Формула обращения Мёбиуса. Функция Мёбиуса. Формула обращения Мёбиуса Формула обращения мебиуса
1. Напомним сначала определение важной теоретико-числовой функции Мебиу-
1, если n = 1
µ (n)=0, если существует простое число p, p2 n (-1)k , если n = p1 … pk - произведение k различных простых множителей.
Докажем основное свойство функции Мебиуса:
Теорема 1.
♦ Если n = 1, то единственный делитель d = 1 и (1) верно, т.к. µ (1) = 1. Пусть теперь n > 1. Представим его в виде
n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,
где pi , i 1, k - простые числа, si - их степени. Если d - делитель n, то d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,
где 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Если di > 1 для некоторого i 1, k , то µ (d) = 0. Значит в (1) нужно рассмотреть только такие d, для которых di ≤ 1, i 1, k . Каждый такой делитель со-
стоит из произведения r различных простых чисел, где r 1, k , причем его вклад в сумму
(1) равен (-1)r и всего их k . Таким образом, получаем
µ (d) = 1 − |
K + (− 1) k |
0. ♦ |
||||||||
Теорема 2. (Формула обращения Мебиуса). Пусть f(n) и g(n) - функции нату- |
||||||||||
рального аргумента. Тогда равенство |
||||||||||
∑ f(d) |
||||||||||
справедливо тогда и только тогда, когда справедливо равенство |
||||||||||
∑ µ (d)g( |
||||||||||
♦ Пусть (2) справедливо для любого n. Тогда
g(d n ) = ∑ f(d′ )
d ′ d n
Подставляя в правую часть (3), получаем
∑ µ (d)g( |
) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ ) |
||||||
d′ |
|||||||
Двойное суммирование справа проводится по всем парам d, d′ , таким, что d d′ n . Если выбрать d′ , то d будет пробегать все делители d n ′ . Таким образом
∑ µ (d)g( |
) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ ) |
||||||||||||
d′ |
d′ |
||||||||||||
d′ |
n > d′ |
||||||||||||
Но согласно (1) имеем ∑ |
|||||||||||||
µ (d′ ) = |
n = d′ |
||||||||||||
d′ |
|||||||||||||
d′ |
|||||||||||||
Значит, равенство (3) установлено. Пусть теперь (3) справедливо для любого n. Тогда
∑ f(d) = |
∑ ∑ µ (d′ )g( |
) , d′′ = d d ′ - является делителем n и двойная сумма может |
||||||||||||
d′ |
||||||||||||||
n d′ |
||||||||||||||
быть переписана в виде |
||||||||||||||
∑ µ (d′ )g(d′′ ) = |
∑ g(d′′ ) |
∑ µ (d′ ) |
||||||||||||
d ′′ |
n d ′ |
d ′′ |
d ′′ |
d′ |
d ′′ |
|||||||||
Согласно (1) последняя сумма превращается в единицу в случае d′′ = n, в остальных слу-
чаях она есть ноль. Это доказывает (2). ♦ 2. Рассмотрим приложение обращения Мебиуса.
Пусть дан алфавит А из s букв. Имеется sn слов длины n в данном алфавите. Для каждого слова w0 = a1 a2 … an можно определить n - 1 слов
w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , получаемых один из другого циклическими сдвигами. На множестве всех sn слов введем отношение эквивалентности: два слова объявим эквивалентными, если один из другого получается циклическим сдвигом. Нас будут интересовать число классов, которые содержат точно n слов. Такая задача возникает в теории синхронизирующих кодов.
Будем называть слово w вырожденным, если класс эквивалентности, содержащий w, состоит из менее, чем n слов. Назовем w периодическим, если существует слово u и натуральное число m, такое, что w = u u … u (m раз).
Теорема 3. Слово w периодическое тогда и только тогда, когда оно вырождено.
качестве u можно взять a 1 a 2 … a p , а в качестве m =
♦ Ясно, что если w периодическое, то оно вырождено. Пусть w вырождено. Пусть p - минимальное целое, такое, что w = wp . Тогда если
w = a1 a2 … an , то wp = a1+p a2+p … an+p (индексы по модулю n). Отсюда получаем, что в n p . (Легко видеть, что p n). ♦ Обо-
значим через M(d) - число квадратов, которые содержат d слов. Из предыдущего имеем
d n. Таким образом, справедлива формула ∑ dM(d) = s n . d n
Применим формулу обращения Мебиуса для случая g(n) = sn , f(d) = dM(d). Тогда получаем
nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n
∑ µ (d)sn d |
|||||||||||||
Таким образом, M(n) - интересующее нас число. Если n = p - простое число, то |
|||||||||||||
− s) |
|||||||||||||
Имеется мультипликативный вариант обращения Мебиуса. Справедлива |
|||||||||||||
Теорема 4. Пусть f(n) и g(n) - функции натурального аргумента, связанные соот- |
|||||||||||||
ношениями |
|||||||||||||
f(n) = ∏ g(d) |
|||||||||||||
µ(n |
|||||||||||||
g(n) = ∏ f(d) |
|||||||||||||
и обратно, из (5) следует (4).
Используя формулу обращения Мебиуса, можно решить важную в практическом отношении задачу о числе неприводимых многочленов фиксированной степени над конечным полем. Пусть GF(q) - поле из q элементов и m - натуральное число. Тогда для числа
Φ m (q) неприводимых многочленов над полем GF(q) справедлива формула
Приведем таблицу нескольких первых значений функции Φ m (2)
Φ m (2) |
§ 5. Перманенты и их применение к перечислительным
1. Для решения многих комбинаторных задач используются перманенты. Рассмотрим числовую матрицу
A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m
Перманент матрицы А (обозначение - per А) определяется равенством
per A = ∑ |
a 2 j L a nj |
||||
(j1 ,K , jn ) |
|||||
где суммирование производится по всем n-перестановкам из m элементов 1, 2, m. Другими словами, перманент матрицы равен сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и разных столбцов.
Из формулы (1) следуют некоторые очевидные свойства перманента, аналогичные свойствам определителя для квадратных матриц.
1. Если одна из строк (n× m)-матрицы А (n ≤ m) состоит из нулей, то per A = 0. При n = m то же верно и для столбцов.
2. При умножении всех элементов одной из строк матрицы А на некоторое число значение перманента А умножается на то же число.
3. Перманент не меняется при перестановке ее строк и столбцов.
Обозначим через Aij - матрицу, полученную из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
4. Справедлива формула разложения перманента по i-ой строке per A = ai1 per Ai1 + ai2 per Ai2 + ... + aim per Aim (2)
таким образом, многие свойства перманентов аналогичны свойствам определителей.
Однако, основное свойство определителей det(A B) = detA detB не выполняется для перманентов, и это обстоятельство сильно затрудняет их вычисление.
Например, |
|||||
2, per |
|||||||||
Однако, 4 = per |
≠ per |
||||||||
рассмотрим одно из важнейших применений понятия перманента в комбинаторных за-
дачах. Пусть X = {x1 , xm } - конечное множество, а X1 , … , Xn - система подмножеств
При этом говорят, что элемент xi представляет множество Xi . Необходимость нахождения системы различных представителей возникает при решении многих прикладных задач. Рассмотрим следующую задачу кодирования. Пусть имеется некоторое предложение, т.е. упорядоченный набор слов в некотором алфавите. Требуется закодировать данное предложение так, чтобы каждому слову ставилась в соответствие одна буква, причем эта буква должна входить в состав этого слова, а разным словам должны соответствовать разные буквы.
Пример: Предложение a bc ab d abe c de cd e можно закодировать как abecd. В то же время, предложение ab ab bc abc bcd не может быть закодировано подобным образом, поскольку первые четыре слова в совокупности содержат только три буквы.
Для системы множеств X1 , … , Xn определим матрицу инцидентности A = (aij ), i = 1, n ,
1, если xi |
||||||||
a ij = |
||||||||
0, в противном случае. |
||||||||
Справедлива |
||||||||
Теорема 1. Пусть A = (aij ), i = |
(n ≤ m) матрица инцидентности |
|||||||
множеств X1 , … , Xn , где Xi X, i = 1, n , X = {x1 , … , xm } . Тогда для числа систем раз-
личных представителей R(X1 , … , Xn ) множеств X1 , … , Xn справедливо равенство
R(X1 , … , Xn ) = per A |
|||||||||||||||||
♦ Действительно, поскольку в матрице А элемент aij = 1 , если xj Xi и aij = 0 , |
|||||||||||||||||
если xj |
K , xi |
) элементов X является системой различных пред- |
|||||||||||||||
Xi , то набор (xi |
|||||||||||||||||
ставителей для X1 , … , Xn |
в том и только в том случае, когда a1i |
K ,a ni |
|||||||||||||||
менты a1i |
K ,a ni |
находятся в разных столбцах матрицы А. Суммируем числа |
|||||||||||||||
a1i ,K ,a ni |
по всем n-перестановкам элементов 1, 2, … , m. Тогда получим с одной сто- |
||||||||||||||||
роны число систем различных представителей для X1 , … , Xn , а с другой - значение пер-
манента матрицы А. ♦
a 1i 1 a 2i 2 L a ni n
Следствие. Система различных представителей для X1 , … , Xn существует тогда и только тогда, когда для соответствующей матрицы инциденция А выполнено:
Поскольку в формуле (1) m(m - 1) … (m - n +1) членов, то вычисление перманента на основе определения затруднительно. Приведем для этой цели общую формулу.
2. Ограничимся рассмотрением квадратных числовых матриц А = (aij ), i, j = 1, n .
Тогда per A = ∑
(i1 ,K ,in )
где сумма распространяется по всем перестановкам i1 , … , in элементов
1, 2, … , n. Применим формулу включения-исключения для вычисления перманента матрицы А. Каждому набору i1 , … , in поставим в соответствие вес , равный a1i 1 ,K ,a ni n .
Значит перманент А - это сумма весов тех наборов, которые соответствуют перестановкам. Введем n свойств P1 , … , Pn на множестве всех наборов i1 , i2 , … , in из 1, 2, … , n, где свойство Pi означает, что в наборе i1 , … , in нет элемента i. Таким образом, перманент А - это сумма весов наборов i1 , … , in , не обладающих ни одним из свойств P1 , … , Pn . Осталось определить сумму весов W(Pi 1 ,K , Pi k ) наборов, обладающих k свойствами
Pi 1 ,K , Pi k . Имеем для суммы весов W(0) всех наборов i1 , … , ik . |
|||||||||
W(0) = ∑ |
K , a ni |
= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn ) |
|||||||
i1 ,K ,in |
|||||||||
W(N(Pi )) = |
a1i ,K , a ni |
= (a 11 + L + a 1i |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9) |
||||||
≠i |
|||||||||
где знак ^ над элементом матрицы А означает, что этот элемент следует опустить. Аналогично для sij (i < j) имеем
W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i |
L +a 1j |
L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10) |
|
Теперь, используя формулу включения-исключения, получаем формулу Райзера для перманента А:
per A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L + |
|||||
+ (− 1)s |
∑∏n |
||||
(a k1 + L + a ki1 |
L +a ki |
L +a kn ) +L |
|||
1≤ i1 < L < is ≤ k n= 1 |
|||||
Вычисление перманента по формуле Райзера можно организовать так, что потребуется
(2n - 1)(n - 4) умножений и (2n - 2)(n + 1) сложений. Хотя эта величина растет быстро с ростом n, данная формула дает наиболее эффективный способ вычисления перманентов.
3. Выясним теперь вопрос об условиях равенства нулю перманента (0, 1)-матрицы. Ограничимся случаем квадратной матрицы.
Теорема 2. Пусть A = (aij ), i, j = 1, n - (0, 1)-матрица порядка n. Тогда
per A= 0 в том и только в том случае, когда в А существует подматрица из нулей размера s × t, где s + t = n + 1.
♦ Пусть такая нулевая подматрица в А существует. Поскольку перманент не меняется от перестановок строк и столбцов, то можно считать, что эта подматрица расположена в левом нижнем углу, т.е.
где О - (s × t) - матрица из нулей, подматрица B имеет размер (n - s) × t. Любой член перманента А должен содержать по одному элементу из первых t столбцов. Поэтому, если искать положительный член перманента, то элементы этих столбцов должны принадлежать попарно различным строкам с номерами 1, 2, … , n - s. Однако n - s = t - 1 < t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.
Пусть теперь per A = 0. Доказательство теоремы проводим индукцией по n. При n = 1 утверждение очевидно (А = (0)). Пусть оно справедливо для всех порядков, меньших n. Если А - нулевая матрица порядка n, то утверждение очевидно. Если А - не нулевая матрица, то пусть aij = 1. Запишем разложение А по строке i:
per A = ai1 Ai1 + … + ain Ain
Поскольку per А = 0, то per Аij = 0. Но Аij имеет размер (n - 1) × (n - 1) и по предположению индукции для нее существует подматрица из нулей размера
s1 × t1 , причем s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Переставим строки и столбцы так, чтобы эта нулевая подматрица оказалась в нижнем левом углу:
A → B = |
|
где О - нулевая подматрица размера s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - имеет размер (n - s1 ) × t1 , D -
имеет размер s1 × (n - t) . Значит, матрицы С и D - квадратные и имеют порядок (t1 × t1 ) и (s1 × s1 ) соответственно. Согласно определению перманента имеем per B = per A и,
per B = per C per D и поэтому из per А = 0 следует, что либо per C = 0, либо per D = 0.
Пусть per C = 0. По предположению индукции в С найдется нулевая подматрица размера
u × v, где u + v = t1 + 1. Пусть она расположена в строках с номерами i1 , … , iu и столбцами с номерами j1 , … , jv . Рассмотрим подматрицу B, состоящую из строк
i1 , … , iu , t1 + 1, … , n и столбцов j1 , … , jv . Это нулевая подматрица размера (u + n - t1 ) × v,
где u + n - t1 + v = n + +1. Итак, в матрице B указана нулевая подматрица размера s × t, где s + t = n + 1. Так как матрицы А и B отличаются перестановкой строк и столбцов, то теорема доказана. ♦
Рассмотрим теперь важный частный случай матрицы А. Обозначим через А(k, n) - матрицу из элементов 0,1 размера n × n с k единицами к каждой строке и каждом столбце (k > 0).
Теорема 3. Для любой матрицы А(k, n) справедливо per А(k, n) > 0.
♦ Допустим противное, что per А(k, n) = 0. Тогда по теореме 2 существует нуле-
вая подматрица размера s × t, где s + t = n + 1. Тогда, переставляя строки и столбцы матрицы А(k, n) получим матрицу
где О - нулевая (s × t)-матрица.
Подсчитаем число единиц в матрицах B и D. Поскольку A(k, n) имеет k единиц в каждой строке и каждом столбце, то в каждом столбце B и каждой строке D имеется точно k
единиц. Всего в А(k, n) имеется n k единиц, поэтому nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Таким обра-
зом, n ≥ t + s, что невозможно, т.к. s + t = n + 1 Из данного противоречия следует спра-
ведливость утверждения. ♦ Аналогично доказывается
Теорема 3а. Пусть А - (0,1)-матрица размера n× m (n≤ m). Тогда perА = 0 в том и только в том случае, когда содержит нулевую подматрицу размера s× t, где s+t=m+1.
4. Рассмотрим теперь приложение рассматриваемых вопросов к построению ла-
тинских квадратов. Латинским (n × m)-прямоугольником над множеством X={x1 ,…,xm }
называется (n× m) -матрица из элементов X, в которой каждая строка есть n-перестановка X, а каждый столбец есть m-перестановка множества X. При n=m латинский прямоугольник называется латинским квадратом.
Ясно, что при n=1 число латинских 1× m прямоугольников равно m!. При n=2 после того, как выбрана первая строка, в качестве второй можно взять любую переста-
новку, противоречащую выбранной. Число таких перестановок Dm , поэтому число 2× m -
латинских прямоугольников равно m! Dm .
Возникает естественный вопрос в связи с индуктивным построением латинских квадратов. Пусть мы построили латинский (n× m)-прямоугольник (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?
Справедлива
Теорема 4.
Всякий латинский (n×
m) -прямоугольник n ♦
Пусть X={x1
,…,xm
} и L- латинский (n×
m)-прямоугольник с элементами из X. Рассмотрим набор множеств A1
,… ,Am
где Ai
- элементы i -го столбца латинского прямоугольника L. Пусть А - матрица инцидентности системы множеств A1
,… ,Am
. Она имеет размер m×
m , и каждая строка матрицы А содержит точно n единиц, поскольку Ai
= n, i =
1, m . Каждый элемент xi
X может появиться в столбцах L не более m раз, иначе нашлась бы строка, в которой этот элемент встретится дважды. Общее число элементов L равно m n, поэтому каждый элемент xi
X появляется в столбцах точно n раз. Отсюда следует, что и каждый столбец матрицы А содержит точно n единиц. Рассмотрим теперь матрицу A , полученную заменой каждой единицы на нуль и каждого нуля на единицу. Матрица A есть матрица инциденций системы множеств X1
, … , Xn
, где Xi
= X\Ai
, i =
1, m . Она содержит по m - n единиц в каждой строке и в каждом столбце. По теореме > 0. Пусть ai1
… a mi
≠
0 . Тогда имеем xi
X1
,K
, xi
Xm
и все элементы xi
,K
, xi
попарно различны. Строка xi
,K
, xi
может быть взята в качестве (n + 1)-ой для латинского (n ×
m)-прямоугольника L. Продолжая эту процедуру, получим латин- ский квадрат. ♦
Обозначим l
n
- число латинских квадратовпорядка n, с элементами из множества X = {1, 2, … , n}, у которых элементы первого столбца и первой строки идут в естественном порядке. Приведем таблицу нескольких известных значений числа l
n
: 5. Матрица A = (aij
) размера n ×
n с действительными, неотрицательными элементами называется дважды стохастической
, если Практически все знают, как выглядит символ бесконечности, напоминающий перевернутую восьмерку. Этот знак называют еще «лемниската», что с древнегреческого означает лента. Представьте себе, что символ бесконечности очень похож на реально существующую математическую фигуру. Знакомьтесь, Лента Мебиуса! Лента Мебиуса
(или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) - одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса - это петля с одной поверхностью и одним краем. Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги
, вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже. Лента Мебиуса
- пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги. Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью - скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны. Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край - проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли? Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается - топология
, раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации - растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности. «Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус
, ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году. Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса - талантливый математик Иоганн Листинг
, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса. Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса. На самом деле
, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой. Вас порядком удивит результат, ведь вопреки ожиданиям в руках останется не два отрезка ленты, и даже не два отдельных круга, но другая, еще более длинная лента. Это уже будет не лента Мебиуса, перекрученная на 180 градусов, а лента с поворотом на 360 градусов. У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов. Лента Мебиуса - вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке. Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса. Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса. Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех. Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников. Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности. Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии. До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа. По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм. Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру. Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы
по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хро-мосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.
В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса
. В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса. Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная - это огромная петля Мебиуса
. Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение. Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса. μ(n
)
определена для всех натуральных чисел n
и принимает значения в зависимости от характера разложения числа n
на простые сомножители: По определению также полагают μ(1) = 1
. Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел a
и b
выполняется равенство μ(a
b
) = μ(a
)μ(b
)
. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n
, не равного единице, равна нулю Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0"> Отсюда, в частности, следует, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов - факт, применяемый в доказательстве . Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана , см. статью гипотеза Мертенса. Для арифметических функций f
и g
, тогда и только тогда, когда Для вещественнозначных функций f
(x
)
и g
(x
)
, определеных при , тогда и только тогда, когда Здесь сумма интерпретируется как . Wikimedia Foundation
.
2010
.
Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия
Функция Мёбиуса μ(n) мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 г. Содержание 1 Определение 2 Свойства и приложения … Википедия
Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная) Содержание 1 Определение 2 Алгебраические свойства … Википедия
Дробно линейная функция функция вида где z = (z1,...,zn) комплексные или вещественные переменные, ai,b,ci,d комплексные или вещественные коэффициенты. Часто термин «дробно линейная функция» используется для её частного случая преобразования… … Википедия
Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где μ(s) функция Мёбиуса … Википедия
МЕТОДЫ ВРАЧЕБНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
- І. Общие принципы врачебного исследования. Рост и углубление наших знаний, все большее, и большее техническое оснащение клиники, основанное на использовании новейших достижений физики, химии и техники, связанное с этим усложнение методов… … Большая медицинская энциклопедия
Патологическое состояние, развившееся во время родов и характеризующееся повреждениями тканей и органов ребенка, сопровождающимися, как правило, расстройством их функций. Факторами, предрасполагающими к развитию Р. т.н., являются неправильное… … Медицинская энциклопедия
Функция Мебиуса
(n
),
гдеn
– натуральное
число, принимает следующие значения: Функция Мебиуса позволяет записать
функцию Эйлера в виде суммы: Суммирование идет по всем делителям n(а не только по простым делителям). Пример.
Вычислимφ
(100), используя
функцию Мебиуса. Все делители 100 – {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. (2) = (-1) 1 = -1 (у двойки один простой
делитель – 2) (4) = 0 (4 делится на квадрат двойки) (5) = (-1) 1 = -1 (у 5 один простой делитель
– 5) (10) = (-1) 2 = 1 (у 10 два простых делителя
– 2 и 5) (20) = 0 (20 делится на квадрат двойки) (25) = 0 (25 делится на квадрат пятерки) (50) = 0 (50 делится и на 2 2 , и на 5 5) (100) = 0 (100 делится и на 2 2 , и на 5 5) Таким образом, Свойство функции Мебиуса:
. Например, n
=100,
{1,
2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. 16
Теорема
о числе способов выбора k-элементов,
среди которых нет двух соседних, из n
элементов, расположенных в ряд. Доказать
с помощью получения рекуррентной
формулы.
Число r
-сочетаний с повторениями изn
-множества равно – доказательство с помощью рекуррентной
формулы.
Метод базируется на получении формулы,
позволяющей вычислять значения искомой
величины шаг за шагом, исходя из известных
начальных значений и значений, вычисленных
на предыдущих шагах. Рекуррентная формула
r
-го
порядка
– формула вида a
n
=
f
(n
,
a
n-
1 ,
a
n-
2 ,
… , a
n-r
). Формула выражает при n>r
каждый
член последовательности {a
i
}
через предыдущиеr
членов. Построение
рекуррентной формулы состоит из следующих
шагов. 1. Выработка начальных условий
исходя
из каких-либо очевидных соотношений. Обозначим
черезf
(n,r
). Очевидно, что 2. Логические рассуждения.
Зафиксируем
какой-либо элемент во множествеS
.
Тогда относительно любогоr
-сочетания
с повторениями изn
-множестваS
можно сказать, содержит ли оно данный
зафиксированный элемент или нет. Если содержит
, то остальные (r
-1)
элемент можно выбратьf
(n
,r
-1)
способами. Если не содержит
(в выборке этого
элемента нет), тоr
-сочетание составлено
из элементов (n
-1)-множества (множествоS
за исключением данного зафиксированного
элемента). Число таких сочетанийf
(n
-1,r
). Т.к. эти случаи взаимоисключающие, то
по правилу суммы 3. Проверка формулы на некоторых
значениях и вывод общей закономерности
. 1) Вычислим f
(n
,0)
.
Из (2) следует Тогда f
(n
,0)=f
(n
,1)-f
(n
-1,1).
Из (1)f
(n
,1)=n, f
(n
-1,1)=n
-1. Следовательно, f
(n
,0)=n
-(n
-1)=1=. 2) f
(n
,1)
=f
(n
,0)+f
(n
-1,1)
= 1+n-
1 =n
==. 3) f
(n
,2)
=f
(n
,1)+f
(n
-1,2)
=n
+f
(n
-1,1)+f
(n
-2,2) =n
+(n
-1)+f
(n
-2,1)+f
(n
-3,2) =
… = = n
+(n
-1)+…+2+1 = (сумма арифметической прогрессии) 4) f
(n
,3)
=f
(n
,2)+f
(n
-1,3)
=+f
(n
-1,2)+f
(n
-2,3)
=++f
(n
-2,2)+f
(n
-3,3)
= … = (сумма геометрической прогрессии) 5) f
(n
,4)
= На основе частных случаев можно
предположить, что что согласуется с (1) # 19, 20)
Число
бинарных деревьев с n вершинами равно
C(n), где C(n) – это n-ое число Каталана. Количество
бинарных деревьев из n вершин называется
числом Каталана, которое обладает
множеством интересных свойств. N-ое
число Каталана считается по формуле
(2n)! / (n+1)!n!, которая растёт экспоненциально.
(В Википедии предложено несколько
доказательств, что это форма числа
Каталана.) Число бинарных деревьев
данного размера
0 1
1 1
2 2
4 14
8
1430
12 208012
16 35357670 Подстановка
Перейти
к: навигация
,
поиск
Это статья о
подстановке как о синтаксической
операции над
термами
.
Возможно, вас интересует
перестановка
.
В математике
и компьютерных
науках
подстановка
-
это операция синтаксической
замены подтермов данного терма
другими термами, согласно определённым
правилам. Обычно речь идёт о подстановке
терма вместо переменной
. Определения и
обозначения
Для подстановки
не существует универсальной, согласованной
нотации, равно как и стандартного
определения. Понятие подстановки
варьируется не только в рамках разделов,
но и на уровне отдельных публикаций. В
целом, можно выделить контекстную
подстановку
и подстановку
«вместо»
. В
первом случае место в терме, где происходит
замена, задаётся контекстом
,
то есть частью терма, «окружающим» это
место. В частности, такое понятие
подстановки используется в переписывании
.
Второй вариант более распространён. В
этом случае подстановка обычно задаётся
некоторой функцией
из
множества переменных в множество термов.
Для обозначениядействия
подстановки
,
как правило, используют постфиксную
нотацию
.
Например,
означает
результат действия подстановкина
терм. В подавляющем
большинстве случаев требуется чтобы
подстановка имела конечный носитель,
то есть, чтобы множество
Последнее определение
подстановки является, видимо, самым
типичным и часто используемым. Однако
и для него не существует единой
общепринятой нотации. Наиболее часто
для обозначения подстановки a
вместо x
в t
используется запись t
[a
/x
],
t
[x
:=a
]
или t
[x
←a
]. Подстановка
переменной в
λ-исчислении
В λ-исчислении,
подстановка определяется структурной
индукцией. Для произвольных объектов
,и
произвольной переменнойрезультат
замещения произвольного свободного
вхождениявсчитаетсяподстановкой
и определяется индукцией по построению
: (i) базис:
:
объектсовпадает
с переменной.
Тогда; (ii) базис:
:
объектсовпадает
с константой.
Тогдадля
произвольных атомарных; (iii) шаг:
(iv) шаг:
:
объектнеатомарный
и является-абстракцией.
Тогда [; (v) шаг:
:
объектнеатомарный
и является-абстракцией,
причем.
Тогда: для
иили; Подстановка
переменной в программировании
Подстановка
переменной (англ.
substitution
)
в аппликативном
программировании
понимается следующим образом. Для
вычисления значения функции f
на аргументе v
применяется запись f(v)
},
где f
определена конструкцией f(x)
= e
. Запись
f(v)
в этом случае означает, что в выражении
e
происходит замещение
,
или подстановка переменной x
на v
.
Выполнение замещения происходит в
соответствии с семантикой
вычислений
. Подстановка
переменной (англ.
assignment
)
в программировании
понимается как присваивание
.
Оператор присваивания является
проявлением эффекта «бутылочного
горлышка» фон Нейманна для традиционных
языков программирования
.
От этого свободны аппликативные
вычислительные системы
. http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf 21
Производящие
функции.
Производящая функция (нумератор) и
перечисляющая производящая функция
для сочетаний без повторений.
Производящие
функции: 1)Z-преобразования
2)генератриса 3)порождающая функция
4)производящая функция последовательности
{a r }
на базисе {g r }
– функция f
при разложении которой в ряд по функциям
фиксированного базиса {g r }
образуется данная последовательность
коэффициентов {a r }
Данный
ряд – формальный. Название формальный
означает, что мы формулу *) трактуем как
удобную запись нашей последовательности
– в данном случае несущественно, для
каких (действ и комплексных) значений
он сходится. Роль t
сводится к тому чтобы различать
коэффициенты последовательности
А0,А1,…Аr….поэтому
в теории производящих функций никогда
не вычисляют значения таого ряда для
конкретного значения переменной t.
Выполняются лишь только некоторые
операции на таких рядах, а затем
определяются только некоторые операции
на таких рядах а затем определяются
коэффициенты при отдельных степенях
переменной t. Обычно
в качестве 22
Производящая
функция. Производящая функция (нумератор)
и перечисляющая производящая функция
для сочетаний с повторениями.
Производящая
ф-я для
: Правило
построения 1)Если
эл-т типа i
может входить в сочетания K 1
или K 2
или… K i
раз, то ему соотв
множитель
3)Остается
найти коэф. при
экспоненциальная
производящая ф-я для размещений правило
построения 25)
К
комбинаторным числам также относятся
числа
Стирлинга
первого и второго рода. Эти числа
определяются как коэффициенты в
равенствах и
имеют простой комбинаторный смысл -
равно числу элементов группы подстановок
являющихся произведениями ровно k
непересекающихся
циклов, а равно числу разбиений
n-
элементного
множества на k
непустых подмножеств. Очевидно, что.
Аналогичная сумма чисел Стирлинга
второго рода называется n
-м
числом Белла и равна числу всех разбиений
n
-элементного
множества. Для чисел Белла справедлива
рекуррентная формула. При
решении комбинаторных задач часто
оказывается полезна формула
включений-исключений
позволяющая
находить мощность объединения множеств,
если известны мощности их пересечений.
Воспользуемся формулой включений-исключений
для получения явной формулы для чисел
Стирлинга второго рода. Числа Стирлинга
первого рода
Материал
из Википедии - свободной энциклопедии Перейти
к: навигация
,
поиск
Числа Стирлинга
первого рода
(без знака) - количество перестановок
порядка n
с k
циклами
. Определение
Числами Стирлинга
первого рода
(со знаком) s(n,
k)
называются
коэффициенты многочлена
: где (x
) n
- символ
Похгаммера
(убывающий
факториал
): Как видно из
определения, числа имеют чередующийся
знак. Их абсолютные значения задают
количество перестановок
множества, состоящего из n
элементов с k
циклами
. Рекуррентное
соотношение
Числа Стирлинга
первого рода задаются рекуррентным
соотношением: s
(n
,n
)
= 1, для
n ≥ 0, s
(n
,0)
= 0, для
n > 0, для
0 < k
< n
. Доказательство. Для n
=1
это равенство проверяется непосредственно.
Пусть перестановка (n
-1)-го
порядка распадается на k
циклов. Число n
можно добавить после любого числа в
соответствующий цикл. Все полученные
перестановки - различные и содержат k
циклов, их количество (n
-1)·s
(n
-1,
k
).
Из любой перестановки (n
-1)-го
порядка, содержащей k
-1
цикл, можно сформировать единственную
перестановку n
порядка, содержащую k
циклов, добавив цикл образованный
единственным числом n
.
Очевидно, что эта конструкция описывает
все перестановки n
-го
порядка, содержащие k
циклов. Тем самым равенство доказано. Пример
Первые ряды: В комбинаторике
числом
Стирлинга второго рода
из n
по k
,
обозначаемым
или,
называется количество неупорядоченныхразбиений
n
-элементного
множества
на k
непустых подмножеств. Рекуррентная
формула
Числа Стирлинга
второго рода удовлетворяют рекуррентному
соотношению: Для n ≥ 0, Для n > 0, Явная формула
Пример
Начальные значения
чисел Стирлинга второго рода приведены
в таблице: Свойства
Биективным
отображением называется отображение,
обладающее признаками инъективности
и сюръективности одновременно.
Что такое Лента Мебиуса?
Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?
Открытие Августа Мебиуса
«Магия» ленты Мебиуса
Зачем нужна петля Мебиуса? Применение
Лента Мебиуса - широкое поле для Вдохновения
Свойства и приложения
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
g
(n
) =
∑
f
(d
)
d
| n
.
Вторая формула обращения Мёбиуса
.
Смотреть что такое "Функция Мебиуса" в других словарях:
17 Число сочетаний с повторениями
.
.4. Проверка начальных условий с помощью полученной формулы.
,
было
конечным. В таком случае её можно задать
простым перечислением пар«переменная-значение»
.
Поскольку каждую такую подстановку
можно свести к последовательности
подстановок, замещающих всего по одной
переменной каждая, не ограничивая
общности можно считать, что подстановка
задаётся одной парой «переменная-значение»
,
что обычно и делается.
:
объектнеатомарный
и имеет вид аппликации.
Тогда;
…………*)
