Нахождения одз. Как найти область определения функции? Примеры решений. Правила нахождения области определения
Научный руководитель:
1. Введение 3
2. Исторический очерк 4
3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6
4. Особенности и опасность ОДЗ 7
5. ОДЗ – есть решение 8-9
6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа. Равносильность переходов 10-14
7. ОДЗ в ЕГЭ 15-16
8. Заключение 17
9. Литература 18
1. Введение
Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.
Цель: уметь анализировать ситуацию и делать логически корректные выводы в примерах, где нужно учесть ОДЗ.
Задачи:
1. Изучить теоретический материал;
2. Прорешать множество уравнений, неравенств: а) дробно-рациональных; б) иррациональных; в) логарифмических; г) содержащих обратные тригонометрические функции;
3. Применить изученные материалы в ситуации, которая отличается от стандартной;
4. Создать работу по теме «Область допустимых значений: теория и практика»
Работа над проектом: работу над проектом я начала с повторения известных мне функций. Область определения многих из них имеет ограничения.
ОДЗ встречается:
1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств
2. При решении иррациональных уравнений и неравенств
3. При решении логарифмических уравнений и неравенств
4. При решении уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), я систематизировала решение примеров по следующим принципам:
· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)
· можно решить пример, не учитывая ОДЗ
· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.
Методы, использованные в работе: 1) анализ; 2) статистический анализ; 3) дедукция; 4) классификация; 5) прогнозирование.
Изучила анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Это ещё раз подчёркивает актуальность моей темы.
2. Исторический очерк
Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.
Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция - это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».
С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797-1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной x ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.
Областью определения (допустимых значений) функции у называется совокупность значений независимой переменной х, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).
3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств
1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.
2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.
2.1..gif" width="212" height="51"> .
В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width="107" height="27 src="> является система:
Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">
3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
3.1. Схема решения логарифмического уравнения
Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> равносильны уравнению
4. Особенности и опасность области допустимых значений
На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и все это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо известно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.
Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:
Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия
В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .
А вот, например, решение уравнения: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя - достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.
Напомню, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ - это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым - из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему..gif" width="20" height="21 src="> имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность - рассматривать функцию при, , но разумная), а тогда -1 не является корнем.
5. Область допустимых значений – есть решение
И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.
1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений.
1)
2) 3) 
2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.
1)
, х=3
2)
Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.
3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.
4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.
Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.
6) 
Из ОДЗ следует, что, откуда имеем ..gif" width="143" height="24"> Из ОДЗ имеем: . Но тогда и . Так как, то решений нет.
Из ОДЗ имеем:https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, а значит, . Решая последнее неравенство, получим х<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ОДЗ: . Так как, то
С другой стороны,https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ОДЗ:. Рассмотрим уравнение на промежутке [-1; 0).
На нем выполняются такие неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и решений нет. При функции и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ОДЗ: х>2..gif" width="233" height="45 src="> Найдём ОДЗ:
Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.
6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.
Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.
1. 
Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получатся отрицательное число.
2. 
.
Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.
Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.
И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому я выберу только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.
1.
. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.
2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу.
3. . ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
4. 
ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.
8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
9. 
ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.
Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функций).
Вот несколько примеров.
1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, равносильное данному, в таком виде https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width="112" height="27"> ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.
3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Переход в общем виде выглядит так:
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
Возможны два случая: 0
Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:
Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x<-1 – решение неравенства.
Понимание условий равносильности требует знания некоторых тонкостей. Например, почему равносильны такие уравнения:
Или 
И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, но не используется при преобразованиях только в одной из частей. Сокращение, использование различных формул в одной из частей не попадают под действие теорем о равносильности. Некоторые примеры такого вида я уже приводила. Рассмотрим еще примеры.
1. Такое решение естественно. В левой части по свойству логарифмической функции перейдём к выражению ..gif" width="111" height="48">
Решив эту систему, мы получим результат (-2 и 2), который, однако, не является ответом, так как число -2 не входит в ОДЗ. Так что же, нам необходимо установить ОДЗ? Нет, конечно. Но раз мы в решении использовали некое свойство логарифмической функции, то мы обязаны обеспечить те условия, при которых оно выполняется. Таким условием является положительность выражений под знаком логарифма..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> таким способом подстановке подлежат числа 
. Кому охота делать такие нудные выкладки?.gif" width="12" height="23 src="> добавить условие , и сразу видно, что этому условию отвечает только число https://pandia.ru/text/78/083/images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) продемонстрировали 52% сдающих. Одной из причин таких низких показателей является тот факт, что многие выпускники не произвели отбор корней, полученных из уравнения после его возведения в квадрат.
3) Рассмотрим, например, решение одной из задач С1: "Найдите все значения x, для которых точки графика функции 
лежат выше соответствующих точек графика функции ". Задание сводится к решению дробного неравенства, содержащего логарифмическое выражение. Приемы решения таких неравенств нам известны. Самым распространенным из них является метод интервалов. Однако при его применении сдающие допускают разнообразные ошибки. Рассмотрим наиболее распространенные ошибки на примере неравенства:
X < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.
8. Заключение
Подводя некоторый итог, можно сказать, что универсального метода решения уравнения и неравенств нет. Каждый раз, если хочешь понять, что делаешь, а не действовать механически, возникает дилемма: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Я думаю, что полученный мною опыт поможет мне решить эту дилемму. Я перестану делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ.
9. Литература
И др. «Алгебра и начала анализа 10-11» задачник и учебник, М.: «Просвещение», 2002. «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966. Газета «Математика» №46,Газета «Математика» №Газета «Математика» № «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982. и др. «Самое полное издание вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009/ФИПИ» - М.: «Астрель», 2009. и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009. и др. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: «Просвещение», 2007. , «Практикум по решению задач школьной математики (практикум по алгебре)». М.: Просвещение, 1976. «25000 уроков математики». М.: «Просвещение», 1993. «Готовимся к олимпиадам по математике». М.: «Экзамен», 2006. «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. Материалы сайтов www. *****, www. *****.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Тип задания: 13
Условие
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].
Показать решениеРешение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac{9\pi }4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac{7\pi }3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac{5\pi }3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi }3, \frac{7\pi }3, \frac{9\pi }4.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right] ;
Показать решениеРешение
а) ОДЗ: \begin{cases} tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end{array}\right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right].
.png)
x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left(\frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].
Показать решениеРешение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac{11\pi }3, x_2=4\pi , x_3 =\frac{13\pi }3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac{11\pi }3, 4\pi , \frac{13\pi }3.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac{11+5ctg\left(\dfrac{3\pi }2-x\right) }{1+tgx}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left(-2\pi ; -\frac{3\pi }2\right).
Показать решениеРешение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left(\frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.
Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Заметим также, что \left(\frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
arccos 1 0 Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 Аналогично, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 При k=-1
и t=-1
получаем корни уравнения a-2\pi
и b-2\pi.
\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac{3\sqrt 2}5,\,
b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac{3\sqrt 2}5\Bigg).
При этом -2\pi 2\pi При остальных значениях k
и t
корни уравнения не принадлежат заданному промежутку. Действительно, если k\geqslant 1
и t\geqslant 1,
то корни больше 2\pi.
Если k\leqslant -2
и t\leqslant -2,
то корни меньше -\frac{7\pi }2.
а)
\frac\pi4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
б)
-\frac{7\pi}4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 13 а)
Решите уравнение \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ;
а)
Преобразуем уравнение: \cos x =-\sin 2x,
\cos x+2 \sin x \cos x=0,
\cos x(1+2 \sin x)=0,
\cos x=0,
x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
1+2 \sin x=0,
\sin x=-\frac12,
x=(-1)^{k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.
б)
Корни, принадлежащие отрезку ,
найдём с помощью единичной окружности. Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.
а)
\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
(-1)^{k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;
б)
\frac\pi 2.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 13 а)
Решите уравнение \frac{\sin x-1}{1+\cos 2x}=\frac{\sin x-1}{1+\cos (\pi +x)}.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac{3\pi }{2}; -\frac{\pi }2 \right].
а)
Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1,
\cos (\pi +x) \neq -1;
Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,
k \in \mathbb Z,
Полученное множество значений x
не входит в ОДЗ. Значит, \sin x \neq 1.
Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1),
отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1{1+\cos 2x}=\frac 1{1+\cos (\pi +x)},
или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).
Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x.
Это уравнение с помощью замены \cos x=t,
где -1 \leqslant t \leqslant 1
сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0,
корни которого t_1=-1
и t_2=\frac12.
Возвращаясь к переменной x
, получим \cos x = \frac12
или \cos x=-1,
откуда x=\frac \pi 3+2\pi m,
m \in \mathbb Z,
x=-\frac \pi 3+2\pi n,
n \in \mathbb Z,
x=\pi +2\pi k,
k \in \mathbb Z.
б)
Решим неравенства 1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac{3\pi }2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi {2,}
3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 ,
m,
n,
k \in \mathbb Z.
1)
-\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
-\frac32 \leqslant
\frac13+2m \leqslant
-\frac12 -\frac{11}6 \leqslant
2m \leqslant
-\frac56 ,
-\frac{11}{12} \leqslant m \leqslant -\frac5{12}.
\left [-\frac{11}{12};-\frac5{12}\right]
. 2)
-\frac {3\pi} 2 \leqslant -\frac{\pi }3+2\pi n \leqslant -\frac{\pi }{2},
-\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 ,
-\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1{6},
-\frac7{12} \leqslant n \leqslant -\frac1{12}.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7{12} ; -\frac1{12} \right].
3)
-\frac{3\pi }2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac{\pi }2,
-\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12,
-\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32,
-\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1,
тогда x=-\pi.
а)
\frac \pi 3+2\pi m;
-\frac \pi 3+2\pi n;
\pi +2\pi k,
m,
n,
k \in \mathbb Z;
б)
-\pi .
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
(\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x)
и \cos 2x=1-2 \sin ^2 x,
поэтому уравнение примет вид (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot
(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0,
(2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot
(2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0.
Тогда либо 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0,
либо 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0.
Решим первое уравнение как квадратное относительно \sin x,
(\sin x)_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt 9}4=\frac{-1 \pm 3}4.
Поэтому либо \sin x=-1,
либо \sin x=\frac12.
Если \sin x=-1,
то x=\frac{3\pi }2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z.
Если \sin x=\frac12,
то либо x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z,
либо x=\frac{5\pi }6+2t\pi , t \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \sin x=1,
либо \sin x=-\frac12.
Тогда x =\frac\pi 2+2m\pi , m \in \mathbb Z,
либо x=\frac{-\pi }6 +2n\pi , n \in \mathbb Z,
либо x=\frac{-5\pi }6+2p\pi , p \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z;
x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z.
б)
Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности. Получим: x_1 =\frac{7\pi }2, x_2 =\frac{23\pi }6, x_3 =\frac{25\pi }6.
а)
\frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z;
\pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б)
\frac{7\pi }2;\,\,\frac{23\pi }6;\,\,\frac{25\pi }6.
В уравнениях и неравенствах вида , , , , пересечение областей определения функций и называют областью допустимых значений (ОДЗ) переменной, а также ОДЗ уравнения или неравенства соответственно. При решении уравнений (неравенств) с одной переменной, когда встает вопрос – находить ли ОДЗ, часто можно услышать категоричное «да» и не менее категоричное «нет». «Сначала нужно найти ОДЗ, а затем приступать к решению уравнения (неравенства)», - утверждают одни. «Незачем тратить время на ОДЗ, по ходу решения будем переходить к равносильному уравнению (неравенству) или к равносильной системе уравнений и неравенств или только неравенств. В конце концов, если это уравнение, то можно сделать проверку», - утверждают другие. Так находить ли ОДЗ? Конечно, однозначного ответа на этот вопрос не существует. Нахождение ОДЗ уравнения или неравенства не является обязательным элементом решения. В каждом конкретном примере этот вопрос решается индивидуально. В одних случаях нахождение ОДЗ упрощает решение уравнения или неравенства (примеры 1-5), а в ряде случаев даже является необходимым этапом решения (примеры 1, 2, 4). В других случаях (примеры 6, 7) от предварительного нахождения ОДЗ стоит отказаться, так как оно делает решение более громоздким. Пример 1.
Решить уравнение . Возведение обеих частей уравнения в квадрат не упростит, а усложнит его и не позволит избавиться от радикалов. Нужно искать другой способ решения. Найдем ОДЗ уравнения: Таким образом, ОДЗ содержит только одно значение , а, следовательно, корнем исходного уравнения может служить только число 4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – единственный корень уравнения. Пример 2.
Решить уравнение . Наличие в уравнении радикалов различных степеней – второй, третьей и шестой – делает решение сложным. Поэтому, прежде всего, найдем ОДЗ уравнения: Непосредственной подстановкой убеждаемся, что является корнем исходного уравнения. Пример 3.
Решить неравенство . Конечно, можно решать это неравенство, рассматривая случаи: , , но нахождение ОДЗ сразу же упрощает это решение. ОДЗ: Подставляя это единственное значение в исходное неравенство, получим ложное числовое неравенство . Следовательно, исходное неравенство не имеет решения. Ответ: нет решения. Пример 4.
Решить уравнение . Запишем уравнение в виде . Уравнение вида равносильно смешанной системе Конечно, здесь нахождение ОДЗ излишне. В нашем случае получим равносильную систему Уравнение равносильно совокупности Вернемся к первоначальному уравнению, запишем его в виде . Найдем ОДЗ: . При правая часть уравнения , а левая часть Таким образом, в данном примере именно нахождение ОДЗ позволило решить исходное уравнение. Пример 5.
Решить уравнение . Так как , а , то при решении исходного уравнения нужно будет избавляться от модулей (раскрывать их). Поэтому, сначала имеет смысл найти ОДЗ уравнения: Итак, ОДЗ: Упростим исходное уравнение, воспользовавшись свойствами логарифмов. Так как в области допустимых значений переменной х
и , то Учитывая, что в ОДЗ , перейдем к равносильному уравнению Ответ: − 4,75. Замечание.
Если не находить ОДЗ, то при решении уравнения необходимо было бы рассмотреть четыре случая: , , , . На каждом из этих промежутков знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля, нужно было бы раскрыть модули и решить полученное уравнение. Кроме того еще и выполнить проверку. Мы видим, что нахождение ОДЗ исходного уравнения значительно упрощает его решение.
Пример 7.
Решить неравенство Так как переменная х
входит и в основание логарифма, то при решении этого неравенства необходимо будет рассмотреть два случая: и . Поэтому отдельно находить ОДЗ нецелесообразно. Итак, представим исходное неравенство в виде Ответ: Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y = x + x - 2 или y = 5 · x 2 + 1 · x 3 , y = x x - 5 или y = x - 1 5 - 3 . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями. После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f (x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения. Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть (0 , + ∞) или такой [ − 3 , 1) ∪ [ 5 , 7) . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения: Определение 1
При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y = x 4 + 2 · x 2 - x + 1 2 + 2 2 3 · x . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной. Для примера рассмотрим функцию типа y = 2 · x + 1 . Для вычисления ее значения можем определить x . Из выражения 2 · x + 1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения. Если задана функция типа y = 3 x - 1 , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3 x - 1 знаменатель равняется нулю при х = 1 , поэтому искомая область определения данной функции примет вид (− ∞ , 1) ∪ (1 , + ∞) и считается числовым множеством. На рассмотрении примера y = x 2 - 5 · x + 6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x 2 − 5 · x + 6 ≥ 0 . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (− ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞) . При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению. Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение: Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n ,
иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) ,
тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n .
Данное утверждение можно записать как: D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n) Пример 1
Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .
Решение
Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса. По таблице определения видим, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) , D (f 3) = (− ∞ , + ∞) ,
причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z . Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 .
То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z . Ответ:
все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z . Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило: Определение 2
Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n ,
тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 (x) · f 2 (x) · … · f n (x) ,
тогда ее область определения считается областью определения для всех функций. Запишется D (f) = D (f 1) D (f 2) . . . D (f n) Пример 2
Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x . Решение
Правая часть формулы рассматривается как f 1 (x) · f 2 (x) · f 3 (x) ,
где за f 1
является постоянной функцией, f 2
является арктангенсом,
f 3
– логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = (− ∞ , + ∞) и D (f 3) = (0 , + ∞) .
Мы получаем, что
D (f) = D (f 1) D (f 2) D (f n) = (- ∞ , + ∞) (- ∞ , + ∞) D (0 , + ∞) = (0 , + ∞) Ответ
: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел. Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f (x) ,
где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. Функция y = C · f (x)
– произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D (f) .
Отсюда видим, что область определения функции y = C · f (x)
является - ∞ , + ∞ D (f) = D (f) . Получили, что область определения y = f (x)
и y = C · f (x) ,
где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞) , потому как область определения функции y = - 5 · x - [ 0 , + ∞) . Области определения y = f (x) и y = − f (x)
совпадают, что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы. Пример 3
Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x . Решение
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1
и f 2 .
f 1 (x) = log 3 x
и f 2 (x) = 3 · 2 x
. Тогда получим, что D (f) = D (f 1) D (f 2) . Область определения записывается как D (f 1) = (0 , + ∞) .
Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D (f 2) = (− ∞ , + ∞) . Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x
получим, что D (f) = D (f 1) D (f 2) = (0 , + ∞) - ∞ , + ∞ Ответ
: (0 , + ∞) .
Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел. Рассмотрим y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n + 1) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R . Пример 4
Найти область определения f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 . Решение
Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 (x) = x 5 + 7 x 3 - 2 x 2 + 1 2 и f 2 (x) = 3 · x - ln 5 . Выше было показано, что D (f 1) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D (f 2) = (0 , + ∞) .
Получаем, что D (f) = D (f 1) D (f 2) = - ∞ , + ∞ (0 , + ∞) = (0 , + ∞) . Ответ
: (0 , + ∞) .
Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 (f 2 (x)) .
Известно, что D (f)
является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 (x)
принадлежит области определения f 1 . Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 (f 2 (x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D (f 2)
и f 2 (x) ∈ D (f 1) .
В стандартном обозначении это примет вид x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) Рассмотрим решение нескольких примеров. Пример 5
Найти область определения y = ln x 2 . Решение
Данную функцию представляем в виде y = f 1 (f 2 (x)) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 . Для решения необходимо использовать известные области определения D (f 1) = (0 , + ∞)
и D (f 2) = (− ∞ , + ∞) .
Тогда получим систему неравенств вида x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 > 0 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения. Ответ
: (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Пример 6
Найти область определения функции y = (a r c sin x) - 1 2 . Решение
Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 (f 2 (x)) ,
где f 1 является степенной функцией с показателем - 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D (f 1) = (0 , + ∞)
и D (f 2) = [ − 1 , 1 ] .
Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D (f 2) и f 2 (x) ∈ D (f 1) .
Получаем систему неравенств вида x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x ∈ (0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0 Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку (0 , 1 ] . Преобразуем систему вида x ∈ - 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ - 1 , 1 x ∈ (0 , 1 ] ⇔ x ∈ (0 , 1 ] Область определения искомой функции имеет интервал равный (0 , 1 ] . Ответ:
(0 , 1 ] . Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 (f 2 (… f n (x)))) .
Область определения такой функции ищется из x ∈ D (f n) f n (x) ∈ D (f n - 1) f n - 1 (f n (x)) ∈ D (f n - 2) . . . f 2 (f 3 (. . . (f n (x))) ∈ D (f 1) . Пример 7
Найти область определения y = sin (l g x 4) . Решение
Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 (f 2 (f 3 (x))) ,
где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция. Имеем, что по условию D (f 1) = (− ∞ , + ∞) , D (f 2) = [ 0 , + ∞) , D (f 3) = (0 , + ∞) .
Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D (f 3) , f 3 (x) ∈ D (f 2) , f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) .
Получаем, что x ∈ D (f 3) f 3 (x) ∈ D (f 2) f 2 (f 3 (x)) ∈ D (f 1) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ Условие lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞) , значит x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x 4 ∈ - ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ∈ [ 0 , + ∞) ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (0 , + ∞) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ (0 , + ∞) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞) Ответ
: [ 1 , + ∞) .
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения. Рассмотрим функцию вида f 1 (x) f 2 (x) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 (х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 . Запишем функцию y = f 1 (x) f 2 (x) в виде y = f 1 (x) · (f 2 (x)) - 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 (x)
с y = (f 2 (x)) - 1 . Областью определения функции y = f 1 (x)
является множество D (f 1) ,
а для сложной y = (f 2 (x)) - 1 определим из системы вида x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 . Значит, x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ∈ (- ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) ⇔ x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 . Пример 8
Найти область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 . Решение
Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g (2 · x + 1) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 Представление сложной функции y = f 3 (f 4 (x))
, где f 3
–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4
– это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D (f 4) = (− ∞ , + ∞) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1: x ∈ D (f 4) 2 · x + 1 ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g (2 · x + 1) x 2 - x - 6 . Тогда получаем, что x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 2 (x) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ - ∞ , + ∞ x 2 - x - 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ - 2 x ≠ 3 Ответ:
множество действительных чисел, кроме - 2 , 3 и π 4 - 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z . Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 (x) f 1 (x) имеет область определения, которая выглядит так: x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1 А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде: y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции. Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 (x) и y = log a f 2 (x) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 и x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 (x) log a f 2 (x) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 (x) f 1 (x) из самой системы вида x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 log a f 2 (x) ≠ 0 = x ∈ D (f 1) f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) f 2 (x) > 0 f 2 (x) ≠ 1 Пример 9
Обозначить область определения функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) . Решение
Следует принять обозначения f 1 (x) = x 2 − 6 · x + 5
и f 2 (x) = 2 · x
, отсюда D (f 1) = (− ∞ , + ∞)
и D (f 2) = (− ∞ , + ∞)
. Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 .
Тогда получаем систему вида x ∈ (- ∞ , + ∞) x 2 - 6 x + 5 > 0 x ∈ (- ∞ , + ∞) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ (- ∞ , 1) ∪ (5 , + ∞) x ∈ (- ∞ , + ∞) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x (x 2 - 6 x + 5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) . Ответ:
0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ (5 , + ∞) .
Показательно-степенная функция задается формулой вида y = (f 1 (x)) f 2 (x) . Ее область определениявключает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 . Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a (f 1 (x)) f 2 (x) = a f 2 (x) · log a f 1 (x) , где где a > 0 , a ≠ 1 . Пример 10
Найти область определения показательно-степенной функции y = (x 2 - 1) x 3 - 9 · x . Решение
Примем за обозначение f 1 (x) = x 2 − 1
и f 2 (x) = x 3 - 9 · x . Функция f 1
определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D (f 1) = (− ∞ , + ∞) . Функция f 2
является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 (f 4 (x))
, а f 3
– квадратным корнем с областью определения D (f 3) = [ 0 , + ∞)
, а функция f 4
– целой рациональной, D (f 4) = (− ∞ , + ∞) .
Получаем систему вида
x ∈ D (f 4) f 4 (x) ∈ D (f 3) ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x 3 - 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ (- ∞ , + ∞) x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) ⇔ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) Значит, область определения для функции f 2
имеет вид D (f 2) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D (f 1) x ∈ D (f 2) f 1 (x) > 0 . Получаем систему вида x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x 2 - 1 > 0 ⇔ x ∈ - ∞ , + ∞ x ∈ - 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞) x ∈ (- ∞ , - 1) ∪ (1 , + ∞) ⇔ ⇔ x ∈ - 3 , - 1 ∪ [ 3 , + ∞) Ответ:
[ − 3 , − 1) ∪ [ 3 , + ∞) Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения. Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф Расположим функции и их области определения. Прямая пропорциональность y = k · x Обратная пропорциональность y = k x Дробная y = f 1 (x) f 2 (x) В частности, если f 1 (x) , f 2 (x) - многочлены Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям y = log f 2 (x) f 1 (x) В частности, y = log a f 1 (x) В частности, y = log f 2 (x) a x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) > 0 , f 2 (x) ≠ 1 x ∈ D (f 1) , f 1 (x) > 0 x ∈ D (f 2) , f 2 > 0 , f 2 (x) ≠ 1 Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 - 4 x - 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на (− ∞ , 2) ∪ (2 , + ∞) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 - 4 x - 2 = x - 2 x + 2 x - 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 . Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+EnterОтвет
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)Условие
Решение
Ответ
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)Условие
Решение
Ответ
Ответ
т.е. 
т.е. 
Уравнение рациональных корней не имеет, но оно может иметь иррациональные корни, нахождение которых вызовет у учащихся затруднения. Поэтому поищем другой способ решения.
. Следовательно, исходное уравнение в области допустимых значений переменной х
равносильно системе уравнений 
решением которой является только одно значение .
, а , тогда получим равносильное уравнение:
и решим его, разделив обе части на 3.
.
и оно будет равносильно совокупности двух систем:
.Что значит найти область определения
Ограничение области определения
Правила нахождения области определения
Область определения суммы, разности и произведения функций
Область определения сложной функции
Область определения дроби
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение 3
Область определения показательно-степенной функции
В общем случае
Таблицы основных результатов
Функция
Ее область определения
R
Линейная y = k · x + b
R
- ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c
R
y = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0
R
Целая рациональная
R
y = C · f (x) , где C - число
D (f)
x ∈ D (f 1) , x ∈ D (f 2) , f 2 (x) ≠ 0 y = f (x) n , где n - четное
x ∈ D (f 1) , f (x) ≥ 0
Показательно-степенная y = (f 1 (x)) f 2 (x)
x ∈ D (f 1) , x ∈ D (f 2) , f 1 (x) > 0