• Главная
  •  > 
  • Профессии
  •  > 
  • Уравнение юнга лапласа капля. Уравнение лапласа. Адсорбция смеси газов на неоднородной поверхности

Уравнение юнга лапласа капля. Уравнение лапласа. Адсорбция смеси газов на неоднородной поверхности

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}

Также и в n -мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...}
  • Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример - см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".

Другие формы уравнения Лапласа

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}

Особые точки r = 0 , θ = 0 , θ = π {\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi } .

1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0}

Особая точка .

1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}

Особая точка r = 0 {\displaystyle r=0} .

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера .

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

f (x) = C 1 x + C 2 {\displaystyle f(x)=C_{1}x+C_{2}}

где C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} - произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

φ x x + φ y y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.}

Аналитические функции

Если z = x + iy , и

f (z) = u (x , y) + i v (x , y) , {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}

то условия Коши - Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f (z ) была аналитической:

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},~{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}

И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия

Дисперсность – величина, обратная линейному размеру частицы (м -1):

Поверхностная энергия G S

- полная поверхностная энергия системы.

Седиментация – это движение частиц под действием силы тяжести.

Закон Стокса:

- основная формула седиментационого анализа

Диффузия – это процесс, направленный на выравнивание концентраций в первоначально неоднородной среде.

- 1-й закон Фика;

- уравнение Эйнштейна (коэффициент диффузии)

проекция среднеквадратичного сдвига:

- уравнение для среднеквадратичного сдвига

D ~ 10 -11 – 10 -14 м 2 /с, [D]=[м 2 /с]

Коэффициент диффузии – это поток вещества, переносимый через цилиндр с единичной площадью поперечного сечения в единицу времени.

уравнению Гиббса-Дюгема

- гипсометрический закон, барометрическая формула.

Осмосом называется движение растворителя (Дисперсионной среды) к коллоидному раствору через полупроницаемую мембрану.

уравнению Вант-Гоффа:

Анизотропия световых волн:

Закон Релея:
.

- Закон Бугера-Ламберта-Бера

- мутность системы [м -1 ]

Мутность – это величина, обратная расстоянию, на котором интенсивность падающего света ослабляется в е раз.

Поверхностное натяжение – это работа образования единицы поверхности в обратимых изотермических условиях.

Опыт Дюпре :

Поверхностное натяжение – это сила, действующая к тангенциальной поверхности и отнесенная к единице длины периметра, ограничивающего эту поверхность.

Обобщенное уравнение I и II законов термодинамики:

- Уравнение Гиббса-Гельмгольца

- уравнение Лапласа .


- формула Жюрена.

- принцип Кюри-Гиббса

- уравнение Томсана-Кельвина (капиллярной конденсации) .

Метод Гиббса:

Метод поверхностного слоя:

За толщину слоя принимают расстояние по обе стороны от границы раздела фаз, за пределами которого поверхностные свойства перестают отличаться от объемных.

Смачивание – это явление взаимодействия жидкости с твердым или жидким телом при наличии границы раздела трех фаз.


- Уравнение Юнга.

Работа растекания – это энергия, которая выделяется при покрытии поверхности тонким слоем жидкости или это сила, действующая к поверхности вдоль всей поверхности контакта.

- работа Кагезии

Работа Адгезии

Кагезия – это взаимодействие между частицами одной фазы. Это работа, которую необходимо затратить на разрыв фазы, отнесенная к единице поверхности разрыва.

Работа адгезии затрачивается на образование двух новых поверхностей
и
и выигрывается за счет исчезновения поверхности твердое тело-жидкость.

Теплота смачивания (Н СМ ) – это количество энергии, которое выделяется при смачивании единицы поверхности.

Коэффициент шероховатости – отношение поверхности истинной к поверхности геометрической.
,

Методы измерения поверхностного натяжения.

Статическое

Методы, основанные на изучении статического равновесия

    Метод капиллярного поднятия

    Метод Вильгельми

Полустатические


n 0 – число капель для стандартной жидкости

n X – для измеряемой

2. Метод Дю-Нуи

3. Метод избыточных давлений.

Динамические методы : метод колеблющихся струй.

АДСОРБЦИЯ.

- принцип Кюри

Адсорбцией называется процесс перераспределения компонента между объемной фазой и поверхностным слоем.

    А – полная адсорбция – это количество адсорбата в поверхностном слое, отнесенное к единице массы или площади адсорбента. Может измеряться в моль/м 2 , моль/кг, г/кг и т.д.

    Г – «гамма» - избыточная адсорбция (гипсовская) – это избыток адсорбата в поверхностном слое по сравнению с таким же объемом фазы, отнесенной к единице поверхности или массы адсорбента.

- уравнение Леннарда-Джонса

- адсорбционное уравнение Гиббса .

- интегральное изменение энергии Гиббса .

- дифференциальное изменение энтропии

- дифференциальная энтальпия адсорбции

- изостерическая теплота адсорбции

- теплота конденсации

- чистая теплота адсорбции

Qa – интегральная теплота адсорбции,

Qra – интегральная чистая теплота адсорбции,

- уравнение Генри

- уравнение Лангмюра.

Адсорбция смеси газов на однородной поверхности

Адсорбция смеси газов на неоднородной поверхности

Теория БЭТ

Основные положения:

    При попадании молекулы адсорбата на занятое место образуется кратный комплект.

    По мере приближения p к p s уменьшается число свободных адсорбционных мест. Первоначально увеличивается, а затем уменьшается число мест, занятых единичными, двойными и т.д. комплектами.

    При p =p s адсорбция переходит в конденсацию.

    Горизонтальные взаимодействия отсутствуют.

    Для первого слоя выполняется изотерма Лангмюра.

Основной недостаток теории – пренебрежение горизонтальными взаимодействиями в пользу вертикальных.

Учет взаимодействий адсорбат-адсорбат.

Адсорбент не полярен.

Графику 1 соответствуют слабые взаимодействия адсорбат-адсорбат, сильное адсорбат-адсорбент.

Графику 2 соответствуют сильное взаимодействие адсорбат-адсорбат, сильное адсорбат-адсорбент.

Графику 3 соответствуют сильное взаимодействие адсорбат-адсорбат, слабое адсорбат-адсорбент.

- уравнение Фрункина, Фаулера, Гугенгейма.

k – аттракционная постоянная.

Потенциальная теория Поляни

Адсорбция – это результат притяжения адсорбата к поверхности адсорбента за счет действия адсорбционного потенциала, который не зависит от присутствия других молекул и зависит от расстояния между поверхностью и молекулой адсорбата.

, - адсорбционный потенциал.

Поскольку поверхность неоднородная, расстояние заменяют на адсорбционный объём . Адсорбционный объём – это объём, заключенный между поверхностью и точкой, соответствующей данному значению.

Адсорбционный потенциал – это работа перенесения 1 моль адсорбата вне данного адсорбционного объёма в данную точку адсорбционного объёма (или работа переноса 1 моль насыщенного пара адсорбата, находящегося в равновесии с жидким адсорбатом в отсутствии адсорбента в равновесную с адсорбентом паровую фазу).

уравнением Томпсона – Кельвина .

Адсорбция на границе твердое тело – жидкость

Уравнение изотермы адсорбции с константой обмена

Поверхностной активностью g называется способность веществ снижать поверхностное натяжение в системе.

- правило Траубо Дюкло

- уравнение Шишковского.

Мицелла – называется агрегат молекул дифильных ПАВ, углеводородные радикалы которых образуют ядро, а полярные группы обращены в водную фазу.

Масса мицеллы – мицелляльная масса.

Число молекул – число агрегации.

Для гомологического ряда существует эмпирическое уравнение:

a – энергия растворения функциональной группы.

b – инкремент адсорбционного потенциала, работа адсорбции на одно метиленовое звено.

Наличие в мицеллах углеводородного ядра создает возможность для растворения в водных растворах ПАВ соединений, которые не растворимы в воде, это явление называется солюбилизацией (то, что растворяется – солюбилизат, ПАВ – солюбилизатор).

- двухмерное давление.

Пленка с обеих сторон ограниченная одинаковыми фазами называется двусторонней . В таких пленках наблюдается постоянное движение маточного раствора.

Пленки толщиной меньше 5 нм называются черными пленками .

- аналог уравнения Шишковского

Электрокинетические явления. Двойной электрический слой (ДЭС).

Электроосмосом называется движение дисперсионной среды относительно неподвижной дисперсной фазы под действием электрического тока.

Электрофорез – это движение частиц дисперсной фазы относительно неподвижной дисперсионной среды под действием электрического тока.

модуль сдвига

модуль вязкого трения

- уравнение Гелемгольца-Смалуковского

уравнение Больцмана

Объемная плотность заряда

\

Уравнение Пуассона

- толщина ДЭС – это расстояние, на котором потенциал ДЭС уменьшается в e раз.

- потенциал экспоненциально уменьшается.

Ёмкость двойного слоя

Теория Штерна. Строение коллоидной мицеллы.

Двойной электрический слой состоит из двух частей: плотной и диффузной. Плотный слой образуется в результате взаимодействия потенциалобразующих ионов со специфически адсорбирующимися. Эти ионы, как правило, частично или полностью дегидратированы и могут иметь как одинаковый, так и противоположный к потенциалопределяющим ионам заряд. Это зависит от соотношения энергии электростатического взаимодействия
и потенциала специфической адсорбции
. Ионы плотного слоя закреплены. Другая часть ионов расположена в диффузном слое, эти ионы свободны и могут перемещаться вглубь раствора, т.е. из области большей концентрации в область меньшей. Общая плотность заряда складывается из двух частей.

- заряд слоя Гельмгольца

- Заряд диффузного слоя

, где - мольная доля противоионов в растворе

Линия разрыва называется границей скольжения .

Потенциал, возникающий на границе скольжения в результате отрыва части диффузного слоя, называется электрокинетическим потенциалом (Дзэта потенциал ).

Частица дисперсной фазы, с окружающим её слоем противоионов и двойным электрическим слоем называется мицеллой .

Уравнение Гелемгольца-Смолуховского

(для электроосмоса).

Для потенциала течения:

- 1-е уравнение Липпмана.

- 2-е уравнение Липпмана.

- уравнение Нернста

- уравнение электрокапиллярной кривой (ЭКК).

Коагуляция – это процесс слипания частиц, приводящий к потере агрегативной устойчивости.

– правило Шульце-Гарди

Плёнка – это часть системы, находящаяся между двумя межфазными поверхностями.

Расклинивающее давление возникает при резком уменьшении толщины плёнки в результате взаимодействия сближающихся поверхностных слоев.

Теория устойчивости. ДЛФО (Дерягин, Ландау, Фервей, Овербек).

Согласно теории ДЛФО в расклинивающем давлении выделяют две составляющие:

    Электростатическая П Э (положительная, она обусловлена силами электростатического отталкивания). Соответствует уменьшению энергии Гиббса при возрастании толщины пленки.

    Молекулярная П М (отрицательная, обусловлена действием сил притяжения). Обусловлена сжатием пленки за счет химических поверхностных сил, радиус действия сил десятые доли нм с энергией порядка 400 кДж/моль.

Полная энергия взаимодействия :

- уравнение Лапласа

Для слабо заряженных поверхностей

Для сильно заряженных поверхностей:

Молекулярная составляющая – взаимодействие двух атомов:

~

Взаимодействие атома с поверхностью:

Поверхности слабозаряженные:
,Для сильнозаряженных поверхностей

Теория быстрой коагуляции Смолуховского.

Зависимость скорости коагуляции от концентрации электролита.

I – скорость коагуляции мала,

II – скорость коагуляции практически пропорциональна концентрации электролита.

III – область быстрой коагуляции, скорость практически не зависит от концентрации.

Основные положения :

    Исходный золь монодисперсный, сходные частицы имеют сферическую форму.

    Все столкновения частиц результативны.

    При столкновении двух первичных частиц образуется вторичная. Вторичная + первичная = третичная. Первичное, вторичное, третичное – кратность.

,
,
,

Системы, которые образуются самопроизвольно называются лиофильными , характеризуются низкими значениями
и стабильные.

Системы лиофобные не образуются самопроизвольно, т/д неустойчивы и требуют дополнительной стабилизации чаще всего за счет введения в систему ПАВ.

Стадия образования зародышей ()=Образование центров кристаллизации (I) + Стадия доставки вещества к этим центрам(U).

Стадия роста зародыша
= образование центров двухмерной конденсации (I’) + доставка вещества к этим центрам (U)

В методе лежащей капли жидкость с известным поверхностным натяжением помещается на твердую поверхность с помощью шприца. Диаметр капли должен быть от 2 до 5 мм; это гарантирует, что краевой угол не будет зависеть от диаметра. В случае очень малых капелек будет велико влияние поверхностного натяжения самой жидкости (будут формироваться сферические капли), а в случае больших капель начинают доминировать силы гравитации.

В методе лежащей капли измеряется угол между твердой поверхностью и жидкостью в точке контакта трех фаз. Соотношение сил межфазного и поверхностного натяжения в точке контакта трех фаз может описываться уравнением Юнга, на базе которого можно определить краевой угол:

Частным случаем является метод "плененного пузырька": краевой угол измеряется под поверхностью в жидкости.

Изначально измерения проводились с помощью гониометра (ручного прибора для измерения контактного угла) или микроскопа. Современные технологии позволяют записать изображение капли и получить все необходимые данные с помощью программ .


Статический краевой угол

При статическом методе размер капли не меняется в течение всего измерения, но это не означает, что угол контакта всегда остается постоянным. Наоборот, воздействие внешних факторов может привести к изменению угла контакта со временем. Из-за седиментации, испарения и аналогичных химических или физических взаимодействий краевой угол будет самопроизвольно изменяться со временем.

С одной стороны, статический краевой угол не может абсолютно оценить свободную энергию твердой поверхности , а с другой, он позволяет охарактеризовать временную зависимость таких процессов как высыхание чернил, нанесение клея, абсорбцию и адсорбцию жидкостей на бумаге.

Изменение свойств во времени (растекание капли) зачастую мешают исследованиям. В качестве источника ошибки также может выступить пятнышко, царапина на образце, любая неоднородная поверхность будет иметь отрицательный эффект в точности измерения, что может быть сведено к минимуму в динамических методах.


Динамический краевой угол

При измерении динамического контактного угла игла шприца остается в капле, и ее объем изменяется с постоянной скоростью. Динамический угол контакта описывает процессы на границе твердое тело/жидкость во время увеличения объема капли (натекающий угол) или при уменьшении капли (оттекающий угол), т.е. во время смачивания и осушения. Граница не образуется мгновенно, для достижения динамического равновесия требуется время. Из практики рекомендуется устанавливать поток жидкости 5 - 15 мл/мин, более высокая скорость потока будет только имитировать динамические методы. Для высоковязких жидкостей (например, глицерина), скорость формирования капли будет иметь другие пределы.


Натекающий угол. Во время измерения натекающего угла игла шприца остается в капле на протяжении всего опыта. Сначала на поверхности образуется капелька диаметром 3-5 мм (при диаметре иглы 0,5 мм, которая используется фирмой KRUSS), а потом она расплывается по поверхности.
В начальный момент угол контакта не зависит от размера капли, т.к. сильны силы сцепления с иглой. При определенном размере капли угол контакта становится постоянным, и именно в этот момент надо проводить измерения.
Этот тип измерения имеет наибольшую воспроизводимость. Натекающие углы обычно измеряют для определения свободной энергии поверхности .


Оттекающий угол. Во время измерения оттекающего угла размер капли уменьшается, т.к. поверхность осушается: большая капля (приблизительно 6 мм в диаметре) помещается на поверхность и затем медленно уменьшается за счет всасывания через иглу.
По разнице между натекающим углом и оттекающим углом можно сделать заключение о неровностях поверхности или ее химической неоднородности. Оттекающий угол НЕ подходит для расчета СЭП.

Методы оценки формы лежащей капли

Метод Юнга-Лапласа. Наиболее трудоемкий, но и наиболее точный метод расчета краевого угла. В этом методе при построении контура капли учитываются поправки на то, что не только межфазные взаимодействия разрушают форму капли, но и собственный вес жидкости. Эта модель предполагает, что форма капли симметрична, поэтому она не может использоваться для динамических краевых углов. Для натекающей капли краевой угол также может быть определен только до 30°.

Метод длины-ширины. В этом методе оценивается длина растекания капли и ее высота. Контур, являющийся частью окружности, вписывают в прямоугольник и рассчитывают краевой угол из соотношения ширины и высоты. Данный метод более точен для мелких капель, формы которых ближе к сфере. Не подходит для динамического краевого угла, т.к. игла остается в капле и нельзя точно определить высоту капли.

Метод круга. В этом методе капля представляется как часть круга, как и в методе длины-ширины, однако краевой угол рассчитывается не с помощью прямоугольника, а с помощью сегмента окружности. Но в отличии от метода длины-ширины игла, оставшаяся в капле, меньше влияет на результаты измерения.

Тангенциальный метод 1. Полный контур лежащей капли подгоняется к уравнению конического сегмента. Производная этого уравнения в точке пересечения контура и базовой линии дает угол наклона в точке контакта, т.е. краевой угол. Этот метод может использоваться с динамическими методами оценки в том случае, если капля не сильно разрушается иглой.

Тангенциальный метод 2. Часть контура лежащей капли, расположенной рядом с базовой линией, адаптирована к функции полинома типа y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 . Эта функция получилась в результате многочисленных математических моделирований. Метод считается точным, но чувствительным к загрязнениям и посторонним веществам в жидкости. Подходит для определения динамических краевых углов, но он требует четкого построения изображений, особенно в точке контакта фаз.

Метод лежащей капли (sessile drop) реализован в приборах для измерения краевого угла DSA , которые широко используются в лабораториях для изучения свойств поверхностей. Данные приборы также позволяют измерить поверхностное и межфазное натяжение жидкостей

Уравнение

где ортогональные декартовы координаты, называют уравнением Лапласа. Выражение, стоящее в левой его части, называют лапласианом функции и, а правило, по которому образуется выражение, - оператором Лапласа. Оператор Лапласа принято обозначать символом вследствие чего уравнение (1) может быть записано в форме

Неоднородное уравнение

где заданная функция, называют уравнением Пуассона.

Вид дифференциальных выражений в левых частях уравнений Лапласа и Пуассона одинаков во всех ортогональных декартовых координатах. При переходе к криволинейным координатам он изменяется и может быть, для ортогональных криволинейных координат, определен с помощью соотношений § 7 предыдущей главы. В частности, используя формулы (54), (48) и (49) гл. XVIII найдем, что в цилиндрических координатах

в сферических координатах

К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики и т. д. Рассмотрим, например, постановку некоторых задач для уравнения Лапласа.

1. Задача о стационарном тепловом состоянии однородного тела. Допустим, что мы имеем некоторое

изолированное от внешнего пространства однородное изотропное тело, тепловое состояние которого не меняется с течением времени. Обозначим через V занятую им часть пространства, через его поверхность, а через и температуру в точке

Докажем, что во всякой внутренней точке х взятого нами тела функция удовлетворяет уравнению Лапласа.

С этой целью выделим из тела некоторую область ограниченную произвольно взятой поверхностью и рассмотрим количество тепла, которое проходит в единицу времени через элемент поверхности. Согласно принципу Фурье, оно пропорционально площади элемента и нормальной производной где через обозначено направление внешней нормали к поверхности. Другими словами, это количество тепла равно произведению

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутренней теплопроводности тела.

Рассмотрим движение тепла в теле. Из термодинамики известно, что тепло течет от точек с большей температурой к точкам с меньшей температурой. Следовательно, при отрицательной производной поток тепла будет происходить из внутренней части тела, ограниченной поверхностью в область, внешнюю по отношению к этой поверхности. Если же указанная производная положительна, то распространение тепла будет представлять обратную картину.

Отсюда вытекает, что двойной интеграл

дает алгебраическую сумму количества тепла, прошедшего за единицу времени через поверхность причем вытекающему теплу приписывается отрицательный знак, а втекающему - положительный.

Если предположить, что внутри тела отсутствуют как источники тепла, так и точки его поглощения, то интеграл (5) должен равняться нулю. Действительно, если бы это было не так, то тепло накапливалось бы или терялось внутри тела, и, следовательно, температура тела изменилась бы с течением времени, что противоречит предположению о неизменности теплового состояния тела.

Итак, в данном случае должно иметь место следующее равенство:

Применим в области формулу Грина (7) гл. XVIII:

и положим в ней

Тогда, приняв во внимание, что интеграл (5) равен нулю, найдем, что

Отсюда, ввиду произвольности области вытекает, что

т. е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа.

Предположим теперь, что нам известно распределение температуры на поверхности тела и мы желаем определить температуру любой точки, находящейся внутри тела.

Очевидно, мы решим эту задачу, если найдем такое решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяло бы граничному условию

где обозначает температуру в точке х поверхности

2. Задача о равновесии электрических масс на поверхности проводника. Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды расположены дискретно в точках то потенциал поля в точке х

где расстояние от заряда до точки х. Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линии или поверхности или в объеме У, то потенциал поля соответственно выражается одним из интегралов:

где расстояние от элемента линии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах величины обозначают линейную, поверхностную или объемную плотность зарядов:

где заряд элемента линии L (поверхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.

Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой - проводником, т. е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства - диэлектриком, т. е. средой, в которой движение зарядов невозможно.

В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области V, включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно нейтрализованы. В самом деле, оставшиеся внутри проводника избыточные заряды какого-либо знака под действием отталкивания между одноименными зарядами перемещались бы до тех пор, пока все они не оказались бы на границе проводника и не распределились на ней должным образом. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе проводника в виде бесконечно тонкого электрического слоя.

Потенциал этого слоя в точке выражается интегралом:

где расстояние от переменной точки поверхности проводника до точки х.

Если точка х находится вне проводника, то функция у удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле,

Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал и, определяемый формулой (12). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к интегралу (12) правило дифференцирования по параметру, что мы имеем право сделать, так как, по

предположению, точка х находится вне поверхности следовательно, подынтегральная функция в выражении (12) нигде не обращается в бесконечность.

Итак, в каждой точке х, лежащей вне проводника, потенциал и также удовлетворяет уравнению Лапласа.

Обратимся теперь к выяснению обстоятельств, имеющих место в бесконечно удаленных точках пространства, заполненного диэлектриком, и на самой поверхности проводника.

Как мы это выясним ниже, интеграл (12) обращается в бесконечно удаленных точках в нуль (вместе со своими частными производными первого порядка), и притом так, что произведения

остаются ограниченными, когда расстояние от точки х до начала координат увеличивается до бесконечности. Что касается обстоятельств, имеющих место на поверхности проводника, то будет доказано, что потенциал и остается ограниченным и непрерывным при переходе точки х через поверхность проводника. Напротив, нормальные производные потенциала и при таком переходе претерпевают конечный разрыв непрерывности, причем этот разрыв характеризуется равенством

где предельные значения выражения

при приближении точки х к точке соответственно по внутренней и внешней нормали к в точке

Воспользуемся равенством (13) для постановки так называемой электростатической задачи: найти плотность электрического слоя, непрерывно распределенного на поверхности данного проводника, если последний находится в состоянии электрического равновесия.

Допустим, что для данного проводника такое состояние наступило. Тогда, по данным выше разъяснениям, потенциал внутри проводника будет величиной постоянной, и, следовательно, будет иметь место равенство

Из этого равенства и из формулы (13) вытекает, что

т. е. искомая плотность слоя будет найдена, если мы определим потенциал и этого слоя в точках, лежащих вне проводника.