График функции. Функции и графики График функции y равно x в квадрате

«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели) считались неравноправными: х - независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у - зависимая переменная, поскольку ее значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано. Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х - сторона квадрата, а у - его
площадь, то у - х 2 . Если х - сторона куба, а у - его объем, то у - х 3 . Если х - одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см 2 , а у - другая его сторона, то . Поэтому, естественно, что в математике не ограничиваются изучением модели y-kx + m, приходится изучать и модель у = х 2 , и модель у = х 3 , и модель , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой - какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная».

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х 2 и построим ее график .

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = x 2):

если х = 0, то у = О 2 = 0;
если х = 1, то у = I 2 = 1;
если х = 2, то у = 2 2 = 4;
если х = 3, то у = З 2 = 9;
если х = - 1, то у = (- I 2) - 1;
если х = - 2, то у = (- 2) 2 = 4;
если х = - 3, то у = (- З) 2 = 9;
Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
У	0	1	4	9	1	4	9

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), на координатной плоскости хОу (рис. 54, а).

Эти точки расположены на некоторой линии, начертим ее (рис. 54, б). Эту линию называют параболой.

Конечно, в идеале надо было бы дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчетливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 28), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо все глубже и глубже изучать математику, чтобы были средства избегать ошибок.

Попробуем, глядя на рисунок 54, описать геометрические свойства параболы.

Во-первых , отмечаем, что парабола выглядит довольно красиво, поскольку обладает симметрией. В самом деле, если провести выше оси х любую прямую, параллельную оси х, то эта прямая пересечет параболу в двух точках, расположенных на равных расстояниях от оси у, но по разные стороны от нее (рис. 55). Кстати, то же можно сказать и о точках, отмеченных на рисунке 54, а:

(1; 1} и (- 1; 1); (2; 4) и (-2; 4); C; 9) и (-3; 9).

Говорят, что ось у является осью симметрии параболы у=х 2 или что парабола симметрична относительно оси у.

Во-вторых , замечаем, что ось симметрии как бы разрезает параболу на две части, которые обычно называют ветвями параболы.

В-третьих , отмечаем, что у параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы - точка (0; 0). Учитывая ее особенность, ей присвоили специальное название - вершина параболы.

В-четвертых , когда одна ветвь параболы соединяется в вершине с другой ветвью, это происходит плавно, без излома; парабола как бы «прижимается» к оси абсцисс. Обычно говорят: парабола касается оси абсцисс.

Теперь попробуем, глядя на рисунок 54, описать некоторые свойства функции у = х 2.

Во-первых , замечаем, что у - 0 при х = 0, у > 0 при х > 0 и при х < 0.

Во-вторых, отмечаем, что y наим. = 0, а у наиб не существует.

В-третьих , замечаем, что функция у = х 2 убывает на луче (-°°, 0] - при этих значениях х, двигаясь по параболе слева направо, мы «спускаемся с горки» (см. рис. 55). Функция у = х 2 возрастает на луче ;
б) на отрезке [- 3, - 1,5];
в) на отрезке [- 3, 2].

Решение,

а) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка (рис. 56). Для выделенной части графика находим у наим. = 1 (при х = 1), у наиб. = 9 (при х = 3).

б) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, -1,5] (рис. 57). Для выделенной части графика находим y наим. = 2,25 (при х = - 1,5), у наиб. = 9 (при х = - 3).

в) Построим параболу у = х 2 и выделим ту ее часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка [-3, 2] (рис. 58). Для выделенной части графика находим у наим = 0 (при х = 0), у наиб. = 9 (при х = - 3).

Совет. Чтобы каждый раз не строить график функции у - х 2 по точкам, вырежьте из плотной бумаги шаблон параболы. С его помощью вы будете очень быстро чертить параболу.

Замечание. Предлагая вам заготовить шаблон параболы, мы как бы уравниваем в правах функцию у = х 2 и линейную функцию у = кх + m. Ведь графиком линейной функции является прямая, а для изображения прямой используется обычная линейка - это и есть шаблон графика функции у = кх + m. Так пусть у вас будет и шаблон графика функции у = х 2 .

Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х 2 и прямой у - х + 2.

Решение. Построим в одной системе координат параболу у = х 2 прямую у = х + 2 (рис. 59). Они пересекаются в точках А и В, причем по чертежу нетрудно найти координаты этих точек А и В: для точки А имеем: x = - 1, y = 1, а для точки В имеем: х - 2, у = 4.

Ответ: парабола у = х 2 и прямая у = х + 2 пересекаются в двух точках: А (-1; 1) и В(2;4).

Важное замечание. До сих пор мы с вами довольно смело делали выводы с помощью чертежа. Однако математики не слишком доверяют чертежам. Обнаружив на рисунке 59 две точки пересечения параболы и прямой и определив с помощью рисунка координаты этих точек, математик обычно проверяет себя: на самом ли деле точка (-1; 1) лежит как на прямой, так и на параболе; действительно ли точка (2; 4) лежит и на прямой, и на параболе?

Для этого нужно подставить координаты точек А и В в уравнение прямой и в уравнение параболы, а затем убедиться, что и в том, и в другом случае получится верное равенство. В примере 2 в обоих случаях получатся верные равенства. Особенно часто производят такую проверку, когда сомневаются в точности чертежа.

В заключение отметим одно любопытное свойство параболы, открытое и доказанное совместно физиками и математиками.

Если рассматривать параболу у = х 2 как экран, как отражающую поверхность, а в точке поместить источник света, то лучи, отражаясь от параболы экрана, образуют параллельный пучок света (рис. 60). Точку называют фокусом параболы. Эта идея используется в автомобилях: отражающая поверхность фары имеет параболическую форму, а лампочку помещают в фокусе - тогда свет от фары распространяется достаточно далеко.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.