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис. 8). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной.

До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом r = R /2. По второму закону Ньютона,

Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен а = ω 2 ·r ,где ω - угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой β. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что F тр ≤ μ·N , получаем

Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству

Наибольшее значение выражения

где угол α таков, что и ,достигается при β = α и равно . Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству

Отсюда для искомой скорости паровоза υ 1 получаем

= 2,4 м/с.

Задача 7 . Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности BD радиусом R = 5 м (рис. 9). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью υ 0 = 10 м/с. Определите величину ускорения шайбы в точке С и угол β, который вектор ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус ОС образует с вертикалью угол α = 60°. Ускорение свободного падения g =10 м/с 2 .

Для нахождения ускорения шайбы в точке С найдем тангенциальную a τ и нормальную a n величины составляющих ускорения в этой точке.

На тело, движущееся в вертикальной плоскости по дуге BD ,в любой точке действуют силы тяжести m· g и реакции опоры N . По второму закону Ньютона,

Перейдем к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление:

m· a τ = –m· g ·sin α, откуда a τ = –g ·sin α ≈ –8,7 м/с 2 .

Для определения нормальной составляющей ускорения найдем величину υскорости шайбы в точке С (поскольку ). Обратимся к энергетическим соображениям. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части желоба будем считать равной нулю. Тогда, по закону сохранения полной механической энергии,

= 10 м/с 2 .

Величину ускорения шайбы в точке С найдем по теореме Пифагора:

≈ 13,2 м/с 2 .

В точке С вектор ускорения образует с нитью угол β такой, что

≈ 0,87, откуда β ≈ 41°.

Задача 8 . По гладкой проволочной винтовой линии радиусом R с шагом h , ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой m . За какое время T бусинка опустится по вертикали на Н ? С какой по величине F силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения g .

На бусинку действуют силы тяжести и нормальной реакции , где направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка 10), а лежит в одной плоскости с векторами и .

Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,

Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим a τ = g ·sin α. Здесь α - угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что

По закону сохранения энергии,

Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем

Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью υ· sin α. В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом R со скоростью υ· cos α, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна . Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с , нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).

Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:

где .

По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой, величина (модуль) которой равна

Упражнения

1. Сферический воздушный шар радиусом R = 5 м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте H = 6 м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью υ 0 следует бросать камень и на каком расстоянии s от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания?

Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно g = 10 м/с 2 .

2. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой h = 3,610 4 км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора. Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом. Какую по величине и направлению силу тяги F должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m = 10 3 кг, Санкт-Петербург находится на широте φ = 60°, радиус Земли R = 6,4 10 3 км.

3. По гладкому столу движутся два тела с массами m 1 и m 2 ,соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной L .В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна υи перпендикулярна нити. Найдите силу T натяжения нити.

4. Однородную цепочку массой m и длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R = 4L так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину T mах силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание : для рассматриваемых в задаче углов считайте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α 2 /2.

5. В задаче 6 из текста статьи найдите скорость υ 2 , при которой ящик начнет подпрыгивать.

Равноускоренное криволинейное движение

Криволинейные движения - движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. По криволинейным траекториям движутся планеты, воды рек.

Криволинейное движение - это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и y точки в любой момент времени t определяется по формулам

Неравномерное движение. Скорость при неравномерном движении

Ни одно тело не движется все время с постоянной скоростью. Начиная движение, автомобиль движется быстрее и быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но потом он тормозит и останавливается. При этом автомобиль проходит разные расстояния за один и то же время.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит неодинаковые отрезки пути, называется неравномерным. При таком движении величина скорости не остается неизменной. В таком случае можно говорить лишь о средней скорости.

Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело проходит за единицу времени. Она равна отношению перемещения тела до времени движения. Средняя скорость, как и скорость тела при равномерном движении, измеряется в метрах, разделенных на секунду. Для того, чтобы характеризовать движение точнее, в физике применяют мгновенную скорость.

Скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость является векторной величиной и направлена так же, как вектор перемещения. Измерить мгновенную скорость можно с помощью спидометра. В Системе Интернациональной мгновенная скорость измеряется в метрах, разделенных на секунду.

точка движение скорость неравномерный

Движение тела по окружности

В природе и технике очень часто встречается криволинейное движение. Оно сложнее прямолинейного, так как существует множество криволинейных траекторий; это движение всегда ускоренное, даже когда модуль скорости не меняется.

Но движение по любой криволинейной траектории можно приблизительно представить как движение по дугам круга.

При движении тела по окружности направление вектора скорости меняется от точки к точке. Поэтому когда говорят о скорости такого движения, подразумевают мгновенную скорость. Вектор скорости направлен по касательной к окружности, а вектор перемещения - по хордам.

Равномерное движение по окружности - это движение, во время которого модуль скорости движения не изменяется, изменяется только ее направление. Ускорение такого движения всегда направлено к центру окружности и называется центростремительным. Для того чтобы найти ускорение тела, которое движется по кругу, необходимо квадрат скорости разделить на радиус окружности.

Помимо ускорения, движение тела по кругу характеризуют следующие величины:

Период вращения тела - это время, за которое тело совершает один полный оборот. Период вращения обозначается буквой Т и измеряется в секундах.

Частота вращения тела - это число оборотов в единицу времени. Частота вращения обозначается буквой? и измеряется в герцах. Для того чтобы найти частоту, надо единицу разделить на период.

Линейная скорость - отношение перемещения тела до времени. Для того чтобы найти линейную скорость тела по окружности, необходимо длину окружности разделить на период (длина окружности равна 2? умножить на радиус).

Угловая скорость - физическая величина, равная отношению угла поворота радиуса окружности, по которой движется тело, до времени движения. Угловая скорость обозначается буквой? и измеряется в радианах, разделенных на секунду. Найти угловую скорость можно, разделив 2? на период. Угловая скорость и линейная между собой. Для того чтобы найти линейную скорость, необходимо угловую скорость умножить на радиус окружности.

Рисунок 6. Движение по окружности, формулы.

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное . С прямолинейным движением мы научились работать на предыдущих уроках, а именно решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (рис. 1) относительно прямолинейного и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на участки прямолинейного движения

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (рис. 3). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. К тому же примеры движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия криволинейного движения от прямолинейного. Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории (рис. 4). Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по дуге окружности (рис. 5).

Рис. 5. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке равен модулю скорости тела в точке :

Однако вектор не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (рис. 6):

Рис. 6. Вектор разности скоростей

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

Это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что, даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется. Однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (рис. 7). Центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 7. Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле:

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 8. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки и (рис. 8). Рассмотрим их движение. За некоторое время эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками и . Очевидно, что точка совершила большее перемещение, чем точка . Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется

Однако если внимательно посмотреть на точки и , можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения . Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности можно использовать угловые характеристики.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. По аналогии можно дать определение равномерного движения по окружности.

Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.

Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.

Угловой скоростью равномерного движения ( называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело, ко времени, за которое произошел этот поворот.

В физике чаще всего используется радианная мера угла. Например, угол в равен радиан. Измеряется угловая скорость в радианах в секунду:

Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

Точка проходит при вращении дугу длиной , поворачиваясь при этом на угол . Из определения радианной меры угла можно записать:

Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей:

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

Такая зависимость линейной и угловой скоростей используется в геостационарных спутниках (спутники, которые всегда находятся над одной и той же точкой земной поверхности). Благодаря таким спутникам мы имеем возможность получать телевизионные сигналы.

Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.

Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой и измеряется в секундах в СИ:

Частота вращения – физическая величина, равная количеству оборотов, которое тело совершает за единицу времени.

Частота обозначается буквой и измеряется в обратных секундах:

Они связаны соотношением:

Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:

Подставляя эти выражения в зависимость между угловой и линейной скоростью, можно получить зависимость линейной скорости от периода или частоты:

Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:

Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности. Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным. Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения) и нашли соотношения между ними.

Список литературы

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перышкин, В.В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Википедия ().

Домашнее задание

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10
2. Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.